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专题一集合与简易逻辑


专题 1 一.知识网络

集合与简易逻辑

以“集合”为基础,由“运算”分枝杈.

二.高考考点 1.对于集合概念的认识与理解,重点是对集合的识别

与表达. 2.对集合知识的综合应用,重点考查准确使用数学语 言的能力以及运用数形结合思想解决问题的能力. 3.理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义;命题 的四种形式;相关命题的等价转换,重点考查逻辑推理和分 析问题的能力. 4.充分条件与必要条件的判定与应用.

三.知识要点 (一)集合 1.集合的基本概念 (1)集合的描述性定义: 某些指定的对象集在一起就成为一个集合.

认知:集合由一组指定的(或确定的)对象的全体组成, 整体性是其重要特征之一.集合的元素须具备以下三个特 性: (I)确定性:对于一个给定的集合,任何一个对象是 否为这个集合的元素是明确的,只有“是”与“否”两种情 况. (II)互异性:集合中的任何两个元素都不相同. (III)无序性:集合中的元素无前后顺序之分.

(2)集合的表示方法 集合的一般表示方法主要有 (I)列举法:把集合中的元素一一列举出来的方法.

提醒:用列举法表示集合时,须注意集合中元素的“互 异性”与“无序性”,以防自己表示有误或被他人迷惑.

(II)描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这 个集合的方法. ①描述法的规范格式:{x|p(x),x∈A}其中,大括号 内的竖线之前的文字是“集合的代表元素”,竖线后面是借 助代表元素描述的集合中元素的属性及范围(即判断对象是 否属于集合的确定的条件).

②认知集合的过程: 认清竖线前的代表元素;考察竖线后面代表元素的属性 及范围结合前面的考察与集合的意义认知集合本来面目.

例:认知以下集合: ; ;

; ,其中 M={0,1}.

分析: 对于 A, 其代表元素是有序数对 (x,y) ,即点 (x,y) 点(x,y)坐标满足函数式 y=x -1(x∈R) 抛物线 y=x -1 上 组成的集合.
2 2 2

点(x,y)在

集合 A 是抛物线 y=x -1(x∈R)上的点所

对于 B, 其代表元素为 y

y 是 x 的二次函数: y=x -1(x

2

∈R),再注意到集合的意义是范围 集合 B 是二次函数 y=x -1(x∈R)的取值范围
2

集合 B 是二次函数 y=x -1(x∈R)

2

的值域,故 B={y|y≥-1}.

对于 C,其代表元素是 x
2

x 是二次函数 y=x -1 的自变 集合 C

2

量 集合 C 是二次函数 y=x -1 的自变量的取值范围 是二次函数 y=x -1(x∈R)的定义域,即 C=R.
2

对于 D,其代表元素是 x

x 是集合 M 的子集 集合 D

由 M 的(全部)子集组成,故 D={φ,{0},{1},{0, 1}}.

(III)数轴法和文氏图法:文氏图法是指用一条封闭

曲线围成的区域(内部)表示集合的方法.此为运用数形结 合方法解决集合问题的原始依据.

评注:集合的符号语言与文字语言的相互转化,是师生 研究集合的基本功.为了今后的继续性发展,这一软性作业 必须高质量完成.

2.集合间的关系 (1)子集 (I)子集的定义(符号语言):若 x∈A x∈B,则 A B (注意:符号的方向性) 规定:空集是任何集合的子集,即:对任何一个集合 A, 都有φ A 显然:任何一个集合都是自身的子集, 即 A A.

(II)集合的相等: 若 A B 且 B A,则 A=B.

(III)真子集定义:若 A B 且 A≠B;则 A B(即 A 是 B 的真子集). 特例:空集是任何非空集合的真子集.

