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吉林省实验中学2015届高三下学期第六次模拟考试数学(文)试题 Word版含答案


吉林省实验中学 2015 届高三年级第五次模拟考试

数 学 试 题(文科)
命题人:赵晓玲 审题人:杨丽芬 2015 年 5 月 28 日

第Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 1? ? (1)已知集合 A ? ?1, 2, ? , B ? y y ? x2 , x ? A ,则 A B ? 2? ? ?1 ? (A) ? ? (B) ?2? (C) ?1? (D) ? ?2? 2i (2)在复平面内,复数 z ? 的共轭复数的虚部为 ?1 ? 2i 2 2 2 2 (A) ? (B) (C) i (D) ? i 5 5 5 5 (3) 采用系统抽样方法从 1000 人中抽取 50 人做问卷调查, 将他们随机编号 1, 2, …1000. 适 当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 8,抽到的 50 人中,编号落入 区间 ?1, 400? 的人做问卷 A,编号落入区间 ? 401, 750? 的人做问卷 B,其余的人做问卷 C,则

?

?

抽到的人中,做问卷 C 的人数为 (A)12 (B)13 (C)14 (D)15 (4)在等差数列 ?an ? 中,首项 a1 ? 0 ,公差 d ? 0 ,若
ak ? a1 ? a2 ? a3 ? ? a7 ,则 k ?

(A)22 (B)23 (C)24 (D)25 (5)执行如图所示的程序框图,输出的 T= (A)29 (B)44 (C)52 (D)62 (6)已知直线 m, n 和平面 ? ,则 m ∥ n 的必要不充分条件是 (A)直线 m, n 和平面 ? 成等角 (B) m ? ? 且 n ? ? (C) m ∥ ? 且 n ? ? (D) m ∥ ? 且 n ∥ ? ? (7) 将函数 y ? f ? x ? 的图像向右平移 个单位得到函数 y ? cos 2 x 的图像, 再将函数 y ? f ? x ? 2 的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ? x ? 的图像,则 g ? x ? ? (B) cos 4 x (C) sin x (D) ? cos x ?(a ? 2) x, x≥2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?0 (8)已知函数 f ( x) ? ? 1 x 满足对任意的实数 x1 ? x2 ,都有 x1 ? x2 ( ) ? 1, x ? 2 ? ? 2 成立,则实数 a 的取值范围为 13 13 2? 2? (A) ? -?, (B)(-?, ] (C) ? -?, (D) [ , 2) 8 8 3? (9)已知 ? ? ( ,2? ) ,满足 tan ?? ? ? ? ? 2 tan ? ? 0 ,则 tan? 的最小值是 2 (A) ? sin 4 x

-1-

(A)

2 4

(B) ?

2 4

(C) ?

3 2 4

(D)

3 2 4

(10)已知 a1 ? 1 , an ?1 ? (A)

an ,则数列 ?an ? 的通项为 an ? 3an ? 1

1 2n ? 1

(B) 2 n ? 1

(C)

1 3n ? 2

(D) 3n ? 2

?3x ? y ? 2≤0, ? (11)变量 x, y 满足线性约束条件 ? y ? x≤2, 目标函数 z ? kx ? y 仅在点 ? 0, 2 ? 取得最小值, ? y≥ ? x ? 1, ?

则 k 的取值范围是 (A) k ? ?3 (B) k ? 1 (C) ?3 ? k ? 1 (12)对于函数 y ? f ? x ? ,部分 x 与 y 的对应关系如下表:

(D) ?1 ? k ? 1

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 3 7 5 9 6 1 8 2 4 ? 数列 ?xn ? 满足: x1 ? 1 ,且对于任意 n ? N ,点 ? xn , xn?1 ? 都在函数 y ? f ? x? 的图象上,则
x1 ? x2 ? ? ? ? ? x2015 ?

