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普宁二中2010年高三文科数学模拟考试三


六校联合体 2010 年高考模拟交流卷 2010.5 数学(文科)
本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时l20分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答 题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答

在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上; 如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案 无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 表示底面积,h 表示高. 3

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.设复数 z1 ? 1 ? i , z2 ? x ? i ( x ? R ) ,若 z1 ? z2 为实数,则 x 等于( )

A. ? 2

B. ? 1

C.1

D.2

2.若集合 A ? {x || x ? 2 |? 1} , B ? x ( x ? 1)( x ? 4) ? 0 ,则下列结论正确的是( A. A ? B ? ? B. A ? B ? R C. A ? B D. B ? A

?

?



3. 若向量a ? (2,1), b ? (3, x), 若(2a ? b) ? b, 则x的值为 A. 3 B. ?1或3
ax
y 1 x B O C x O D

?

?

?

?

?

C. -1

D.- 3或1

4.当 a ? 0 时,函数 y ? ax ? b和y ? b 的图象只可能是
y 1 O A x O y 1 y 1 x

5.如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形, 俯视图是半径为 1 的半圆,则该几何体的体积是( ) 正视图 侧视图

A.

4 3 ? 3

B. ?

1 2

C.

3 ? 3

D.

3 ? 6
俯视图 )

6.f(x)=sin(x+

? ? ),g(x)=cos(x- ),则下列命题中正确的是( 2 2 A.f(x)g(x)的最小正周期为 2π 学科网
第 -1- 页 共 8 页

B.函数 y=f(x)g(x)是偶函数 C.将 f(x)的图象向左平移

学科网 学科网

? 个单位可以得到 g(x)的图象 2 ? D.将 f(x)的图象向右平移 个单位可以得到 g(x)的图象 2

7. 设集合 A ? {0,1 2} B ? {0,1 2} ,分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b ,确定平面上的一个点 ,, ,

P(a,b) ,记“点 P(a,b) 落在直线 x ? y ? n 上”为事件 Cn (0 ? n ? 4,n ? N ) ,若事件 Cn 的概率
最大,则 n 的可能值为( A.2 B.3 ) C.1 和 3 D.2 和 4

?x ? y ? 5 ? 0 ? 8. 设实数 x, y 满足 ? x ? y ? 0 ,则 z ? x ? 3y 的最小值为( ?x ? 3 ?
A.

)

- 6

B. ?3

C.5

D.27 )

9.已知 ?a n ?是等差数列, a 4 ? 15 , S 5 ? 55 ,则过点 P(3, a3 ), Q(4, a4 ) 的直线的斜率为( A.4 B.

1 4

C.-4

D.-14

10. 有关命题的说法错误的是( ) .. A.命题“若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 则 x ? 1 ”的逆否命题为“若 x ? 1, 则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ” ; B.对于命题 p : ?x ? R , 使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 . 则 ? p : ?x ? R ,均有 x 2 ? x ? 1 ? 0 。 C.若 (? p) ? (? q) 为真命题,则命题 p 、 q 至少有一个为真命题; D.命题“ sin x ? 1 ”是一个复合命题,而且是个真命题; 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11-13 题) 11. 函数 y ? f (x) 的图像在点 M (1, f (1)) 处的切线方程是

y ? 3x ? 2 , f (1) ? f / (1) =
12. 右图程序框的运行结果是________________

x2 y 2 13. 以 F1 、 F2 为焦点的椭圆 2 ? 2 =1( a ? b ? 0 )上顶点 P, a b
当 ?F1 PF2 =120°时,则此椭圆离心率 e 的大小为 。

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选做题)如图所示,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D ,

CD ? 4, BD ? 8 ,则圆 O 的半径等于_____________.
15. (参数方程与极坐标选做题)直线 ?

? x ? ?2 ? 4t , ? t为参数 ? 被圆 ? y ? ?1 ? 3t

? x ? 2 ? 5cos ? , ( ? 为参数)所截得的弦长为______________ ? ? y ? 1 ? 5sin ?
第 -2- 页 共 8 页

三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本题满分 12 分)已知角 ? ? (0, ? ) ,向量 m ? (2 , cos ? ) ,

??

?? ? ? n ? (cos 2 ? , 1 ) ,且 m ? n ? 1, f ( x) ? 3 sin x ? cos x 。
(Ⅰ)求角 ? 的大小; (Ⅱ)求函数 f ( x ? ? ) 的单调递减区间。

17. (本小题满分 12 分)在 10 支罐装饮料中,有 2 支是不合格产品,质检员从这 10 支饮料中抽取 2 支进行

检验。 (Ⅰ)求质检员检验到不合格产品的概率; (Ⅱ)若把这 10 支饮料分成甲、乙两组,对其容量进行测量,数据如下表所示(单位:ml) : 甲 乙 257 258 269 259 260 259 261 261 263 263

请问哪组饮料的容量更稳定些?并说明理由.

