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《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习:必修部分 开卷速查16 定积分与微积分基本定理


开卷速查(十六)

定积分与微积分基本定理

A 级 基础巩固练 1 1.若 S1=?2x2dx,S2=?2xdx,S3=?2exdx,则 S1,S2,S3 的大小
?1 ?1 ?1

关系为(

) B.S2<S1<S3 D.S3<S2<S1

A.S1<S2<S3 C

.S2<S3<S1 1 2 7 解析:S1=?2x2dx=3x3|1 =3,
?1

1 S2=?2xdx=lnx|2 1=ln2,
?1

7 2 S3=?2exdx=ex|2 1=e -e=e(e-1)>e> , 3
?1

所以 S2<S1<S3,故选 B 项. 答案:B 2.直线 l 过抛物线 C:x2=4y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所 围成的图形的面积等于( 4 A.3 B.2 ) 8 C.3 16 2 D. 3

解析:由题意可知,l 的方程为 y=1. 如图,B 点坐标为(2,1),

-1-

?x ? 2 8 ∴所求面积 S=4-2? 4 dx=4-2?12?|0 =3,故选 C 项. ? ? ?0
2x

2

3

答案:C 3.设集合 P={x|?x (3t2-10t+6)dt=0,x>0},则集合 P 的非空子
?0

集个数是( A.2 个 C.7 个

) B.3 个 D.8 个
?0

3 2 解析:依题意得?x (3t2-10t+6)dt=(t3-5t2+6t)|x 0=x -5x +6x=

0,由此解得 x=0 或 x=2 或 x=3. 又 x>0,因此集合 P={2,3},集合 P 的非空子集的个数是 22-1 =3,选 B. 答案:B 4.如果 1 N 的力能拉长弹簧 1 cm,为了将弹簧拉长 6 cm,所耗费 的功为( ) B.0.26 J D.0.28 J

A.0.18 J C.0.12 J

0.06 解析:由物理知识 F=kx 知,1=0.01k,∴k=100,则 W=∫0

100xdx=50x2|0.06 0 =0.18(J). 答案:A
-2-

2 5.曲线 y=x与直线 y=x-1 及 x=4 所围成的封闭图形的面积为 ( ) A.2ln2 C.4-ln2 解析:如图, B.2-ln2 D.4-2ln2

所求面积为阴影部分面积,其面积为四边形 ABDE 的面积减去不 规则图形 ABCE 的面积,故 S=
?1 2 ?4 4 4 42 ? (x-1)dx-? dx=?2x -x?|2-2lnx|2=4-2ln2,选 D. ? ? ?2 ?2x

答案:D 6.若 y=?x (sint+costsint)dt,则 y 的最大值是(
?0

)

A.1 7 C.-2
?0

B.2 D.0

1 1 解析:y=?x (sint+cost· sint)dt=?x sintdt+2?x sin2tdt=(-cost)|x 0+ 2
?0 ?0 ? 1 ?x 1 1 1 2 ?- cos2t?|0 =- cos x + 1 - cos 2x + =- 故当 cosx=- 4 4 2(cosx+1) +2, ? 2 ?

1 时,ymax=2.
-3-

答案:B 7.已知 2≤?2(kx+1)dx≤4,则实数 k 的取值范围为__________.
?1 ?1 ? ?1 ? 3 1 解析:?2(kx+1)dx=?2kx2+x?|2 1= k×4+2-?2k×1+1?= k+1, 2 2 ?1 ? ? ? ?

3 2 故原不等式等价于 2≤2k+1≤4,解得3≤k≤2,
?2 ? 故 k 的取值范围为?3,2?. ? ? ?2 ? 答案:?3,2? ? ? ?0

8.设函数 f(x)=ax2+b(a≠0),若?2f(x)dx=2f(x0),x0>0,则 x0 =__________.
?1 ? 2 8a 解析:?2f(x)dx=?2(ax2+b)dx=?3ax3+bx+C?|0 ? 3 +2b=2(ax2 0+ ?0 ?0 ? ?