(A)7539

(B) 7546

(C)7549

(D)7554

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须做答。 第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 y 2 x2 (13)若双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为 3 ,则其渐近线方程为 . a b (14)经统计,在银行一个营业窗口每天上午 9 点钟排队等候的人数及相应概率如下: 排队人数 概率 0 0.1 1 0.16 2 0.3 3 0.3 4 0.1 . ≥5 0.04

则该营业窗口上午 9 点钟时,至少有 2 人排队的概率是 (15)若某几何体的三视图如右图所示,则此几何体的体 积是 .

( 16 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 设 直 线 y ? ? x ? 2 与 圆

x2 ? y 2 ? r 2? r ?0? 交于 A,B 两点,O 为坐标原点,若圆上 uuu r 5 uur 3 uu u r 一点 C 满足 OC ? OA ? OB,则r ? . 4 4 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分)
在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a>c.已知 BA ? BC ? 2 , tan B ? 2 2 , b ?3. (Ⅰ)求 a,c 的值; (Ⅱ)求 cos( B ? C ) 的值. (18) (本小题满分 12 分) 为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对 30 名六年级学生进行了问卷调查得到 如下列联表:平均每天喝 500ml 以上为常喝,体重超过 50kg 为肥胖.
-2-

常喝 肥胖 不肥胖 合计

不常喝 2 18

合计

30

已知在全部 30 人中随机抽取 1 人,抽到肥胖的学生的概率为

4 . 15

(Ⅰ)请将上面的列联表补充完整; (Ⅱ)是否有 99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关?说明你的理由; (Ⅲ)现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中(2 名女生) ,抽取 2 人参加电视节目,则正好抽到 一男一女的概率是多少? 参考数据: P(K2≥k) k 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

(参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

(19) (本小题满分 12 分) 如图,已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? AB ? AC, AB ? AC, M , N , Q P 分别是 CC1 , BC, AC 的中点,点 P 在线段 A1 B1 上运动. (Ⅰ)证明:无论点 P 在线段 A1 B1 上的任何位置, 总有 AM ⊥平面 PNQ ; (Ⅱ)若 AC ? 1 ,试求三棱锥 P ? MNQ 的体积. B1

A1 C1 M Q C

A B

N

(20) (本小题满分 12 分) 已知以 C 为圆心的动圆过定点 A ? ?3, 0 ? ,且与圆 B:? x ? 3? ? y 2 ? 64 (B 为圆心)相切,点 C 的
2

轨迹为曲线 T.设 Q 为曲线 T 上(不在 x 轴上)的动点,过点 A 作 OQ(O 为坐标原点)的平 行线交曲线 T 于 M,N 两点. (Ⅰ)求曲线 T 的方程; uuur uuu r uuu r2 (Ⅱ)是否存在常数 ? ,使 AM ? AN ? ? OQ 总成立?若存在,求 ? ;若不存在,请说明理由. (21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax 在 x ? 2 处的切线 l 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 平行. (Ⅰ)求实数 a 的值; 1 (Ⅱ)若关于 x 的方程 f ( x) ? m ? 2x ? x2 在 [ , 2] 上恰有两个不相等的实数根,求实数 m 的取 2 值范围; 3 1 (Ⅲ)记函数 g ( x) ? f ( x) ? x2 ? bx ,设 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 g ( x) 的两个极值点,若 b≥ , 2 2 且 g ( x1 ) ? g ( x2 )≥k 恒成立,求实数 k 的最大值.

-3-

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时 请写清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 C 如图,已知圆 O 的两弦 AB 和 CD 相交于点 E,FG 是圆 O 的切线, G 为切点,EF=FG. 求证: (Ⅰ) ?DEF ? ?EAD; B (Ⅱ) EF ∥ CB . O· E A G (23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 ? 在极坐标系中,设圆 C1 :?=4 cos? 与直线 l:?=4 (?∈R)交于 A,B 两点. (Ⅰ)求以 AB 为直径的圆 C2 的极坐标方程; (Ⅱ)在圆 C1 上任取一点 M ,在圆 C2 上任取一点 N ,求线段 MN 的最大值. D F

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? a | ? | x ? 3 |, a ? R . (Ⅰ)当 a ? ?1 时,解不等式 f ( x)≤1 ; (Ⅱ)若 x ? [0,3] 时, f ( x )≤4 ,求 a 的取值范围.

