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2006年普通高等学校招生全国统一考试(全国1卷)文科数学试题及解答(WORD版)


2006 年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ卷) 数学(文史类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 到 10 页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 3.本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么球是表面积公式
P ( A ? B ) ? P ( A ) ? P ( B ) S ? 4? R
2

如果事件 A、B 相互独立,那么其中 R 表示球的半径
P ( A ? B ) ? P ( A ) ? P ( B ) 球的体积公式

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 V ?

4 3

?R

3

n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率其中 R 表示球的半径
Pn ( k ) ? C n P (1 ? P )
k k n?k

一.选择题 (1)已知向量 a、b 满足|a|=1,|b|=4,且 ab=2,则 a 与 b 的夹角为 ? ? ? ? (A) (B) (C) (D)
6 4
2

3

2

(2)设集合 M={x|x -x<0},N={x||x|<2},则 (A)M ? N ? ? (B)M ? N ? M (C) M ? N ? M (D) M ? N ? R

(3)已知函数 y=ex 的图象与函数 y=f(x)的图象关于直线 y=x 对称,则 (A)f(2x)=e2x(x ? R ) (C)f(2x)=2e2x(x ? R ) (B)f(2x)=ln2lnx(x>0 ) (D)f(2x)=lnx+ln2(x>0 )

(4)双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m= (A)1 4

(B)-4

(C)4

(D)

1 4

(5)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 S7=35,则 a4= (A)8 (B)7 (C)6 (D)5 ? (6)函数 f(x)=tan(x+ )的单调递增区间为
4
1

(A)(k ? (C)(k ? -

?
2 3? 4

,k ? +

?
2

),k ? Z
?
4

(B)(k ? ,(k+1) ? ),k ? Z (D)(k ? ?
4

,k ? +

),k ? Z

,k ? +

3? 4

),k ? Z

(7)从圆 x2-2x+y2-2y+1=0 外一点 P(3,2)向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为 (A)
1 2

(B)

3 5

(C)

3 2

(D)0

(8) ? ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a、b、c,且 c=2a,则 cosB= (A)
1 4

(B)

3 4

(C)

2 4

(D)

2 3

(9)已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥高为 4,体积为 16,则这个球的表面积是 (A)16 ? (B)20 ? (C)24 ? (D)32 ? (10)在(x1 2x

)10 的展开式中,x4 的系数为

(A)-120 (B)120 (C)-15 (D)15 2 (11)抛物线 y=-x 上的点到 4x+3y-8=0 直线的距离的最小值是 (A)
4 3

(B)

7 5

(C)

8 5

(D)3

(12)用长度分别为 2、3、4、5、6(单位:cm)的细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许 折断),能够得到期的三角形面积的最大值为 (A)8 5 cm2 (B)6 10 cm2 (C)3 55 cm2 (D)20cm2

第Ⅱ卷
二.本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上。 (13)已知函数 f(x)=a1 2 ?1
x

,若 f(x)为奇函数,则 a=___________。

(14)已知正四棱锥的体积为 12,底面对角线的长为 2 6 ,则侧面与底面所成的二面角等 于_____________。
?2 x ? y ? 1 ? (15)设 z=2y-x,式中 x、y 满足下列条件 ? 3 x ? 2 y ? 23 ,则 z 的最大值为__________ ?y ? 1 ?

(16)安排 7 位工作人员在 5 月 1 日至 5 月 7 日值班,每人值班一天,其中甲乙二人都不安排 5 月 1 日和 5 月 2 日.不同的安排方法共有__________种(用数字作答) 三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本大题满分 12 分) 已知{an}为等差数列,a3=2,a2+a4=
20 3

,求{an}的通项公式.

