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香港物理奥林匹克队培训资料相对论


香港物理奥林匹克队培训资料相对论
1 相对论力学原理

1.1 时空 假设我在火车上,以速度 U 相对你运动,你有你的参照系 (X, Y, Z) 和时钟记录的时间 t, 我有我的参照系(X’, Y’, Z’) 和时钟记录的时间 t’,你的 XYZ 轴方向与我的 X’Y’Z’轴 方向一致,速度 U 沿 Z-方向。我们都没加速,所以都是惯性参照系。 一事

件(比如你打开门,你边上的人打 了你一下,等等) 发生了。根据你的参 照系和时钟,事件是在某地点(x, y, z) 和时间 t 发生的。根据我的参照系和时 钟,该事件的地点为(x’, y’, z’) ,时间 为 t’.

(x’,y’,z’,t’)

(x,y,z,t)

x’

x 为方便起见,让我们把事件的时间和地点用一个量来表述。 ? ~ ? ( x , x , x , ict ) ? ( x , ict ) 事件的时空矢定义为:在你的参照系 x , 在我的参照系 1 2 3
? ~ ' ? ( x ' , x ' , x ' , ict ' ) ? ( x ' , ict ' ) 。 x 1 2 3

c 真空中的光速,i 为虚数,其平方为-1。

(时空矢的形式在不同的书里有些不同。ict 项有时以 ct 代替。) 根据经典物理,对于同一事件我俩的时空矢的关系如下 (Galileo 变换)
? x 1' ? x 1 ? ' ? x2 ? x2 ? ' x ? x 3 ? ut ? 3 ? t'? t ? ? ? ? ? ? ? ?

.

(1)

例-1 你我测到的粒子速度 你测到一粒子的速度为 V ,沿 Z 方向。求我测到该粒子的速度。 解: 考虑两个事件。你看到: 事件-1: 粒子在 t = 0 时位置在 z = 0。 事件-2: 粒子在 t = T 时位置在 z = VT 。你测到的速度为 (VT – 0)/T = V。 根据 Galileo 变换,同样两个事件我看到的是 事件-1: 粒子在 t’ = 0 时位置在 z’ = 0。(方便起见) 事件-2: 粒子在 t’ = t = T 时的位置是 z’ = z – ut。我测到的速度为 V’ = (z’ – 0)/t’ = (z – uT)/T = V – u。这就是通常见到的相对速度关系。 根据 Einstein 的相对论,时空矢的变换为:

' ? ? x1 ? x1 ? ? ' x2 ? x2 ? ? ? ' ? x ? ? x 3 ? ?? ct ? ? x 3 ? ? ut ? 3 ? ict ' ? i ? ct ? i ?? x 3 ? ? ? ? or ? ? ? ux 3 ? ? t'? ? t ? ? ? 2 c ? ?

(2)

其中 用矩阵形式表达:
? x 1' ? ? 1 ? ? ? ' ? x2 ? ? 0 ? ' ??? 0 x ? 3 ? ? ? ict ' ? ? 0 ? ? ? 0 1 0 0

? ? 1/

1? ?

2

? ? u /c

(3)

0 0

?
? i ??

0 ? ? x1 ?? 0 ?? x 2 i ?? ? ? x 3 ?? ? ? ? ict ??

? ? ? ? ? ? ?

(4)

x x 简写为 ~ ? ? ? ~ , 其中 ? 是 Lorentz 变换矩阵,时空矢以四维矢量表示。

例-2 重返例-1,用 Lorentz 变换 用式(2) 经过一些简单代数运算的: V ' ?
V ?u 1 ? Vu / c
2

。当 V 和 u << c 时结果和例-1 一致。

如果 V = c,得 V’ = c ,即光速不随参照系而变。 Einstein 的两个假设: ? ? The principle of relativity. The laws of physics apply in all inertial reference systems.相对性原理:所有物理原理在任何惯性参照系都成立。 The universal speed of light. The speed of light in vacuum is the same for all inertial observers, regardless of the motion of the source. 真空里的光速不随惯性参照系而 变。

从式(2) 可导出一些有趣的相对论效应。其中之一是 t’ 与 x3 有关,即时间与空间有 关。比如在 S 有两个事件(x1, ict1) 和 (x2, ict2) 。 事件-2 在事件-1 之后发生,因此 t2 > t1。在 S’, 该两事件发生的时间差为: t 2' ? t 1' ? ? ( t 2 ? t 1 ? 如果 t 2 ? t 1 ?
u c
2

u c
2

( x 2 ? x 1 ))

.

