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北京2013届高三最新数学文试题分类汇编专题5:数列


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【精品推荐】北京 2013 届高三最新文科试题分类汇编(含 9 区一模及上学期期末试题精 选)专题 5:数列
一、选择题 1 . (2013 届北京市延庆县一模数学文)已知等差数列 1, a, b ,等比数列 3, a ? 2, b ? 5 ,则该等差数列的公差


为 A.3 或 ?3

( B.3 或 ?1 C. 3 D. ?3



2 . (2013 届北京东城区一模数学文科)对于函数 y ? f ( x ) ,部分 x 与 y 的对应关系如下表:
x y

1 7

2 4

3 5

4 8

5 1

6 3

7 5

8 2

9 6

数 列 { x n } 满 足 x 1 ? 2 , 且 对 任 意 n ? N * , 点 ( x n , x n ?1 ) 都 在 函 数 y ? f ( x ) 的 图 象 上 , 则
x 1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? ? ? x 2012 ? x 2013 的值为

( D.9400
S3 a1



A.9394

B.9380

C.9396

3 . (2013 届北京丰台区一模文科)设 S n 为等比数列 ? a n ? 的前 n 项和, 2 a 3 ? a 4 ? 0 ,则





A.2

B.3
{a n }

C.4

D.5 ( )

4 . (2013 届北京海滨一模文)等差数列

中, a 2 ? 3, a 3 ? a 4 ? 9 , 则 a 1 a 6 的值为 C.21 D.27

A. 1 4

B. 1 8

5 . (2013 届北京门头沟区一模文科数学)在等差数列 ? a n ? 中, a 7 ? a 9 ? 1 6 , a 4 ? 1 ,则 a 1 2 的值是 (



A.15

B.30

C.31

D.64

6 . (2013 届北京西城区一模文科) 设等比数列 { a n } 的公比为 q ,前 n 项和为 S n ,且 a1 ? 0 .若 S 2 ? 2 a 3 ,则 q

的取值范围是 A. ( ? 1, 0 ) ? ( 0 , ) B. ( ?
2 1 1 2 , 0 ) ? ( 0 ,1) C. ( ? ? , ? 1) ? ( 1 2 , ? ? ) D. ( ? ? , ? 1 2


) ? (1, ? ? )



7 . (2013 届房山区一模文科数学)已知 { a n } 为等差数列, S n 为其前 n 项和.若 a1 + a 9 = 1 8, a 4 = 7 ,则 S 1 0 =

( A. 5 5 B. 8 1 C. 9 0 D. 1 0 0



8 . (2013 届房山区一模文科数学) 设集合 M 是 R 的子集,如果点 x 0 ? R 满足: ? a ? 0, ? x ? M , 0 ? x ? x 0 ? a ,

称 x 0 为集合 M 的聚点.则下列集合中以 0 为聚点的有:① { ③{ | n ? N *} ;
n 2

n n ?1

| n ? N}

;

② { x | x ? R , x ? 0} ; ( )

④Z B.②④ C.①③ D.①③④

A.②③

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9 . (北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考综合练习 (二) (文) 数学 试题) 如图,矩形
的一边
An B n

An B n C n D n

在 x 轴上,另外两个顶点

Cn,Dn

在函数 f ? x ? ? x ?

1 x

( x ? 0)

的图

象上.若点

Bn

的坐标为

y Dn Cn

? n , 0 ?( n

? 2 , n ? N ? ) ,记矩形 A n B n C n D n 的周长为 a n ,则

a 2 ? a 3 ? ? ? a 10 ?

( A.208 B.212 C.216 D.220



O An

Bn

x

10. (北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题)在数列 { a n } 中 ,
a 1 ? 1, 点 ( a n , a n ? 1 ) 在 直 线 y ? 2 x 上 , a 4 的值为 则

( D.16



A.7

B.8

C.9

11. (北京市东城区 2013 届高三上学期期末考试数学文科试题)已知 { a n } 为等差数列,其前 n 项和为 S n ,若
a 3 ? 6 , S 3 ? 1 2 ,则公差 d 等于

( C. 2 D. 3



A. 1
二、填空题

B.

5 3

12. (2013 届北京市延庆县一模数学文)已知定义在正整数集上的函数 f (n) 满足以下条件:

(1) f ( m ? n ) ? f ( m) ? f ( n ) ? mn ,其中 m, n 为正整数;(2) f (3) ? 6 .则 f (2013) ? ______.
13. (2013 届北京东城区一模数学文科)数列{an}的各项排成如图所示的三角形形状,其中每一行比上一行增

加两项,若 a n ? a ( a ? 0 ) , 则位于第 10 行的第 8 列的项等于___, a 2 0 1 3 在图中位于___.(填第几行的
n

第几列)

14. (2013 届北京大兴区一模文科)已知数列 { a n } , a n + 1 = a n + 2 , a 1 =1 ,数列 镲 睚

禳 1 镲 镲 n an+ 1 a 镲 铪

的前 n 项和为

18 37

,则

n=_______.
15 . 2013 届 北 京 大 兴 区 一 模 文 科 ) 已 知 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 (0, + (
)

上的单调递增函数,且 x ? N *

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时, f ( x ) ? N * ,若 f [ f ( n )] = 3 n ,则 f ( 2 ) = ________; f ( 4 ) + f (5 ) = _________
16 . 2013 届 北 京 西 城 区 一 模 文 科 ) 已 知 数 列 { a n } 的 各 项 均 为 正 整 数 , 其 前 n 项 和 为 S n . 若 (
? an , an是 偶 数 , ? ? ? 2 且 S3 ? 29 , ? 3 a ? 1, a 是 奇 数 , n ? n

a n ?1

则 a 1 ? ______; S 3 n ? ______.
17. (北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题)在等比数列 { a n } 中, a 1 =
1 2 , a 4 = - 4 ,则公

比q=

; a1 + a 2 + a 3 + L + a n =



18. (北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题) 已知 S n 是等差数列 { a n } 的前 n 项和,其中
a 2 ? ? 3, a 8 ? 1 5,



a5 = _ _ _ ;S 6 ? _ _ _ _

19. (北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题)已知数列 1, a , 9 是等比数列,数列 1, b1 , b 2 , 9 是
a b1 ? b 2

等差数列,则

的值为

.

20. (北京市东城区 2013 届高三上学期期末考试数学文科试题)定义映射 f : A ? B ,其中
A ? {( m , n ) m , n ? R } , B ? R ,已知对所有的有序正整数对 ( m , n ) 满足下述条件:

① f ( m ,1) ? 1 ,②若 n ? m , f ( m , n ) ? 0 ;③ f ( m ? 1, n ) ? n [ f ( m , n ) ? f ( m , n ? 1)] 则 f (2, 2) ? ; f (n, 2) ? .

21. (北京市丰台区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题)右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等

差数列,从第三行起,每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,记第 i 行第 j 列的数为 a ij

( i ? j, i, j ? N ) ,则 a 5 3 等于
*

, a m n ? _ _ _ _ ( m ? 3) .

22 . (北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题) 数列 { a n } 是公差不为 0 的等差数列,且

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a 2 ? a 6 ? a 8 ,则
S5 a5 ? _____ .

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? a ? b, ? a ? b ? ?a ? , ?b 23.北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题) ( 任給实数 a , b , 定义
1 ( 2

a ? b ? 0, a ? b ? 0.



函数

f ( x ) ? l n x?

x

f ( 2 )? f

,则

=___ ; 若 { a n } 是 公 比 大 于 0 的 等 比 数 列 , 且 a 5 ? 1 , 则 a1 ? _ _ _ .

)

f ( a1 ) ? f ( a 2 ) ? f ( a 3 ) ? ? f ( a 7 ) ? f ( a 8 ) = a 1 ,

[

24. (北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题)在等差数列 ? a n ? 中,若 a 1 ? 1 ,前 5 项的和
S 5 ? 2 5 ,则 a 2 0 1 3 ?



25. (北京市房山区 2013 届高三上学期期末考试数学文科试题(解析版) 某汽车运输公司,购买了一批豪华 )

大客车投入运营,据市场分析每辆客车运营前 n (n ? N ) 年的总利润 S n (单位:万元)与 n 之间的关
*

系为 S n ? ?(n ? 6) ? 11 .当每辆客车运营的年平均利润最大时, n 的值为
2

.

三、解答题 26. (2013 届北京东城区一模数学文科)设 A 是由 n 个有序实数构成的一个数组,记作: A ? ( a1 , a 2 , ? , a i , ? , a n ) .