2

(18) (本大题满分 12 分) △ABC 的三个内角为 A、B、C,求当 A 为何值时,cosA+cos 大值
B ?C 2

取得最大值,并求出这个最

(19) (本大题满分 12 分) A、B 是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验,每个试验组由 4 只小白鼠 组成,其中 2 只服用 A,另 2 只服用 B,然后观察疗效.若在一组试验中,服用 A 有郊的小 白鼠只数比服用 B 有郊的多, 就称该组试验为甲类组.设每只小白鼠服用 A 有郊的概率为 服用 B 有郊的概率为
1 2
2 3



.

(Ⅰ)求一个试验组为甲类组的概率; (Ⅱ)观察 3 个试验组,求这 3 个试验组中至少有一个甲类组的概率. (20) (本大题满分 12 分) 如图,l1、l2 是互相垂直的两条异面直线, 是它们 MN 的公垂线段,点 A、B 在 l1 上,C 在 l2 上, AM=MB=MN (I)证明 AC ? NB (II)若 ? ACB ? 60 ,求 NB 与平面 ABC 所成 角的余弦值 M B N
?

l2 C l1 A

(21) (本大题满分 12 分) 设 P 为椭圆
x a
2 2

? y

2

? 1 (a>1)短轴上的一个端点,Q 为椭圆上的一个动点,求|PQ|的最大值

(22) (本大题满分 14 分) 设 a 为实数,函数 f(x)=x3-ax2+(a2-1)x 在(- ? ,0)和(1, ? )都是增函数,求 a 的最值范围。

3

2006 年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ卷)
参考答案
一、选择题:1.C2.B3.D4.A5.D6.C7.B8.B9.C10.C11.A12.B 1 π 二、填空题:13. 14. 15.1116.2400 2 3 三、解答题: a3 2 17.解:设等比数列{an}的公比为 q,则 q≠0,a2= = ,a4=a3q=2q q q 2 20 1 所以 +2q= ,解得 q1= ,q2=3, q 3 3 1 1 - 18 - 当 q1= ,a1=18.所以 an=18?( )n 1= n-1=2?33 n. 3 3 3 2 2 - 当 q=3 时,a1= ,所以 an= ?3n-1=2?3n 3. 9 9 B+C π A B+C A 18.解:由 A+B+C=π ,得 = - ,所以有 cos =sin . 2 2 2 2 2 B+C A A A cosA+2cos =cosA+2sin =1-2sin2 +2sin 2 2 2 2 A 1 3 =-2(sin - )2+ 2 2 2 π A 1 B+C 3 当 sin = ,即 A= 时,cosA+2cos 取得最大值为 2 2 3 2 2 19.解:(1)设 Ai 表示事件“一个试验组中,服用 A 有效的小鼠有 i 只",i=0,1,2, Bi 表示事件“一个试验组中,服用 B 有效的小鼠有 i 只",i=0,1,2, 1 2 4 2 2 4 1 1 1 依题意有:P(A1)=2? ? = ,P(A2)= ? = .P(B0)= ? = , 3 3 9 3 3 9 2 2 4 1 1 1 P(B1)=2? ? = ,所求概率为:P=P(B0?A1)+P(B0?A2)+P(B1?A2) 2 2 2 1 4 1 4 1 4 4 = ? + ? + ? = 4 9 4 9 2 9 9 4 604 (Ⅱ)所求概率为:P=1-(1- )3= 9 729 20. 解 法 一 :( Ⅰ ) 由 已 知 l2 ⊥ MN,l2 ⊥ l1,MN ∩ l1=M, 可 得 l2 ⊥ 平 面 ABN. 由 已 知 MN ⊥ l1,AM=MB=MN,可知 AN=NB 且 AN⊥NB.又 AN 为 AC 在平面 ABN 内的射影.
4