-4-

吉林省实验中学 2015 届高三年级第五次模拟考试 数学(文)答案
一选择题: 1 C 2 B
2 x 2

3 A

4 A

5 A

6 A

7 D
22 3

8 B

9 B

1 0 C 1

1 2 C

1 D

二、填空题: (13) y ? ? 三、解答题:
1 (17) 【解】 (Ⅰ)由 tan B ? 2 2 得: cos B ? , 3 ac cos B ? 2 ac ? 6, 由 BA ? BC ? 2 得 ,所以 2 2 2 由余弦定理 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,即 a ? c ? ac ? 9 , 3 . ∵ a ? c ,∴ a ? 3, c ? 2
2 2 4 2 7 23 ,由正弦定理得 sin C ? ,∴ cos C ? , cos(B ? C) ? . 3 9 9 27 (18) 【解】(Ⅰ)设常喝碳酸饮料肥胖的学生有 x 人,x = 6

(14)0.74

(15)

(16) 10

(Ⅱ) sin B ?

常喝 肥胖 不胖 合计
2

不常喝 2 18 20

合计 8 22 30

6 4 10

(Ⅱ)由已知数据可求得:K ≈8.522 > 7.879 因此有 99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关. (Ⅲ)设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为 A 、B 、C 、D ,女生为 E 、F ,则任取两人有 AB ,AC , AD ,AE ,AF ,BC ,BD ,BE ,BF ,CD ,CE ,CF ,DE ,DF ,EF ,共 15 种.其 中一男一女有 AE ,AF ,BE ,BF ,CE ,CF ,DE ,DF .抽出一男一女的概率是 (19) 【解】 (Ⅰ)连接 A1Q . ∵ AA1 ? AC , M , Q 分别是 CC1 , AC 的中点,∴△AA1Q≌△CAM,∴ ?MAC ? ?QA1A ∴ ?MAC ? ?AQA1 ? ?QA1 A ? ?AQA1 ? 90? 即 AM ⊥ A1Q ……① ∵ N , Q 分别是 BC , AC 的中点,∴ NQ ∥ AB , 又 AB ⊥ AC ,所以 NQ ⊥ AC , 在直三棱柱中, AA1 ⊥面 ABC , ∴ NQ ⊥ AA1 ,又 AC AA1 ? A ,所以 NQ ⊥平面 ACC1 A1 , ∴ NQ ⊥ AM ……②,由①②及 NQ A1Q ? Q 得 AM ⊥平面 PNQ . (Ⅱ)设 P 点到平面 MNQ 的距离为 h,由 A1 B1 ∥ AB ∥ NQ 可得 A1 B1 ∥平面 MNQ , ∴动点 P 到平面 MNQ 的距离为定值, 1 由 VP?MNQ ? VA1?MNQ ? VN ? A1MQ ,得 VP?MNQ ? S?A1MQ ? NQ . 3
8 . 15

-5-

3 1 1 S?A1MQ ? , NQ ? , VP?MNQ ? 16 8 2 (20) 【解】 (Ⅰ)∵ A( ?3, 0) 在圆 B 的内部,∴两圆相内切,所以 BC ? 8 ? AC ,
即 BC ? AC ? 8 ? AB . ∴ C 点的轨迹是以 A , B 为焦点的椭圆,且长轴长 2a ? 8 , a ? 4 , c ? 3 , x2 y 2 b2 ? 1 6 ? 9 ? ∴曲线 7 ?1. T 的方程为: ? 16 7 2 7 (Ⅱ)当直线 MN 斜率不存在时, AN ? AM ? , OQ ? 7 . 4 7 ∴ AM ? AN ?| AM | ? | AN | ? cos π ? 7 λ ,则 ? ? ? ; 16 当直线 MN 斜率存在时,设 M ( x1, y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,MN: y ? k ( x ? 3) ,则 OQ : y ? kx ,
?7 x 2 ? 16 y 2 ? 112, 由? 得 (7 ? 16k 2 ) x2 ? 96k 2 x ? 144k 2 ? 112 ? 0 , ? y ? k ( x ? 3),

则 x1 ? x 2 ?