其中 a i ( i ? 1, 2 , ? , n ) 称为数组 A 的“元”, i 称为 a i 的下标. 如果数组 S 中的每个“元”都是来自 数 组 A 中 不 同 下 标 的 “ 元 ”, 则 称 S 为 A 的 子 数 组 . 定 义 两 个 数 组

A ? ( a 1 , a 2 , ? , a n ) , B ? ( b1 , b 2 , ? , b n ) 的关系数为 C ( A , B ) ? a 1b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a n b n .

(Ⅰ)若 A ? ( ?

1 1 , ) , B ? ( ? 1,1, 2, 3) ,设 S 是 B 的含有两个“元”的子数组,求 C ( A , S ) 的最大值; 2 2

(Ⅱ)若 A ? (

3 3

,

3 3

,

3 3

) , B ? (0, a , b , c ) ,且 a ? b ? c ? 1 , S 为 B 的含有三个“元”的子数组,求
2 2 2

C ( A , S ) 的最大值.

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北京市东城区 2012-2013 学年度第二学期高三综合练习(一
27. (2013 届北京丰台区一模文科) 设满足以下两个条件的有穷数列 a 1 , a 2 , ? ? ?, a n 为 n(n=2,3,4,,)阶 “期待数列” :
① ②

a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ? 0 ;
a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ? 1 .

(Ⅰ)分别写出一个单调递增的 3 阶和 4 阶“期待数列”; (Ⅱ)若某 2013 阶“期待数列”是等差数列,求该数列的通项公式; (Ⅲ)记 n 阶“期待数列”的前 k 项和为 S k ( k ? 1, 2, 3, ? , n ) ,试证: S k ?
1 2

.

丰台区 2013 年高三年级第二学期统一练习(一
28. (2013 届北京门头沟区一模文科数学)已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , a 1 ? 1 ,满足下列条件
x ? x 2
2

* ① ? n ? N , a n ? 0 ;②点 Pn ( a n , S n ) 在函数 f ( x ) ?

的图象上;

(I)求数列 { a n } 的通项 a n 及前 n 项和 S n ; (II)求证: 0 ? | Pn ? 1 Pn ? 2 | ? | Pn Pn ? 1 |? 1 .

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(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效
29. (2013 届北京大兴区一模文科)已知数列 { a n } 的各项均为正整数,且 a 1 ? a 2 ? ? ? a n ,

设集合 A k ? { x | x ?

? ? a,?
i i i ?1

n

i

? ? 1, 或 ? i ? 0, 或 ? i ? 1} 1 ≤ k ≤ n) ( .

性质 1 若对于 ? x ? A k ,存在唯一一组 ? i ( i ? 1, 2, ? ? ?, k )使 x ? 当 k 取最大值时称数列 { a n } 为 k 阶完备数列. 性质 2 若记 m k ?
( ? a 1 ≤ k ≤ n),且对于任意
i i ?1 k

? ? a 成立,则称数列 { a n } 为完备数列,
i i i ?1

k

x ≤ mk

, x ? Z ,都有 x ? A k 成立,则称数列 { a n } 为完

整数列,当 k 取最大值时称数列 { a n } 为 k 阶完整数列. 性质 3 若数列 { a n } 同时具有性质 1 及性质 2,则称此数列 { a n } 为完美数列,当 k 取最大值时 { a n } 称为
k 阶完美数列;

(Ⅰ)若数列 { a n } 的通项公式为 a n ? 2 n ? 1 ,求集合 A 2 ,并指出 { a n } 分别为几阶完备数列,几阶完整数 列,几阶完美数列; (Ⅱ)若数列 { a n } 的通项公式为 a n ? 10 素的和 S n . (Ⅲ)若数列 { a n } 为 n 阶完美数列,试写出集合 A n ,并求数列 { a n } 通项公式.
n ?1

,求证:数列 { a n } 为 n 阶完备数列,并求出集合 A n 中所有元

2013 年高三统一练
30. (2013 届北京西城区一模文科)已知集合 S n ? { X | X ? ( x1 , x 2 , ? , x n ), x i ? N , i ? 1, 2, ? , n } ( n ? 2 ) .
*

对于 A ? ( a 1 , a 2 , ? , a n ) , B ? ( b1 , b 2 , ? , b n ) ? S n ,定义 A B ? ( b1 ? a 1 , b 2 ? a 2 , ? , b n ? a n ) ;
? ( a 1 , a 2 , ? , a n ) ? ( ? a 1 , ? a 2 , ? , ? a n ) ( ? ? R ) ; A 与 B 之间的距离为 d ( A , B ) ?

??? ?

?|a
i ?1

n

i

? bi | .

(Ⅰ)当 n ? 5 时,设 A ? (1, 2,1, 2, 5) , B ? ( 2, 4, 2,1, 3) ,求 d ( A , B ) ; (Ⅱ)证明:若 A , B , C ? S n ,且 ? ? ? 0 ,使 A B ? ? B C ,则 d ( A , B ) ? d ( B , C ) ? d ( A , C ) ;
??? ? ??? ?

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(Ⅲ)记 I ? (1,1, ? ,1) ? S 2 0 .若 A , B ? S 2 0 ,且 d ( I , A ) ? d ( I , B ) ? 1 3 ,求 d ( A , B ) 的最大值.

北京市西城区 2013 年高三一模试
31. (2013 届房山区一模文科数学) 对于实数 x ,将满足“ 0 ? y ? 1 且 x ? y 为整数”的实数 y 称为实数 x 的
8 7
? 1 ? ? ? an ? ?0

小数部分,用记号 x 表示.例如 1 .2 ? 0 .2 , ? 1 .2 ? 0 .8 ,

?

1 7

. 对于实数 a ,无穷数列 ? a n ? 满足

如下条件: a 1 ? a , a n ? 1

a n ? 0, a n ? 0,

其中 n ? 1,2 ,3,? .

(Ⅰ)若 a ? (Ⅱ)当 a ? (Ⅲ)设 a ?

3 11
1 2

,求数列 ? a n ? 的通项公式; 时,对任意的 n ? N * ,都有 a n ? a ,求符合要求的实数 a 构成的集合 A ;
p

2013

( p 是正整数, p 与 2 0 1 3 互质),对于大于 2 0 1 3 的任意正整数 n ,是否都有 a n ? 0 成

立,证明你的结论.

2 32. (北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考综合练习 (二) (文) 数学 试题) 已知函数 f ? x ? ? x ? x ,

当 x ? [ n , n ? 1]( n ? N ? ) 时, f ? x ? 的值中所有整数值的个数记为 g ? n ? . (Ⅰ)求 g ? 2 ? 的值,并求 g ? n ? 的表达式;
2 n ? 3n
3 2

(Ⅱ)设 a n ? (Ⅲ)设 b n ?

g ?n ?
g ?n ? 2
n

( n ? N ? ) ,求数列 ?( ? 1)

n ?1

a n 的前 n 项和 T n ;

?

, S n ? b1 ? b 2 ? ? ? b n ( n ? N ? ) ,若对任意的 n ? N ? ,都有

S n ? L ( L ? Z ) 成立,求 L 的最小值.

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东城区普通高中示范校高三综合练习(二
33. (北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题)定义:如果数列 { a n } 的任意连续三项均能构

成一个三角形的三边长,则称 { a n } 为“三角形”数列.对于“三角形”数列 { a n } ,如果函数 y ? f ( x ) 使得 b n ? f ( a n ) 仍为一个“三角形”数列,则称 y ? f ( x ) 是数列 { a n } 的“保三角形函数” ( n ? N *) . (Ⅰ)已知 { a n } 是首项为 2 ,公差为 1 的等差数列,若 f ( x ) ? k ( k ? 1) 是数列 { a n } 的
x

“保三角形函数” ,求 k 的取值范围;
S (Ⅱ) 已知数列 { c n } 的首项为 2 0 1 3 , n 是数列 { c n } 的前 n 项和, 且满足 4 S n + 1 ? 3 S n ? 8 0 5 2 , 证明 { c n }

是“三角形”数列; (Ⅲ)若 g ( x ) ? lg x 是(Ⅱ)中数列 { c n } 的“保三角形函数” ,问数列 { c n } 最多有多少项? (解题中可用以下数据 : lg 2 ? 0 .3 0 1 ,
lg3 ? 0 .4 7 7 , lg2 0 1 3 ? 3 .3 0 4 )

34. (北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题)已知每项均是正整数的数列 a 1 , a 2 , a 3 , ? , a 1 0 0 ,

其 中 等 于 i 的 项 有 ki 个

( i ? 1, 2, 3 ? )

, 设 b j ? k1 ? k 2 ? ? ? k j

(j?

