tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

2017届河北定州中学高三上学期周练(7.8)数学试题(解析版)


2017 届河北定州中学高三上学期周练(7.8)数学试题
一、选择题 1.已知 O 为坐标原点,双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的左焦点为 F ? ?c,0? a 2 b2

( c?0 ) , 以 OF 为 直 径 的 圆 交 双 曲 线 C 的 渐 近 线 于 A,B , O 三

点 , 且

F? ?? ? ? ?

? ? ??

? ? ?? ? ??? ?F ? ? 0 .关于 x 的方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的两个实数根分别为 x1 和 x2 ,则


以 x1 , x2 , 2 为边长的三角形的形状是( A.钝角三角形 C. 锐角三角形 【答案】A B.直角三角形 D.等腰直角三角形

??? ? ??? ? ??? ? ( AO ? AF ) ? OF ? 0 ,所以三角形 OAF 为等腰直角三角形, 【解析】试题分析:因为

2

a ? b, c ? 2a
2







x1 ?

x 1 2 ?

, ? x1

,2

x2 ?

?

x1 ? x2 ? x12 ? x2 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ? 1 ? 2 2 ? 4 ? 22

,所以该三角形为钝角三

角形,故选 A. 【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程与几何性质、向量加法及数量积的几何意义、 余弦定理,中档题.圆锥曲线的几何性质与正、余弦定理是高考的高频考点,本题将两 者及向量有机的结合在一起,体现了试题的综合性与学生分析、解决问题的能力及运算 能力,是本题的亮点. 【考点】1.双曲线的标准方程与几何性质;2.向量加法及数量积的几何意义;3.余 弦定理. 2.已知 a ? ? 2, ?4 ? , b ? ? ?3, m ? ,若 a b ? a ? b ? 0 ,则实数 m ? ( A.

?

?

? ?

? ?

) D.8

3 2

B.3

C.6

【答案】C 【 解















? ? ? ? a b ? a ? b ? 0 ? 22 ? (?4)2 ? (?3)2 ? m2 ? 2 ? (?3) ? 4m ? 2 5 ? 9 ? m2 ? 6 ? 4m ? 0
,解之得 m ? 6 ,故选 C. 【考点】1.向量坐标运算;2.向量的数量积与模.

?2 x , 0 ? x ? 1 ? 3.函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? ? 1 ,则方 f x ? 1 , x ? 1 ? ? ? ?2
程 f ? x? ? A.0 【答案】C

1 在 ? ?3,5? 上的所有实根之和为( x
B.2

) C.4 D.6

第 1 页 共 19 页

【解析】试题分析:由题意可知,当 x ? [?3,3] 时,由奇函数性质可知,

f ? x? ?

1 x的

所有实根之和为 0 ,当 x ? (3, 4] 时, f ( x) ? 2

x ?6

f ( x) ? 2 x ?6 ?
,由

1 x 得 x ? 4 ,当当

x ?8 x ? (4,5] 时 , f ( x ) ? 2 ,方程

f ( x ) ? 2x ?8 ?

1 x 无 解 , 所 以 在 区 间 ?-3,5? , 方 程

f ? x? ?

1 x 的所有实根之和为 4 .

【考点】1.函数的奇偶性;2.分段函数与函数的周期性;3.函数与方程. 【名师点睛】本题考查函数的奇偶性、分段函数与函数的周期性、函数与方程,难题; 函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点, 考生需要对初高中阶段学习的十 几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉;另外,函数零点的几种 等价形式: 函数 y ? f ( x) ? g ( x) 有零点 ? 函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在 x 轴有交点 ? 方程

f ( x) ? g ( x) ? 0 有根 ? 函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 有交点.
4.已知直线 y ? 1 ? x 与双曲线 ax 2 ? by 2 ? 1( a ? 0 , b ? 0 )的渐近线交于 ? , ? 两 点,且过原点和线段 ?? 中点的直线的斜率为 ?

a 3 ,则 的值( b 2
C. ?



A. ?

2 3 27

B. ?

3 2
2 2

9 3 2
2

D. ?

2 3 3

【答案】B 【解析】试题分析:双曲线 ax ? by ? 1 的渐近线方程可表示为 ax ? by ? 0 ,由
2

? y ? 1? x ? 2 2 2 ?ax ? by ? 0 得 (a ? b) x ? 2bx ? b ? 0
x1 ? x ? 2

, 设

A( 1 x ,

1

y ) , A2 ( x ,y ,2 则

)

2b 2a , y ? y1 ? 2 a?b a ? b , 所 以 原 点 和 线 段 AB 中 点 的 直 线 的 斜 率 为

y1 ? y2 y ?y a 3 k ? 2 ? 1 2 ? ?? x1 ? x2 x1 ? x2 b 2 2 ,故选 B.
【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程与几何性质、直线的斜率,中档题;双曲线

ax2 ? by 2 ? 0 的渐近线方程为 ax2 ? by 2 ? 0(即在双曲线的标准方程中,将右边的1 改
为 0 即可) ,将直线

y ? 1 ? x 代入这个渐近线方程得到的一元二次方程的根即为 A, B 两

点的坐标,由根与系数关系可得到所求结果. 第 2 页 共 19 页

【考点】1.双曲线的标准方程与几何性质;2.直线的斜率. 5 .已知抛物线 C : y 2 ? 8x 的焦点为 F ,准线与 x 轴的交点为 ? ,点 ? 在 C 上且

?? ? 2 ?F ,则 ??F? 的面积为(
A.4 【答案】B B.8

) C.16 D.32

【解析】 试题分析: 由题意, 得 F (2, 0) , 抛物线的准线方程为 x ? ?2 , 所以 K (?2, 0) . 设

Ax ( ,y)

| x ? 2, 所 以 | A K ? | ,则由抛物线的定义,知 | AF ?