(2)全集,补集 (I)定义 设 I 是一个集合,A I,由 I 中所有不属于 A 的元素组 成的集合,叫做 I 中子集 A 的补集(或余集),记作 即 A={x|x∈I,且 x A}. 在这里,如果集合 I 含有我们所要研究的各个集合的全 部元素,则将 I 称为全集,全集通常用 U 表示. A,

(II)性质: φ=U; U=φ; ( A)=A

(III)认知:补集思想为我们运用“间接法”解题提 供理论支持.对于代数中的探求范围等问题,当正面入手头 绪繁多或较为困难时,要想到运用“间接法”进行转化求解.

(3)交集,并集 (I)定义: ①由所有属于集合 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫 做 A 与 B 的交集,记作 A∩B,即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B}; ②由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集 合,叫做 A 与 B 的并集,记作 A∪B,即 A∪B={x|x∈A,或 x∈B}.

(II)认知:上面定义①、②中的一字之差(“且”与 “或”之差),既凸显交集与并集的个性,又展示二者之间 的关系.在这里,要特别注意的是,并集概念中的“或”与 生活用语中的“或”含义不同,并集概念中的“或”源于生 活,但又高于生活中的“或”:生活用语中的“或”是“或 此”.“或彼”.二者只取其一,并不兼有;而并集概念中的 “或”是“或此”.“或彼”“或彼此”,可以兼有.因此, “x∈A 或 x∈B”包括三种情形:x∈A 且 x x∈B 且 x A;x∈A 且 x∈B. B;

(III)基本运算性质 ①“交”的运算性质 A∩A=A;A∩φ=φ;A∩B= B∩A;A∩ A =φ;(A∩B) ∩C= C∩(A∩B)= A∩B∩C

②“并”的运算性质 A∪A=A;A∪φ=A;A∪B= B∪A;A∪ A=I;(A∪B)∪ C=A∪(B∪C)= A∪B∪C

③交.并混合运算性质 A∪(B∩C)= (A∪B)∩(A∪C);

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C); A∩(A∪C)=A A∪(A∩B)=A

( IV )重要性质 ①A∩B=A A B; A∪B=B A B;



A∩ B= (A∪B);

A∪ B= (A∩B)

上述两个性质,是今后解题时认知、转化问题的理论依 据.

(二)简易逻辑 1.命题 (1)定义 (I)“或”.“且”“非”这些词叫做逻辑联结词. (II)可以判断真假的词句叫做命题.其中,不含逻辑 联结词的命题叫做简单命题,由简易命题与逻辑联结词构成 的命题叫做复合命题. 复合命题的构成形式:①p 或 q;②p 且 q;③非 p(即 命题 p 的否定).

(2)复合命题的真假判断 (I)当 p、q 同时为假时“p 或 q”为假,其它情况时 为真; (II)当 p、q 同时为真时“p 且 q”为真,其它情况时 为假; (III)“非 p”与 p 的真假相反.

(3)认知 (I)这里的“或”与集合的“并”密切相关(并集又 称为或集):集合的并集是用“或”来定义的:A∪B= {x| x∈A 或 x∈B}.“p 或 q”成立的含义亦有三种情形: p 成立但 q 不成立; 成立但 p 不成立,p,q 同时成立.它们依 q 次对应于 A∪B 中的 A∩ B;B∩ A;A∩B.不过,A∪B 强

调的是一个整体,而“p 或 q”是独立的三种情形的松散联 盟.

(II)“或”、“且”联结的命题的否定形式:“p 或 q”的否定 p 且 q;“p 且 q” p 或 q.它们类似于

集合中的 (A∪B)=( A)∩( B), (A∩B)=( A)∪ ( B)

(4)四种命题

(I)四种命题的形式: 用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论,用 p 和 q 分 别表示 p 和 q 的否定,则四种命题的形式为 原命题:若 p 则 q; 逆命题:若 q 则 p; 否命题:若 p 则 q 逆否命题:若 q 则 p.

(II)四种命题的关系 ①原命题 逆否命题.它们具有相同的真假性,是命题

转化的依据和途径之一. ②逆命题 否命题,它们之间互为逆否关系,具有相同

的真假性,是命题转化的另一依据和途径. 除①、②之外,四种命题中其它两个命题的真伪无必然 联系.