1 , ?2 , , 3

)

g ( m ) ? b1 ? b 2 ? ? ? b m ? 1 0 0 m ( m ? 1, 2, 3 ? ).

(Ⅰ)设数列 k 1 ? 4 0, k 2 ? 3 0, k 3 ? 2 0, k 4 ? 1 0, k 5 ? ... ? k 1 0 0 ? 0 , ①求 g (1), g ( 2 ), g ( 3), g ( 4 ) ;②求 a1 ? a 2 ? a 3 ? L ? a 1 0 0 的值;

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(Ⅱ)若 a 1 , a 2 , a 3 , ? , a 100 中最大的项为 50, 比较 g ( m ), g ( m ? 1) 的大小.

35. (北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题) 将正整数 1, 2, 3, 4, ? , n ( n ? 2 ) 任意排成 n 行
2

n 列的数表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数 a , b ( a ? b )的比值

a b

,称这些比值

中的最小值为这个数表的“特征值”. (Ⅰ)当 n ? 2 时,试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值” ; (Ⅱ)若 a ij 表示某个 n 行 n 列数表中第 i 行第 j 列的数( 1 ? i ? n , 1 ? j ? n ) ,且满足
i ? j, ? i ? ( j ? i ? 1) n, a ij ? ? 请分别写出 n ? 3, 4 , 5 时数表的 “特征值” 并由此归纳此类数表的 , “特 ? i ? ( n ? i ? j ? 1) n, i ? j ,

征值” (不必证明) ; (Ⅲ)对于由正整数 1, 2, 3, 4, ? , n 排成的 n 行 n 列的任意数表,若某行(或列)中,存在两个数属于 集合 { n ? n ? 1, n ? n ? 2, ? , n } ,记其“特征值”为 ? ,求证: ? ?
2 2 2

2

n ?1 n

.

36. (北京市东城区 2013 届高三上学期期末考试数学文科试题)已知 { a n } 为等比数列,其前 n 项和为 S n ,且
Sn ? 2 ? a (n ? N ) .
n

*

(Ⅰ)求 a 的值及数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)若 b n ? n a n ,求数列 { b n } 的前 n 项和 T n .

37. (北京市东城区 2013 届高三上学期期末考试数学文科试题) 已知实数组成的数组 ( x1 , x 2 , x 3 , ? , x n ) 满足条

件: ① ? xi ? 0 ;
i ?1 n

② ? xi ? 1 .
i ?1

n

(Ⅰ) 当 n ? 2 时,求 x1 , x 2 的值; (Ⅱ)当 n ? 3 时,求证: 3 x1 ? 2 x 2 ? x 3 ? 1 ;

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(Ⅲ)设 a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ,且 a 1 ? a n ( n ? 2 ) , 求证:

?a
i ?1

n

i

xi ?

1 2

( a1 ? a n ) .

38. (北京市丰台区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题) (本题共 14 分)已知曲线 C : y 2 ? 2 x ( y ? 0 ) ,
A1 ( x1 , y1 ), A 2 ( x 2 , y 2 ), ? ? ?, A n ( x n , y n ), ? ? ?

是曲线 C 上的点,且满足

0 ? x1 ? x 2 ? ? ? ? ? x n ? ? ? ?

,一列点

Bi ( ai , 0 ) ( i?

1 , ?2 , 在 ) ? ? x

轴上,且 ? B i ? 1 Ai B i ( B 0 是坐标原点)是以 A i 为直角顶点的等腰直角三角形.

(Ⅰ)求 A1 、 B 1 的坐标; (Ⅱ)求数列 { y n } 的通项公式; (Ⅲ)令 b i ?
4 ai , ci ?

?

2

?

? yi

,是否存在正整数 N,当 n≥N 时,都有 ? b i ?
i ?1

n

?c
i ?1

n

i

,若存在,求出 N

的最小值;若不存在,说明理由.

39. (北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题) 现有一组互不相同且从小到大排列的数据
a 0 , a1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5
xn ? n 5 , yn ? 1 T







a0 ? 0





T ?

0

a ?

1

a ?

2

a ?

3

a,?

4

a ?

5

?a0

? a1 ? ? ? a n ?

?n

? 0,1, 2 , 3, 4 , 5 ? ,作函数 y ? f

? x ? ,使其图象为逐点依次连接

点 Pn ? x n , y n ? ? n ? 0,1, 2 , 3, 4 , 5 ? 的折线. (Ⅰ)求 f ? 0 ? 和 f ? 1 ? 的值; (Ⅱ)设直线 Pn ? 1 Pn 的斜率为 k n ? n ? 1, 2 , 3, 4 , 5 ? ,判断 k 1 , k 2 , k 3 , k 4 , k 5 的大小关系; (Ⅲ)证明:当 x ? ? 0,1 ? 时, f ? x ? ? x .

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40. (北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学文科试题)如图,设 A 是由 n ? n 个实数组成的 n 行 n 列

的数表,其中 a ij ( i , j ? 1, 2, 3, ? , n ) 表示位于第 i 行第 j 列的实数,且 a ij ? {1, ? 1} .记 S ( n , n ) 为所有 这样的数表构成的集合. 对 于 A ? S( n, n ) , 记 r i ( A ) 为 A 的 第 i 行 各 数 之 积 , c j ( A ) 为 A 的 第 j 列 各 数 之 积 . 令
l ( A) ?

? r ( A) ? ? c
i i ?1 j ?1

n

n

j

( A) .

(Ⅰ)对如下数表 A ? S ( 4, 4 ) ,求 l ( A ) 的值;

(Ⅱ)证明:存在 A ? S ( n , n ) ,使得 l ( A ) ? 2 n ? 4 k ,其中 k ? 0,1, 2, ? , n ; (Ⅲ)给定 n 为奇数,对于所有的 A ? S ( n , n ) ,证明: l ( A ) ? 0 .

41. (北京市房山区 2013 届高三上学期期末考试数学文科试题(解析版) (本小题满分 13 分)已知函数 )
f ( x ) ? x ? ax ? a ( x ? R ) 同 时 满 足 : ① 函 数 f ( x ) 有 且 只 有 一 个 零 点 ; ② 在 定 义 域 内 存 在
2

0 ? x1 ? x 2 ,使得不等式 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 成立.设数列 {a n } 的前 n 项和 S n ? f (n) ( n ? N ).
*

(Ⅰ) 求函数 f (x) 的表达式; (Ⅱ) 求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅲ) 在各项均不为零的数列 {c n } 中,所有满足 ci ? ci ?1 ? 0 的整数的个数称为数列 {c n } 的变号数. 令

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cn ? 1 ?

a an

,求数列 {c n } 的变号数.

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【精品推荐】北京 2013 届高三最新文科试题分类汇编(含 9 区一模及上学期期末试题精选)专题 5:数列 参考答案 一、选择题 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

C A B A A B; D A C

10. 【答案】B
( 解:因为点 a n , a n ? 1 ) 在 直 线 y ? 2 x 上 , 生意 a n ? 1 ? 2 a n ,即数列 { a n } 是公比为 2 的等比数列,所以

a 4 ? a 1 q ? 2 ? 8 ,选 B.
3 3

11. 【答案】C

解 : 因 为 a3 ? 6 , S 3 ? 12 , 所 以 S 3 ? 12 ?
a 3 ? 6 ? a 1 ? 2 d ? 2 ? 2 d ,解得 d ? 2 ,选 C.

3( a 1 ? a 3 ) 2

?

3( a 1 ? 6 ) 2

, 解 得 a1 ? 2 , 所 使 用

二、填空题 12. 13. a
2027091
89

第 4 5 行的第 7 7 列

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分.
14.
18

15.

3,1 5

16. 5 , 7 n ? 2 2 . 17. 【答案】 - 2 ; 2 n - 1 1 2

解:在等比数列中 a 4 = a 1 q 3 =

1 2

q = - 4

3

q = - 8

3

q ? ?2

,所以

,即

。所以

a n ? a1 q

n ?1

?

1 2

(?2)

n ?1



所 以

an ?

