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2012年高考第一轮复习数学:4.1-三角函数的概念、同角三角函数的关系、诱导公式


第四章 三角函数 ●网络体系总览 ●考点目标定位 1.理解任意角的概念、弧度的意义,能正确地进行弧度与角度的换算. 2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义,并会利用与单位圆有关的三角函数线表示正弦、 余弦和正切;了解任意角的余切、正割、余割的定义;掌握同角三角函数的基本关系式;掌 握正弦、余弦的诱导公式. 3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式;掌握二倍角的正弦、余弦、正切

公式;通 过公式的推导,了解它们的内在联系,从而培养逻辑推理能力. 能正确运用三角公式, 进行简单三角函数式的化简、 求值和恒等式证明 (包括引出积化和差、 和差化积、半角公式,但不要求记忆). 4.会用正弦线、正切线画出正弦函数、正切函数的图象,并在此基础上由诱导公式画出余弦 函数的图象;理解周期函数与最小正周期的意义,并通过它们的图象理解正弦、余弦、正切 函数的性质;会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数 y=Asin(ω x+)的简图,理解 A、 ω 、的物理意义. 5.了解反正弦、反余弦、反正切的概念,会用反三角表示角. ●复习方略指南 本部分内容历来为高考命题的热点,其分值约占 20%,一般都是三或四个小题,一个大题. 小题主要考查三角函数的基本概念、图象、性质及“和、差、倍角”公式的运用.大题则着 重考查 y=Asin(ω x+)的图象和性质及三角函数式的恒等变形.试题大都来源于课本中的例 题、习题的变形,一般为容易题或中档题.因此复习时应“立足于课本,着眼于提高”. 本章内容公式多,三角函数作为工具,和其他知识间的联系密切,因此复习中应注意: 1.弄清每个公式成立的条件,公式间的内在联系及公式的变形、逆用等.切不可死记硬背,要 在灵、活、巧上下功夫. 2.本章突出显现以数形结合思想与等价转化思想为主导的倾向.在本章复习中, 应深刻理解数 与形的内在联系,理解众多三角公式的应用及三角函数式的化简、求值、证明等无一不体现 等价转化思想. 3.通过图象的变换理解并掌握利用变换研究图象的思想方法,并从中体会“变换美”. 4.有关三角函数方面的应用题,大都需要用“辅助角公式”asinx+bcosx= sin(x+) (其中角所在象限由 a、b 的符号确定,角的值由 tan=确定)将函数化成 y=Asin(ω x+)+h 的形式,再求其最值或周期等. 4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系、诱导公式 ●知识梳理 1.任意角的三角函数 设α 是一个任意角,α 的终边上任意一点 P(x,y)与原点的距离是 r(r=>0) , 则 sinα =,cosα =,tanα =. 上述三个比值不随点 P 在终边上的位置改变而改变.

2.同角三角函数关系式 sin2α +cos2α =1(平方关系) ; =tanα (商数关系) ; tanα cotα =1(倒数关系). 3.诱导公式 α +2kπ (k∈Z) 、-α 、π ±α 、2π -α 的三角函数值,等于α 的同名函数值,前面加上 一个把α 看成锐角时原函数值的符号. 另外:sin(-α )=cosα ,cos(-α )=sinα . ●点击双基 1.已知 sin=,cos =-,那么α 的终边在 A.第一象限 B.第三或第四象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:sinα =2sincos=-<0, cosα =cos2-sin2=>0, ∴α 终边在第四象限. 答案:D 2.设 cosα =t,则 tan(π -α )等于 A. B.- C.± D.± 解析:tan(π -α )=-tanα =-. ∵cosα =t,又∵sinα =±, ∴tan(π -α )=±. 答案:C 3.α 是第二象限角,P(x, )为其终边上一点且 cosα =x,则 x 的值为 A. B.± C.- D.- 解析:∵cosα ===x, ∴x=0(舍去)或 x=(舍去)或 x=-. 答案:C 4.若=,则α 的取值范围是_______. 解析:∵==, ∴cosα >0.∴α ∈(2kπ -,2kπ +) (k∈Z). 答案:α ∈(2kπ -,2kπ +) (k∈Z) 5.化简=_________. 解析:==|sin4-cos4|=sin4-cos4. 答案:sin4-cos4 ●典例剖析 【例 1】 (1)若θ 是第二象限的角,则的符号是什么? (2)π <α +β <,-π <α -β <-,求 2α -β 的范围. 剖析: (1)确定符号,关键是确定每个因式的符号,而要分析每个因式的符号,则关键看角 所在象限. (2)可以把α +β 与α -β 看成两个变量(整体思想) ,然后把 2α -β 用这两个变量表示 出来即可. 解: (1)∵2kπ +<θ <2kπ +π (k∈Z) , ∴-1<cosθ <0,4kπ +π <2θ <4kπ +2π ,-1<sin2θ <0. ∴sin(cosθ )<0,cos(sin2θ )>0.

