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20151215恒成立与存在性问题


方程和不等式中的

恒成立与存在性问题
归纳总结

一. (1) ax ? bx ? c ? 0对x ? R恒成立.
2

(2) ax ? bx ? c ? 0对x ? R恒成立.
2

?a ? b ? 0, ?? ?c ? 0, ?a ? b ? 0, ?? ?c

? 0,

?a ? 0, 或? ?? ? 0. ?a ? 0, 或? ?? ? 0.

例1.不等式ax 2 ? 4 x ? a ? 1 ? 2 x 2对x ? R恒成立 , 则
a ? (2,??) . 实数a的取值范围是__________ 分析 : 即(a ? 2) x 2 ? 4 x ? a ? 1 ? 0对x ? R恒成立 ,
?a ? 2 ? 0, ? ? ?4 ? 0 ?a ? 1 ? 0, ?

?a ? 2 ? 0, 或? 2 ? ? 4 ? 4(a ? 2)( a ? 1) ? 0. ?

二. f ( x) ? ax ? bx ? c ? 0对x ?[m, n]恒成立.
2

方法一: f ( x) min ? 0

方法二: 分离变量法 .

例2.设函数f ( x) ? mx2 ? mx ? 1, 若对x ? [1, 3],

分析一: 即mx ? mx ? m ? 6 ? 0对x ?[1,3]恒成立 , 1 2 3 2 令g ( x) ? mx ? mx ? m ? 6 ? m( x ? ) ? m ? 6, 2 4
?m ? 0, 要使g ( x) ? 0对x ?[1,3]恒成立, 则 ? ?? 6 ? 0,

6 f ( x) ? ?m ? 5恒成立 , 求m的取值范围 . m ? (??, 7 ) 2

?m ? 0, m ? 0, ? 或? 或? ? g ( x) max ? g (3) ? 7m ? 6 ? 0, ? g ( x) max ? g (1) ? m ? 6 ? 0,

二. f ( x) ? ax ? bx ? c ? 0对x ?[m, n]恒成立.
2

方法一: f ( x) min ? 0

方法二: 分离变量法 .

例2.设函数f ( x) ? mx2 ? mx ? 1, 若对x ? [1, 3], f ( x) ? ?m ? 5恒成立 , 求m的取值范围 . 分析二: 即m( x 2 ? x ? 1) ? 6对x ?[1,3]恒成立 , 6 1 2 3 2 ? x ? x ?1 ? (x ? ) ? ? 0 ?m ? 2 x ? x ?1 2 4 1 2 3 2 当x ? [1,3]时, x ? x ? 1 ? ( x ? ) ? ? [1,7] 2 4 6 6 6 ?( 2 ) min ? ?m ? . x ? x ?1 7 7

分离变量!!! 三 .?x ? D, 都有f ( x) ? a恒成立.
1.若f ( x)的值域是 [m, n], 则 f ( x) min ? m ? a. m a. 2.若f ( x)的值域是(m, n), 则

四 .?x ? D, 都有f ( x) ? a恒成立.

?

有 无 等 号 要 单 独 判 断 !!!

? 五 .存在(?) x ? D, 使f ( x) ? a成立.
六 .存在(?) x ? D, 使f ( x) ? a成立.

1.若f ( x)的值域是 [m, n], 则 f ( x) max ? n ? a. a. 2.若f ( x)的值域是(m, n), 则 n

1.若f ( x)的值域是 [m, n], 则 f ( x) max ? n ? a. n a. 2.若f ( x)的值域是(m, n), 则

?

1.若f ( x)的值域是 [m, n], 则 f ( x) min ? m ? a. a. 2.若f ( x)的值域是(m, n), 则 m

?

mx 例3.已知函数f ( x) ? ? x 2 ? x(m ? R)在(2,? ?)上存在 3 单调增区间 , 求实数m的取值范围 .

3

解 : 即存在x ? (2,??), 使f ‘ ( x) ? mx2 ? 2 x ? 1 ? 0, 1? 2x 1 2 ? 存在x ? (2,??), 使m ? ? 2 ? ? P, 2 x x x 1 1 令t ? , 则t ? (0, ), x 2 1 2 2 此时P ? t ? 2t ? (t ? 1) ? 1在t ? (0, )上递减, 2 3 3 ? P ? (? ,0),因此m ? ? . 4 4

七 .存在x ? R, 使ax ? bx ? c ? 0. ? ? ? b ? 4ac 0. 八 .存在x ? D, 使f ( x) ? m成立(或f ( x) ? m有零点).
2
2

?

e 例4.已知函数f ( x) ? ? x ? 2ex ? t - 1, g(x) ? x ? (x ? 0, x 其中e表示自然对数的底数 ).
2

? m ? f ( x)的值域.

2

(1)若g(x) ? m有零点, 求m的取值范围 ,

(2)确定t的取值范围 , 使得g(x) ? f ( x) ? 0有两个相异实根 .

e2 分析 : (1) ? x ? 0,? g ( x) ? x ? ? 2 e 2 ? 2e, x 2 e 当且仅当x ? , 即x ? e时取等号 . x 故g ( x)的值域为 [2e,??), 此即为m的取值范围 .