18. (本小题满分 14 分)如图,四边形 ABCD 为矩形,AB=2,CD=1,PD⊥平面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点.

(Ⅰ)证明:PA∥平面 EDB; (Ⅱ)证明:DE⊥平面 PBC. (III)求三棱锥 E-PBD 的体积 P

P
D A

E

E
B

C

第 -3- 页 共 8 页

19. (本小题满分 14 分)数列 {an } 的各项均为正数, S n 为其前 n 项和,对于任意 n ? N * ,总有 an , S n , an 成等差
2

数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? an ? ?

1 ?1? ? ,其前 n 项和是 Tn ,求证: ? Tn ? 2 . 2 ?2?

n

20. (本小题满分 14 分)已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点 M ?1, 2 ? ,它们在 x 轴上有共同焦点,椭圆和

双曲线的对称轴是坐标轴,抛物线的顶点为坐标原点. (Ⅰ)求这三条曲线的方程; (Ⅱ)已知动直线 l 过点 P ? 3, 0? ,交抛物线于 A, B 两点,是否存在垂直于 x 轴的直线 l ? 被以 AP 为直 径的圆截得的弦长为定值?若存在,求出 l ? 的方程;若不存在,说明理由.

21. (本小题满分 14 分)已知函数

1 f ( x ) ? (a ? ) x 2 ? ln x .( a ? R ) 2

(1)当 a ? 1 时,求 f ( x ) 在区间[1,e]上的最大值和最小值; (2)若在区间(1,+∞)上,函数 f ( x ) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方,求 a 的取值范围

第 -4- 页 共 8 页

六校联合体 2010 年高考模拟交流卷参考答案 2010.5
题号 答案 1 C 2 C 3 B 4 B 5 D 6 D 7 A 8 A 9 A 10 C

1、解析: z1 z2 ? ( x ? 1) ? ( x ? 1)i 为实数,∴x=1 2、解析: A ? {x |1 ? x ? 3} , B ? {x |1 ? x ? 4} ,∴ A ? B 3、解析:∵ (1, 2 ? x)? x) ? 0 (3, 4、解析:令 a ? 1, b ? ∴ x ? 2x ? 3 ? 0
2

∴x 为 ?1或3

1 2

1 ? ?12 ? 3 3 5、解析:由三视图知几何体的直观图是半个圆锥, V ? 3 ? ? ,∴选 D. 2 6
6、解析: f ( x) ? cos x , g ( x) ? sin x , f ( x) ? cos x 向右平移

? ? 个单位 cos( x ? ) = sin x 2 2 7、解析:P 点取法总共有 9 种,由图知直线截距为 2 时经过的点最多; y 8、解析:过点(3,-3)取得最值。
2 1

9、解析:∵ ?a n ?是等差数列, a 4 ? 15 , S 5 ? 55 , ∴ a1 ? a5 ? 22 , 2a3 ? 22, a3 ? 11 ,∴ k PQ ?

a4 ? a3 ? 4 ,选 A. 4?3

x O 1 2

10、解析:若 (? p) ? (? q) 为真命题,则命题 p 、 q 至少有一个为假命题 二.填空题 11、4 12、120 13、

3 2

14、5

15、6

11、解析:∵切点既在曲线上也在切线上,∴ f (1) ? 3 ? 2 ? 1 , f (1) ? 3 ,∴ f (1) ? f / (1) =4
/

12、解析: a =6 时进入循环此时 s =6; a =5 时进入循环此时 s =6×5=30; a =4 时进入循环此时 s =30×4=120,∴ a =3 时应跳出循环, 13、解析:当 ?F1 PF2 =120°时, ?PF1 F2 =30°,∴ e ? 14、解析: CD ? AD?DB
2

c 3 3 ? cos 30o ? 。∴填 . a 2 2

∴ AD ? 2 , AB ? 10
2 2 2

15、解析:在平面直角坐标系中,直线 3x ? 4 y ? 10 ? 0 被圆 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 5 所截得的弦长。 15、解析:由切割线定理得: DB ? DA ? DC , DB( DB ? BA) ? DC , DB ? 3DB ? 28 ? 0 , DB ? 4
2
2

2

16.解析: (Ⅰ)∵ m ? (2 , cos ? ) , n

?? ? ? (cos 2 ? , 1 ) ,且 m ? n ? 1,∴ 2cos2 ? ? cos ? ? 1 ???2 分 1 2 即 2cos ? ? cos ? ? 1 ? 0 ∴ cos ? ? 或 cos ? ? ?1 , ??????4 分 2 1 ? ∵角 ? ? (0, ? ) ,∴ cos ? ? ? ? ? , ?????????????6 分 2 3
??

