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江苏省扬州市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷


江苏省扬州市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置 上) 1. (5 分)若集合 A={1,3},B={0,3},则 A∪B=. 2. (5 分)计算:sin210°的值为. 3. (5 分)lg2+2lg 的值为.

4. (5 分)函数 y=

tan(3x+

)的最小正周期为.

5. (5 分)函数 y=

+

的定义域为.

6. (5 分)已知幂函数 f(x)的图象过

,则 f(4)=.

7. (5 分)函数 f(x)=ln(x﹣2)的单调递增区间为. 8. (5 分)已知扇形的周长为 8cm,圆心角为 2rad,则该扇形的面积为.

9. (5 分)在△ ABC 中,已知 D 是 BC 上的点,且 CD=2BD.设 a,b 表示)

= ,

= ,则

=. (用

10. (5 分)已知不共线向量 、 , 则实数 t 等于.

=t ﹣ (t∈R) ,

=2 +3 ,若 A、B、C 三点共线,

11. (5 分)将函数 y=sinx 的图象上所有点向左平移

个单位长度,再把所得各点的横坐标变

为原来的 3 倍(纵坐标不变) ,则所得函数图象的对称中心坐标为. 12. (5 分)△ ABC 是以 A 为钝角的三角形,且 的取值范围是. ,则 m

13. (5 分)已知函数 f(x)=x +mx﹣|1﹣x |(m∈R) ,若 f(x)在区间(0,2)上有且只有 1 个零点,则实数 m 的取值范围是. 14. (5 分)已知 f(x)为 R 上增函数,且对任意 x∈R,都有 f[f(x)﹣3 ]=4,则 f(3)=.
x

2

2

二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 2 15. (14 分)设集合 A 为方程﹣x ﹣2x+8=0 的解集,集合 B 为不等式 ax﹣1≤0 的解集. (1)当 a=1 时,求 A∩B; (2)若 A?B,求实数 a 的取值范围.

16. (14 分)已知| |=4,| |=3, (1) ( +2 )?(2 ﹣ )的值; (2)|2 ﹣ |的值.

的夹角 θ 为 60°,求:

17. (15 分)设向量 =(2,sinθ) , =(1,cosθ) ,θ 为锐角. (1)若 ? = ,求 sinθ+cosθ 的值;

(2)若 ∥ ,求

的值.

18. (15 分) 某地农业监测部门统计发现: 该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现, 但生猪养殖成本逐月递增.下表是今年前四个月的统计情况: 月份 1 月份 2 月份 3 月份 4 月份 收购价格(元/斤) 6 7 6 5 养殖成本(元/斤) 3 4 4.6 5 现打算从以下两个函数模型:①y=Asin(ωx+φ)+B, (A>0,ω>0,﹣π<φ<π) , ②y=log2(x+a)+b 中选择适当的函数模型,分别来拟合今年生猪收购价格(元/斤)与相应 月份之间的函数关系、养殖成本(元/斤)与相应月份之间的函数关系. (1)请你选择适当的函数模型,分别求出这两个函数解析式; (2)按照你选定的函数模型,帮助该部门分析一下,今年该地区生猪养殖户在接下来的月份 里有没有可能亏损?

19. (16 分)设 f(x)=

(m>0,n>0) .

(1)当 m=n=1 时,证明:f(x)不是奇函数;

(2)设 f(x)是奇函数,求 m 与 n 的值; (3)在(2)的条件下,求不等式 f(f(x) )+f( )<0 的解集.

20. (16 分)已知 a<0,函数 f(x)=acosx+ (1)设 t= +

+

,其中 x∈[﹣



].

,求 t 的取值范围,并把 f(x)表示为 t 的函数 g(t) ;

(2)求函数 f(x)的最大值(可以用 a 表示) ; (3)若对区间[﹣ , ]内的任意 x1,x2,总有|f(x1)﹣f(x2)|≤1,求实数 a 的取值范围.

江苏省扬州市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置 上) 1. (5 分)若集合 A={1,3},B={0,3},则 A∪B={0,1,3}. 考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据并集的定义求出 A,B 的并集即可. 解答: 解:∵集合 A={1,3},B={0,3}, ∴A∪B={0,1,3}, 故答案为:{0,1,3}. 点评: 本题考查了集合的运算问题,是一道基础题.

2. (5 分)计算:sin210°的值为﹣ .