1 2

(?2)

n ?1

? 2

n?2

, 即 数 列
1 (1 - 2 ) = 2 1- 2
n- 1 n

an

是 一 个 公 比 为 2 的 等 比 数 列 , 所 以

a1 + a 2 + a 3 + L + a n

= 2

-

1 2



18. 【答案】6;9

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解 : 由

a 2 ? ? 3, a 8 ? 1 5,
6?5 2 ?3? 9。



a 1 ? ? 6, d ? 3

。 所 以

a 5 ? a1 ? 4 d ? ? 6 ? 3 ? 4 ? 6



S 6 ? 6 ? (?6) ?
3 10

19. 【答案】

解 : 因 为 1 ,a , 9 等 比 数 列 , 所 以 a ? 1 ? 9 ? 9 , 所 以 a ? ? 3 。 1, b1 , b 2 , 9 是 等 差 数 列 是
2

b1 ? b 2 ? 1 ? 9 ? 1 0 。所以

a b1 ? b 2

?

3 10



20. 【答案】 2

2 ?2
n















f(

2 ?,

2 f

) ?

(?1 f
3

1

,

? f ) 2

2? [ f

(

1 ?。 2 ? ) ,

?

f (3, 2 ) ? f ( 2 ? 1, 2 ) ? 2[ f ( 2, 2 ) ? f ( 2,1)] ? 2 ? ( 2 ? 1) ? 6 ? 2 ? 2 f ( 4, 2 ) ? f (3 ? 1, 2 ) ? 2[ f (3, 2 ) ? f (3,1)] ? 2 ? (6 ? 1) ? 1 4 ? 2 ? 2
4 5

, ,

f (5, 2 ) ? f ( 4 ? 1, 2 ) ? 2[ f ( 4, 2 ) ? f ( 4,1)] ? 2 ? (1 4 ? 1) ? 3 0 ? 2 ? 2 , 所 以 根 据 归 纳 推 理 可 知 f (n, 2) ? 2 ? 2 。
n

21. 【答案】

5 16

,

m 2
n ?1

解:由题意可知第一列首项为 以 a 51 ?
1 4
q? 5 8

1 4

,公差 d ?
1 4 ? 3? 1 8 ?

1 2 5 8

?

1 4

?

1 4

,第二列的首项为

1 4

,公差 d ?
a 52 a 51

3 8

?

1 4

?

1 8

,所

? 4?

1 4
? 1 2

?

5 4

, a 52 ?

,所以第 5 行的公比为 q ?

?

1 2

,所以

a5 3? a

5 2

1 1 m 5 1 1 m ? 。 由题意知 a m 1 ? ? ( m ? 1) ? ? ,a m 2 ? ? ( m ? 2 ) ? ? , 所以第 m 4 8 8 1 6 4 4 4

行的公比为 q ?

am 2 a m1

?

1 2

n ?1 ? ,所以 a m n ? a m 1 q

m

1 n ?1 m ?( ) ? n ?1 , m ? 3 . 4 2 2

22. 【答案】 3

解 : 在 等 差 数 列 中 , 由 a 2 ? a 6?
5 a1 ? ? 5? 4 d ? 5 a1 ? 1 0 d a ?1 4 d

a8

得 2 a1 ? 6 d ? a1 ? 7 d , 即 a1 ? d ? 0 , 所 以

S5 a5

2 a 1 4d ?

?

15 5

?3。

23. 【答案】 0 ; e

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ln 1 2 1 2 ? ? 2 ln 2

? 解:因为 2 ln 2

0 所 以 f ( 2 )? ,

2 l n。 因 为 2

1 2

ln

1 2

? 0 ,所以 f ( ) ?
2

1

,所以

f(2) f ?

1 ( ? ) 2

2 l? 2 n

x 2?l n 。若0 ? 1 2
1 x 1 x ? ? x ln x

,则有 1 ? ln 1 ? 0 ,所以 f ( x ) ? x ln x 。此时 0 ?

1 x

? 1 ,即

1 x

ln

1 x

? 0 ,所以 f ( ) ?
x

1

ln

,所以 f ( x ) ? f ( ) ? x ln x ? x ln x ? 0 。而 f (1) ? 0 。在等比数
x

1

2 列 中 因 为 a5 ? 1 , 所 以 a5 ? a 2 a8 ? a3 a7 ? a 4 a6 ? 1 , 即 a 6 ?

1 a4

, a7 ?

1 a3

, a8 ?

1 a2

,所以

f ( a 1 ) ? f ( a 2 ) ? f ( a 3 ) ? ? f ( a 7 ) ? f ( a 8 ) = f ( a 1 ) ? f (1) ? f ( a 1 ) , 所 以 f ( a 1 ) ? a 1 , 若 a 1 ? 1 , 则

f ( a )? 1

a l na ? 1 1

a ,即 ln a 1 ? 1 ,解得 a 1 ? e 。若 0 ? a 1 ? 1 ,则 f ( a 1 ) ? 1

ln a 1 a1

? a 1 ,即 ln a 1 ? a 1 ,
2

因为 0 ? a 1 ? 1 ,所以 ln a 1 ? 0 ,所以方程 ln a1 ? a1 无解。综上可知 a 1 ? e 。
2

24. 【答案】 4 0 2 5

解 : 在 等 差 数 列 中 , S 5 ? 2 5 ? 5 a1 ?
a 2 0 1 3 ? a1 ? 2 0 1 2 d ? 1 ? 2 0 1 2 ? 2 ? 4 0 2 5 。
Sn n ? (n ? 6) ? 11
2

5? 4 2

d ? 5 ? 10d

, 解 得 d ?2

, 所 以

25.答案 5 由题意知年平均利润

?

?

? n ? 12n ? 25
2

? 12 ? (n ?

25 n

)

n
25

n
n ?5

,因为
25 n

n?

25 n

? 2

n?

25 n

? 2

25 ? 10

,当且仅当

n ?

n ,即

时取等号。所以

? (n ?

) ? ?10

,所

Sn

以 n

? 12 ? (n ?

25 n

) ? 12 ? 10 ? 2



三、解答题 26. (共 13 分)

解:(Ⅰ)依据题意,当 S ? ( ? 1, 3 ) 时, C ( A , S ) 取得最大值为 2. (Ⅱ)①当 0 是 S 中的“元”时,由于 A 的三个“元”都相等,及 B 中 a , b , c 三个“元”的对称性,可以
3 3

只计算 C ( A , S ) ?

( a ? b ) 的最大值,其中 a ? b ? c ? 1 .
2 2 2

由 (a ? b)2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? 2(a 2 ? b 2 ) ? 2(a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 2 ,

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得 ? 2 ?a?b?

2.
2 2

当且仅当 c ? 0 ,且 a ? b ?
3 3

时, a ? b 达到最大值 2 ,
6 3 3 3

于是 C ( A , S ) ?

(a ? b) ?

.

②当 0 不是 S 中的“元”时,计算 C ( A , S ) ?

( a ? b ? c ) 的最大值,

由于 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1 , 所以 ( a ? b ? c ) ? a ? b ? c ? 2 ab ? 2 ac ? 2 bc .
2 2 2 2

? 3( a ? b ? c ) ? 3 ,
2 2 2

当且仅当 a ? b ? c 时,等号成立. 即当 a ? b ? c ?
3 3

时, a ? b ? c 取得最大值 3 ,此时 C ( A , S ) ?

3 3

(a ? b ? c) ? 1 .

综上所述, C ( A , S ) 的最大值为 1.

27.设满足以下两个条件的有穷数列 a 1 , a 2 , ? ? ?, a n 为 n(n=2,3,4,,)阶“期待数列”:

③ ④

a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ? 0 ;
a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ? 1 .

(Ⅰ)分别写出一个单调递增的 3 阶和 4 阶“期待数列”; (Ⅱ)若某个 2013 阶“期待数列”是等差数列,求该数列的通项公式; (Ⅲ)记 n 阶“期待数列”的前 k 项和为 S k ( k ? 1, 2, 3, ? , n ) ,试证: S k ?
1 2

.

解:(Ⅰ)数列 ?

1 2

, 0,

1 2

为三阶期待数列

数列 ?

3 8

,?

1 1 3 , , 为四阶期待数列, (其它答案酌情给分) 8 8 8
2 0 1 3( a 1 ? a 2 0 1 3 ) 2

(Ⅱ)设该 2013 阶“期待数列”的公差为 d , 因为 a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a 2 0 1 3 ? 0 ,?
? 0 , ? a1 ? a 2 0 1 3 ? 0 ,

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即 a 1 0 0 7 ? 0 , ? a1 0 0 8 ? d , 当 d=0 时,与期待数列的条件①②矛盾, 当 d>0 时,据期待数列的条件①②可得 a 1 0 0 8 ? a 1 0 0 9 ? ? ? a 2 0 1 3 ?
? 1006d ?