2 (x ? 2, ) 即

2 (x ? 2 2 ) ? y2 ? 2 ( x? 2 ). 又 y 2 ? 8x , 所 以 x ? 2 , | y |? 4 , 所 以

1 1 S ?AFK = | KF | ? | y0 | = ? 4 ? 4=8 2 2 ,故选 B.
【考点】抛物线的定义及几何性质.
x () ? f x () t ? fx ?() 6. 已知 f ? x ? ? x ? e , 又 gx

2

(t ? R) 若满足 g ( x) ? ?1 的 x 有四个,

则 t 的取值范围为(



? e2 ? 1 ? , ?? ? ? e ? A. ?

? e2 ? 1 ? ?? , ? ? ? e ? B. ? ? e2 ? 1 ? ? 2, ? e ? ? D.

? e2 ? 1 ? , ?2 ? ?? e ? C. ?
【答案】B 【 解 析 】 试 题 分 析 : 依 题 意

g ( x) ? f 2 ( x) ? t ? f ( x) ? ?1 , 即

t?

?1 ?1 ? f 2 x( ) ? ? ?? f x ? ? ? ? ? ?2 ? f ( x) f ? x? ? ? ? ,由于这个是对钩函数,可排除 A,C,D.也

? 1 ? ?? f x ? ? ? ? ? f ? x? ? ? ? 图象如下图所示,要有四个交点,则选 B. 可以画出函数

【考点】函数图象与性质.

第 3 页 共 19 页

【思路点晴】先按题意, g ( x) ? f ( x) ? t ? f ( x) ? ?1 我们将其分类参数,也就是说,
2

t?
把含有 t 的放一边,其它的方另外一边,得到

? ?1 ? f 2 ( x) 1 ? ? ?? f x ? ? ? ? ? f ( x) f ? x? ? ? ? ,此

时,可以利用基本不等式得到 t ? ?2 ,由于这个是对钩函数,易排除 A,C,D.当我们 在研究两个函数有四个零点问题的时候,也可以先分离参数,将不含参数部分的图象画 出来,根据图象来求参数的取值范围.

y2 ?1 F,F 4 7.设 1 2 是双曲线 的左、右两个焦点,若双曲线右支上存在一点 ? ,使 ??? ? ???? ? ???? ? ???? ???? ? OP ? OF2 ? F2 P ? 0 O PF1 ? ? PF2 ? ( 为坐标原点)且 则 的值为( ) x2 ?

?

?

A.2

1 B. 2

C.3

1 D. 3
【答案】A 【解析】试题分析:画出图象如下图所示,依题意可知四边形

POF2 Q 为菱形,所以

OF2 ? OP ,设 P ? x0 , y0 ? ,则


2 x0 ?

2 ? 3 4 ? y0 P? , ?1 2 2 2 x ? y0 ?O F 2 ? 5 ,解得 ? 5 5 ? ?, 4 , 且 0

PF2 ? 2, PF1 ? 4, ? ? 2

.

【考点】1.双曲线;2.向量运算. 【思路点晴】有关圆锥曲线的题目,由图双曲线的方程已经知道了,那么我们就先按题 意将图形画出来,这是做圆锥曲线题目的时候第一步要做的.由于题目中

?OP ? OF ? ? F P ? 0 ,也就是平行四边形 POF Q 的对角线相互垂直,所以可以判断
2 2

??? ? ???? ?

???? ?

2

它为菱形,这样它的一组邻边就相等,设出点的坐标,然后解出点的坐标,题目就解决 出来了.

第 4 页 共 19 页

8.已知函数

f ( x) ? x2 ? 2ln x

与 g ( x) ? sin(? x ? ? ) 有两个公共点,则在下列函数中 )

满足条件的周期最大的 g ( x) ? (

sin(2? x ? ) 2 A. sin(? x ? ) 2 C.
【答案】C 【解析】试题分析:画出函数

?

sin(
B.

?
2

x?

?
2 )

)

?

sin(? x ?
D.

?
2

f ? x?

的图象如下图所示,由图可知,函数

f ? x?



?1,1? , ? ?1,1? ,经验证可知 C 正确,应选 C.

【考点】三角函数的图象和性质. 9. 已知函数

f ? x ? ? ? e 2 x ?1 ? 1? ? ax ? 3a ? 1?


, 若存在

x ? ? 0, ???

, 使得不等式

f ? x? ? 1

成立,则实数 a 的取值范围为(

? e?2 ? 0, ? ? 3 ? e ? 1? ? ? ? A. ? ? e?2 ? ??, ? ? ? 3 ? e ? 1? ? ? ? C.
【答案】C 【解析】试题分析:因为 A, B ,所以

2 ? ? ? 0, ? B. ? e ? 1 ? 1 ? ? ? ??, ? e ?1? D. ?

MA ? MB

,则

f ? x? ? x ? m ? x ? m ? R?

,则

1 1 + ?1 , b? 0 , c0 ? , 要使 m , 则a ? 0 可转化为: 存在 a ? 2b ? c ? m 使得 a ? b b ? c 成 g ? x? ? e?2 1 ? a ?g x ? e ?1 x ? 3 , 则

立. 设

?x m a

1 1 ? . 因为 x ? 0 , 则 x ? 3 ? 3, 从而 x ? 3 3 ,

g ? x? ?
所以

e?2 3 ? e ? 1?

a?
,即

e?2 3 ? e ? 1?

,选 C.

第 5 页 共 19 页

【考点】1.函数中的存在性问题;2.函数的最值. 【易错点晴】本题主要考查的是函数中的存在性问题,属于中档题.本题首先利用已知
2 x ?1

条件确定 e

? 1 ? e ? 1 ,从而要使

f ? x? ? 1

ax ? 3a ? 1 ?
,则

1 e ? 1 .本题容易想到

的方法是求函数

f ? x?