∴AC⊥NB (Ⅱ)∵Rt△CAN≌Rt△CNB,∴AC=BC,又已知∠ACB=60°, 因此△ABC 为正三角形. ∵Rt△ANB≌Rt△CNB,∴NC=NA=NB,因此 N 在平面 ABC 内的 l1 射影 H 是正三角形 ABC 的中心,连结 BH,∠NBH 为 NB 与平面 A ABC 所成的角. M 3 AB HB 3 6 在 Rt△NHB 中,cos∠NBH= = = . NB 2 3 AB 2 解法二:如图,建立空间直角坐标系 M-xyz.令 MN=1,则有 A(-1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0), (Ⅰ)∵MN 是 l1、l2 的公垂线,l1⊥l2,∴l2⊥平面 ABN.l2 平行 → → 于 z 轴.故可设 C(0,1,m).于是AC=(1,1,m),NB=(1,-1,0).∴ → → AC?NB=1+(-1)+0=0∴AC⊥NB. → → → → (Ⅱ)∵AC =(1,1,m),BC =(-1,1,m),∴|AC |=|BC |,又已知∠ ACB=60°,∴△ABC 为正三角形,AC=BC=AB=2.在 Rt△CNB 中,NB= 2,可得 NC= 2,故 C(0,1, 2). → 连结 MC,作 NH⊥MC 于 H,设 H(0,λ , 2λ )(λ >0).∴HN=(0,1-λ ,- 2λ ), 1 → → → MC=(0,1, 2).HN?MC=1-λ -2λ =0,∴λ = , 3 1 2 2 2 1 2 → → ∴H(0, , ),可得HN=(0, ,- ),连结 BH,则BH=(-1, , ), 3 3 3 3 3 3 2 2 → → → → ∵HN?BH=0+ - =0,∴HN⊥BH,又 MC∩BH=H,∴HN⊥平面 ABC, 9 9 → ∠NBH 为 NB 与平面 ABC 所成的角.又BN=(-1,1,0), 4 → → 3 BH?BN 6 ∴cos∠NBH= = = 2 3 → → |BH|?|BN| ? 2 3 21.解:依题意可设 P(0,1),Q(x,y),则|PQ|= x2+(y-1)2 ,又因为 Q 在椭圆上, 所以,x2=a2(1-y2),|PQ|2=a2(1-y2)+y2-2y+1=(1-a2)y2-2y+1+a2
l1 A M B x N H y H N B l2 C

l2 z C

5

=(1-a2)(y-

1 2 1 )- +1+a2. 1-a2 1-a2

a2 a2-1 1 1 因为|y|≤1,a>1,若 a≥ 2,则| |≤1,当 y= 时,|PQ|取最大值 2 ; 1-a2 1-a2 a -1 若 1<a< 2,则当 y=-1 时,|PQ|取最大值 2. 22.解:f'(x)=3x2-2ax+(a2-1),其判别式△=4a2-12a2+12=12-8a2. (ⅰ)若△=12-8a2=0,即 a=± 数.所以 a=± 6 . 2 6 a a ,当 x∈(-∞, ),或 x∈( ,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(-∞,+∞)为增函 2 3 3

3 (ⅱ)若△=12-8a2<0,恒有 f'(x)>0,f(x)在(-∞,+∞)为增函数,所以 a2> , 2 即 a∈(-∞,- 6 6 )∪( ,+∞) 2 2 a- 3-2a2 a+ 3-2a2 6 6 <a< ,令 f'(x)=0,解得 x1= ,x2= . 2 2 3 3 6 2

(ⅲ)若△12-8a2>0,即-

当 x∈(-∞,x1),或 x∈(x2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)为增函数;当 x∈(x1,x2)时,f'(x)<0,f(x)为减函数.依 题意 x1≥0 且 x2≤1.由 x1≥0 得 a≥ 3-2a2 ,解得 1≤a< 由 x2≤1 得 3-2a2 ≤3-a,解得- 综上,a 的取值范围为(-∞,-

6 6 6 <a< ,从而 a∈[1, ) 2 2 2

6 6 6 6 ]∪[ ,+∞)∪[1, ),即 a∈(-∞,- ]∪[1,∞). 2 2 2 2

6


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