1 2

,

1006 ? 1005 2

d ?

1 2

,即 d ?

1 1006 ? 1007

,
n ? 1007 1006 ? 1007 . ? n ? N *且 n ? 2 0 1 3 ? ,

? 该数列的通项公式为 a n ? a 1 0 0 7 ? ( n ? 1 0 0 7 ) d ?

当 d<0 时,同理可得 a n ?

? n ? 1007 1006 ? 1007

. ? n ? N *且 n ? 2 0 1 3 ?

(Ⅲ)当 k=n 时,显然 S n ? 0 ? 当 k<n 时,根据条件①得

1 2

成立;

S k ? a1 ? a 2 ? ? ? a k ? ? ( a k ? 1 ? a k ? 2 ? ? ? ? ? a n ) ,
即 S k ? a 1 ? a 2 ? ? ? a k ? a k ?1 ? a k ? 2 ? ? ? a n
? 2 S k ? a1 ? a 2 ? ? ? a k ? a k ?1 ? a k ? 2 ? ? ? a n ? a 1 ? a 2 ? ? ? a k ? a k ? 1 ? a k ? 2 ? ? ? a n ? 1,

,

Sk ?

1 2

( k ? 1, 2 , 3, ? , n ).

28.解:(I)由题意

Sn ?

an ? an 2
an ? an 2
2

2

当n ? 2 时

a n ? S n ? S n ?1 ?

?

a n ?1 ? a n ?1 2

2

整理,得

( a n ? a n ? 1 )( a n ? a n ? 1 ? 1 ) ? 0

* 又 ? n ? N , a n ? 0 ,所以 a n ? a n ? 1 ? 0 或 a n ? a n ? 1 ? 1 ? 0

a n ? a n ? 1 ? 0 时, a 1 ? 1 ,

an a n ?1

? ?1 ,

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a n ? ( ? 1)

n ?1

,Sn ?

1 ? ( ? 1) 2

n

a n ? a n ? 1 ? 1 ? 0 时, a 1 ? 1 , a n ? a n ? 1 ? 1 ,
n
2



an ? n ,Sn ?

? n 2

(II)证明: a n ? a n ? 1 ? 0 时, Pn (( ? 1 )
| Pn ? 1 Pn ? 2 | ? | Pn Pn ? 1 | ?

n ?1

,

1 ? ( ? 1) 2

n

)

5 ,所以 | Pn ? 1 Pn ? 2 | ? | Pn Pn ? 1 |? 0
n
2

a n ? a n ? 1 ? 1 ? 0 时, Pn ( n ,

? n 2

)

| Pn ? 1 Pn ? 2 | ?

1 ? (n ? 2)

2

, | Pn P n ? 1 | ?
1 ? (n ? 2)
2

1 ? ( n ? 1)

2

| Pn ? 1 Pn ? 2 | ? | Pn Pn ? 1 | ?

?

1 ? ( n ? 1)

2

?

1 ? ( n ? 2 ) ? 1 ? ( n ? 1) 1 ? (n ? 2)
2

2

2

?

1 ? ( n ? 1)

2

?

2n ? 3 1 ? (n ? 2)
2

?

1 ? ( n ? 1)
2

2

因为 所以

1 ? (n ? 2)

? n ? 2 , 1 ? ( n ? 1)

2

? n ?1

0 ?

2n ? 3 1 ? (n ? 2)
2

?

1 ? ( n ? 1)

2

?1

综上

0 ? | Pn ? 1 Pn ? 2 | ? | Pn Pn ? 1 | ? 1

注:不同解法请教师参照评标酌情给分.

29.解:(Ⅰ) A 2 ? { ? 4 , ? 3 , ? 2 , ? 1, 0 ,1, 2 , 3 , 4 } ;
{ a n } 为 2 阶完备数列, n 阶完整数列,2 阶完美数列;
n

(Ⅱ)若对于 ? x ? A n ,假设存在 2 组 ? i 及 ? i ( i ? 1, 2 ? , n )使 x ?

?
i ?1

? i a i 成立,则有

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n ?1

? 1 10

0

? ? 2 10
0

2

? ? ? ? n 10

n ?1

? ? 1 10

0

? ? 2 10

2

? ? ? ? n 10
n ?1

,即 中
? i , ? i ? { ? 1, 0 ,1}

( ? 1 ? ? 1 )10

? ( ? 2 ? ? 2 )10 ? ? ? ( ? n ? ? n )10
1

? 0

,



,





?1 ? ? 1 , ? 2 ? ? 2 ? ? n ? ? n ,

所以仅存在唯一一组 ? i ( i ? 1, 2 ? , n )使 x ? 即数列 { a n } 为 n 阶完备数列;
S n ? 0 , 对 ? x ? An , x ?

?
i ?1

n

? i a i 成立,

?
i ?1

n

? i a i , 则 ? x ? ? ? ? i a i ? ? ( ? ? i ) a i , 因 为 ? i ? {? 1, 0 ,1} , 则
i ?1 i ?1

n

n

? ? i ? {? 1, 0 ,1} ,所以 ? x ? A n ,即 S n ? 0

(Ⅲ)若存在 n 阶完美数列,则由性质 1 易知 A n 中必有 3 个元素,由(Ⅱ)知 A n 中元素成对出现(互为相 反数),且 0 ? A n ,又 { a n } 具有性质 2,则 A n 中 3 个元素必为
n

n

An ? { ?

3 ?1
n

,?

3 ?3
n

, ? ? 1, 0 ,1, ?

2

2

3 ? 3 3 ?1 , }. 2 2
n n

an ? 3

n ?1

30. (Ⅰ)解:当 n ? 5 时,由 d ( A , B ) ?

?|a
i ?1

5

i

? bi | ,

得 d ( A, B ) ? | 1 ? 2 | ? | 2 ? 4 | ? | 1 ? 2 | ? | 2 ? 1 | ? | 5 ? 3 | ? 7 , 所以 d ( A , B ) ? 7 (Ⅱ)证明:设 A ? ( a 1 , a 2 , ? , a n ) , B ? ( b1 , b 2 , ? , b n ) , C ? ( c1 , c 2 , ? , c n ) . 因为 ? ? ? 0 ,使 A B ? ? B C , 所以 ? ? ? 0 ,使得 ( b1 ? a1 , b 2 ? a 2 , ? , b n ? a n ) ? ? (( c1 ? b1 , c 2 ? b 2 , ? , c n ? b n ) , 所以 ? ? ? 0 ,使得 bi ? a i ? ? ( c i ? b i ) ,其中 i ? 1, 2, ? , n . 所以 bi ? a i 与 c i ? b i ( i ? 1, 2 , ? , n ) 同为非负数或同为负数
??? ? ??? ?

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所以 d ( A , B ) ? d ( B , C ) ?

?
i ?1

n

| a i ? bi | ? ? | bi ? c i |
i ?1

n

?

? (| b
i ?1

n

i

? a i | ? | c i ? b i |)

?

? |c
i ?1

n

i

? ai | ? d ( A, C )

(Ⅲ)解法一: d ( A , B ) ?

? |b
i ?1

20

i

? ai | .

设 b i ? a i ( i ? 1, 2 , ? , 2 0 ) 中 有 m ( m ? 2 0 ) 项 为 非 负 数 , 2 0 ? m 项 为 负 数 . 不 妨 设 i ? 1, 2, ? , m 时
bi ? a i ? 0 ; i ? m ? 1, m ? 2, ? , 2 0 时, bi ? a i ? 0 .

所以 d ( A , B ) ?

? |b
i ?1

20

i

? ai |

? [( b1 ? b 2 ? ? ? b m ) ? ( a 1 ? a 2 ? ? ? a m )] ? [( a m ? 1 ? a m ? 2 ? ? ? a 2 0 ) ? ( b m ? 1 ? b m ? 2 ? ? ? b 2 0 )]

因为 d ( I , A ) ? d ( I , B ) ? 1 3 ,

所以

?
i ?1

20

( a i ? 1) ?

?
i ?1

20

( b i ? 1) ,

整理得

?
i ?1

20

ai ?

?b
i ?1

20

i

.

所以 d ( A , B ) ?