的最小值,利用导数求解,使得问题更加复杂.本题容易犯得错

误是:存在性问题与恒成立问题分不清,对于求最大值还是最小值混淆.

x2 y 2 C2 : 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? C : y2 ? 2 px ? p ? 0? a b 10. 点 A 是抛物线 1 与双曲线 的一条
渐近线的交点, 若点 A 到抛物线 A. 2 【答案】C

C1 的准线的距离为 p , C 则双曲线 2 的离心率等于 (
C. 5



B. 3

D. 6

y?
【解析】试题分析:双曲线的渐近线方程为:

b p x A( , p ) a ,由题意可求得点 2 代入

b p ? ?2 b c2 ? a2 a p ? ( )2 ? 4 ? ?4 2 a a2 2 渐近线得 , , ,? e ? 5 ,? e ? 5 ,故选 C.
【考点】圆锥曲线的性质.

? ? 1 ? x 2 , ?1 ? x ? 1 f ? x? ? ? ? ?? x, x ? ?1或x ? 1 ,且函数 g ? x ? ? f ? x ? ? kx ? 2k 有两个不同 11.已知函数
的零点,则实数 k 的取值范围是( )

?
A.

3 ?k ?0 3
1 3 k?? 3 3 或

1 3 ? ?k ?0 k ?? 3 B. 3 或

k??
C. 【答案】B

?
D.

3 1 ?k?? 3 3 或k ? 0
2 2

【解析】试题分析:设

y ? f ? x?

x ? y ? 1? y ? 0? ,则当 ?1 ? x ? 1 时,有 ,表示单
可得

位圆位于 x 轴上方的部分; 由 率为 k 的直线.作出 个不同的零点,则

g ? x? ? 0

f ? x ? ? k ? x ? 2?

,表示过点

P ? 2,0?

,斜 有两

f ? x?

的图象,如下图所示.要使函数 的图象与直线

g ? x? ? f ? x? ? kx ? 2k

y ? f ? x?

y ? k ? x ? 2?

总有两个交点.由图象可知,切

线 PM 与函数图象有且只有两个交点, 当切线绕点 P 按逆时针方向旋转到 PA 的过程中 与函数图象有三个交点,从 PA 已知旋转到与 x 轴重合时,直线与函数图象总有两个交 第 6 页 共 19 页

3 kPM ? ? k ? k ? 0 k ? k PM 或 PA 3 ,由 点.所以 k 的取值范围是 ,由直线与圆相切可知
k PA ? ? 1 1 3 ? ?k ?0 k ?? 3 ,所以 3 3 ,故选 B. 或

斜率公式可得

【考点】函数的零点. 【方法点睛】本题主要考查了函数的零点问题,考查了转化的思想及数形结合的思想, 属于中档题.解答本题时, 首先把函数 函数 直线

g ? x ? ? f ? x ? ? kx ? 2k

有两个不同的零点转化为

y ? f ? x?

与直线

y ? k ? x ? 2?

有两个不同的交点, 通过作出函数

y ? f ? x?

的图象

y ? k ? x ? 2?

的意义找出满足条件的斜率 k 的范围,作函数

y ? f ? x?

的图象时,

要注意对方程进行等价变形,就是说在 x, y 范围不变的情况下,把方程转化为我们熟悉 的形式,来确定函数图象.

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 12.过双曲线 a 左支上一点 A 作相互垂直的两条直线分别经过 ??? ? ???? ? ???? ? AB ? AF2 ? BF2 ? 0 F , F 两焦点 1 2 ,其中一条与双曲线交于点 B , 若 ,则双曲线的离心

?

?

率为( A.



5? 2 2

B.

5?2 2

C.

4?2 2

D. 4 ? 2 2 【答案】B

? AB ? AF ? ? BF 【解析】试题分析:由于
2

??? ? ???? ? ???? ?
2

?0

,所以

?ABF2 为 等 腰 三 角 形 , 设
,由双曲线

AF2 ? m, AF1 ? x

,又

AB ? AF2

可知

BF1 ? m ? x ? 2a, BF2 ? 2m

第 7 页 共 19 页

的定义可知

BF2 ? BF1 ? 2a

2m ? 2a ? 2a,? a ?
, 所以

2 m 4 , 又因为 m ? x ? 2a ,

x?
解得

10 ? 4 2 2? 2 m 2c ? m2 ? x 2 ? m ? AF F 1 2 中,由勾股定理可得 2 2 ,在 ,
e? c ? 5?2 2 a ,故选 B.

所以双曲线的离心率为

【考点】双曲线的简单几何性质. 【方法点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质,考查了双曲线定义的应用,属于

? AB ? AF ? ? BF 中档题.本题解答的关键是根据条件
2

??? ? ???? ? ???? ?
2

?0

得到

?ABF2 为等腰三角形,
,这样

由于 A, B 是双曲线上的点,所以考虑应用双曲线的定义,设

AF2 ? m, AF1 ? x

就可用 m 分别表示出 a, c, x ,由离心率的定义即可求得答案.

二、填空题 13.已知抛物线 y ? 4 x 与经过该抛物线焦点的直线 l 在第一象限的交点为 A, A 在 y 轴
2

AB BC 和准线上的投影分别为点 B, C ,
【答案】 2 2

?2

,则直线 l 的斜率为



AB
【解析】试题分析:设

A( x0 , y0 ) ,则 AB ? x0 , BC ? 1 ,由 BC

?

x0 ?2 1

,所以

2 2 x0 ? 2, y0 ? 4 ? 2 ? 2 2 ,又焦点 F (1, 0) ,所以直线 l 的斜率为 k ? 2 ? 1 ? 2 2 .应
填2 2 . 【考点】抛物线的标准方程与几何性质. 【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质,中档题;在解抛物线有关的问题 时,一定要注意定义的应用,即抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离求解, 在平面几何背景下考查圆锥曲线的标准方程及其性质,是高考中小题的热点,在复习时 不能遗漏相应平面几何知识的复习.