考点: 诱导公式的作用. 专题: 计算题. 分析: 利用诱导公式可得 sin210°=sin(180°+30°)=﹣sin30°,由此求得结果. 解答: 解:sin210°=sin(180°+30°)=﹣sin30°=﹣ , 故答案为﹣ . 点评: 本题主要考查利用诱导公式进行化简求值,属于基础题. 3. (5 分)lg2+2lg 的值为 1.

考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数的运算法则即可得出. 解答: 解:原式=lg2+lg5=lg(2×5)=1. 故答案为:1. 点评: 本题考查了对数的运算法则,属于基础题.

4. (5 分)函数 y=tan(3x+

)的最小正周期为



考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 由三角函数的周期性及其求法直接求值. 解答: 解:由正切函数的周期公式得:T= 故答案为: . .

点评: 本题主要考察了三角函数的周期性及其求法,属于基础题. 5. (5 分)函数 y= + 的定义域为{x|x≥﹣3 且 x≠1}.

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由根式内部的代数式大于等于 0 且分式的分母不等于 0 联立不等式组求解 x 的取值 集合得答案. 解答: 解:由 ∴函数 y= + ,得 x≥﹣3 且 x≠1. 的定义域为{x|x≥﹣3 且 x≠1}.

故答案为:{x|x≥﹣1 且 x≠3}. 点评: 本题考查了函数的定义域及其求法,是基础题.

6. (5 分)已知幂函数 f(x)的图象过

,则 f(4)= .

考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 计算题. 分析: 设幂函数 f(x)=x ,由幂函数 f(x)的图象过 ﹣ ,由此能求出 f(4) . 解答: 解:设幂函数 f(x)=x ,
a a

,知

,解得 a=

∵幂函数 f(x)的图象过 ∴ ,



解得 a=﹣ , ∴ 故 f(4)= 故答案为: . 点评: 本题考查幂函数的性质和应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 7. (5 分)函数 f(x)=ln(x﹣2)的单调递增区间为(2,+∞) . 考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意求函数的定义域,再由复合函数的单调性确定函数的单调区间. 解答: 解:函数 f(x)=ln(x﹣2)的定义域为(2,+∞) , 又∵y=lnx 在定义域上是增函数,y=x﹣2 也是增函数; 故函数 f(x)=ln(x﹣2)的单调递增区间为(2,+∞) ; 故答案为: (2,+∞) . 点评: 本题考查了对数函数的单调性与定义域的应用及复合函数的单调性的应用,属于基 础题. 8. (5 分)已知扇形的周长为 8cm,圆心角为 2rad,则该扇形的面积为 4. 考点: 扇形面积公式. 专题: 计算题. 分析: 设扇形的半径为 r,弧长为 l,根据扇形周长和弧长公式列式,解之得 r=2,l=4,再 由扇形面积公式可得扇形的面积 S. 解答: 解:设扇形的半径为 r,弧长为 l,则 解得 r=2,l=4 由扇形面积公式可得扇形面积 S= lr= =4 , = .

故答案为:4 点评: 本题给出扇形的周长和圆心角的大小,求扇形的面积,着重考查了扇形的面积公式 和弧长公式等知识,属于基础题.

9. (5 分) 在△ ABC 中, 已知 D 是 BC 上的点, 且 CD=2BD. 设 a,b 表示)

= , = , 则

=

. (用

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 计算题. 分析: 根据 D 是 BC 上的点,且 CD=2BD,得到 得到 ,化简整理可得 ,结合向量减法的三角形法则, ,代入已知条件即得本题的答

案. 解答: 解:∵D 是 BC 上的点,且 CD=2BD, ∴ ∵ ∴ 整理,得 结合题意 故答案为: 点评: 本题给出三角形 ABC 一边 BC 的三等分点,要求用向量 、 线性表示向量 , = , = ,可得 = , , ,

着重考查了向量加法、减法的意义和平面向量的基本定理等知识点,属于基础题.

10. (5 分)已知不共线向量 、 , 则实数 t 等于 .

=t ﹣ (t∈R) ,

=2 +3 ,若 A、B、C 三点共线,

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量共线定理、向量基本定理即可得出. 解答: 解:∵ ∴存在实数 k 使得 =t ﹣ (t∈R) , , =2 +3 ,A、B、C 三点共线,

t ﹣ =k(2 +3 ) , 化为(t﹣2k) +(﹣1﹣3k) = , ∵向量 、 不共线, ∴ ,解得 t=﹣ .

故答案为:﹣ . 点评: 本题考查了向量共线定理、向量基本定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档 题.