? |b
i ?1

20

i

? a i | ? 2[ b1 ? b 2 ? ? ? b m ? ( a 1 ? a 2 ? ? ? a m )]

因为 b1 ? b 2 ? ? ? b m ? ( b1 ? b 2 ? ? ? b 2 0 ) ? ( b m ? 1 ? b m ? 2 ? ? ? b 2 0 )
? (1 3 ? 2 0 ) ? ( 2 0 ? m ) ? 1 ? 1 3 ? m ;

又 a1 ? a 2 ? ? ? a m ? m ? 1 ? m , 所以 d ( A , B ) ? 2[ b1 ? b 2 ? ? ? b m ? ( a 1 ? a 2 ? ? ? a m )]
? 2[(1 3 ? m ) ? m ] ? 2 6 .

即 d ( A, B ) ? 26 对 于
A ? (1,1, ? ,1,1 4 )

,

B ? (1 4,1,1, ? ,1)

,



A

,

B ? S 20

,



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d ( I , A) ? d ( I , B ) ? 13 , d ( A, B ) ? 26 .

综上, d ( A , B ) 的最大值为 2 6 解法二:首先证明如下引理:设 x , y ? R ,则有 | x ? y | ? | x | ? | y | . 证明:因为 ? | x | ? x ? | x | , ? | y | ? y ? | y | , 所以 ? (| x | ? | y |) ? x ? y ? | x | ? | y | , 即 | x ? y |? | x | ? | y |.

所以 d ( A , B ) ?

?
i ?1

20

| bi ? a i | ?

? | (b
i ?1

20

i

? 1) ? (1 ? a i ) |

?

? (| b
i ?1

20

i

? 1 | ? | 1 ? ai | )

?

?|a
i ?1

20

i

?1|?

? |b
i ?1

20

i

? 1 | ? 26

上式等号成立的条件为 a i ? 1 ,或 b i ? 1 ,所以 d ( A , B ) ? 2 6 对 于
A ? (1,1, ? ,1,1 4 )

,

B ? (1 4,1,1, ? ,1)

,



A

,

B ? S 20

,



d ( I , A) ? d ( I , B ) ? 13 , d ( A, B ) ? 26 .

综上, d ( A , B ) 的最大值为 2 6

31. (Ⅰ) a 1 ?

3 11

?

3 11

, a2 ?

1 a1

?

11 3

?

2 3

, a3 ?

1 a2

?

3 2

?

1 2

a4 ?

1 a3

? 2 ? 0

,
1 2 1 2
?1? a

所以 a 1 ?

3 11

, a2 ?

2 3

, a3 ?

, an ? 0 (n ? 4)

(Ⅱ)? a1 ? a ? a , a ? 则 a2 ?
1 a1 ? 1 a ? 1 a



1 2

? a ?1

,从而 1 ?

1 a

? 2

所以 a 2 ? a ? 1 ? 0

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解得: a ?

?1 ? 2

5

,

(a ?

?1 ? 2

5

?1 ? ? ? ,1 ? ?2 ?

,舍去)

? ? 所以集合 A a ?

?1 ? 2

5

?

(Ⅲ)结论成立 易知 a 是有理数,所以对一切正整数 n , a n 为 0 或正有理数,
an ? pn qn


a1 ?

(
p

pn

是非负整数,
? p1 q1

qn

是正整数,且 p n , q n 互质)

由 若

2013

,可得 0 ? p1 ? 2 0 1 3 ;

pn ? 0

0 ? ? ? pn ? , ? ,设 q n ? ? p n ? ? ( , 是非负整数)

qn

?? ?

?
pn



pn
1 an

an ?

pn qn

1

?

qn pn

,而由
qn pn ?



an

a n ?1 ?

?

?
pn

,故

p n ?1 ? ?

,

q n ?1 ? p n

,可得

0 ? p n ?1 ? p n

若 若

pn ? 0



p n ?1 ? 0

, 均不为 0,则这 2 0 1 3 个正整数
p n ( n ? 1, 2, 3, ? , 2 0 1 3)

a 1 , a 2 , a 3 , ? ? ?, a 2 0 1 3

互不相同且都小于 2 0 1 3 ,

但小于 2 0 1 3 的正整数共有 2 0 1 2 个,矛盾. 故
a 1 , a 2 , a 3 , ? ? ?, a 2 0 1 3

a ? 0 中至少有一个为 0,即存在 m (1 ? m ? 2 0 1 3) ,使得 m .

从而数列

? a n ? 中 a m 以及它之后的项均为 0,
an ? 0

所以对于大于 2 0 1 3 的自然数 n ,都有
32. (共 14 分)

解:(Ⅰ)当 n ? 2 时, f ( x ) 在 [ 2 , 3 ] 上递增, 所以, 6 ? f ( x ) ? 12 , g ( 2 ) ? 7 因为 f ( x ) 在 [ n , n ? 1]( n ? N ? ) 上单调递增, 所以, n ? n ? f ( x ) ? ( n ? 1) ? ( n ? 1) ? n ? 3 n ? 2 ,
2 2 2

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从而 g ( n ) ? ( n ? 3 n ? 2 ) ? ( n ? n ) ? 1 ? 2 n ? 3
2 2

(Ⅱ)因为 a n ?

2 n ? 3n
3

2

?

2 n ? 3n
3

2

g (n)

2n ? 3

? n ,
2

所以 T n ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? ? ? ( ? 1)
? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ( ? 1)
2 2 2 2 n ?1 2

n ?1

an

n .--------------------2 2 2 2

当 n 是偶数时, T n ? (1 ? 2 ) ? ( 3 ? 4 ) ? ? ? [( n ? 1) ? n ]
2 2

? ? [1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ( n ? 1) ? n ] ? ?
2 2 2 2

n ( n ? 1) 2

;
2 2 2

当 n 是奇数时, T n ? (1 ? 2 ) ? ( 3 ? 4 ) ? ? ? [( n ? 2 ) ? ( n ? 1) ] ? n
?
n ( n ? 1) 2 g (n) 2 7 2 5 2
2 2 n

(Ⅲ) b n ?
Sn ? 1 2 5 2 ?

?

2n ? 3 2
n

,
? 2n ? 3 2 2 1 2 ?
n ?1 n

?? ?

2n ? 1 2 2
n n ?1

,

Sn ?

?? ? 1 2

2n ? 1 5 2
n

?

2n ? 3 1 2
2

,
1 2
n ?1

错位相减得

Sn ?

?(

?? ?

)?

2n ? 3 2
n ?1

,

所以, S n ? 7 ? 因为 S n ? 7 ?

2n ? 7 2 2
n

2n ? 7

? 7,

S ? L(L ? Z) 若对任意的 n ? N ? ,都有 n 成立,则 L ? 7 ,

所以, L 的最小值为 7

33. (Ⅰ)显然 a n ? n ? 1, a n ? a n ? 1 ? a n ? 2 对任意正整数都成立,即 { a n } 是三角形数列.

因为 k ? 1 ,显然有 f ( a n ) ? f ( a n ? 1 ) ? f ( a n ? 2 ) ? ? , 由 f ( a n ) ? f ( a n ?1 ) ? f ( a n ? 2 ) 得 k ? k
n n ?1

? k

n?2

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解得

1- 5 2

<k ?

1? 2

5

.

所以当 k ? (1,

1? 2

5

) 时,

f ( x ) ? k 是数列 { a n } 的保三角形函数.
x

???????3 分

(Ⅱ)由 4 s n ? 1 ? 3 s n ? 8 0 5 2 ,得 4 s n ? 3 s n ? 1 ? 8 0 5 2 ,
?3? ? 3 c n ? 0 ,所以 c n ? 2 0 1 3 ? ? ?4?
n ?1

两式相减得 4 c n ? 1

??5 分

经检验,此通项公式满足 4 s n ? 1 ? 3 s n ? 8 0 5 2 . 显然 c n ? c n ? 1 ? c n ? 2 ,
3 因为 c n ? 1 ? c n ? 2 ? 2 0 1( ) + 2 0 1 3 ( )
n

3

3

n ?1

?

21 16

? 2 0 1( 3

3 4



n ?1

4

4

? cn ,

所以 { c n } 是三角形数列.
?3? (Ⅲ) g ( c n ) ? lg [ 2 0 1 3 ? ? ?4?
n ?1

???????8 分
?3? ]= lg 2 0 1 3+ (n -1 ) lg ? ? , ?4?

所以 g ( c n)是单调递减函数. 由题意知, lg 2 0 1 3+ (n -1 ) lg ?
( lg 由①得 n -1 ) 3 4

?3? ? > 0 ①且 lg c n ? 1 ? lg c n ? lg c n ? 2 ②, ?4?

> - lg 2 0 1 3 ,解得 n ? 2 7.4 ,

由②得 n lg

3 4

> - lg 2 0 1 3 ,解得 n ? 2 6 .4 .