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 F F b 14.已知 1 、 2 是椭圆 C : a 的两个焦点, P 为椭圆 C 上一点,

???? ???? ? PF ? PF 1F 2 的面积为 9,则 b ? ____________. 2 .若 ?PF 且 1
【答案】 3

???? ???? ? 0 PF ? PF 1PF 2 ? 90 , 则 由 题 意 , 得 1 2 知 ?F 【 解 析 】 试 题 分 析 : 由
第 8 页 共 19 页

? PF1 + PF2 ? 2a ? ?1 ? PF1 ? PF2 ? 9 ?2 ? PF1 2 + PF2 2 ? 4c 2 ?

2 2 2 2 ,可得 4c ? 36 ? 4a ,即 a ? c ? 9 ,所以 b ? 3 ,应填 3 .

【考点】椭圆的定义及几何性质.

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 15.已知 A(1,2) , B(?1,2) ,动点 ? 满足 AP ? BP ,若双曲线 a
的渐近线与动点 ? 的轨迹没有公共点,则双曲线离心率的取值范围是 【答案】 ?1, 2 ? 【解析】试题分析:根据条件 AP ? BP ,可得 P 点的轨迹方程 x ? ( y ? 2) ? 1 ,求
2 2

.

y?
出双曲线的渐近线方程

b x a ,运用圆心到直线的距离大于半径,得到 3a 2 ? b 2 ,再 e? c ?2 a ,又双曲线离心率 e ? 1 ,所以 1 ? e ? 2 ,所以

由 b ? c ? a ,得出离心率
2 2 2

答案应填: ?1, 2 ? . 【考点】双曲线的离心率. 【思路点晴】本题主要考查的是求轨迹方程和双曲线的简单几何性质,及圆与直线的位 置关系,属于难题.本题利用条件得出动点的轨迹方程为圆 x ? ( y ? 2) ? 1 ,要求圆
2 2

y?
与双曲线的渐近线无公共点,根据对称性不妨取渐近线

b b x y? x a ,即圆与 a 无公

2 2 共点,利用圆心到直线的距离与半径的关系,可求出 3a ? b ,根据双曲线的离心率

公式得出其范围.
2 ? ? x ? 4 ? ? x ? 4 x, 0 f ? x? ? ? ? 2? ,x 4? ? 2 ? x ? ?2 ?l o g 16 . 已 知 函 数

,若存在

6

x1 , x2 ? R , 当


0 ? x1 ? 4 ? x2 ? 6 时, f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则 x1 f ? x2 ? 的取值范围是
【答案】 ? 0,

? 256 ? ? 27 ? ?

【解析】试题分析:因为

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? x12 ? 4 x1 x f ? x2 ? ,所以 1 可化为
, 因 此

3 h( x1 ) ? x1 (? x12 ? 4x1 ) ? 4x12 ? x1 (0 ? x1 ? 4)

8 8 h / ( x1 ) ? 8 x1 ? 3 x12 ? ?3 x1 ( x1 ? ) x1 ? [0, ) h / ( x1 ) ? 0, h( x1 ) 单调递增; 3 , 3 时, 于是当
第 9 页 共 19 页

8 8 x1 ? ( ,4) x1 ? / 3 3 时 , h( x1 ) 取 最 大 值 当 时 , h ( x1 ) ? 0, h( x1 ) 单 调 递 减 ; 即 当 8 256 256 h( ) ? [0, ] x f x ? ? 2 的取值范围是 3 27 ;当 x1 ? 0 取最小值 h(0) ? 0 ,所以 1 27 .
【考点】分段函数、求导运算的法则、最值的求解及建立函数,模型的数学思想及分析 问题解决问题的能力. 三、解答题

17.已知函数

f ? x ? ? ln ? ax ? ?

x?a ? a ? 0? x .

(Ⅰ)求此函数的单调区间及最值;

en 1 1 1 ln (Ⅱ)求证:对于任意正整数 n ,均有 1+ 2 + 3 ?+ n ≥ n ! (e 为自然对数的底
数) . 【答案】 (Ⅰ)当 a ? 0 时, 函数在 (0, a ) 上是减函数,在 ( a, ??) 上是增函数,

fmin ( x) ? f (a) ? ln a2 ,无最大值,当 a ? 0 时,函数在 (??, a ) 上是减函数,在 (a, 0)
上是增函数,

fmin ( x) ? f (a) ? ln a2 ,无最大值; (Ⅱ)证明见解析.
f ?( x) ? x?a x 2 ,分 a ? 0 与 a ? 0 分别求 f ?( x) ? 0 与

【解析】 试题分析: (Ⅰ) 求导可得

f ?( x) ? 0 的解集,从而得到其单调区间及受益人最值; (Ⅱ) (Ⅱ)由(Ⅰ),取 a ? 1

f ( x) ? ln x ?
可得

x ?1 1 e ? f (1) ? 0 ? 1 ? ln x ? ln x x ,令 x ? 1, 2, 3,? ,n , ,所以有 x

代入不等式并相加可证结论成立.

f ?( x) ?
试题解析: (1)解:由题意

x?a x2 .

当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的定义域为 (0,??) ,此时函数在 (0, a ) 上是减函数,在 ( a, ??) 上是增函数,

fmin ( x) ? f (a) ? ln a2 ,无最大值.

当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的定义域为 (??,0) ,此时函数在 ( ??, a ) 上是减函数,在 ( a, 0) 上是增函数,

fmin ( x) ? f (a) ? ln a2 ,无最大值.
f ( x) ? ln x ? x ?1 1 e ? f (1) ? 0 ? 1 ? ln x ? ln x x, ,故 x

(2)取 a ? 1 ,由⑴知

第 10 页 共 19 页

取 x ? 1, 2,3?, n ,则

1?

1 1 1 en ? ? ? ? ? ln 2 3 n n! .

【考点】1.导数与函数的单调性、最值;2.函数与不等式. 18.工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务,每次只派一个人进去,且 每个人只派一次,工作时间不超过 10 分钟,如果前一个人 10 分钟内不能完成任务则撤 出,再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派,他们各自能完成任务的概率 分别

p1 , p2 , p3 ,假设 p1 , p2 , p3 互不相等,且假定各人能否完成任务的事件相互独立.