?

第 -5- 页 共 8 页

(Ⅱ)∵ f ( x) ? 3 sin x ? cos x ? 2( ∴ f (x ? ? ) ? f (x ?

? ) ? 2sin( x ? ) ? 2cos x ??10 分 3 6 3 2 ∴函数 f ( x ? ? ) 的单调递减区间为 [2k? , 2k? ? ? ] k ? Z ??????12 分
17.解析: (Ⅰ)把 10 支饮料分别编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,a,b。其中 a,b 表示不合格产品。则从

?

3 1 ? sin x ? cos x) ? 2sin( x ? ) 2 2 6

????8 分

) ? 2sin( x ?

?

?

?

中抽取两支饮料的基本事件有 45 种,即:

(1, 2),(1,3),(1, 4),(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),(1, a,),(1, b) ; (2,3),(2, 4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8) , (2, a,),(2, b) (3, 4),(3,5),(3,6),,(3,7),(3,8),(3, a,),(3, b) ; (4,5),(4,6),(4,7),(4,8),(4, a,),(4, b) ; (5, 6), (5, 7), (5,8) (5, a,),(5, b) ; (6,7),(6,8),(6, a,),(6, b) ; (7,8),(7, a,),(7, b) ; (8, a,),(8, b) ; (a, b) 。 ????3 分
其中抽到不合格产品的事件有 17 种, ∴质检员检验到不合格产品的概率为 P ? ?????????5 分

17 ???????????6 分 45 257 ? 259 ? 260 ? 261 ? 263 258 ? 259 ? 259 ? 261 ? 263 (Ⅱ)∵ x甲 ? (8 ? 262 , x乙 ? ? 262 , 分) 5 5 (257 ? 260) 2 ? (259 ? 260) 2 ? (260 ? 260) 2 ? (261 ? 260) 2 ? (263 ? 260) 2 2 ? 16 , 且 s甲 ? 5 (258 ? 260) 2 ? (259 ? 260) 2 ? (259 ? 260) 2 ? (261 ? 260) 2 ? (263 ? 260) 2 2 s乙 ? ? 3. ??10 分 2 5 2 2 ∴ x甲 ? x乙 ,且 s甲 ? s乙 , ∴乙组饮料的容量更稳定 ?????????12 分
18.证明:(Ⅰ)连结 AC,设 AC∩BD=O,连结 EO,

∵四边形 ABCD 为矩形,∴O 为 AC 的中点. ∴OE 为△PAC 的中位线. ∴PA∥OE,而 OE ? 平面 EDB,PA ? 平面 EBD, (Ⅱ)∵PD⊥平面 AC,BC ? 平面 AC,∴BC⊥PD,而 BC⊥CD,PD∩CD=D. ∴BC⊥平面 PDC. ∵DE ? 平面 PDC , ∴BC⊥DE . ① 又∵PD=DC, E 是 PC 的中点, ∴DE⊥PC. ② 由①、②可知 DE⊥平面 PBC ??(10 分) ∴PA∥平面 EDB ? 分) (4

(Ⅲ)由(Ⅱ)得 BC⊥平面 PDC,故 BC 是三棱锥 B-PED 的高

1 1 1 1 1 1 VE ? PBD ? VB ? PDE ? ? BC ? S?PDE ? ? 2 ? ? S?PDC ? ? ?1?1 ? ????(14 分) 3 3 2 3 2 6
19.解:(1)由已知:对于 n ? N ,总有 2 S n ? an ? an
*
2

①成立

∴ 2Sn ?1 ? an ?1 ? an ?1

2

(n ≥ 2)②
2 2

①-②得 2a n ? a n ? a n ? a n ?1 ? a n ?1 ∴ an ? a n ?1 ? ?a n ? a n ?1 ??an ? an ?1 ? ∵ an , an?1 均为正数,∴ a n ? a n ?1 ? 1 ∴数列 ?a n ?是公差为 1 的等差数列
2 又 n=1 时, 2S1 ? a1 ? a1 , 解得 a1 =1

(n ≥ 2)

∴ a n ? n .( n ? N * )

??(6 分)

