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高一数学必修1主要考点


高一数学必修 1 主要考点

高中数学必修 高中数学必修 1 主要考点
考点一:集合间的运算: 、并集(A∪B)、补集(CUA) 考点一:集合间的运算:求交集(A∩B) 类型题 1:用列举法表示的集合间的运算 : 对于用列举法表示的集合间的运算,A∩B(交集)为 A 与 B 的相同元素组成 的集合,A∪B(并集)为 A 与 B 的所有元素合在一起并把重复元素去掉一个所组 成的集合,CUA(补集)为在全集 U 中把 A 拥有的元素全部去掉剩下的元素所组成 的集合。 例 1、已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合 A={1,3,5,7},集合 B={2,5,8},求 A ∩B,A∪B,CUA。 解:A∩B={1,3,5,7}∩{2,5,8}={5} A∪B={1,3,5,7}∪{2,5,8}={1,2,3,5,7,8} CUA={2,4,6,8,9,10} 类型题 2:用描述法表示的集合间的运算(主要针对用不等式描述元素特征) : 对于用描述法表示的集合间的运算,主要采用数形结合的方法,将集合用数轴 或文氏图表示出来(常选用数轴表示) ,再通过观察图形求相应运算。A∩B(交集) 为图形中 A 与 B 重叠即共同拥有的部分表示的集合。A∪B(并集)为图形中 A 加 上 B 所表示的集合。CUA(补集)为图形中表示全集 U 的部分中去除表示 A 剩下 的部分所表示的集合(若全集为 R,则数轴表示时是整条数轴)注意表示数轴是带 有等于号的用实心点表示,没带等于号的用空心点表示。 例 2、已知集合 A={x|0<x<2},B={x|-1<x<3},求 A∩B,A∪B,CRA。 解:A∩B={x|0<x<2}∩{x|-1<x<3}={x|0<x<2} 数轴表示: (此部分可在草稿纸进行)

A∪B={x|0<x<2}∪{x|-1<x<3}={x|-1<x <3} 数轴表示: (此部分可在草稿纸进行)

CRA={x|x≤0 或 x≥2} 数轴表示: (此部分可在草稿纸进行)

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考点二: 考点二:求函数的定义域 求函数定义域的主要依据: 求函数定义域的主要依据: (1)分式的分母不为 0; (2)偶次方根的被开方数不小于 0,0 取 0 次方没有意义(即指数为 0 的幂函数底 数不能为 0) ; (3)对数函数的真数必须大于 0; (4)指数函数和对数函数的底数必须大于 0 且不等于 1; (5)当函数涉及实际问题时,还必须保证实际问题有意义。 (6)如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都 有意义的实数集合。 (即求各集合的交集) 注意: 注意:函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式。 例 1:已知函数 f (x) =

x+3 +

1 ,求函数的定义域。 x+2

解:∵ ?

?x + 3 ≥ 0 ?x + 2 ≠ 0

解得: ?

? x ≥ ?3 ? x ≠ ?2

∴所给函数的定义域为 {x | x ≥ ?3且x ≠ ?2} 。 例 2、求函数 y = log 0.2 (4 ? x ) + ( x ? 3) 的定义域。
0

解:∵ ?

?4 ? x > 0 ?x < 4 解得: ? ?x ? 3 ≠ 0 ?x ≠ 3
x

∴所给函数的定义域为 {x | x < 4且x ≠ 3} 。

例 3、求函数 y = ( x + 1) + log ( x ? 2 ) x 的定义域。

? x +1 > 0 ? x > ?1 ? x +1 ≠ 1 ?x≠0 ? ? ? ? 解:∵ ? x ? 2 > 0 解得: ? x > 2 ∴所给函数的定义域为 {x | x > 2且x ≠ 3} 。 ?x ? 2 ≠ 1 ?x≠3 ? ? ? x>0 ?x>0 ? ?
例 4、设一个矩形周长为 80,其中一边长为 x,求它的面积关于 x 的函数的解析式, 并写出定义域. 解:由题意知,另一边长为 所以 s=

80 ? 2 x ? x = (40-x)x 2

80 ? 2 x ,且边长为正数,所以 0<x<40. 2
(0<x<40)

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考点三: 考点三:相同函数的判断 1 ○ 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关 系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函 数相等(或为同一函数) 2 ○ 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和 函数值的字母无关。 例 1、下列函数中哪个与函数 y=x 相等? (1)y = ( x )2 ; (2)y = ( x ) ; (3)y = x
3 3 2