(1)如果按甲最先,乙次之,丙最后的顺序派人,求任务能被完成的概率.若改变三 个人被派出的先后顺序,任务能被完成的概率是否发生变化? ( 2 )若按某指定顺序派人,这三个人各自能完成任务的概率依次为

q1 , q2 , q3 ,其中

q1 , q2 , q3 是 p1 , p2 , p3 的一个排列,求所需要派出人员数目 X 的分布列和均值(数字期
望) ; (3)假定

p3 ? p2 ? p1 ? 1 ,试分析以怎样的先后顺序派出人员,可使所需派出的人员 P?P 1?P 2 ?P 3 ? PP 1 2 ?P 2P 3 ?P 3P 1 ? PP 1 2P 3 ,不论如何改变三个人被派

数目的均值(数字期望)达到最小. 【答案】 (1)

出的先后顺序,任务能被完成的概率不发生变化; (2)分布列见解析,

EX ? q1q2 ? 2q1 ? q2 ? 3 ; (3)先派甲,再派乙,最后派丙时, 均值(数字期望)达到最
小. 【解析】试题分析: (1) 无论以怎样的顺序派出人员,任务不能被完成的概率都是可 以解得,所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关,则可得; (2) 首先 得出 X 的所有可能取值,然后分别求出相应概率,从而列出分布列,算出均值; ( 3) 由(2)的结论知,当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时,根据常理,优先派出 完成任务概率大的人,可减少所需派出的人员数目的均值. 试题解析: (1)按甲在先,乙次之,丙最后的顺序派人,任务能被完成的概率为

P?P 1 ? ?1 ? P 1? P 2 ? ?1 ? P 1 ??1 ? P 2?P 3 ?P 1?P 2 ?P 3 ? PP 1 2 ?P 2P 3 ?P 3P 1 ? PP 1 2P 3 P?P 1 ? ?1 ? P 1? P 3 ? ?1 ? P 1 ??1 ? P 3?P 2 ?P 1?P 2 ?P 3 ? PP 1 2 ?P 2P 3 ?P 3P 1 ? PP 1 2P 3



若 甲 在 先 , 丙次 之 , 乙 最 后 的 顺序 派人 , 任 务 能 被完 成的 概 率 为 ,

发现任务能完成的概率是一样. 同理可以验证,不论如何改变三个人被派出的先后顺序,任务能被完成的概率不发生变 化. (2)由题意得 X 可能取值为 1, 2,3 ∴

P ? X ? 1? ? q1; P ? X ? 2? ? ?1? q1 ? q2 ; P ? X ? 3? ? ?1? q1 ??1? q2 ?
1 2
3
第 11 页 共 19 页



∴其分布列为:

X

P

q1

?1? q1 ? q2

?1 ? q1 ??1 ? q2 ?


? EX ? 1? q1 ? 2 ? ?1 ? q1 ? q2 ? 3? ?1 ? q1 ??1 ? q2 ? ? q1q2 ? 2q1 ? q2 ? 3
(3)

E ? X ? ? q1q2 ? 2q1 ? q2 ? 3 ? ? 2 ? q2 ??1? q1 ? ?1 ? ? p? ? p? ? p? ,

∴要使所需派出的人员数目的均值(数字期望)达到最小, 则只能先派甲、乙中的一人. ∴若先派甲,再派乙,最后派丙,则 若先派乙,再派甲,最后派丙, 则

EX1 ? p1 p2 ? 2 p1 ? p2 ? 3 ;

EX 2 ? p1 p2 ? 2 p2 ? p1 ? 3 ,


? EX1 ? EX 2 ? ? p1 p2 ? 2 p1 ? p2 ? 3? ? ? p1 p2 ? 2 p2 ? p1 ? 3? ? p2 ? p1 ? 0

∴先派甲,再派乙,最后派丙时, 均值(数字期望)达到最小. 考点 1、相互独立事件的概率;2、离散型随机变量的分布列与数学期望. 【警示点睛】求解相互独立事件时,要注意: (1)正确设出有关事件; (2)在应用相互 独立事件的概率乘法公式时,要认真审题,注意关键词“至少有一个发生” 、 “至多有一 个发生” 、 “恰有一个发生”的意义,正确地将其转化为互斥事件进行求解; (3)正面计 算较繁或难于入手时,可以从其对立事件入手进行计算. 19.已知函数 f ( x) ? x ? x.
3

(1)求曲线 y ? f ( x) 在点 M (1,?0) 处的切线方程; (2)如果过点 (1,?b) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线, 求实数 b 的取值范围. 【答案】 (1) y ? 2 x ? 2? ; (2) b ? (?1, 0) . 【解析】试题分析: (1)首先求出导函数,然后利用利用导数的几何意义求得切线的斜 率,从而利用点斜式求得切线方程; ( 2 )首先设出切点,然后将问题转化为方程
3 2 3 2 2x0 ? 3x0 ? b ? 1 ? 0 有三个不同的实数解, 由此转化为函数 g ( x) ? 2 x ? 3x ? b ? 1有

三个不同的零点,从而利用导数函数 g ( x) 的零点,进而求得 b 的取值范围. 试题解析: (1) f '( x) ? 3x ?1.
2

? f '(1) ? 2 .
曲线 y ? f ( x) 在点 M (1,?0) 处的切线方程为: y ? 2 x ? 2? . (2)
3 3 ?设切点( x0 , x0 ? x0 ), 则切线方程为 y ? ( x0 ? x0 ) ? f '( x0 )( x ? x0 ) .

2 3 ?1)(1 ? x0 ) ? x0 ? x0 ? b , 又切线过点(1, b), 所以 (3x0 3 2 2x0 ? 3x0 ? b ?1 ? 0 .



