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2016年普通高等学校招生全国统一考试(文科数学) 全国卷(新课标Ⅰ) word版本


绝密 ★ 启用前

试题类型:A 2016 年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学
本试题卷共 5 页,24 题(含选考题)。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项: 1、答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题 卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。 2、 选择题的作答: 每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域内均无效。 3、填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效。 4、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对 应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5、 考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题(每小题 5 分,共 12 小题,60 分) 1. 设集合 A ? {1,3,5,7} , B ? {x | 2 ? x ? 5} ,则 A ? B ? ( A. {1,3} B. {3,5} C. {5, 7} )

D. {1, 7} )

2. 设 (1 ? 2i)(a ? i) 的实部与虚部相等,其中 a 为实数,则 a ? (

A. ?3 B. ?2 C. 2 D. 3 3. 为美化环境,从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中,余下的 2 种花种在另一个 花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A.

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

5 6 2 ,则( 3


4. ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 a ? 5 , c ? 2 , cos A ? A. 2 B.

3

C. 2

D. 3

5. 直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 ( A. )

1 ,则该椭圆的离心率为 4

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4
1

6. 将函数 y ? 2sin(2 x ? A. y ? 2sin(2 x ? C. y ? 2sin(2 x ?

?
6 ) )

) 的图像向右平移

? ?
4

1 个周期后,所得图像对应的函数为( 4



B. y ? 2sin(2 x ? D. y ? 2sin(2 x ?

?

?

3

) )

4

3

7. 如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互 相垂直的半径,若该几何体的体积是 A. 17? B. 18? 8. 若 a ? b ? 0 , 0 ? c ? 1 ,则( A. loga c ? logb c

28? ,则它的表面积是( ) 3 C. 20? D. 28?
) C. a ? b
c c

B. logc a ? logc b )
y

D. c ? c
a

b

9. 函数 y ? 2 x 2 ? e| x| 在 [?2, 2] 的图像大致为(
y

(A)
?2

1

(B)
2 x ?2

1

O

O

2 x

y

y

(C)
?2

1

(D)
2 x
?2

1

O

O

2 x

10. 执行右面的程序框图,如果输入的 x ? 0 , y ? 1 , n ? 1 ,则输出 x, y 的 值满足( A. y ? 2 x ) B. y ? 3x C. y ? 4 x D. y ? 5 x

ABCD ? m , ? ? 平面 11. 平面 ? 过正方体 ABCD ? A 1B 1C 1D 1 的顶点 A , ? // 平面 CB 1D 1 , ? ? 平面

ABB1 A1 ? n ,则 m, n 所成角的正弦值为(
A.



3 2

B.

2 2

C.

3 3

D.

1 3


12. 若函数 f ( x) ? x ? sin 2 x ? a sin x 在 (??, ??) 单调递增,则 a 的取值范围是( A. [?1,1] B. [ ?1, ]

1 3

1 3

C. [? , ]

1 1 3 3

D. [ ?1, ? ]

1 3

2

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。第(22)题~ 第(24)题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题(每小题 5 分,共 4 小题,20 分) 13. 设向量 a ? ( x, x ? 1) , b ? (1, 2) ,且 a ? b ,则 x ? 14. 已知 ? 是第四象限角,且 sin(? ?
? ?
? ?

?

3 ? ) ? ,则 tan(? ? ) ? 4 5 4

15. 设直线 y ? x ? 2a 与圆 C : x2 ? y 2 ? 2ay ? 2 ? 0 相交于 A, B 两点,若 | AB |? 2 3 ,则圆 C 的面积 为 16.某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料,生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg,乙 材料 1kg,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.5kg,用 3 个工时,生产一件产品 A 的利润为 2100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元,该企业现有甲材料 150kg,乙材料 90kg,则在不超 过 600 个工时的条件下,生产产品 A,产品 B 的利润之和的最大值为 元 三、解答题(共 70 分) 17.(12 分)已知 {an } 是公差为 3 的等差数列,数列 {bn } 满足 b1 ? 1 , b2 ? (I)求 {an } 的通项公式; (II)求 {bn } 的前 n 项和

1 , anbn?1 ? bn?1 ? nbn 3

18.(12 分)如图,已知正三棱锥 P ? ABC 的侧面是直角三角形, PA ? 6 ,顶点 P 在平面 ABC 内的正投 影为点 D,D 在平面 PAB 内的正投影为点 E,连结 PE 并延长交 AB 于点 G (I)证明:G 是 AB 的中点; (II)在答题卡第(18)题图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F(说明作法及理由) ,并求四面体 PDEF 的体积 P

E A D G B
3

C

19.(12 分)某公司计划购买 1 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰,机器有一易损零件,在购进机器 时,可以额外购买这种零件作为备件 ,每个 200 元. 在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个 500 元,现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期间 更换的易损零件数,得下面柱状图:

设 x 表示 1 台机器在三年使用期内需要更换的易损零件数, y 表示 1 台机器在购买易损零件上所需的 费用(单位:元) , n 表示购机的同时购买的易损零件数 (I)若 n ? 19 ,求 y 与 x 的函数解析式; (II)若要求“需更换的易损零件数不大于 n ”的频率不小于 0.5,求 n 的最小值; (III)假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件,或每台都购买 20 个易损零件,分别计 算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均值,以此作为决策依据,购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件?

20.(12 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l1 : y ? t (t ? 0) 交 y 轴于点 M,交抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 于
2

点 P,M 关于 P 的对称点为 N,连结 ON 并延长交 C 于点 H (I)求

| OH | ; | ON |

(II)除 H 以外,直线 MH 与 C 是否有其它公共点?说明理由.

4

21.(12 分)已知函数 f ( x) ? ( x ? 2)e x ? a( x ?1)2 (I)讨论 f ( x ) 的单调性; (II)若 f ( x ) 有两个零点,求 a 的取值范围

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ?OAB 是等腰三角形, ?AOB ? 120 ,以 O 为圆心,
?

1 OA 为半径作圆 2

(I)证明:直线 AB 与圆 O 相切; (II)点 C,D 在圆 O 上,且 A,B,C,D 四点共圆,证明 AB//CD

5

23.(10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 参数方程为 ?

? x ? a cos t (t 为 参数, a ? 0 ) ,在以坐标原点为极点,x ? y ? 1 ? a sin t

轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 4cos? (I)说明 C1 是哪一种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程; (II)直线 C3 的极坐标方程为 ? ? ?0 ,其中 ? 0 满足 tan ?0 ? 2 ,若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上,求 a

24.(10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | 2 x ? 3 | (I)在答题卡第(24)题图中画出 y ? f ( x) 的图像; (II)求不等式 | f ( x) |? 1 的解集

6



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