即数列 { b n } 最多有 26 项. 【注:若有其它解法,请酌情给分. 】
34.解: (I)① 因为数列
k 1 ? 4 0, k 2 ? 3 0, k 3 ? 2 0, k 4 ? 1 0

?13 分



所以

b1 ? 4 0, b 2 ? 7 0, b 3 ? 9 0, b 4 ? 1 0 0

, ………8 分 ……….10 分

所以 g (1) ? ? 6 0, g ( 2 ) ? ? 9 0, g ( 3) ? ? 1 0 0, g ( 4 ) ? ? 1 0 0 . ②
a1 ? a 2 ? a 3 ? L ? a1 0 0 ? 4 0 ? 1 ? 3 0 ? 2 ? 2 0 ? 3 ? 1 0 ? 4 ? 2 0 0

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(II) 一方面, g ( m ? 1) ? g ( m ) ? b m ? 1 ? 1 0 0 , 根据 b j 的含义知 b m ? 1 ? 1 0 0 , 故 g ( m ? 1) ? g ( m ) ? 0 ,即 g ( m ) ? g ( m ? 1) , 当且仅当 b m ? 1 ? 1 0 0 时取等号. 因为 a 1 , a 2 , a 3 , ? , a 1 0 0 中最大的项为 50,所以当 m ? 5 0 时必有 b m ? 1 0 0 , 所以 g (1) ? g ( 2 ) ? ? ? g ( 4 9 ) ? g (5 0 ) ? g (5 1) ? ? ? 即当 1 ? m ? 4 9 时,有 g ( m ) ? g ( m ? 1) ; 当 m ? 4 9 时,有 g ( m ) ? g ( m ? 1) . 14 分
35.证明: (Ⅰ)显然,交换任何两行或两列,特征值不变.

可设 1 在第一行第一列,考虑与 1 同行或同列的两个数只有三种可能, 2 , 3 或 2, 4 或 3, 4 . 得到数表的不同特征值是
3 2

或 .
3
7 5 3

4

?????????????????3 分
1 8 6 4 2 9

(Ⅱ)当 n ? 3 时,数表为

此时,数表的“特征值”为 .
3

4

????????????????????4 分
13 10 7 4 1 14 11 8 5 2 15 12 9 6 3 16

当 n ? 4 时,数表为

此时,数表的“特征值”为

5 4

.

?????????????????????5 分
21 17 13 9 5 1 22 18 14 10 6 2 23 19 15 11 7 3 24 20 16 12 8 4 25

当 n ? 5 时,数表为

此时,数表的“特征值”为 猜想“特征值”为
n ?1 n

6 5

.

??????????????????????6 分

.

?????????????????????????7 分
a b n
2 2

(Ⅲ)设 a , b ( a ? b )为该行(或列)中最大的两个数,则 ? ?

?

n ? n ?1



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因为

n
2

2

n ? n ?1

?

n ?1 n

?

n ? ( n ? 1)
3 3

n ( n ? n ? 1)
2

? ?

1 n ( n ? n ? 1)
2

? 0,

所以

n
2

2

n ? n ?1

?

n ?1 n

,从而 ? ?

n ?1 n

. ????????????????13 分

36.解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, S 1 ? a 1 ? 2 ? a ? 0 .??????????????1 分

当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ? 1 ? 2 因为 { a n } 是等比数列, 所以 a1 ? 2 ? a ? 2
1?1

n ?1

.?????????????????3 分

? 1 ,即 a 1 ? 1 . a ? ? 1 .?????????????5 分
n ?1

所以数列 { a n } 的通项公式为 a n ? 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 b n ? n a n ? n ? 2
2 3

( n ? N ) .?????????????6 分
*

n ?1

,设数列 { b n } 的前 n 项和为 T n .
n ?1

则 Tn ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 4 ? 2 ? ? ? n ? 2
2Tn ?
2 3

.
n ?1


? n?2 .
n

1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? ( n ? 1) ? 2
2 n ?1



①-②得 ? T n ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? ? ? 1 ? 2
? 1 ? (2 ? 2 ? ? ? 2
2 n ?1

? n ? 2 ????????9 分
n

) ? n?2

n

? 1 ? 2 (1 ? 2

n ?1

) ? n ? 2 ??????????????11 分
n

? ? ( n ? 1) ? 2 ? 1 .???????????????????12 分
n

所以 T n ? ( n ? 1) ? 2 ? 1 .???????????????????????13 分
n

37. (Ⅰ)解: ?

? x1 ? x 2 ? 0 , ? ? x1 ? x 2 ? 1 . ?

(1) (2)

由(1)得 x 2 ? ? x1 ,再由(2)知 x1 ? 0 ,且 x 2 ? 0 .
1 ? x ? , ? 1 ? 2 当 x1 ? 0 时, x 2 ? 0 .得 2 x1 ? 1 ,所以 ? ???????????2 分 ?x ? ? 1 . ? 2 ? 2 1 ? x ? ? , ? 1 ? 2 当 x1 ? 0 时,同理得 ? ??????????????????4 分 1 ?x ? . ? 2 ? 2

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(Ⅱ)证明:当 n ? 3 时,

由已知 x1 ? x 2 ? x 3 ? 0 , x1 ? x 2 ? x 3 = 1 .

所以 3 x1 ? 2 x 2 ? x 3 ? x1 ? 2 ( x1 ? x 2 ? x 3 ) ? x 3

? x1 ? x 3

? x1 ? x 3 ? 1 .??????????????????9 分

(Ⅲ)证明:因为 a1 ? a i ? a n ,且 a 1 ? a n ( i ? 1, 2, 3, ? , n ) .

所以 ( a 1 ? a i ) ? ( a i ? a n ) ? ( a 1 ? a i ) ? ( a i ? a n ) ? a 1 ? a n ,

即 a1 + a n ? 2 a i ? a1 ? a n

( i ? 1, 2, 3, ? , n ) .???????????11 分

?
i ?1

n

ai xi ?

?
i ?1

n

ai xi ?

1 2

a1 ? x i ?
i ?1

n

1 2

a n ? xi ?
i ?1

n

1 2

? (2a
i ?1

n

i

? a1 ? a n ) x i

?

1

? (a 2
i ?1

n

1

? a n ? 2 ai xi ) ?

1

? (a 2
i ?1

n

1

? a n xi )

?

1 2

a1 ? a n

?
i ?1

n

xi

?

1 2

( a 1 ? a n ) .???????????????????????14 分

38.解: (Ⅰ)∵?B0A1B1 是以 A1 为直角顶点的等腰直角三角形,

∴直线 B0A1 的方程为 y=x.
?y ? x ? 2 ) , ( 由 ? y ? 2 x 得, x1 ? y1 ? 2 ,得 A1(2,2) B 10 , 4 ?y ? 0 ?

. ….…….…….…......3 分

(Ⅱ)根据 ? B n ? 1 A n B n 和 ? B n An ? 1 B n ? 1 分别是以 A n 和 A n ? 1 为直角顶点的等腰直角三角形可

得,

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? an ? xn ? yn ,即 x n ? y n ? x n ? 1 ? y n ? 1 . (*)…….………………………..5 分 ? ? a n ? x n ?1 ? y n ?1

∵ A n 和 A n ? 1 均在曲线 C ∴ y n2 ∴ xn
2

: y ? 2 x( y ? 0)
2

上,

? 2 x n , y n ?1 ? 2 x n ?1 ,
? yn 2
2

, x n ?1 ?

y n ?1 2

2

,代入(*)式得 y n2 ? 1
*

? y n ? 2 ( y n ?1 ? y n )
2



∴ y n ?1

? yn ? 2

( n ? N ).…………………

…………………………..…..….…..7 分

∴数列 { y n } 是以 y 1 ? 2 为首项,2 为公差的等差数列, 故其通项公式为 y n
? 2n ( n ? N
2
*

) . …………....…………………………...……..8 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知, x n ?

yn 2

? 2 n , ….……………………………………………9 分
2

∴ a n ? x n ? y n ? 2 n ( n ? 1) ,……………………..……………………………….…10 分 ∴ bi ?
4 2 i ( i ? 1)
2 1? 2
1 2 ?

?

2 i ( i ? 1)
2 2?3

, ci ?

?
2

2

?

? yi

?

1 2
i



∴ ? bi ?
i ?1

n

?

?? ?

n ( n ? 1)
1 ) = 2 (1 ? 1 n ?1 ) ,…………….……..11 分

= 2 (1 ?

1 2

?