( x 2 ? x1 ) ,

则 t 2' ? t 1' 为负数,即在 S’看来, 事件-1 在事件-2 之后发生。

现在我们来看 x2 – x1 要多大才能使 S’里两事件的先后次序颠倒。既然 u 最大可到 c, 可 见如果 x2 – x1 > c(t2 – t1) 则两事件的先后次序可颠倒。 由于满足这一条件的两事件不 可能有逻辑关联,即事件-2 是由事件-1 引发,因为两事件间的距离太大而相隔时间太 短,就算事件-1 发生后立刻发出光信号,在光信号到达事件-2 的地点前事件-2 已经发 生了。而无逻辑关联的两个事件,哪个先发生也就无关紧要了。 1.2 原时
x x x x x x x 不变量: ~ ? ~ ? ~ ? x ? c t ,即: ~ ? ~ ? ~ '? ~ ' x x x x (练习: 利用 Lorentz 变换验证 ~ ? ~ ? ~ '? ~ ' ,只需代数运算即可。) 此结果可理解为 Lorentz 变换只是把时空矢量转了一下,矢量的模(’长度’)不变。 考虑一以速度 u 相对你和实验室(惯性参照系 S)运动的粒子。 在和粒子一起运动的 惯性参照系 S0,粒子的时空矢为 X = (0, ic?), 你看到的时空矢为 ? ~ ? ( x , x , x , ict ) ? ( x , ict ) x x x x 。 X 与 ~ 以 Lorentz 变换相连。 并有 X ? X ? ~ ? ~ 1 2 3
2 2 2

?2

现考虑过了一极小段时间时空矢的变化。在 S0 里为 dX = (0, icd?), 在 S 里为 ? d ~ ? ( dx 1 , dx 2 , dx 3 , icdt ) ? ( d x , icdt ) 。 x dX ? dX ? d ~ ? d ~ x x (5) 原时的定义为 d ? ? 从式(5)得 d ? ? ?
i c

?i c

dX ? dX


2

dx ? dx ?

? ? ? dt ? ?

?

dt c
?

2 2

实验室参照系中粒子的通常速度为 u ?

dx j ? ? dt dt ? ? ? dx dx
j

1/ 2

? dt 1 ? u / c
2

2

? dt / ?

,

(6)

dt

。 原时 d? 是不变量。如果我在惯性参照系

S’相对你和实验室 S 运动,我得到粒子的原时 d? 与你得到的是一样的。 Einstein 的相对性原理要求所有物理原理在任何惯性参照系都成立。例如,如果在 S 里 ? ? ? ? B ? 0 , 则在 S’必须有 ? '? B ' ? 0 。 如果有些物理定律,比如牛顿定律,不符合上述原理,则需将定律修改。但首先我们 ? 要确定除了时空外,其它物理量怎样转换。比如磁场,在 S 里看到 B ,在 S’里看到 ? ? ? B ' 。 B 和 B ' 怎样转换? 1.3 其它 4-矢 要转换物理量,一个方法是将它们造成 4-矢,并令所有 4-矢和时空矢 ( x1 , x 2 , x 3 , ict ) 一 样跟从 Lorentz 变换。 速度 4-矢
~ U
? ? ? d~ x dx dt d x dt dt ~ U ? ?( , ic )?( , ic ) ? (? u , i ? c ) d? d? d? dt d ? d?

(7)

x 是 4-矢,因为 d ~ 是 4-矢,而 d? 是不变量。

动量 4-矢 P ? m U ? ( p , iW / c ) , 其中 m 粒子的静止质量。 静止质量是不变量。W 是 (被 说成是) 粒子的总能量, = ? mc2 (自己验证)。这就是有名的公式 能量 = Mc2 ? ? 其中 M = ? m 是运动质量, p ? ? m u 是修正后的动量。和经典的动量相比多了个因子 ? ?,或可理解为动量仍是质量乘速度 M u ,但运动质量 M = ? m。 在粒子的参照系里,粒子一直是静止的,所以它的动量 4-矢为 ? ? ~ 2 P0 ? ( 0 , imc ) ? ( 0 , iW 0 / c ) , 粒子的静止能量为 W0 = mc 。 既然 P0 是粒子在粒子的参照系里的动量 4-矢, P 是它在实验室参照系的动量 4-矢, 所 以 P0 ? P0 ? P ? P 。代入各量后可得: W2 = (pc)2 + m2c4 其中 p 是粒子的动量。 粒子的动能为粒子运动时的能量与静止时的能量之差, KE = W(p) – W(p=0)。用式 (8) 得 KE =
( pc ) ? m c
2 2 4

~

~

?

~

~

~

~

~ ~

(8)

? mc

2

(9).