2 e 例4.已知函数f ( x) ? ? x 2 ? 2ex ? t - 1, g(x) ? x ? (x ? 0, x 零点,根的个 其中e表示自然对数的底数 ).

(1)若g(x) ? m有零点, 求m的取值范围 ,

数用图像

(2)确定t的取值范围 , 使得g(x) ? f ( x) ? 0有两个相异实根 .

e2 分析 : (2)设h( x) ? g ( x) ? h( x) ? x ? ? x 2 ? 2ex ? t ? 1 x e2 x 2 ? e 2 ? 2( x ? e) x 2 h ' ( x) ? 1 ? 2 ? 2 x ? 2e ? 2 x x 2 ( x ? e)( x ? e ? 2 x ) ? x ? (0, e), h( x) ? ? x2 x ? (e,??), h( x) ?

要使g ( x) ? f ( x) ? 0有两个相异实根,则h(e) ? 0即可 解得:t ? 2e ? 1 ? e2

九 .对任意x1 ? D, 存在x2 ? M , 使f ( x1 ) ? g ( x2 )
? f ( x)值域 ? g ( x)值域

十 .存在x1 ? D, 存在x2 ? M , 使f ( x1 ) ? g ( x2 )
例5.已知f ( x) ? x 2 , g ( x) ? a sin(

? f ( x)值域 ? g ( x)值域? ??

6 若存在x1 , x2 ? [0,1]使f ( x1 ) ? g ( x2 )成立, 求a的取值范围 . 例6.已知f ( x) ? x 2 ? 2 x, g ( x) ? ax ? 2(a ? 0), 对任意的x1 ?

x) ? 2a ? 2(a ? 0),

[?1, 2], 都存在x0 ? [?1,2], 使g ( x1 ) ? f ( x0 ), 求a的取值范围 .

分析 : f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? 1?[?1, 3], g ( x) ?[?a ? 2,2a ? 2],

?[?a ? 2,2a ? 2] ? [?1, 3], 1 解得0 ? a ? . 2

?? a ? 2 ? ?1, ?? ?2a ? 2 ? 3.

十一.下设函数f ( x), g ( x)都有最值 1.?x ? D, 都有f ( x) ? g ( x)恒成立.? [ f ( x) ? g ( x)]min ? 0. 2.?x ? D, 使得f ( x) ? g ( x)成立. ? [ f ( x) ? g ( x)]max ? 0.
3.?x1 , x2 ? D, 都有| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? m恒成立 . 4.?x1 , x2 ? D, 使得 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? m成立.

?| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |max ? f ( x) max ? f ( x) min ? m. ?| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |max ? f ( x) max ? f ( x) min ? m.

例7.函数f ( x) ? x 3 ? 3x ? 1, 若对于区间 [?3, 2]上的任意x1 , x2 , 都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? t成立, 则实数t的最小值是________ .

分析 : f ' ( x) ? 3x 2 ? 3 ? 0, ? x ? ?1? [?3,2],

??, ? f (?1) ? 1, f (1) ? ?3为极值; 又f (?3) ? ?19, f (2) ? 1,? f ( x) ?[?19,1]

? f ( x) max ? f ( x) min ? 20 ? t.

十二.下设函数f ( x), g ( x)都有最值

1.?x1 ? D, x2 ? M , 都有f ( x1 ) ? g ( x2 )成立.

? f ( x) min ? g ( x) max

对比 : ?x ? D, 都有f ( x) ? g ( x)恒成立 .

2.?x1 ? D, ?x2 ? M , 使得f ( x1 ) ? g ( x2 )成立.

? [ f ( x) ? g ( x)]min ? 0. ? f ( x) min ? g ( x) min
? f ( x) max ? g ( x) max ? f ( x) max ? g ( x) min

3.?x1 ? D, ?x2 ? M , 都有f ( x1 ) ? g ( x2 )成立. 4.?x1 ? D, ?x2 ? M , 使得f ( x1 ) ? g ( x2 )成立.

?x1 ? D f ( x) min

?x2 ? M g ( x) max ?x2 ? M g ( x) min

f ( x1 ) ? g ( x2 )
?x1 ? D f ( x) max
存在(?) :
高端 大气 有档次,

低调 奢华 有内涵。 骄傲 自信 显霸气, 对任意(?) : 叛逆 个性 非主流。

a ?1 1 2 x x 例8.已知a ? 2, f ( x) ? x ? a ln x ? , g ( x) ? x ? e ? xe x 2 (注 : e是自然对数的底数 ). (1)求f ( x)的单调区间 ; (2)若存在x1 ? [e, e ], 使得对任意的x2 ? [?2,0], f ( x1 ) ? g ( x2 )
2

恒成立, 求实数a的取值范围 . ( x ? 1)[ x ? (a ? 1)] 分析 : (1) f ( x)的定义域为 (0,??), f ' ( x) ? x2 ? a ? 2,? a ? 1 ? 1, 但要讨论a ? 1与0的大小。 当a ? 1时, f ( x)在(0,1) ?, (1,??) ?;
当1 ? a ? 2时, (a ? 1,1) ?, (0, a ? 1)和(1,??) ? e2 ? e ? 1 (2) f ( x) min ? g ( x) min ? ? a ? 2. e ?1


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