;

(4)y=

x2 x

解:函数 y=x 的定义域为 R,对应关系为 y=x; (1)y = ( x )2 的定义域为{x|x>0},定义域不相同; (2)y = ( 3 x )定义域为 R,化简后对应关系为 y=x,与 y=x 为同一函数; (3)y = x 定义域为 R,化简后对应关系为 y=|x|,对应关系不相同; (4)y=
2 3

x2 定义域为{x|x≠0},定义域不相同。 x

考点四:单调性证明及性质应用 考点四:单调性证明及性质应用 1、定义 、 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时, 都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数 增函数; 增函数 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时, 都有 f(x1)>f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是减函数 减函数。 减函数 2、性质 、 增函数: 增函数:在单调区间内,对于任意 x1<x2,均有 f(x1)<f(x2),且函数图象在此区间内 呈现上升趋势; 减函数: 减函数:在单调区间内,对于任意 x1<x2,均有 f(x1)>f(x2),且函数图象在此区间内 呈现下降趋势; 3、定义法证明单调性步骤 、 ① 在单调区间内任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; (取值) ② 作差 f(x1)-f(x2); ③ 变形(通常是因式分解和配方) ; ④ 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; ⑤ 下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) .

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例 1、证明函数 f(x)=

3 在[3,5]上是减函数。 x +1

证明:设 x1 , x 2 ∈ [3,5] ,且 x1 < x 2 ,则

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) =

3( x 2 ? x1 ) 3 3 ? = x1 + 1 x 2 + 1 ( x1 + 1)( x 2 + 1)

∵ x1 , x 2 ∈ [3,5] ,∴ x1 + 1 > 0, x 2 + 1 > 0 ∵ x1 < x 2 ,∴ x 2 ? x1 > 0

∴ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) > 0,即f ( x1 ) > f ( x 2 )
因此,函数 f(x)=

3 在[3,5]上是减函数。 x +1

4、利用函数单调性求变量取值范围 、 常见给出一个二次函数在某一区间上的单调性,并求变量的取值范围。此类题 型注意二次函数的对称轴必须落在所给单调区间的外面,再结合二次函数开口方向 即可求解。 例 2、设函数 f ( x ) = x ? ( 3a ? 1) x + a 在区间 1, +∞
2 2

(

) 上是增函数,求实数 a 的

取值范围。 解:∵二次函数 f ( x ) = x ? ( 3a ? 1) x + a 图象开口向上,
2 2

对称轴为: x = ?
2

? (3a ? 1) 3a ? 1 = 2 2
2

∴函数 f ( x ) = x ? ( 3a ? 1) x + a 在区间 (
2

3a ? 1 ,+∞) 上是增函数 2

又由题意知:函数 f ( x ) = x ? ( 3a ? 1) x + a 在区间 1, +∞
2

(

) 上是增函数



3a ? 1 ≤ 1 ,解得: a ≤ 1 2

∴实数 a 的取值范围为 ( ?∞,1]

考点五 求函数最值: 考点五:求函数最值:求函数最值一般结合函数单调性进行求解 例 1、求函数 y = ( x ? 1) 2 ? 2 , 0 ≤ x ≤ 2 的最大值与最小值。 解:∵函数 y = ( x ? 1) 2 ? 2 为二次函数,图像开口向上,对称轴为 x=1 ∴函数在对称轴处取得最小值 f(1)=-2,又 f(0)=f(2)=-1,故函数最大值为-1。

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考点六 奇偶性判断及性质应用 考点六:奇偶性判断及性质应用 1、定义 、 偶函数: 偶函数:一般地,对于函数 f ( x ) 的定义域内的任意一个 x ,都有 f ( ? x ) = f ( x ) , (学生活动)依照偶函数的定义给出奇函数的定义. 那么 f ( x ) 就叫做偶函数. 奇函数: 奇函数:一般地,对于函数 f ( x ) 的定义域的任意一个 x ,都有 f ( ? x ) = ? f ( x) , 那么 f ( x ) 就叫做奇函数. 2、性质 、 偶函数: 偶函数: f ( ? x ) = f ( x ) ,图象关于 y 轴对称; 图象在关于原点对称的两个区间上的单调性相反。 奇函数: 奇函数: f ( ? x ) = ? f ( x) ,图象关于原点对称, f (0) = f ( ?0) = 0 ; 图象在关于原点对称的两个区间上的单调性相同。 典型题:利用奇偶性性质求函数解析式 例 1、函数 f ( x ) 是定义域为 R 的奇函数,当 x > 0 时, f ( x ) = ? x + 1 ,求当 x < 0 、 时, f ( x ) 的表达式。 解:令 x < 0, 则 ? x > 0, f ( ? x ) = ?( ? x ) + 1 = x + 1