第 12 页 共 19 页

由题意, 上述关于
3

x0 方程有三个不同的实数解.
2

. 记 g ( x) ? 2x ? 3x ? b ? 1, 则g ( x)有三个不同的零点

而g '( x) ? 6x( x ?1), 则g (0) g (1) ? 0即可, 也就是b ? (?1, 0).
【考点】1、导数的几何意义;2、函数零点.

x2 y 2 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) F 、F2 分别是椭圆 a b 20. 如图, 1 的左、 右焦点, A 是椭圆 C 的
顶点, B 是直线

AF2 与椭圆 C 的另一个交点, ?F1 AF2 ? 60o .

(1)求椭圆 C 的离心率; (2)若

? AF1B 的面积为 40 3 , 求椭圆 C 的方程.

x2 y 2 1 ? ?1 【答案】 (1) 2 ; (2) 100 75 .
【解析】试题分析: (1)由题意知

?AF1F2 为等边三角形,从而得到 a , c 的关系式,进

而求得离心率; (2)首先根据椭圆的性质得到 b, c 的关系式,然后设出直线 AB 的方程, 并代入椭圆方程得到 B 点坐标, 从而求得 | AB | , 再根据三角形面积公式求得 a , b 的值, 进而求得椭圆的方程;别解:设 用余弦定理得到 的方程. 试题解析:

AB =t

,然后利用椭圆的定义表示出

BF1

的长,再利

t , a 的关系式,从而根据三角形面积公式求得 a , b 的值,进而求得椭圆

(1)由题意可知,

?AF1F2 为等边三角形, a= 2c ,所以

e=

1 2.

2 4c2 , b 2= 3c 2 . (2) ( 方法一) a =

直线 AB 的方程可为 y ? ? 3( x ? c) .

8 3 3 B( c, ? c) 4y = 12c ,得 5 5 将其代入椭圆方程 3x +
2 2 2

第 13 页 共 19 页

8 16 | AB |? 1 ? 3? | c ? 0 |? c 5 5 所以

1 1 8 3 2 3 2 S?AF1B ? ? AF1 | ? | AB | sin ?F1 AB ? a ? a ? ? a ? 40 3 2 2 5 2 5 由 ,
解得 a ? 10 , b ? 5 3 ,

? 椭圆C的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 100 75
. 因为

(方法二)设 由椭圆定义

AB =t

AF2 =a

,所以

BF2 =t-a




BF1 + BF2 = 2a

可知,

BF1 = 3a-t

2 2 2 2atcos60? 可得, 再由余弦定理 (3a-t ) =a +t -

t?

8 a 5 .

1 1 8 3 2 3 2 S?AF1B ? ? AF1 | ? | AB | sin ?F1 AB ? a ? a ? ? a ? 40 3 2 2 5 2 5 由 知 , a ? 10 ,

b ?5 3,
? 椭圆C的方程为 x2 y 2 ? ? 1. 100 75

【考点】1、椭圆的方程及几何性质;2、直线与椭圆的位置关系.

f ( x) ? a ln x ?
21.已知函数

1 2 x ? (a ? 1) x (a ? 1) . 2

(1)讨论 f ( x ) 的单调性与极值点;

g ( x) ?
(2)若 上方;

1 2 x ? x ? 1( x ? 1) 2 ,证明:当 a ? 1 时, g ( x) 的图象恒在 f ( x ) 的图象

ln 2 ln 3 ln n 2n2 ? n ? 1 ? 2 ?? ? 2 ? 2 3 n 4(n ? 1) (n ? N * , n ? 2) . (3)证明: 2
【答案】 (1) 当 a ? 1 时,f ( x ) 在 (0, ??) 单调递增, 无极值点, 当 a ? 1 时,f ( x ) 在 (0,1) 和 (a, ??) 上单调递增, 在 (1, a ) 上单调递减, 极大值点为 x ? 1 , 极小值点为 x ? a ; (2) 证明见解析; (3)证明见解析.

f ' ( x) ?
【解析】试题分析: (1)先求导,得

( x ? 1 )x (? a ) x , 当 a ?1 时 ,

第 14 页 共 19 页

f ' ( x) ?

( x ? 1) 2 ?0 x ,所以 f ( x ) 在 (0, ??) 单调递增,此时 f ( x ) 无极值点. 当 a ? 1

时, f ( x ) 在 (0,1) 和 (a, ??) 上单调递增,在 (1, a ) 上单调递减 . x ? 1 为极大值点,

x ? a 为极小值点; (2)当 a ? 1 时,令 F ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? x ? 1 ? ln x ,通过导数判
断 F ( x) 在 (0,1) 上递减, 在 (1, ??) 上递增,F ( x) ? F (1) ? 0 , ∴ x ? 1 时,F ( x) ? 0 恒

ln x 1 ? 1? 2 * x) ? F1 ( ) 0? , l x? x? 1 , x x, 成立; (3) 由 (2) 知 F( 即n 令 x ? n (n ? N ) ,

ln n 2 1 ln n 1 1 ? (1 ? 2 ) ? 1? 2 2 2 2 n ,代入不等式即可证明. n ,∴ n 则 n
试题解析:

f ' ( x) ?
(1)

a x 2 ? (a ? 1) x ? a ( x ? 1)( x ? a) ? x ? (a ? 1) ? ? ( x ? 0) , x x x ( x ? 1) 2 ?0 x 在 (0, ??) 上恒成立,

当 a ? 1 时,

f ' ( x) ?

所以 f ( x ) 在 (0, ??) 单调递增,此时 f ( x ) 无极值点. 当 a ? 1 时, f ( x) , f ( x ) 在 (0, ??) 上的变化情况如下表:
'

x
f ' ( x)
f ( x)

(0,1)
+ 递增

1

(1, a )
-

a

(a, ??)
+

极大值 f (1)

递减

极小值 f ( a )

递增

由此表可知 f ( x ) 在 (0,1) 和 (a, ??) 上单调递增,在 (1, a ) 上单调递减. x ? 1 为极大值 点, x ? a 为极小值点. (2)当 a ? 1 时,令 F ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? x ? 1 ? ln x ,

F ' ( x) ? 1 ?