第 -6- 页 共 8 页

1 ?1? (2)∵ bn ? an ? ? ,由(1)知, bn ? n( )n ? 2 ?2? 1 1 1 1 1 ③ ? 2( )2 ? 3( )3 ? 4( )4 ? ? ? n( )n 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ∴ Tn ? ( )2 ? 2( )3 ? 3( )4 ? ? ? (n ? 1)( ) n ? n( ) n ?1 ④ 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ③-④得 Tn ? ? ( )2 ? ( )3 ? ( )4 ? ? ? ( ) n ? n( ) n ?1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ? ( )n 1 1 2 1 3 1 n?1 1 n 2 ? n ? 2? 2?n ∴ Tn ? 1 ? ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ? n( ) ? 1 2 2 2 2 2 2n 2n 1? 2 3? n 2?n 2 ? n 3 ? n n ?1 Tn ?1 ? Tn ? 2 ? n ?1 ? (2 ? n ) ? n ? n?1 ? n?1 ? 0 2 2 2 2 2 1? 2 1 ∴ {Tn } 是递增数列, ∴ Tn ? T1 ? 2 ? ? 2 2 2?n 2?n 又∵ n ? 0 , ∴ Tn ? 2 ? n ? 2 始终成立 2 2 1 ∴ ? Tn ? 2 得证 ??(14 分) 2 Tn ?
20. 解(Ⅰ)设抛物线方程为 y ? 2 px ? p ? 0 ? ,将 M ?1, 2 ? 代入方程得 p ? 2
2

n

( n ? N * )(10 分)

?

抛物线方程为: y 2 ? 4 x ??????(2 分)
由题意知椭圆、双曲线的焦点为 F ? ?1,0 ?1 , F2 ?1,0 ? , 对于椭圆, 2a ? MF1 ? MF2 ?

? c=1 ?????(3 分)
2

?1 ? 1?

2

? 22 ?

?1 ? 1?

?4 ?2?2 2

(5 分) 对于双曲线, 2a? ? MF1 ? MF2 ? 2 2 ? 2

?????(7 分) (Ⅱ)设 AP 的中点为 C , l ? 的方程为: x ? a ,以 AP 为直径的圆交 l ? 于 D, E 两点, DE 中点为 H 令 A ? x1 , y1 ? ,

? x ? 3 y1 ? ? C? 1 , ? ??????????????????(9 分) 2? ? 2
(11 分)

第 -7- 页 共 8 页

2 a ? 1 时, f ( x ) ? 1 x 2 ? ln x , f ?( x ) ? x ? 1 ? x ? 1 ; ??(2 分) 21.解:(Ⅰ)当 x x 2

对于 x?[1,e],有 f ?( x ) ? 0 ,∴ f ( x ) 在区间[1,e]上为增函数, ∴ f max ( x ) ? f (e ) ? 1 ?

??(4 分)

e2 1 , fmin ( x ) ? f ( 1 ) ? . 2 2
1 2

??(6 分)

(Ⅱ)令 g( x ) ? f ( x ) ? 2ax ? (a ? ) x 2 ? 2ax ? ln x ,则 g ( x ) 的定义域为(0,+∞). 在区间(1,+∞)上 f ( x ) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方等价于 g( x ) ? 0 在区间(1,+∞)上恒成立?(8 分) ∵ g?( x ) ? ( 2a ? 1) x ? 2a ? ① 若a ?

1 ( 2a ? 1) x 2 ? 2ax ? 1 ( x ? 1)[( 2a ? 1) x ? 1] ? ? x x x

1 1 ,令 g?( x ) ? 0 ,得极值点 x1 ? 1 , x2 ? , 2 2a ? 1 1 当 x2 ? x1 ? 1 ,即 ? a ? 1 时,在( x 2 ,+∞)上有 g?( x ) ? 0 , 2
此时 g ( x ) 在区间( x 2 ,+∞)上是增函数,并且在该区间上有 g ( x ) ∈( g( x2 ) ,+∞),不合题意; 当 x2 ? x1 ? 1 ,即 a ? 1 时,同理可知, g ( x ) 在区间(1,+∞)上,有 g ( x ) ∈( g (1) ,+∞),不合题意;(10 分)

1 ,则有 2a ?1 ? 0 ,此时在区间(1,+∞)上恒有 g?( x ) ? 0 , g (x) 在区间(1,+∞)上是减函数; 2 1 1 要使 g( x ) ? 0 在此区间上恒成立,只须满足 g(1) ? ?a ? ? 0 ? a ? ? , ??(12 分) 2 2 1 1 由此求得 a 的范围是[ ? , ]. 2 2
② 若a ?

1 1 综合①②可知,当 a ∈[ 2 , 2 ]时, 函数 f (x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方. ?

??(14 分)

第 -8- 页 共 8 页


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