∴<0. (2)设 x=α +β ,y=α -β ,2α -β =mx+ny, 则 2α -β =mα +mβ +nα -nβ =(m+n)α +(m-n)β . ∴∴m=,n=. ∴2α -β =x+y. ∵π <x<,-π <y<-, ∴<x<,-<y<-. ∴-π <x+y<. 评述: (1)解此题的常见错误是: π <α +β <π , ① -π <α -β <-, ② ①+②得 0<2α <π , ③ 由②得<β -α <π , ④ ①+④得<2β <,∴<β <. ⑤ ∴-<-β <-. ⑥ ③+⑥得-<2α -β <. (2)本题可用线性规划求解,读者不妨一试. 【例 2】 已知 cosα =,且-<α <0, 求的值. 剖析:从 cosα =中可推知 sinα 、cotα 的值,再用诱导公式即可求之. 解:∵cosα =,且-<α <0, ∴sinα =-,cotα =-. ∴原式===-cotα =. 评述:三角函数式的化简求值是三角函数中的基本问题,也是常考的问题之一. 【例 3】 已知 sinβ =,sin(α +β )=1,求 sin(2α +β )的值. 剖析:由已知 sin(α +β )=1,则α +β =2kπ +,再将 2α +β 改造成 2(α +β )-β 即可求 之. 解:∵sin(α +β )=1,∴α +β =2kπ +. ∴sin(2α +β )=sin[2(α +β )-β ]=sinβ =. 评述: 整体代入是常用的技巧, 这里要分析已知和要求的结论之间的角的关系和三角函数名 称之间的关系. ●闯关训练 夯实基础 1.角α 的终边过点 P(-8m,-6cos60°)且 cosα =-,则 m 的值是 A. B.- C.- D. 解析:P(-8m,-3) ,cosα ==-. ∴m=或 m=-(舍去). 答案:A 2.设α 、β 是第二象限的角,且 sinα <sinβ ,则下列不等式能成立的是 A.cosα <cosβ B.tanα <tanβ C.cotα >cotβ D.secα <secβ 解析:A 与 D 互斥,B 与 C 等价,则只要判断 A 与 D 对错即可.利用单位圆或特殊值法,易 知选 A. 答案:A