11. (5 分)将函数 y=sinx 的图象上所有点向左平移

个单位长度,再把所得各点的横坐标变

为原来的 3 倍(纵坐标不变) ,则所得函数图象的对称中心坐标为(3kπ﹣π,0) , (k∈Z) . 考点: 正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据三角函数图象之间的关系和性质即可得到结论. 解答: 解:将函数 y=sinx 的图象上所有点向左平移 个单位长度,得到 y=sin(x+ ) , ) ,

然后再把所得各点的横坐标变为原来的 3 倍得到 y=sin( x+ 由 x+ =kπ,解得 x=3kπ﹣π,

即函数的对称中心为(3kπ﹣π,0) , (k∈Z) , 故答案为: (3kπ﹣π,0) , (k∈Z) 点评: 本题主要考查正弦函数的图象和性质,利用三角函数之间的关系求出函数的解析式 是解决本题的关键. 12. (5 分)△ ABC 是以 A 为钝角的三角形,且 的取值范围是(﹣3,1)∪(1,2)∪(2,+∞) . 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 根据角 A 是钝角,可得数量积 ,结合坐标运算解得 m>﹣3;又因为向量

,则 m

是不共线的向量,可得 1×(﹣2)≠(m﹣3)m,解之得 m≠1 且 m≠2.两者相结合即 可得到本题的答案. 解答: 解:∵ ,且 A 为钝角



=1×(m﹣3)+m×(﹣2)<0,解之得 m>﹣3 是不共线的向量

又∵A、B、C 三点不共线,得向量
2

∴1×(﹣2)≠(m﹣3)m,即 m ﹣3m+2≠0,解之得 m≠1 且 m≠2 因此,实数 m 的取值范围是(﹣3,1)∪(1,2)∪(2,+∞) 故答案为(﹣3,1)∪(1,2)∪(2,+∞) 点评: 本题给出向量 的坐标含有参数 m,在它们夹钝角的情况下求参数 m 的取值

范围.着重考查了向量平行的条件、向量数量积的坐标运算公式等知识,属于基础题. 13. (5 分)已知函数 f(x)=x +mx﹣|1﹣x |(m∈R) ,若 f(x)在区间(0,2)上有且只有 1 个零点,则实数 m 的取值范围是 或 m=﹣1.
2 2

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用. 分析: 由题意可化为函数 图象与直线 y=m 有且只有一个

公共点,从而解得. 2 2 解答: 解:由题意知方程 x +mx﹣|1﹣x |=0 在区间(0,2)上有且只有 1 解, 即方程 在区间(0,2)上有且只有 1 解,

从而函数

图象与直线 y=m 有且只有一个公共点.

作出函数

与直线 y=m 的图象如下,

结合图象知 故答案为:

或 m=﹣1 或 m=﹣1.

点评: 本题考查了函数的零点与方程的解的关系应用,属于基础题. 14. (5 分)已知 f(x)为 R 上增函数,且对任意 x∈R,都有 f[f(x)﹣3 ]=4,则 f(3)=38. 考点: 函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. x t t 分析: 令 f(x)﹣3 =t,得 f(t)=3 +t,结合函数的单调性,得到方程 3 +t=4 只有一个解 1, 从而求出函数的解析式,将 x=3 代入求出即可. 解答: 解:令 f(x)﹣3 =t, x 则 f(x)=3 +t,f(t)=4, t 又 f(t)=3 +t, t 故 3 +t=4, t 显然 t=1 为方程 3 +t=4 一个解, x 又易知函数 y=3 +x 是 R 上的增函数, t 所以方程 3 +t=4 只有一个解 1, x 故 f(x)=3 +1, 从而 f(3)=28, 故答案为:38. 点评: 本题考查了函数的单调性问题,考查了复合函数的性质,是一道中档题. 二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 2 15. (14 分)设集合 A 为方程﹣x ﹣2x+8=0 的解集,集合 B 为不等式 ax﹣1≤0 的解集. (1)当 a=1 时,求 A∩B; (2)若 A?B,求实数 a 的取值范围. 考点: 集合的包含关系判断及应用;一元二次不等式的解法. 专题: 集合. 分析: (1)通过解方程求出集合 A,将 a=1 代入 ax﹣1≤0,求出集合 B,从而求出 A∩B; (2)由题意得不等式组,解出即可. 2 解答: 解: (1)由﹣x ﹣2x+8=0,解得 A={﹣4,2}, a=1 时,B=(﹣∞,1], ∴A∩B={﹣4}; (2)∵A?B, ∴
x x

解得:



点评: 本题考查了集合的包含关系,考查了不等式的解法,是一道基础题.