2.充分条件与必要条件 (I)定义: 若 p q 则说 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件; 若p q 则说 p 是 q 的充分必要条件(充要条件).

(II)认知:

①关注前后顺序: 若 p q 则前者为后者的充分条件; 同时后者为前者的必 要条件.

②辨析条件、结论 注意到条件与结论的相对性. 若条件 结论,则这一条件为结论的充分条件; 若结论 条件,则这一条件为结论的必要条件.

③充要条件即等价条件,也是完成命题转化的理论依据. “当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须”.“等价 于”“…反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.

四.经典例题 例 1.判断下列命题是否正确. (1) 方程组
2

的解集为 (x,y) { |x=-1 或 y=2} ;
2

(2)设 P={x|y=x },Q={(x,y)|y=x },则 p Q; (3)设 N; (4)设 等于 M∪N; , ,则集合 , 则M

分析: (1)不正确.事实上,方程组 序实数对 (-1,2),而-1 或 2 不是有序实数对,故命题为假. 正确解题:方程组 (初始形式) = ={(-1,2)} 解集应为 的解 为有

(2)不正确.在这里,P 为数集,Q 为点集,二者无公 共元素,应为 P∩Q=φ.

(3)为认知集合中的元素的属性,考察代表元素的特 征与联系:对两集合的代表元素表达式实施通分,对于集合 M,其代表元素 ,2k+1 为任意奇数; ,k+2 为任意整数.由

对于集合 N,其代表元素 此便知 M N,故命题正确.

(4)不正确.

反例:注意到这里 f(x),g(x)的定义域未定,取 , ,则 f(x)·g(x)=1(x≠-3 且

x≠1),此时 f(x)g(x)=0 无解.

揭示:一般地,设函数 f(x),g(x)的定义域依次为 P、Q, 且 , ,则有

例 2.设集合 A={x|x +4x=0},B={x|x +2(a+1)x+a - 1=0} (1)若 A∩B=B,求 a 的值; (2)若 A∪B=B,求 a 的值.

2

2

2

解:集合 A={-4,0} (1)A∩B=B B A 即 B {-4,0}

由有关元素与 B 的从属关系,引入(第一级)讨论. (I)若 0∈B,则有 a -1=0 取值引入第 2 级讨论). 又当 a=-1 时,方程 x +2(a+1)x+a -1=0 此时 B={0}符合条件; 当 a=1 时,方程 x +2(a+1)x+a -1=0 x(x+4)=0
2 2 2 2 2

a= 1(以下由 a 的可能

x =0

2

x=0

x +4x=0

2

此时 B=A 符合条件.

(II)若-4∈B,则有 16+2(a+1)(-4)+a -1=0 -8a+7=0 (a-1)(a-7)=0 a=1 或 a=7

2

a

2

当 a=1 时,由(I)知 B=A 符合条件; 当 a=7 时,方程 x +2(a+1)x+a -1=0 (x+12)(x+4)=0 x=-12 或 x=-4 此时 B={-12,-4} A.
2 2

x +16x+48=0

2

(III)注意到 B A,考察 B=φ的特殊情形:B=φ (a+1) -4(a -1)<0 a<-1,此时集合 B 显然满足条件.
2 2

=4

于是综合(I)、(II)、(III)得所求 a 的取值集合 为{a|a=1 或 a≤-1}.

(2) ①

集合 B 中至少有两个元素

而方程 x +2(a+1)x+a -1=0 至多有两个实根 集合 B 中至多有两个元素 ② ?由①、②得集合 B 中只含两个元素 B=A

2

2

此时,由(1)知 a=1,即所求 a 的的数值为 a=1.