当 pc << mc2, 式(9) 简化成 KE = 0.5p2/m, 回到经典力学的结果。 光子无静止质量,所以 W = pc。因光子的能量 W = hf, 其中 h Planck 常数, f 是频率, 因此光子的动量为 hf/c。
~ ? ? ?~ x x ~ ~ U ? ? ?U ~ ~ P ? ? ?P

Lorentz 变换

事实上,所有 4-矢都跟从 Lorentz 变换。 例-3 有若干个粒子,它们的动量为{pj},全沿 Z 方向,能量为 {Ej} 。 求粒子的总质心 的速度。 解: 粒子的总动-能量 4-矢为 P ? ( ? p j , i ? E j / c ) 。 在总质心 参照系 S’里粒子的总动 量为 0。因此的 P ' ? ( 0 , iW ' / c ) 。现要找一 Lorentz 变换,使 P ' ? ? P 。由式(4) 将 x 和 ct 用 ? p j 和 ? E j / c 代替,我们得到 ? ? 守恒定律:孤立系统的动能量守恒。 例-4 两粒子静止质量为 m 以速度 0.6c 迎头相撞。 撞后粘在一起。求撞后总质量 M。 解: 碰撞前后动量均为 0。
c? p j
~

~

~

~

?E

, 即总质心的速度除 c。

j

碰撞前粒子能量为 ? mc 2 , 其中 ? ? 0 . 6 . 有能量守恒的 Mc 2 ? 2 ? mc 2 ,代入 ? ? 0 . 6 得 M = 2.5 m,多了 0.5 m 的质量由动能转化 而来。 例 5 如图,一能量为 E0 的光子和一质量为 m 的静止粒子 (电子) 碰撞。碰撞后光子一偏角? 射出,求光子能量 E。
? ?

(before)

(after)

解: 设碰撞后电子的动量为 pe, 光子动量为 pp。利用动量能量守恒定律 沿 Y-方向, 0 ? p e sin ? ? p p sin ?
E ? cp
p

(i) (iii)
4

(ii)

沿 X-方向, E 0 / c ? p p cos ? ? p e cos ? 碰撞前能量= E0 + mc2 碰撞后能量 = E ? 能量守恒 E ?
pe c ? m c
2 2 2 4

pe c ? m c
2 2 2

= E0 + mc2.

(iv)

上面四等式里有四个未知量: E, ?, pp, and pe,可解。用 (ii) 代掉(i) 和 (iii)中的 pp, 由 (i) 和 (iii) 去掉?,最后代掉 pe 得
E ? 1 /( 1 ? cos ? mc
2

?

1 E0

)

.

转化成波长 E = hc/?,得 ? ? ? 0 ?

h mc

(1 ? cos ? ) 。

这就是有名的 Compton 散射实验, 波长 ~ ? (X-光波段)。 动力学
? ? dp F ? dt

, 其中

? ? p ? m ?u ?

? mu 1? u /c
2 2

(10)

2

Doppler 效应
? ?
? ?

考虑平面波:在 S 里其表达式为 E ? E 0 e i ( k ?r ? wt ) ,
? 在 S’里其表达式为 E ? ? E 0 e i ( k ??r ? ? w ?t ? ) , ? ?
? ?

相位因子必须是不变量, 因为如果在 S 里的某一时间地点 ( r , t ) E 达到极大,则在 S’ ? ? ? ? 里相应的时间地点 ( r ' , t ' ) E ' 必须也是极大。注意 ( r , t ) 与 ( r ' , t ' ) 以 Lorentz 变换相连。 所以
? ? ? ? ~ ~ k ? ~ ? k ? r ? ? t ? k ? ? r ? ? ? ' t ? ? k '? ~ ' x x

?

?

(11)

? ~ ~ ? x x 这里 ~ ? ( r , ict ) 是时空矢, k ? ( k , i ? / c ) 是新定义的波矢 4-矢。由于式(11)要求 k ? ~

为不变量,因此 k ? ( k , i ? / c ) 必须跟从 Lorentz 变换。这就是相对论 Doppler 效应的来 源。

~

?

? k 1? ? ? 1 ? ? ? ? ? k2 ? ? 0 ? k? ? ? ?0 3 ? ? ? ? i? ' / c ? ? 0 ? ? ?

0 1 0 0

0 0

?
? i ??

k1 0 ?? k1 ? ? ? ? ?? ? ? k2 0 ?? k 2 ? ? ? . ? ? k ? ? ? ? ( k ? ?? / c ) ? i ?? 3 3 ? ?? ? ? ? ? ? i ? / c ? ? ? (? / c ? ? k 3 ) i ? ?? ? ? ?