∵ f (x) 是定义域为 R 的奇函数,∴ f ( x) = ? f (? x)
∴当 x < 0 时, f ( x ) = ? f ( ? x ) = ?( x + 1) = ? x ? 1 。 ∴当 x < 0 时, f ( x ) 的表达式为: f ( x ) = ? x ? 1 3、判断奇偶性步骤: 、判断奇偶性步骤: ①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ②确定 f (? x)与f ( x)的关系 ; ③作出相应结论: 若 f (? x) = f ( x)或f (? x) ? f ( x) = 0, 则f ( x)是偶函数 ; 若 f (? x) = ? f ( x)或f (? x) + f ( x) = 0, 则f ( x)是奇函数

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例 2、判断下列函数的奇偶性 、 (1) f ( x ) =

x?2 + 2? x

(2) f ( x ) =| x + 1 | + | x ? 1 |

解: (1) f (x ) 的定义域为{2},定义域不关于原点对称 因此函数 f (x ) 既不是奇函数,也不是偶函数 (2) f (x ) 的定义域为 R,定义域关于原点对称 又 f ( ? x ) =| ? x + 1 | + | ? x ? 1 |=| x ? 1 | + | x + 1 |= f ( x ) ∴ f (x ) 是偶函数 考点七:指数式、 考点七:指数式、对数式运算 1、实数指数幂的运算性质: 、实数指数幂的运算性质: (1) a · a = a
r r r+s

(a > 0, r , s ∈ R )

r s rs (2) ( a ) = a

(a > 0, r , s ∈ R)

r r s (3) ( ab) = a a (a > 0, r , s ∈ R )

2、对数的运算性质:如果 a > 0 ,且 a ≠ 1 , M > 0 , N > 0 ,那么: 、对数的运算性质: 1 ○ log a ( M · N ) = log a M + log a N ; 2 ○ log a

M = log a M - log a N ; N n 3 ○ log a M = n log a M (n ∈ R) .
log a b = log c b log c a
( a > 0 ,且 a ≠ 1 ; c > 0 ,且 c ≠ 1 ; b > 0 ) .

3、换底公式: 、换底公式:

例 1 计算下列各式的值: (1) ( a + b) 3 × ( a + b) (2) log 3 25 ? log 3 16 (3) log 9 27

解: (1) ( a + b) 3 × ( a + b) = ( a + b) 3+1 = ( a + b) 4 (2) log 3 25 ? log 3 16 = log 3 (3) log 9 27 =

25 5 5 = log 3 ( ) 2 = 2 log 3 16 4 4

log 3 27 log 3 33 3 = = log 3 9 log 3 3 2 2

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考点八:指数型函数、对数型函数、 考点八:指数型函数、对数型函数、幂函数过定点问题 利用指数函数、对数函数、幂函数过定点求解: ,即当 x=0 时,y=1(即 ax=1) 。 指数函数 y = a ( a > 0且a ≠ 1) 图象过定点(0,1)
x

(1,0)即当 x=1 时, (即 logax=0) , y=0 。 对数函数 y = log a x( a > 0且a ≠ 1) 图象过定点
a ,即当 x=1 时,y=1(即 xa=1) 。 幂函数 y = x ( a > 0且a ≠ 1) 图象过定点(1,1) x ?2 + 1(a > 0, a ≠ 1) 的图象必经过点 例:函数 y = a