1 3

?? ?

1 n

?

n ?1

1

?c
i ?1

n

i

?

1 2

?

1 2
2

?? ?

1 2
n

(1 ? 1?

1 2 1 2
n

) ? 1?

? 2

1 2
n



…………………….……12 分

欲使 ? b i ?
i ?1

n

?c
i ?1

n

i

,只需 2 (1 ?

1 n ?1

) <1 ?

1 2
n



只需
?

n ?1 n ?1

? ?

1 2
n

, ………………………………………………….…………13 分
*

n ?1 n ?1

? 0 ( n ? N ), ?

1 2
n

? 0 ,
n n

∴不存在正整数 N,使 n≥N 时,

?b
i ?1

i

?

?c
i ?1

i

成立.…………………….14 分

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39. (Ⅰ)解: f ? 0 ? ?

a0 a 0 ? a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? a 5

? 0,

???????????? 2 分

f ?1 ? ?

a 0 ? a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? a 5 a 0 ? a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? a 5 y n ? y n ?1 x n ? x n ?1 5 T

? 1;

????????????4 分

(Ⅱ)解: k n ?

?

a n , n ? 1, 2 , 3, 4 , 5 .

???????????? 6 分

因为 所以

a 0 ? a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? a 5 , k1 ? k 2 ? k 3 ? k 4 ? k 5 .

????????????8 分

(Ⅲ)证:由于 f ? x ? 的图象是连接各点 Pn ? x n , y n ? ? n ? 0,1, 2 , 3, 4 , 5 ? 的折线,要证明
f

?x? ?

x

?0 ?

x ? 1 ? ,只需证明 f

? xn ? ?

xn

?n

? 1, 2 , 3, 4 ? .????9 分

事实上,当 x ? ? x n ? 1 , x n ? 时,

f

?x?

?

f

? xn ? ?

f

? x n ?1 ?

x n ? x n ?1

? ? x ? x n ?1 ? ? f

? x n ?1 ?

?

xn ? x x n ? x n ?1 xn ? x x n ? x n ?1

f

? x n ?1 ? ?

x ? x n ?1 x n ? x n ?1

f

? xn ?

?

x n ?1 ?

x ? x n ?1 x n ? x n ?1

xn

? x.

下面证明 f ? x n ? ? x n . 法一:对任何 n ? n ? 1, 2 , 3, 4 ? ,
5 ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n ? ? ? n ? ? 5 ? n ? ? ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n ? ??????10 分 ? ?

? n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? ? ? 5 ? n ? ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? ? n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? ? ? 5 ? n ? n a n
? n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? ? 5 ? n ? a n ? ? ?

??????????????11 分

? n ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n ? a n ?1 ? ? ? a 5 ? ? n T

??????????12 分

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所以

f

? xn ?

?

a1 ? a 2 ? ? ? a n T

?

n 5

? x n .??????????13 分

法二:对任何 n ? n ? 1, 2 , 3, 4 ? , 当 k n ? 1 时,
yn ?
? 1 5

? y1 ?

y0 ? ?

? y2

? y1 ? ? ? ?
n 5

? yn

? y n ?1 ?

? k1 ?

k2 ? ? ? kn ? ?

? x n ;???????????????10 分

当 k n ? 1 时,
yn ? y5 ? ? y5 ? yn ?
? 1 ? ? ? y n ?1 ? y n ? ? ?

? yn?2

? y n ?1 ? ? ? ?

? y5

? y4 ?? ?

?1? ?1?

1 5 1 5

? k n ?1 ?

kn?2 ? ? ? k5 ? n 5 ? xn .

?5 ? n ? ?

综上, f ? x n ? ? x n .

???????????????13 分

40. (Ⅰ)解: r1 ( A ) ? r3 ( A ) ? r4 ( A ) ? 1 , r2 ( A ) ? ? 1 ; c1 ( A ) ? c 2 ( A ) ? c 4 ( A ) ? ? 1 , c 3 ( A ) ? 1 ,

所以 l ( A ) ?

?
i ?1

4

ri ( A ) ?

?c
j ?1

4

j

( A) ? 0 .

??????3 分

(Ⅱ)证明: (ⅰ)对数表 A 0 : a ij ? 1 ( i , j ? 1, 2, 3, ? , n ) ,显然 l ( A 0 ) ? 2 n . 将数表 A 0 中的 a 1 1 由 1 变为 ? 1 ,得到数表 A1 ,显然 l ( A1 ) ? 2 n ? 4 . 将数表 A1 中的 a 2 2 由 1 变为 ? 1 ,得到数表 A 2 ,显然 l ( A 2 ) ? 2 n ? 8 . 依此类推,将数表 A k ? 1 中的 a k k 由 1 变为 ? 1 ,得到数表 A k . 即数表 A k 满足: a1 1 ? a 2 2 ? ? ? a kk ? ? 1 (1 ? k ? n ) ,其余 a ij ? 1 . 所以 r1 ( A ) ? r2 ( A ) ? ? ? rk ( A ) ? ? 1 , c1 ( A ) ? c 2 ( A ) ? ? ? c k ( A ) ? ? 1 . 所以 l ( A k ) ? 2[( ? 1) ? k ? ( n ? k )] ? 2 n ? 4 k ,其中 k ? 0,1, 2, ? , n .?????7 分 【注:数表 A k 不唯一】

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(Ⅲ)证明:用反证法. 假设存在 A ? S ( n , n ) ,其中 n 为奇数,使得 l ( A ) ? 0 . 因为 r i ( A ) ? {1, ? 1} , c j ( A ) ? {1, ? 1} (1 ? i ? n ,1 ? j ? n ) , 所以 r1 ( A ) , r2 ( A ) , ? , rn ( A ) , c1 ( A ) , c 2 ( A ) , ? , c n ( A ) 这 2 n 个数中有 n 个 1 , n 个 ? 1 . 令 M ? r1 ( A ) ? r2 ( A ) ? ? ? rn ( A ) ? c1 ( A ) ? c 2 ( A ) ? ? ? c n ( A ) . 一方面,由于这 2 n 个数中有 n 个 1 , n 个 ? 1 ,从而 M ? ( ? 1) ? ? 1 .
n


2

另 一 方 面 , r1 ( A ) ? r2 ( A ) ? ? ? rn ( A ) 表 示 数 表 中 所 有 元 素 之 积 ( 记 这 n 个 实 数 之 积 为 m ) ;
c1 ( A ) ? c 2 ( A ) ? ? ? c n ( A ) 也表示 m ,

从而 M ? m ? 1 .
2



①、②相互矛盾,从而不存在 A ? S ( n , n ) ,使得 l ( A ) ? 0 . 即 n 为奇数时,必有 l ( A ) ? 0 .
41. (Ⅰ)? f ( x) 有且只有一个零点,
? ? ? a ? 4a ? 0
2

??????13 分

解得 a ? 0, a ? 4
2

??????1 分

当 a ? 4 时,函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 4在(0,2) 上递减 故存在 0 ? x1 ? x 2 ,使得不等式 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 成立 当 a ? 0 时,函数 f ( x) ? x 在(0,??) 上递增
2

??????2 分

故不存在 0 ? x1 ? x 2 ,使得不等式 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 成立 综上,得 a ? 4 , f ( x) ? x ? 4 x ? 4
2

??????3 分 ??????????4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 S n ? n 2 ? 4n ? 4 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1
? ( n ? 4n ? 4) ? [(n ? 1) ? 4( n ? 1) ? 4]
2 2

??????5 分

? 2n ? 5

????????????7 分

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n ?1 ?1, ? an ? ? ? 2n ? 5, n ? 2
n ?1 ? ?3, ? , cn ? ? 4 1? ,n ? 2 ? 2n ? 5 ?

??????????8 分

(Ⅲ)由题设得

??????9 分

? n ? 3时, c n ?1 ? c n ?

4 2n ? 5

?

4 2n ? 3

?

8 ( 2n ? 5)(2n ? 3)

? 0,

? n ? 3时, 数列{c n } 递增,

????????????10 分

? c4 ? ?

1 3

? 0,由 ? 1

4 2n ? 5

? 0 ? n ? 5, 可知c 4 ? c5 ? 0,

即 n ? 3 时,有且只有 1 个变号数; 又? c1 ? ?3, c 2 ? 5, c3 ? ?3, 即c1 ? c 2 ? 0, c 2 ? c3 ? 0 ∴此处变号数有 2 个; 综上得数列 {c n } 的变号数为 3. ??????????????????12 分 ??????13 分


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