144k 2 ? 112 ? 96k 2 , , x ? x ? 1 2 7 ? 16k 2 7 ? 16k 2
? 49k 2 . 7 ? 16k 2

∴ y1 y 2 ? k 2 ??x1 ? 3??x2 ? 3?? ? k 2 ?x1 x 2 ? 3?x1 ? x2 ? ? 9? ?
AM ? AN ? ? x1 ? 3?? x2 ? 3? ? y1 y2 ? ?49(k 2 ? 1) 7 ? 16k 2

?7 x 2 ? 16 y 2 ? 112 112 由? 得 7 x2 ? 16k 2 x 2 ? 112 ,则 x2 ? , 7 ? 16k 2 y ? kx ? 2 2 112(1 ? k 2 ) 7 ∴ OQ ? x2 ? y 2 ? (1 ? k 2 ) x2 ? ,由 AM ? AN ? ?OQ 可解得 ? ? ? . 2 16 7 ? 16k 2 7 综上,存在常数 ? ? ? ,使 AM ? AN ? ?OQ 总成立. 16 1 21.【解】 (Ⅰ) f ?( x) ? ? a , x ∵函数在 x=2 处的切线 l 与直线 x+2y-3=0 平行, 1 1 ∴ k ? ? a ? ? ,解得 a=1 2 2 2 2 (Ⅱ)由(1)得 f(x)=lnx-x,∴f(x)+m=2x-x ,即 x -3x+lnx+m=0, 2 法 1:设 h(x)=x -3x+lnx+m, (x>0) 2 2 x ? 3x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) 1 则 h′(x)=2x-3+ = , ? x x x 1 令 h′(x)=0,得 x1= ,x2=1,列表得: 2 1 ( ,1) x 1 2 (1,2) 2 0 h′(x) - + h(x) 极小值 m-2+ln2 ∴当 x=1 时,h(x)的极小值为 h(1)=m-2, 1 5 又 h( )= m ? ? ln 2 ,h(2)=m-2+ln2, 2 4 1 2 ∵方程 f(x)+m=2x-x 在 [ , 2] 上恰有两个不相等的实数根, 2

-6-

? ? ? h(1) ? 0 ?m ? 2 ? 0 ? ? 5 ∴ ? h(2)≥0 ,即 ? m ? 2 ? ln 2≥0 ,解得 ? ln 2≤m ? 2 4 ? 1 ? 5 ? h( )≥0 ? m ? -ln 2≥0 ? 2 ? 4

法 2:∴f(x)+m=2x-x ,即 m=-x +3x-lnx, x ? [ , 2] 法 1:设 h(x)=-x +3x-lnx, x ? [ ,1] ,
2

2

2

1 2

1 2

?2x2 ? 3x ? 1 ?(2x ? 1)( x ? 1) 1 = , ? x x x 1 令 h′(x)=0,得 x1= ,x2=1,列表得: 2 1 ( ,1) x 1 2 (1,2) 2 0 h′(x) + - h(x) 增函数 极大值 减函数 2-ln2 ∴当 x=1 时,h(x)的极大值为 h(1)=2, 3 1 1 1 5 又 h( )= ? ln 2 ,h(2)=2-ln2,h( )-h(2)=2ln2- >0,h( )>h(2) 4 2 2 2 4 1 5 2 ∵方程 f(x)+m=2x-x 在 [ , 2] 上恰有两个不相等的实数根,? ? ln 2≤m ? 2 4 2 1 x2 ? (b ? 1) x ? 1 1 2 (Ⅲ)∵ g ( x) ? ln x ? x ? (b ? 1) x ,∴ g ?( x) ? ? x ? (b ? 1) ? , 2 x x 由 g ?( x) ? 0 得 x2 ? (b ? 1) x ? 1 ? 0 ∴ x1 ? x2 ? b ? 1, x1 x2 ? 1 ,
则 h′(x)=-2x+3-