解:由指数函数 y = a x ( a > 0且a ≠ 1) 过定点(0,1)可知: 当 x-2=0 时,ax-2=1,则 y= ax-2+1=1+1=2, 即当 x=2 时,y= ax-2+1=2, 因此,函数 y = a x ? 2 + 1( a > 0, a ≠ 1) 的图象必经过点(2,2) 。 考点九:指数不等式、 考点九:指数不等式、对数不等式 借助指数函数、对数函数图象性质(尤其是单调性)求解: 指数函数:若 0<a<1:当 x < 0 时,y > 1;当 x > 0 时,0<y < 1 。在定义域上减。 指数函数 若 a >1: 当 x < 0 时,0<y < 1;当 x > 0 时,y > 1。在定义域上增。 对数函数: 对数函数:若 0<a<1:当 0<x<1 时, y>0;当 x>1 时, y<0。在定义域上减。 若 a >1: 当 0<x<1 时, y<0;当 x>1 时, y>0。在定义域上增。 注意别忽略对数式对真数的限制:真数大于 0。 例:解不等式 log 2 (2 x ? 1) < log 2 (? x + 5). 解:∵对数式中真数大于 0,∴ ?

? 2 x ? 1 > 0, 1 解得 < x < 5. 2 ?? x + 5 > 0,

又函数 y = log 2 x 在 (0,+∞) 上是增函数 ∴原不等式化为 2 x ? 1 < ? x + 5, 解得 x < 2. ∴原不等式的解集是 {x |

1 < x < 2}. 2

考点十:利用指数函数、 考点十:利用指数函数、对数函数单调性求变量取值范围 例:已知函数 y=(a+1)x 在 R 上为减函数,求变量 a 的取值范围。 解:由函数 y=(a+1)x 在 R 上为减函数可知:0<a+1<1 解得:-1<a<0 因此,变量 a 的取值范围为{a|-1<a<0}。

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考点十 考点十一:零点问题 1、 方程与函数的关系: 方程 f(x)=0 有实数根 ? 函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点 ? 、 方程与函数的关系: 函数 y=f(x)有零点. 2、求函数零点(或方程的根)所在区间: 、求函数零点(或方程的根)所在区间: 方法一: 代入法) 方法一: 代入法)对于选择题,可选用代入法,根据零点定理(y=f(x)是在区间 ( [a,b]上的连续函数,如果有 f(a)f(b)<0,则:函数 y=f(x)在区间[a,b]内有零点,方 程 f(x)=0 在(a,b)内有实根。 )确定零点所在区间。 例 1:函数 f ( x) = e + x ? 2 的零点所在的一个区间是( :
x



A、 (-2,-1)

B、 (-1,0)

C、 (0,1)

D、 (1,2)

【解析】代入法。∵ f ( x) = e x + x ? 2, f (0) = ?1 < 0, f (1) = e ? 1 > 0, 选 C。 ∴ 方法二: 图像法) ( ,可将 方法二: 图像法)若所给函数由基本初等函数组合而成(即 G(x)=g(x)-f(x)) 函数对应的方程化成 f(x)=g(x)的形式,则零点所在区间就是这两个函数 f(x)与 g(x) 图像交点所在区间。 在坐标轴上画出两个函数的图形, 找出图像交点所在区间即可。 如上面的例 1 中函数对应方程 e + x ? 2 = 0 可化为 e = ? x + 2 ,在坐标轴上画出
x x

函数 y = e x 和y = ? x + 2 的图象,可发现两函数图象交点在区间(0,1)内。 3、求函数零点(方程的根)的个数或根据零点个数求变量取值范围。 、求函数零点(方程的根)的个数或根据零点个数求变量取值范围。 或根据零点个数求变量取值范围 求函数零点的个数即求对应方程的根的个数, 也是函数图象与 x 轴的交点个数。 比较常见涉及的函数为二次函数。此类题型可用二次函数的图像或对应一元二次方 程的根的判别式△进行判断。
2 例 2:函数 y = x ? 4 x + 4 有 :

个零点。
2

解:令 x 2 ? 4 x + 4 = 0,∵ ? = ( ?4) 2 ? 4 × 4 = 0,∴ 方程 x ? 4 x + 4 = 0 有一实根。 因此,函数 y = x 2 ? 4 x + 4 有 1 个零点。 例 3:函数 f ( x ) = ax 2 ? x ? 1 只有有一个零点,求 a 的取值范围。 : 解: (1)若 a=0,则 f(x)=-x-1 为一次函数,函数必有一个零点为-1; (2)若 a≠0,则函数 f ( x ) = ax 2 ? x ? 1 是二次函数,由函数只有一个零点知:

1 4 1 综上所述,当 a = 0和a = ? 是函数只有一个零点。 4 ? = 1 + 4a = 0,∴ a = ?


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