(12)

相对速度 v 沿 Z 方向。 由式(12)得: k 1? ? k 1 , 令 k 1 ? ke 1 ,
k 2 ? ke 2 , ? k2 ? k2 , k 3 ? ke 3 ,
? ? v ?k vk

?

? k 3 ? ? ( k 3 ? ?? / c ),

? ' ? ? (? ? ? ck 3 )
?

其中 k ? 。

?
c

, e1, 2, 3 = cos(θ1, 2, 3) ,θ1, 2, 3 为 k 与 X, Y,

Z 轴的夹角。特别注意: e 3 ?
?
c

得: k 3? ? ?

(e3 ? ? ) ? ?

? v ?k
( c vk

? ? ??)

i)

Doppler 效应
? ' ? ?? (1 ? ? e 3 ) ? ?? (1 ?

? ? v ?k ck

)

(13)

因此:

? ? v ? k, ? ? v // k ,

? ' ? γ? ? ' ? ?? (1 ? n ? )

ii) 由于

运动介质 (折射率 n 与速度有关)
~ ~ 2 2 2 2 2 2 k ?k ? k ?? /c ? k? ??' /c

在 S 里: k ? n

?
c

, 因此 n ? 2 ?

在 S’里: k ? ? n ?
?
2 2

?'
c

. (14),

?'

( n ? 1) ? 1
2

其中

? ?'

由 Doppler 效应式( 12)确定, 与 v ? k 有关。

? ?

真空里, n = 1, 得 n’ = 1 => 真空里光速 c 不变。

3

相对论电动力学

电流密度 4-矢
? ? ~ ~ J ? ( J , ic ? ) ? ? 0 U ? ? 0 ( ? u , i ? c )

(15)

? 0 是静止电荷密度。

? ? ?? 0 ,原因是 Lorentz 长度缩短以及电荷守恒。
? ? E ||? ? E || ? ? B ||? ? B ||

? ? ? ? ? E? ? ? E? ? u ? B ? ? ? ?? u?E? ? B? ? ? ?B? ? ? 2 c ? ?

?

?

(16)

例 6 在 S 里有一长直中性导线载有电流 I。 求在沿导线以速度 u 运动的 S’ 里导线上的 电流和电荷密度。 解: 取适当坐标轴,在 S 里导线的电流密度 4-矢为: J ? ( I , 0 ) 。 在 S’ 里导线的电流密度 4-矢为: J ' ? ? J ? ( ? I , ? ?? I ) 可见在 S’ 里导线带负电 ? ?? I / c , 并产生电场。 例7 匀速运动的点电荷 在点电荷静止的
?
? S 里, E ? q 4 ??
0

~

~

~

? r r
3

??

? r r
3

,

? B ?0

在沿 x 3 方向运动的 S’ 里,
E 1? ? ? E 1 ? ?? x1 r
3

? , E 2 ? ? E 2 ? ??
? r? ,

x2 r
3

, E 3? ? E 3 ? ?

x3 r
3

还要把 ? x1 ? x1 , 因此

? r

变成

? x2 ? x2 ,

? x3 ? ?x3
r
3

(在 t = 0 时刻)

? ? ? ? ? E ? ? 3 ?? x 1 , ? x 2 , ? x 3 ? ? r
2 2 2
2 ? (1 ? ? ) r ? 0

? ?? r ?

? ? 另外: r 2 ? x1? ? x 2 ? ? 2 x 3 ? r ? 2 (sin 2 ? ? ? 2 cos 2 ? ) ? r ? 2 ? 2 (1 ? ? 2 sin 2 ? )



? E? ?

q 4 ??
3

r ? (1 ? ? sin ? )
2 2

3/2



注意要将场和坐标时间都转换。
? ? ? ? ? B? ? ? 2 n ? E c

,

? B || ? 0

例8

运动的均匀带电长直线
? ? S 里, E || ? 0

在直线静止的

,

? E? ?

?0
2 ??
0

? R R ? R
2

,

? ? B ?0

在沿导线以速度 u 运动的 S’
? ? B? ? 0, ||

? ? 里, R ? ? R

(因与运动方向垂直)。
R
2

? ?0 ? ? ? ? ? B ?? ? ? 2 u ? E ? ? 2 u ? 2 ?? 0 c c ? ? ? ? ? ? R ? ? 但 ?? 0 u ? ? u ? I , 得 B ?? ? ? 0 I ? 2 , B ? ? 2? R ? ? ?0 ? ? E ?? ? ? E ? ? ? , E || ? 0 2 ?? 0 R 2 ?? 0 R

? ? R ? ? ? 0?u ? 2 2? R

?0

?0 I
2? R ?

, 和从安培定理得到的结果一致。


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