16. (14 分)已知| |=4,| |=3, (1) ( +2 )?(2 ﹣ )的值; (2)|2 ﹣ |的值.

的夹角 θ 为 60°,求:

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: (1)运用向量的数量积的定义和性质:向量的平方即为模的平方,计算即可得到; (2)运用向量的平方即为模的平方,化简计算即可得到所求值. 解答: 解: (1)由| |=4,| |=3, 则 ∴ (2)由 ∴ . , 的夹角 θ 为 60°, , ; ,

点评: 本题考查向量的数量积的定义和性质,考查向量的平方即为模的平方,考查运算能 力,属于基础题.

17. (15 分)设向量 =(2,sinθ) , =(1,cosθ) ,θ 为锐角. (1)若 ? = ,求 sinθ+cosθ 的值;

(2)若 ∥ ,求

的值.

考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示;平面向量数量积的运算;同角三角函数基本关 系的运用. 专题: 三角函数的求值;平面向量及应用. 分析: (1)根据平面向量的数量积运算,结合同角的三角函数关系,求出 sinθ+cosθ 的值; (2)由向量平行,求出 tanθ 的值,再把正弦、余弦化为正切,求出 的值.

解答: 解: (1)∵向量 =(2,sinθ) , =(1,cosθ) , ∴ ;

又∵ ∴ ∴

, , ;…(2 分)
2

∴(sinθ+cosθ) =1+2sinθcosθ=2; 又∵θ 为锐角,∴ ;…(7 分) (2)∵ ,

∴2?cosθ﹣1?sinθ=0, ∴tanθ=2;…(10 分) ∴ = ,…(15 分)

点评: 本题考查了平面向量的应用问题,也考查了三角函数的求值运算问题,是基础题目. 18. (15 分) 某地农业监测部门统计发现: 该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现, 但生猪养殖成本逐月递增.下表是今年前四个月的统计情况: 月份 1 月份 2 月份 3 月份 4 月份 收购价格(元/斤) 6 7 6 5 养殖成本(元/斤) 3 4 4.6 5 现打算从以下两个函数模型:①y=Asin(ωx+φ)+B, (A>0,ω>0,﹣π<φ<π) , ②y=log2(x+a)+b 中选择适当的函数模型,分别来拟合今年生猪收购价格(元/斤)与相应 月份之间的函数关系、养殖成本(元/斤)与相应月份之间的函数关系. (1)请你选择适当的函数模型,分别求出这两个函数解析式; (2)按照你选定的函数模型,帮助该部门分析一下,今年该地区生猪养殖户在接下来的月份 里有没有可能亏损? 考点: 在实际问题中建立三角函数模型;正弦函数的图象. 专题: 综合题;三角函数的图像与性质. 分析: (1)①选择函数模型 y=Asin(ωx+φ)+B, (A>0,ω>0,﹣π<φ<π)拟合收购 价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系,由题:A=1,B=6,T=4,求出 ω,利用 图象过点(1,6) ,求出 φ,即可求出函数解析式;②选择函数模型 y=log2(x+a)+b 拟合养殖成本(元/斤)与相应月份之间的函数关系,由题:y=log2(x+a) +b 图象过点(1,3) , (2,4) ,求出 a,b,即可求出函数解析式; (2)x 用 5,6,7,8,9,10,11,12 代入,计算可得结论. 解答: 解: (1)①选择函数模型 y=Asin(ωx+φ)+B, (A>0,ω>0,﹣π<φ<π)拟合收 购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系,…(1 分) 由题:A=1,B=6,T=4,∵ 由题图象: ,∴ ,∴ ,…(3 分) 一解为 x=1,∴ ,

图象过点(1,6) ,∴



…(5 分)

②选择函数模型 y=log2(x+a)+b 拟合养殖成本(元/斤)与相应月份之间的函数关系…(6 分) 由题:y=log2(x+a)+b 图象过点(1,3) , (2,4) , 解得: ,∴y=log2x+3,…(10 分) , y=log2x+3=log25+3<log28+3=3+3=6 ,y=log26+3<log28+3=3+3=6<7 ,y=log2x+3=log27+3<log28+3=3+3=6 ,y=log2x+3=log28+3=3+3=6>5 ,y=log2x+3=log29+3>log28+3=3+3=6 ,y=log2x+3=log210+3<log216+3=4+3=7 ,y=log2x+3=log211+3>log28+3=3+3=6 ,y=log2x+3=log212+3>log28+3=3+3=6>5 ,…(8 分)

