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十秒钟求二项展开式常数项)


十秒钟求二项展开式常数项

让人意想不到的解法,直接写出二项展开式的常数项!
1 15 ) 展开式中的常数项. x2 1 r r 45?5 r ( x3 )15?r ( 2 ) r ? C15 x , 45 ? 5r ? 0 ? r ? 9, 一般解法: Tr ?1 ? C15 x

1. 求 ( x 3 ?

>9 所以 C15 即为答案.

◆(速解法) 只看 x 的次数(就是看 x 是几次方,次数的正负我们不管) x 的次数之比 3:2 ?(调换位置)2:3:5 (2+3=5,所以写 5,5 的下方写上 15) (根据对应比例相等写上) 6:9:15
6 所以答案是 C15

(变式)求 (ax 3 ?

b 15 ) 展开式中的常数项. x2

6 a 6 b9 解: a 是第一个的系数, b 是第二个的系数,答案为 C15

2. 求 (a 3 x ?

b 20 ) 展开式中的常数项. x

1 1 12 12 8 a b 解: : ? 2 : 3 ? 3 : 2 : 5 ? 12 : 8 : 20 ,故答案为 C20 3 2 1 3. ( 3 x ? ) n 展开式中存在常数项, n 可能是( x A . 6 B. 7 C. 8 D. 9



1 解: :1 ? 1: 3 ? 3 :1: 4 , n 一定是 4 的倍数,选择 C. 3

4. 求 ( x 4 ?

1 9 ) 展开式中的常数项. x2

3 解:4:2=2:1 ? 1: 2 : 3 ? 3 : 6 : 9 ,故答案为 C9

1

◆ 高考题
1.(2008 山东,理) ( x ? A.-1320 B.1320
3

1 12 ) 展开式中的常数项为 x

C.-220

D.220

36 ? 4 r 36 ? 4r 1 r r ? 0 ? r ? 9, 一般解法: Tr ?1 ? C12 ( x)12?r (? 3 )r ? (?1)r C12 x 3 ,由 3 x

9 3 ?(?1)9 C12 ? ?C12 ? ?220

故选 C.

1 3 ◆(速解) 1: ? 3 :1 ? 1: 3 : 4 ? 3 : 9 :12 ,故答案为 C12 13 (?1)9 ? ?220 3 1 10 ) 的展开式中常数项是 2 x2 105 1 A.210 B. C. D.-105 2 4 1 105 4 24 ( ? ) 6 ? 解: 3 : 2 ? 2 : 3 : 5 ? 4 : 6 :10 ,故答案为 C10 , 选B 2 2

2.(2008 湖北,文 2) (2 x3 ?

1 3.(2008 江西,文 8) (1 ? x)10 (1 ? )10 展开式中的常数项为 x

A.1

1 2 B. (C10 )

1 C. C20

10 D. C20

1 1 1 20 ) , 解: (1 ? x)10 (1 ? )10 ? ( x ? ? 2)10 ? ( x ? x x x
1 1 : ? 1:1 ? 1:1: 2 ? 10 :10 : 20 ,故答案是 D 2 2 1 4.(2007 浙江,文 6) ( x ? )9 的展开式中常数项是 x A.-36 B.36 C.-84 D.84 1 6 6 解: :1 ? 1: 2 ? 2 :1: 3 ? 6 : 3 : 9 ,故答案为 C9 1 (?1)3 ? ?84 ,选 C 2 1 5. (2007 全国Ⅰ,理 10) ( x 2 ? ) n 的展开式中,常数项为 15,则 n= x A.3 B.4 C.5 D.6 解: 2 :1 ? 1: 2 : 3 , n 必是 3 的倍数,排除 B,C
1 1 验证选项 A,假设 A 对,常数项为 C3 1 (?1)2 ? 3 ? 15 ,排除 A,选 D

2

1 6. (2007 重庆,理 4)若 ( x ? ) n 展开式的二项式系数之和为 64,则展开式的 x 常数项为( ) A.10 B.20 C.30 D.120
r 6? r r 6? 2 r 解: (一般解法) 2n ? 64 ? n ? 6. ? Tr ?1 ? C6 x ? x?r ? C6 x . 3 ? 6 ? 2r ? 0 ? r ? 3 ?T4 ? C6 ? 20.

选B

3 (速解) 2n ? 64 ? n ? 6 , 1:1 ? 1:1: 2 ? 3 : 3 : 6 ,所以答案是 C6 ? 20 .

3 7. (2007 安徽,理 12)若 (2 x ?

1 n ) 的展开式中含有常数项,则最小的正整 x

数 n 等于 1 解: 3 : ? 6 :1 ? 1: 6 : 7 ,n 必为 7 的倍数,故答案是 7 2
1 8. (2007,福建) ( x 2 ? ) 6 的展开式中常数项是 x
2 解: 2 :1 ? 1: 2 : 3 ? 2 : 4 : 6 ,故答案为 C6 ? 15

.(用数字作答)

9.(2005 全国Ⅰ,理) (2 x ? 答) 解: 1:

1 x

) 9 的展开式中,常数项为

王新敞
奎屯

新疆

(用数字作

1 3 ? 2 :1 ? 1: 2 : 3 ? 3 : 6 : 9 ,故答案为 C9 23 (?1)6 ? 672 2

1 10. (2004 湖南,文) ( x 2 ? ) 9 的展开式中的常数项为___________(用数字作答) x
3 解: 2 :1 ? 1: 2 : 3 ? 3 : 6 : 9 ,故答案为 C9 ? 84

11. 若二项式 (3 x 2 ? A . 4 B.5

1 n ) ( n ? N * ) 的展开式中含有常数项,则 n 的最小值是( 3 2x C. 6 D.8



解: 2 : 3 ? 3 : 2 : 5 , n 必是 5 的倍数,选 B

3

12.(2004 浙江,理 7)若 ( x ?

3

2 n ) 展开式中存在常数项,则 n 的值可以是 x

(A) 8 (B) 9 (C) 10 1 1 解: : ? 3 : 2 ? 2 : 3 : 5 , n 必为 5 的倍数,选 C. 2 3

(D) 12

13. (2005 天津)二项式 (3 x ?

1 x

)10 的展开式中常数项为__________(用数字作

答). 1 1 6 解: : ? 2 : 3 ? 3 : 2 : 5 ? 6 : 4 :10 ,?C10 (?1)4 ? 210 为所求. 3 2
4 14.(2010 四川) ( x ? ) 4 的展开式中的常数项为______________(用数字作答) x 4?3 2 (?2) 2 ? ? 4 ? 24 解: 1:1 ? 1:1: 2 ? 2 : 2 : 4 ,故答案为 C4 2 ?1

1 (15) (2006 福建) (2 x ? )6 的展开式中的常数项为______________(用数字作 x

答)
1 4 解: :1 ? 1: 2 ? 2 :1: 3 ? 4 : 2 : 6 ,故答案为 C6 24 (?1)2 ? 240 2

x 1 16.在 ( ? 3 ) n 的展开式中,只有第 5 项的二项式系数最大,则展开式中的常数项 2 x

为___________
n 1 1 解: ? 1 ? 5 ? n ? 8 , 1: ? 3 :1 ? 1: 3 : 4 ? 2 : 6 : 8 ,答案为 C82 ( )2 (?1)6 ? 7 2 3 2
k (注:二项式系数是指 Cn ,求二项式系数最大的项,当 n 为奇数时,中间两项的

二项式系数最大;当 n 为偶数时,中间两项的二项式系数最大,中间一项的二项 式系数最大.)

4


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