3.已知 tan110°=a,则 tan50°=_________. 解析:tan50°=tan(110°-60°)==. 答案: 4.(2004 年北京东城区二模题)已知 sinα +cosα =,那么角α 是第_______象限的角. 解析:两边平方得 1+2sinα cosα =, ∴sinα cosα =-<0. ∴α 是第二或第四象限角. 答案:第二或第四 5.若 sinα ?cosα <0,sinα ?tanα <0, 化简+. 解:由所给条件知α 是第二象限角,则是第一或第三象限角. 原式== = 6.化简(k∈Z). 解:当 k=2n(n∈Z)时, 原式= ==-1. 当 k=2n+1(n∈Z)时, 原式= ==-1. 综上结论,原式=-1. 培养能力 7.(2005 年北京东城区模拟题)已知 tan(+α )=2,求: (1)tanα 的值; (2)sin2α +sin2α +cos2α 的值. (1)解:tan(+α )==2,∴tanα =. (2)解法一:sin2α +sin2α +cos2α =sin2α +sin2α +cos2α -sin2α =2sinαcosα+cos2α == ==. 解法二:sin2α +sin2α +cos2α =sin2α +sin2α +cos2α -sin2α =2sinα cosα +cos2α . ∵tanα =, ∴α 为第一象限或第三象限角. 当α 为第一象限角时,sinα =,cosα =,代入①得 2sinα cosα +cos2α =; 当α 为第三象限角时,sinα =-,cosα =-,代入①得 2sinαcosα+cos2α=. 综上所述 sin2α +sin2α +cos2α =. 8.已知 sinθ =,cosθ =,若θ 是第二象限角,求实数 a 的值. 解:依题意得 解得 a=或 a=1(舍去). 故实数 a=. 9.设α ∈(0, ) ,试证明:sinα <α <tanα . ①

证明:如下图,在平面直角坐标系中作单位圆,设角α 以 x 轴正半轴为始边,终边与单位圆 交于 P 点. ∵S△OPA<S 扇形 OPA<S△OAT, ∴|MP|<α <|AT|. ∴sinα <α <tanα . 探究创新 10.是否存在α 、β ,α ∈(-, ) ,β ∈(0,π )使等式 sin(3π -α )=cos(-β ) ,cos (-α )=-cos(π +β )同时成立?若存在,求出α 、β 的值;若不存在,请说明理由. 解:由条件得 ①2+②2 得 sin2α +3cos2α =2,∴cos2α =. ∵α ∈(-, ) , ∴α =或α =-. 将α =代入②得 cosβ =.又β ∈(0,π ) , ∴β =,代入①可知,符合. 将α =-代入②得β =,代入①可知,不符合. 综上可知α =,β =. ●思悟小结 1.要熟悉任意角的概念、弧度制与角度制的互化、弧度制下的有关公式、任意角的三角函数 概念. 2.在已知一个角的三角函数值,求这个角的其他三角函数值时,要注意题设中角的范围,并 就不同的象限分别求出相应的值. 3.注意公式的变形使用,弦切互化、三角代换、消元是三角变换的重要方法,要尽量减少开 方运算,慎重确定符号. 4.注意“1”的灵活代换,如 1=sin2α +cos2α =sec2α -tan2α =csc2α -cot2α =tanα ?cot α . 5.应用诱导公式,重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断,一般常用“奇变偶不变, 符号看象限”的口诀. ●教师下载中心 教学点睛 1.本课时概念多且杂,要求学生在预习的基础上,先准确叙述回忆,复习中注意“三基”的 落实. 2.利用同角三角函数的关系及诱导公式进行化简、求值、证明时,要细心观察题目的特征, 注意培养学生观察、 分析问题的能力, 并注意做题后的总结, 引导学生总结一般规律.如: “切 割化弦” “1 的巧代” ,sinα +cosα 、sinα cosα 、sinα -cosα 这三个式子间的关系. 拓展题例 【例 1】 求 sin21°+sin22°+?+sin290°. 分析:sin21°+cos21°=sin21°+sin289°=1. 故可倒序相加求和. 解: 设 S=sin20°+sin21°+sin22°+?+sin290°, S=sin290°+sin289°+sin288°+?+sin20°, ∴2S=(sin20°+sin290°)+?+(sin290°+sin20°)=1?91.∴S=45.5. 【例 2】 已知 sinα +cosβ =1,求 y=sin2α +cosβ 的取值范围. 分析:本题易错解为 y=sin2α +1-sinα ,sinα ∈[-1,1] ,然后求 y 的取值范围. 解:y=sin2α -sinα +1=(sinα -)2+.

∵sinα +cosβ =1,∴cosβ =1-sinα . ∴ ∴sinα ∈[0,1]. ∴y∈[,1].


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