1 x ?1 ? ' ' x x ,当 x ? 1 时, F ( x) ? 0 , 0 ? x ? 1 时, F ( x) ? 0 ,

∴ F ( x) 在 (0,1) 上递减,在 (1, ??) 上递增, ∴ F ( x) ? F (1) ? 0 ,∴ x ? 1 时, F ( x) ? 0 恒成立. 即 x ? 1 时, g ( x) ? f ( x) 恒成立, ∴当 x ? 1 时, g ( x) 的图象恒在 f ( x ) 的图象上方. 第 15 页 共 19 页

(3)由(2)知 F ( x) ? F (1) ? 0 ,即 ln x ? x ? 1 ,

ln x 1 ? 1? x, ∵ x ? 0 ,∴ x

ln n 2 1 ln n 1 1 ? (1 ? 2 ) ? 1? 2 2 2 2 n n ,∴ n 令 x ? n (n ? N ) ,则 n
2 *

ln 2 ln 3 ln n 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? 2 ? (1 ? 2 ? 1 ? 2 ? ? ? 1 ? 2 ) 2 3 n 2 2 3 n ∴ 2 ? n ?1 1 1 1 1 ? ( 2 ? 2 ?? ? 2 ) 2 2 2 3 n

?
?

n ?1 1 1 1 1 ? ( ? ??? ) 2 2 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1)
n ?1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ? ? ??? ? ) 2 2 2 3 3 4 n n ?1

n ?1 1 1 1 2n2 ? n ? 1 ? ? ( ? )? 2 2 2 n ?1 4(n ? 1)
∴不等式成立. 【考点】1.函数导数;2.分类讨论的数学思想;3.不等式证明. 【方法点晴】有关导数极值、最值的分类讨论问题,按步骤,先求导,通分,在画导函 数图像的过程中,发现有参数 a 无法确定,这个时候就要对参数 a 进行分类讨论. 要证

g ? x? ? f ? x? ? 0 明 “当 a ? 1 时,g ( x) 的图象恒在 f ( x ) 的图象上方” , 实际就是要证明
恒成立,这样只需要 F ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? x ? 1 ? ln x ? 0 利用导数即可证明. 22.已知函数 f ( x) ? 2e ? ax ? 2( x ? R, a ? R) .
x

(1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (2)当 x ? 0 时,若不等式 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 【答案】 (1) y ? (2e ? 1) x ? 2 ; (2) (??, 2] . 【解析】试题分析: (1)根据导数的几何意义,曲线

y ? f ( x)



x ?1

处的切线方程的

f ' ( x) ? 2ex ? a a f ( ' 1 ) 斜率就是 ,写出点斜式方程即可; (2)因为 ,根据 分类讨论,
分类讨论

a?0

时,

f ' ( x) ? 0

恒成立,

f ( x)

在 R 上单调递增,所以

f ( x) ? f (0) ? 0



符合题意.若

a?0

a x ? (?? , ln ) ' 2 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 单调递减,分析定义 ,则当

第 16 页 共 19 页

ln
域端点与

a a ln ? 0 2 的大小关系, 若a ? 0, 则当 2 , 即 0 ? a ? 2 时, 则当 x ? [0,??) ln a a ?0 x ? (0, ln ) 2 2 时,f ( x) , 即 a ? 2 时, 则当

时,f ( x) ? f (0) ? 0 , 符合题意. 当

单调递增, f ( x) ? f (0) ? 0 ,不符合题意. 试题解析: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? 2e ? x ? 2, f ( x) ? 2e ? 1, f (1) ? 2e ? 1 ,
x ' x '

即曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线的斜率 k ? 2e ? 1 ,又 f (1) ? 2e ? 3, 所以所求的切线方程是 y ? (2e ? 1) x ? 2. (2)易知 f ( x) ? 2e ? a.
' x

若 a ? 0 ,则 f ( x) ? 0 恒成立, f ( x) 在 R 上单调递增;
'

a x ? (?? , ln ) ' 2 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, 若 a ? 0 ,则当 x ? (ln


a ,?? ) ' 2 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 单调递增.

又 f (0) ? 0 ,所以若 a ? 0 ,则当 x ? [0,??) 时, f ( x) ? f (0) ? 0 ,符合题意.

若 a ? 0 ,则当 合题意.

ln

a ?0 2 ,即 0 ? a ? 2 时,则当 x ? [0,??) 时, f ( x) ? f (0) ? 0 ,符

ln


a a ?0 x ? (0, ln ) 2 2 时, f ( x) 单调递增, f ( x) ? f (0) ? 0 , ,即 a ? 2 时,则当

不符合题意. 综上,实数 a 的取值范围是 (??,2]. 【考点】1、导数的几何意义;2、利用导数求函数单调区间、最值;3 分类讨论. 【方法点晴】 本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、 利用导数研究函数的最值、 分类讨论的思想和方法,属于难题.利用导数求函数

f ? x?

的最值的步骤:①确定函数

f ? x?

的定义域;②对

f ? x?

求导;③求方程

f ? ? x? ? 0

的所有实数根;④列表格.本

题可以通过分类讨论, 知函数在所求区间上增或者减, 或者先增后减, 从而求出最大值. 23 . 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , PD ? 平 面 A B C D , AB // DC ,

AB ? AD, BC ? 5, DC ? 3, AD ? 4, ?PAD ? 60? .
第 17 页 共 19 页

(1)若 M 为 PA 的中点,求证: DM // 平面 PBC ; (2)求三棱锥 D ? PBC 的体积. 【答案】 (1)证明见解析; ( 2) 8 3 .

【解析】试题分析: (1)利用 MN 是 AB 中位线,从而

MN ? AB, MN ?

