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对一道竞赛题及其解法的商榷


6 4   数 学 教 学 研 究  第 3 3卷 第 6 期 2 0 1 4年 6月   对 一 道 竞赛 题及 其解 法 的商 榷  邹 生 书  ( 湖北 省 阳新 县 高级 中学 4 3 5 2 0 0 )   ? l z— m  0,   题目   如图 1 , 在 梯形  AB C D 中, B, D 关 于 对 角  线 AC 对 称 的 点 分 别 是

  B   , D , , A, C 关 于 对 角 线  B D对 称 的 点 分 别 是 A   ,   , 设点 A关 于 直线 BD 的对称 点 A   ( 户, q ) , 则  L 一 一m ,   p— n   札  一   ? - 图 1   , z?   证明: 四边形 A  B   C   D   解 得  =   ̄ - - 0 ,   =  口 ,   是梯形.   这是 2 0 1 3年 5月 , 江 苏举 行 的全 国高 中  数学 联赛 江 苏 赛 区初 赛 测 试 卷 ( 高 二 学 生 参  加) 的第 1 2题 , 本题 涉及 轴对 称 和梯 形 两 个  数 学概念 , 本题 看 似简 单 , 动起 手来 却并 不容  即A   (   r n z - 丽 n 2 口 ,   口 ) .   同理  易, 文[ 1 ] 指出东台市约 2 5 0 0 人参赛 , 阅卷后  经 统计 发 现 : ( 1 ) 约 6 O   的考 生 试 卷 空 白 ;   ( 2 ) 约3 5   的考 生 运 用 综 合 法 , 但 完 全 正 确  的人 数 只 有 2 7人 , 约 占总 数 的 1 %; ( 3 ) 约  c   (   m- - n z 6 ,   2 m n。 . \   从 而  ,a ,  ‘ 一  ‘   口   2 mn   、   5 %的考 生运 用解 析法 , 但 无一 人 正确 1   I   一   m z 一   - 口 ’ 一   一  F   口 J ’   n  z   1 对 文[ 1 ] 解法 的商 榷  。 文[ 1 ] 作者选择了解析法并给出了解答 ,   解 法如下 :   解  以对 角 线 交 点  + 6 一   ,   抖   ) ,     ? 所以   所 以  一一旱 吾  .   ∥  且I   I ≠I   l , 故  0为 坐 标 原点 , 对 角 线  AC所 在 直 线 为  轴 建  四边形 A  B   C   D  是梯 形 .   上述 整个 解 答 过 程 看 似 无 懈 可 击 , 事 实  上不 少细 节经 不起 推 敲 , 商 榷 如下 :   图2   1 ) 鳃 答开 始“ 令 A( a , O ) , C ( b , O ) ( 显然 a   立 直 角 坐 标 系如 图 2所  示. 令 A( 口 , 0 ) , C( b , 0 )   ( 显然 a ≠b , 否则 AB C D  为 平行 四边 形 ) , B( 7 , l ,  ) , 则 D( k m, k n ) , B   ( , , l 。 一 ) , D  ( k m, -k n ) . 所 以  ≠6 , 否则 AB C D 为平 行 四边 形 ) ” , 括 号 里边  的口 ≠b 应 改为 a ≠ 一6 .   2 ) 证 明中“ B( m,  ) , 则 D( k m, k n ) ” 因果  商 一(

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