点评: (1)在这里,对有关事物进行“特殊”和“一般”的 “一分为二”的讨论尤为重要:对集合 A.B 的关系,分别考 察特殊(相等)和一般(真包含)情形,引出第一级讨论; 对集合 B 的存在方式,又分别考察特殊(B=φ)和一般(B ≠φ)的两种情形,引出第二级讨论.“特殊”(特殊关系 或特殊取值)是分类讨论的切入点.

(2)空集φ作为一个特殊集合,既是解题的切入点, 又是设置陷阱的幽灵,注意到“一般”与“特殊”相互依存 的辩证关系,解题时应适时考察“特殊”,自觉去构建“特 殊”与“一般”的辩证统一.

例 3.已知 A={x|x -4x+3<0,x∈R},B={x|2 +a≤0 且 x -2(a+7)x+5≤0,x∈R}若 A B,试求实数 a 的取值范围.
2

2

1-x

解:A={x|1<x<3}=(1,3) 注意 A B,故对任意 x∈(1,3),不等式 2 +a≤0 与 x - 2(a+7)x+5≤0 总成立. (1) 对任意 x∈(1,3), f(x)=x -2(a+7)x+5≤0 总成立,
2 1-x 2

f(x)=0 有两实根,且一根不大于 1,而另一根不小于 3 ①

(2)令 g(x)=-2 2
1-x

1-x

, x∈(1,3),则对任意 x∈(1,3),

+a≤0 总成立. a≤g(x)总成立 a≤gmin(x) a≤-1 ②

?将①.②联立得

-4≤a≤-1.

?所求实数 a 的取值范围为{a|-4≤a≤-1}.

点评与揭示:在某个范围内不等式恒成立的问题,要注 意向最值问题的等价转化: (1)当 f(x)在给定区间上有最值时 a≤f(x)恒成立 a≥f(x)恒成立 a≤fmin(x) a≥fmax(x)

(2)当 f(x)在给定区间上没有最值时 a≤f(x)恒成立 a≥f(x)恒成立 a≤f(x)的下确界 a≥f(x)的上确界

例 4. 已知 p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若 q 的必要而不充分条件,求实数 m 的取值范围.



分析:从认知

与 q 入手,为了化生为熟,将

, q

分别与集合建立联系.

解:由已知得

:x<-2 或 x>10;

q:x<1-m 或 x>1+m(m>0). 令 A= {x|x<-2 或 x>10} {x| x<1-m 或 x>1+m(m>0)} ,B= , 则由 B A 是 q 的必要而不充分条件得



m 9

?所求实数 m 的取值范围为[9,+≦).

点评:从认知已知条件切入,将四种命题或充要条件问 题向集合问题转化,是解决这类问题的又一基本策略.

例 5.设有两个命题,p:函数 f(x)= +2ax+4 的 图像与 x 轴没有交点;Q:不等式 恒成立,若“P )

或 Q” 为真, 且 Q” “P 为假, 则实数 a 的取值范围是 ( A.(-≦,-2] B.[2,+≦) C.[-2,2]

D.(-2,2)

分析: (ⅰ)化简或认知 P、Q:函数 f(x)= +2ax+4 的 图像与 x 轴没有交点, △= ?P: -2<a<2 ① 又 不等式 值 + ③ ?由②、③得 即 Q: a﹤2 a﹤2 ② ≥ =2 恒成立 a 小于 的最小 -2<a<2

(ⅱ)分析、转化已知条件 “P 或 Q”为真 a﹤2 ④ “P 且 Q”为假 或 为真 P、Q 中至少有一个为假 P、Q 中至少有一个为真

a≤-2 或 a≥2

⑤ 于是由④⑤得,同时满足上述两个条件的 a 的取值范围 是 a≤-2 ?实数 a 的取值范围为(-≦,-2].

例 6. 若 p:-2﹤m﹤0,0﹤n﹤1;q:关于 x 的方程 有两个小于 1 的正根, 试分析 p 是 q 的什么条件?

分析:在这里,q 是关于 x 的二次方程

有两

个小于 1 的正根的条件,为便于表述,设该方程的两个实根 为 , 且 .然后根据韦达定理进行推理.