(2) 由 (1) : 当 x=5 时, 当 x=6 时, 当 x=7 时, 当 x=8 时, 当 x=9 时, 当 x=10 时, 当 x=11 时, 当 x=12 时,

这说明第 8、9、11、12 这四个月收购价格低于养殖成本,生猪养殖户出现亏损.…(14 分) 答:今年该地区生猪养殖户在接下来的月份里有可能亏损.…(15 分) 点评: 本题考查利用数学知识解决实际问题,考查学生分析解决问题的能力,考查学生的 计算能力,属于中档题.

19. (16 分)设 f(x)=

(m>0,n>0) .

(1)当 m=n=1 时,证明:f(x)不是奇函数; (2)设 f(x)是奇函数,求 m 与 n 的值; (3)在(2)的条件下,求不等式 f(f(x) )+f( )<0 的解集.

考点: 奇偶性与单调性的综合;函数奇偶性的判断;函数奇偶性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)举出反例即可得证,比如计算 f(﹣1) ,f(1)即可; (2)运用奇函数的定义:f(﹣x)=﹣f(x) ,化简得到恒等式,解方程,即可求得 m,n;

(3)判断 f(x)是 R 上单调减函数,再由奇函数可得 f(f(x) )+f( )<0,即为 f(x)> ﹣ ,运用指数函数的单调性,即可解得.

解答: 解: (1)当 m=n=1 时,



由于





所以 f(﹣1)≠﹣f(1) , 则 f(x)不是奇函数; (2)f(x)是奇函数时,f(﹣x)=﹣f(x) , 即
2x

对定义域内任意实数 x 成立.
x

化简整理得(2m﹣n)?2 +(2mn﹣4)?2 +(2m﹣n)=0, 这是关于 x 的恒等式,即有 ,

解得





经检验

符合题意.

(3)由(2)可知 易判断 f(x)是 R 上单调减函数; 由 得:



解得,x<log23, 即 f(x)>0 的解集为(﹣∞,log23) . 点评: 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用,考查指数函数和对数函数的单调性, 考查不等式的解法,考查运算能力,属于基础题和易错题. ,其中 x∈[﹣ ].

20. (16 分)已知 a<0,函数 f(x)=acosx+ (1)设 t= +

+



,求 t 的取值范围,并把 f(x)表示为 t 的函数 g(t) ;

(2)求函数 f(x)的最大值(可以用 a 表示) ; (3)若对区间[﹣ , ]内的任意 x1,x2,总有|f(x1)﹣f(x2)|≤1,求实数 a 的取值范围.

考点: 三角函数的最值;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)令 (2) 问题转化为 + =t,换元可得; , 的最大值, 由二次函数分类讨论可得; 成立,分类讨论可得. , ,∴cosx≥0,从而 t =2+2cosx,∴t ∈[2,4]. ,∵ ,∴ , ,对称轴为 当 当 当 ,即 ,即 ,即 时, 时, 时,gmax(t)=g(2)=a+2; 时,f(x)的最大值是 ;当 时,f(x)的最大值 ; ; , 的最大值. .
2 2

(3)问题转化为 gmax(t)﹣gmin(t)≤1 对 解答: 解: (1)∵ 又∵ 又∵t>0,∴

(2)求函数 f(x)的最大值即求

综上可得,当 是 当 ;

时,f(x)的最大值是 a+2; 内的任意 x1,x2 恒成立, 成立

(3)要使得|f(x1)﹣f(x2)|≤1 对区间

只需 fmax(x)﹣fmin(x)≤1.也就是要求 gmax(t)﹣gmin(t)≤1 对 ∵当 且当 ,即 时, 时,gmin(t)=g(2)=a+2;

结合问题(2)需分四种情况讨论: ① ② , 时, 时, 成立,∴ ,即 ;

注意到函数 于是 ③ , 注意到函数 故 ∴ ④ ∴ 时, ; ; 时

在 成立,∴

上单调递减,故 p(a)>p( ; ,即

)=﹣ ,

在 ,于是

上单调递增, 成立,

,即



综上,实数 a 的取值范围是 点评: 本题考查函数的恒成立问题,涉及二次函数的最值和分类讨论以及三角函数的运算, 属中档题.


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