1 AB ? 3 2 ,

又 AB // DC , DC ? 3 ,所以四边形 MNCD 为平行四边形,故 DM ? CN ,从而证

V ? VP?DBC , DM // 平面 PBC ; (2) 转换三棱锥顶点可得: D? PBC 易知 PD 是棱锥的高,
从而求其体积. 试题解析: (1)如图,取 PB 的中点 N,连接 MN,CN.在△PAB 中,∵M 是 PA 的中点,

1 ∴MN∥AB,MN= 2 AB=3,又 CD∥AB,CD=3,∴MN∥CD,MN=CD,
∴四边形 MNCD 为平行四边形,∴DM∥CN. 又 DM?平面 PBC,CN?平面 PBC, ∴DM∥平面 PBC.

1 V V (2) D???C = ??D?C = 3 S

△DBC

·PD,又 S△DBC=6,PD= 4 3 ,所以= VD-PBC 8 3 .

【考点】1、线面平行;2、三棱锥体积. 【方法点晴】 本题主要考查的是线面平行、 三棱锥的体积及空间想象力, 属于中档题. 解 题时一定要注意中点这个条件的暗示作用,一般要利用中位线得到直线平行,如果中位 线不行,考虑构造平行四边形,利用平行四边形得线线平行,从而得线面平行,也可考 虑面面平行得线面平行. 在求三棱锥体积时, 如果高不易寻找, 可考虑变换三棱锥顶点, 从而易于求高. 第 18 页 共 19 页

f ( x) ? cos x ? cos( x ?
24.已知函数

?

) 3 .

f(
(1)求

2? ) 3 的值; f ( x) ? 1 4 成立的 x 的取值集合.

(2)求使

?
【答案】 (1)

5π 11π ? ? 1 ? x ? kπ ? , k ? Z? ? x | kπ ? 12 12 ?. 4; (2) ?
1 π? 1 π? ? ? cos ? 2 x ? ? ? cos ? 2 x ? ? <0 2 3 ? 4 ,转化为 3 ? ,利用 ? ?

【解析】试题分析: (1)直接代入解析式即可; (2)由两角差的余弦公式,及正余弦二

f ( x) ?
倍角公式和辅助角公式得

? ? 3? 2k?+ <2 x- <2k?+ 2 3 2 , k ? Z ,从而求解. 余弦函数图象得
试题解析:
2

2π π ? 2π ? π π ?? 1 ? ? ? 1 f ? ? ? cos ? cos ?cos ? cos ? ? 3 3= 4. 3 3 = ? 2? (1) ? 3 ?
?1 ? 1 3 π? π? 1 ? ? cos x ? sin x ? ? cos ? x ? ? cos ? 2 x ? ? ? ?2 ? 2 3 ? =cos x·? 3? 4. ?= 2 ? ? (2) f (x) =cos x·


1 π? 1 1 π? ? ? 1 π cos ? 2 x ? ? ? ? cos ? 2x ? ? <0 3 ? 4 4 ,即 3 ? .于是 2kπ + 2 <2x ? ? f(x)< 4 等价于 2
3π 5π π 11π 1 - 3 <2kπ + 2 ,k∈Z. 解得 kπ + 12 <x<kπ + 12 ,k∈Z.故使 f(x)< 4 成

5π 11π ? ? ? x ? kπ ? , k ? Z? ? x | kπ ? 12 12 ?. 立的 x 的取值集合为 ?
【考点】1、二倍角公式;2、辅助角公式;3、余弦函数图象与性质.

第 19 页 共 19 页


推荐相关:

2017届河北省定州中学新高三上学期周练(四)(7.8)数学试题(解析版)

2017届河北省定州中学高三上学期周练(四)(7.8)数学试题(解析版)_高考_高中教育_教育专区。河北定州中学 2017 届新高三数学周练(四)一、选择题:共 12 题 ...


2017届河北省定州中学高三上学期周练(三)(8.21)数学试题(解析版)

2017届河北省定州中学高三上学期周练(三)(8.21)数学试题(解析版)_数学_高中教育_教育专区。河北定州中学 2016-2017 学年第一学期高三数学周 练试题(三)一、...


2017届河北省定州中学高三上学期周练(一)数学试题(解析版)

2017届河北省定州中学高三上学期周练()数学试题(解析版)_数学_高中教育_教育专区。河北定州中学 2016-2017 学年第一学期高三数学周 练试题(一)一、选择题(共...


河北省定州中学2017届高三上学期周练(一)数学试题(解析版)

河北省定州中学2017届高三上学期周练()数学试题(解析版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。河北定州中学 2016-2017 学年第一学期高三数 学周练试题(一)一、...


2017届河北省定州中学高三(高补班)上学期周练(三)(8.21)数学试题(解析版)

2017届河北省定州中学高三(高补班)上学期周练(三)(8.21)数学试题(解析版)_数学_高中教育_教育专区。河北定州中学 2016-2017 学年第一学期高四数学周 练试题...


2017届河北省定州中学高三(高补班)上学期周练(一)数学试题(解析版)

2017届河北省定州中学高三(高补班)上学期周练()数学试题(解析版)_数学_...A. 5 页 B. 2 C. 3 1第 D. 2 8.根据 e2 ? 7.39, e3 ? 20.08...


河北省定州中学2017届高三(高补班)上学期周练(8.14)数学试题 Word版含解析

河北省定州中学2017届高三(高补班)上学期周练(8.14)数学试题 Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。河北定州中学 2016-2017 学年第一学期高四 数学周练试题(...


2017届河北省定州中学高三上学期周练(二)(8.14)数学试题(含解析)

2017届河北省定州中学高三上学期周练(二)(8.14)数学试题(解析)_数学_高中教育_教育专区。河北定州中学 2016-2017 学年第一学期高三数学周 练试题(二)一、...


2016-2017学年河北省定州中学新高二(承智班)上学期周练(四)(7.8)数学试题(解析版)

2016-2017学年河北省定州中学新高二(承智班)上学期周练(四)(7.8)数学试题(解析版)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。河北定州中学:新高二承智班数学周练...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com