解:设 , 为方程 则该方程的判别式为:△= 又由韦达定理得 ?当 0﹤ ﹤1 时,由②得

的两个实根,且



-2﹤m﹤0,0﹤n﹤1 即 q p ③ 另一方面,若在 p 的条件下取 m=-1,n=0.75,则这 一关于 x 的二次方程的判别式 △= = =1-3﹤0,

从而方程 ?p ④ q

无实根

于是由③④得知,p 是 q 的必要但不充分的条件.

点评:若令 f(x)=

,则借助二次函数 y= 有两个小

的图像易得关于 x 的二次方程 于 1 的正根的充要条件为

在这里容易产生错误结论为: 方程 x +mx+n=0 有两个小于 1 的正根的充要条件是
2

想一想:错在哪里?你能举出反例吗?

注意到这里的 p 由※式中部分条件构造而成, 它关于 m、 n 的限制当然更为宽松.

五.高考真题

1.设 I 为全集,S1,S2,S3 是 I 的三个非空子集,且 S1 ∪S2∪S3=I,则下面判断正确的是 ( ) A. S1∩ 2∪S3) (S =φ C. S1∩ S2∩ S3=φ B. S1 D. S1 ( S2∩ S3) ( S2∪ S3)

分析:对于比较复杂的集合运算的问题,一要想到利用 有关结论化简,二要想到借助特取法或文氏图筛选.

解法一(直接法):注意到 A∩ B= (A∪B), A∪ B= (A∩B)及其延伸, ? S1∩ S2∩ S3= (S1∪S2∪S3)= I=φ,故选 C

解法二(特取法):令 S1={1,2},S2={2,3},S3= {1,3}I={1,2,3} 则 S1={3} S2={1} S3={2}由此否定 A、B; 又令 S1=S2=S3={a},则 I={a}, S2= S3=φ,由此否 定 D. 故本题应选 C

2.已知向量集合 ,则 M∩N 等于( )

A.{(1,1)} C .{(-2,-2)}

B. {(1,1),(-2,-2)} D.φ

分析:首先考虑化生为熟.由向量的坐标运算法则得 ,又令 =(x,y),则有 消去λ得 4x-3y+2=0,?M={(x,y)|4x-3y+2=0,x,y∈R}. 同理 ∈R} ?M∩N= 应选 C ={(-2,-2)},?本题 = {(x,y)|5x-4y+2=0,x,y ,

点评:从认知集合切入,适时化生为熟,乃是解决集合 问题的基本方略.

3.设集合 I={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y)|2x- y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0},那么点 P(2,3)∈A∩( B) 的充要条件是( A. m>-1,n<5 m>-1,n>5 ) B m<-1,n<5 C

D m<-1,n>5

分析:由题设知 P(2,3) ∈A,且 P(2,3)∈ B (※) 又 B={(x,y)|x+y-n>0},?由(※)得 ,故本题应选 A

4.设函数

,区间 M=[a,b](a<b),集合 )

N= y|y=f(x),x∈M} { ,则使 M=N 成立的实数对 (a,b)( 有 A.0 个 个 B 1个 C 2个

D 无数多

分析:从认知集合切入.这里的集合 N 为函数 f(x),(x ∈M)的值域.注意到 f(x)的表达式中含有|x|,为求 f(x)的 值域,先将 f(x)化为分段函数的形式,以便于化整为零,逐 段分析. ?当 x>0 时,f(x)<0; 当 x=0 时,f(x)=0; 当 x<0 时,f(x)>0.

由此可知,当 x≠0 时,f(x) (x∈M)的值域与定义域 M

不可能相等; 又当 x=0 时,f(x)的定义域为{0},故不存在 a<b 使 区间[a,b]仅含元素 0,因此,本题应选 A.

点评:解决分段函数问题的基本策略:分段考察,综合 结论.在这里,认知集合 N 仍是解题成败的关键所在.