2 3 b)解得 x0= 3 . 2 3 答案: 3
?8 ? 9.?1?π 1-x2+6x2?dx=__________. ?0? ? ?8 解析: 根据定积分的性质 ?1 ?π ?0 ? ? 8 1-x2+6x2? dx = ?1 π? ?
0

1-x2 dx +

8 π 1 2?13x2dx=π×4+2×x3|0 =4.
?0

答案:4 10.如图,直线 y=kx 分抛物线 y=x-x2 与 x 轴所围图形为面积 相等的两部分,求 k 的值.

-4-

解析:抛物线 y=x-x2 与 x 轴两交点的横坐标 x1=0,x2=1, 所以抛物线与 x 轴所围图形的面积 S=?1(x-x2)dx
?0
2

x ?1 ?x =? 2 - 3 ?|0 ? ? 1 1 =2-3 1 =6. 又可得抛物线 y=x-x2 与 y=kx 两交点的横坐标为 x′1=0, x′2 =1-k, S -k 2 所以2=∫1 0 (x-x -kx)dx
?1-k 2 x3? 1-k =? x - 3 ?|0 ? 2 ?

3

1 =6(1-k)3. 1 1 又知 S=6,所以(1-k)3=2. 3 3 1 4 于是 k=1- = 1 - 2 2 . B 级 能力提升练
-5-

11.如图,设 D 是图中边长为 4 的正方形区域,E 是 D 内函数 y =x2 图像下方的点构成的区域.在 D 内随机取一点,则该点在 E 中的 概率为( )

1 A.5 1 C.3

1 B.4 1 D.2

解析:区域 D 的面积为 16.由定积分的几何意义,D 内函数 y=x2 图像下方的点构成的区域面积为 1 2 16 2?2x2dx=2×3x3|0 = 3 ,所以,在 D 内随机取一点,则该点在 E
?0

1 中的概率为3,故选 C. 答案:C 12 . 设 __________.
3 3 解析:∵f(1)=lg1=0,∴f[f(1)]=f(0)=0+?a3t2dt=t3|a 0=a ,∴a

?lgx,x>0, f(x) = ?x+?a3t2dt,x≤0, ? ?0

若 f[f(1)] = 1 , 则 a =

?0

=1,∴a=1.
-6-

答案:1 13.如图所示,过点 A(6,4)作曲线 f(x)= 4x-8的切线 l.

(1)求切线 l 的方程; (2)求切线 l,x 轴及曲线 f(x)= 4x-8所围成的封闭图形的面积 S. 解析:(1)由 f(x)= 4x-8,∴f′(x)= 1 x-2 .

1 又点 A(6,4)为切点,∴f′(6)=2. 1 因此切线方程为 y-4=2(x-6), 即 x-2y+2=0. (2)令 f(x)=0,则 x=2,即点 C(2,0). 在 x-2y+2=0 中,令 y=0,则 x=-2. ∴点 B(-2,0).

14.设函数 f(x)=x3+ax2+bx 在点 x=1 处有极值-2. (1)求常数 a、b 的值;

-7-

(2)求曲线 y=f(x)与 x 轴所围成的图形的面积. 解析:(1)由题意知,f′(x)=3x2+2ax+b,f(1)=-2,且 f′(1)

?1+a+b=-2, ?a=0, =0,即? 解得? ?3+2a+b=0, ?b=-3.
(2)由(1)可知,f(x)=x3-3x. 作出曲线 y=x3-3x 的草图如图,

所求面积为阴影部分的面积,由 x3-3x=0 得曲线 y=x3-3x 与 x 轴的交点坐标是(- 3,0),(0,0)和( 3,0),而 y=x3-3x 是 R 上的奇 函数,所以函数图像关于原点成中心对称. 所以所求图形的面积为

9 =2.

-8-


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