1 5 ? x1 ? ≥ ? x 2 1 3 1 ? 1 ∴ x2 ? ,又 b≥ ,∴ ? 解得: 0 ? x1≤ x1 2 2 ?0 ? x ? 1 1 ? x ? 1 x1 1 2 1 1 2 ) ? (b ? 1)( x1 ? x2 ) ? 2 ln x1 ? ( x12 ? 2 ) , ∴ g ( x2 ) ? g ( x2 ) ? ln ? ( x1 ? x2 x2 2 2 x1 1 1 1 F ( x) ? 2ln x ? ( x2 ? 2 ) (0 ? x≤ ) 2 x 2 2 1 ?( x2 ? 1)2 1 则 F ?( x) ? ? x ? 3 ? ? 0 ,∴F(x)在 (0, ] 上单调递减; 3 2 x x x 1 1 15 15 ∴当 x1 ? 时, F ( x)min ? F ( ) ? ? 2ln 2 ,∴ k≤ ? 2ln 2 2 2 8 8 15 ∴k 的最大值为 ? 2ln 2 . 8 22.【解】 (Ⅰ)由切割线定理得 FG 2 ? FA ? FD . EF FD 又 EF ? FG ,所以 EF 2 ? FA ? FD ,即 . ? FA EF 因为 ?EFA ? ?DFE ,所以△FED∽△EAF, 所以 ?DEF ? ?EAD . (Ⅱ)由(Ⅰ)得 ?DEF ? ?EAD ,因为 ?FAE ? ?DAB ? ?DCB , 所以 ?FED ? ?BCD ,所以 EF ∥ CB . 23.【解】 (Ⅰ) 以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立直角坐标系,
-7-

则由题意,得圆 C1 的直角坐标方程 x2+y2-4x=0, 直线 l 的直角坐标方程 y=x. ?x2+y2-4x=0, ?x=0, ?x=2, 由? 解得? 或 ? y = x , y = 0 , ? ? ?y=2. 所以 A(0,0),B(2,2). 从而圆 C2 的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=2,即 x2+y2=2x+2y. 将其化为极坐标方程为:?2-2?(cos?+sin?)=0,即?=2(cos?+sin?). (Ⅱ)∵ C1 (2,0), r1 ? 2, C2 (1,1), r2 ? 2, ∴ | MN |最大值 ?| C1C2 | ?2 ? 2 ? 2 2 ? 2 .

1 24.【解】 (Ⅰ)当 a ? ?1 时,不等式为 x ? 1 ? x ? 3 ≤
当 x≤ ? 3 ,不等式转化为 ?( x ? 1) ? ( x ? 3)≤1 ,不等式解集为空集;
5 当 ?3 ? x ? ?1 ,不等式转化为 ( x ? 1) ? ( x ? 3)≤1 ,解之得 ? ≤x ? ?1 ; 2

当 x≥ ? 1 时,不等式转化为 ( x ? 1) ? ( x ? 3)≤1 ,恒成立;
5 综上不等式的解集为 [? , ??) . 2

(Ⅱ)若 x ? [0,3] 时, f ( x )≤4 恒成立,即 | x ? a | ≤x ? 7 ,亦即 ?7≤a≤2x ? 7 恒成立, 又因为 x ? [0,3] ,所以 ?7≤ a≤7 ,所以 a 的取值范围为 [?7,7] .

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-8-

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