5.函数 空子集,又规定 f(P)=

,其中 P,M 为实数集 R 的两个非

{y|y=f(x),x∈P}f(M)={y|y=f(x),x∈M},给出下列四个 判断: ①若 P∩M=φ,则 f(P)∩f(M)= φ; ②若 P∩M≠φ,则 f(P)∩f(M)≠φ; ③若 P∪M=R,则 f(P)∪f(M)= R; ④若 P∪M≠R,则 f(P)∪f(M)≠ R 其中正确判断有( A. 1 个 4个 B ) 2个 C 3个 D

分析:首先认知 f(P),f(M):f(P)为函数 y=f(x)(x∈ P)的值域;f(M)为函数 y=f(x)(x∈M)的值域.进而考虑仿照第 1 题,从构造反

例切入进行筛选. (1)取 P={x|x≥0},M={x|x<0},则 f(P)={x|x≥0}, f(M)={x|x>0} 此时 P∩M=φ,P∪M=R,但 f(P)∩f(M) ≠φ,f(P) ∪ f(M)≠ R 由此判断①.③不正确

(2)当 P∩M≠φ时,则由函数 f(x)的定义知 P∩M={0} (否则便由 f(x)的解析式导出矛盾),所以 0∈f(P), 0∈f(M),从而 f(P)∩f(M)≠φ.由此判断②正确.

(3)当 P∪M≠R 时,若 0 P∪M,则由函数 f(x)的定义 知,0 f(P) ∪f(M) 若存在非零 x0 P∪M, 易知 x0 f(P) 当 x0 f(M)时,有 x0 f(P)∪f(M); 当 x0∈f(M)时,则易知-x0∈M.注意到这里-x0≠0,所 以-x0 P,从而-x0 f(P). 又≧x0 M, ?-x0 f(M), ?-x0 f(P)∪f(M) ※) ?由①.②知当 P∪M≠R 时,一定有 f(P) ∪f(M)≠ R. 故判断④正确. (※ (※),

点评:认知 f(P).f(M)的本质与特殊性,是本题推理和 筛选的基础与保障.

6.设全集 I=R, (1)解关于 x 的不等式|x-1|+a-1>0(a∈R); (2)设 A 为(1)中不等式的解集,集合 ,若( A)∩B 恰有 3 个元素, 求 a 的取值范围.

分析: (1)原不等式 -a 的符号. (2)从确定 A 与化简 B 切入,进而考虑由已知条件导 |x-1|>1-a,运用公式求解须讨论 1

出关于 a 的不等式(组),归结为不等式(组)的求解问题.

解: (1)原不等式 |x-1|>1-a

当 1-a<0,即 a>1 时,原不等式对任意 x∈R 成立; 当 1-a=0,即 a=1 时,原不等式 当 1-a>0,即 a<1 时,原不等式 -a |x-1|>0 x≠1;

x-1<a-1 或 x-1>1

x<a 或 x>2-a 于是综合上述讨论可知,当 a>1 时,原不等式的解集为 R;当 a≤1 时,原不等式的解集为(-≦,a)∪(2-a, + ≦)

(2)由(1)知,当 a>1 时, A=φ;当 a≤1 时, {x|a≤x≤2-a} 注意到 = = ? ?( A)∩B 恰有 3 个元素 ( A 有三个元素的必要条件) (对 A=[a,2-a]的右端点的限制) (对 A=[a,2-a]的左端点的限制)

A=

A 恰含三个整数元素.

故得 -1<a≤0, ?所求 a 的取值范围为 .

点评:不被集合 B 的表象所迷惑,坚定从化简与认知集

合 B 切入.当问题归结为 A 恰含三个整数时,寻觅等价的不 等式组, 既要考虑 A 含有三个整数的必要条件(宏观的范围 控制),又要考虑相关区间的左\右端点的限制条件(微观 的左右“卡位”),两方结合导出已知条件的等价不等式组.


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