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8.2 直线的方程(2)


第八章

直线和圆的方程

8.2

直线的方程

方程 x ? y ? 1 ? 0的图像是一条直线.那么方程的解 与直线上的点之间存在着怎样的关系呢

已知直线的倾斜角为 45?,并且经过点 P0 (0,1),由此可以

创 设 情 境 兴 趣 导 入

确定一条直线l.设点P( x, y)为直线l上不与点 P0 (0,1) 重合的任 意一点.则 即
k ? tan 45? ? y ?1 , x?0 x ? y ? 1 ? 0.

这说明直线上任意一点的坐标都是方程

x ? y ? 1 ? 0 的解.
设点

y1 ? 1 ? k ? tan 45?, x1 ? 0 已知直线的倾斜角为 45? ,并且经过点 P0 (0,1) ,只可以确定一条直线l
的解,即 x1 ? y1 ? 1 ? 0,则
? 这说明点 P 1 ( x1 , y1 ) 在经过点P 0 (0,1)且倾斜角为 45 的直线上.

x ? y ?1 ? 0 P 1 ( x1 , y1 ) 的坐标为方程

8. 2

直线的方程

一般地,如果直线(或曲线)L与方程 F ( x, y) ? 0 满足下列关系: (1)直线(或曲线)L上的点的坐标都是二元方程 F ( x, y) ? 0的解;

动 脑 思 考 探 索 新 知

(2)以方程 F ( x, y) ? 0的解为坐标的点都在直线(或曲线)L上. 那么,直线(或曲线)L叫做二元方程 F ( x, y) ? 0 的直线(或曲 线),方程 F ( x, y ) ? 0叫做直线(或曲线)L的方程. 记作曲线L:

F ( x, y) ? 0或者曲线 F ( x, y ) ? 0.

8. 2

直线的方程

下面求经过点 P 0 ( x0 , y0 ),且斜率为k的直线l的方程 .

动 脑 思 考 探 索 新 知

P0点),由斜率公式可得 ) 在直线l上任取点 P( x, y(不同于 当直线经过点 P 0 ( x0 , y0 )

y ? y0 k? x ? x0


且斜率不存在时,直线的 倾角为90°,此时直线 与x轴垂直,直线上所有的 点横坐标都是 x0,

y ? y0 ? k ( x ? x0 )

因此其方程为 ( x , y ) 显然,点 P 的坐标也满足上面的方程. 0 0 0 x ? x0. 方程 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 叫做直线的点斜式方程.其 中点 P 0 ( x0 , y0 )为直线上的点,k 为直线 的斜率.

8. 2

直线的方程

例2 在下列各条件下,分别求出直线的方程: (1)直线经过点 P0 (1, 2), 倾角为 45?;

巩 固 知 识 典 型 例 题

. (2)直线经过点 P 1 (3, 2),P 2 (?1, ?1)
解 (1)由于 ? ? 45? ,故斜率 k ? tan ? ? tan 45? ? 1 , 又因为直线经过点 P0 (1, 2),所以直线方程为

y ? 2 ? 1 ? ( x ? 1),


x ? y ? 1 ? 0.

(2)直线过点 P 1 (3, 2),P 2 (?1, ?1),由斜率公式得
k? ?1 ? 2 3 ? , ?1 ? 3 4

故直线的方程为


3 y ? 2 ? ( x ? 3) 4

3x ? 4 y ? 1 ? 0.

8. 2

直线的方程

如图所示,设直线l与x轴交于点 A(a, 0) ,与y轴交于点 B(0, b).则

动 脑 思 考 探 索 新 知

a叫做直线l在x轴上的截距(或横截距); b叫做直线l在y轴上的截距 (或纵截距).

想一想 直线在x轴及 y轴上的截距有可 能是负数吗? 8. 2 直线的方程

动 脑 思 考 探 索 新 知

设直线在y轴上的截距是b,即直线经过点 B(0, b) ,且斜率为k. 则这条直线的方程为

y ? b ? k ( x ? 0).


y ? kx ? b.

方程 y ? kx ? b 叫做直线的斜截式方程.其中k为直线的斜率, b为直线在y轴上的截距.

8. 2

直线的方程

例3 设直线l的倾斜角为60°,并且经过点P(2,3). (1)写出直线l的方程;

巩 固 知 识 典 型 例 题

(2)求直线l在y轴上的截距. 解 (1)由于直线l的倾角为60°,故其斜率为
k ? tan 60? ? 3

又直线经过点P(2,3),由公式得直线的方程为
y ? 3 ? 3( x ? 2)

(2)将上面的方程整理为

y ? 3x ? 2 3 ? 3
这是直线的斜截式方程,由公式知直线l的在y轴上的截距为 3 ? 2 3.

8. 2

直线的方程

分别求出直线 y ? 8 ? 5( x ? 1) 在x轴及y轴上的截距.

运 用 知 识 强 化 练 习

3 在x轴上的截距- ; 5 在y轴上的截距3.

8. 2

直线的方程

直线的点斜式方程与斜截式方程都可化为二元一次方程的一般形式

创 设 情 境 兴 趣 导 入

Ax ? By ? C ? 0

能不能说,一般形式的二元一次方程 Ax ? By ? C ? 0 就是直线的方程呢?

8. 2

直线的方程

(1)当 A ? 0,B ? 0 时,二元一次方程Ax ? By ? C ? 0 可化为
y?? A C A x ? .表示斜率为 k ? ? ,纵截距b ? ? C 的直线. B B B B

(2)当 A ? 0,B ? 0 时,方程为 y ? ?

动 脑 思 考 探 索 新 知

C C? ? ,表示经过点 P ? 0, ? ? B B? ?

且平行于x轴的直线(如下左图).

C ? C ? x ? ? (3)当 A ? 0,B ? 0 时,方程为 ,表示经过点 P ? ? , 0 ? A ? A ?
方程 Ax ? By ? C ? 0 (其中A、B不全为零)叫做 所以,二元一次方程 直线的一般式方程.

且平行于y轴的直线(如下右图).

Ax ? By ? C ? 0 (其中A、
B不全为零)表示一条直线.

8. 2

直线的方程

例4 将方程 y ? 2 ?

1 ( x ? 1) 化为直线的一般式方程,并分别求出该 2

直线在x轴与y轴上的截距.

巩 固 知 识 典 型 例 题

解 由 y?2?

1 ( x ? 2) 得 2

3x ? 2 y ? 6 ? 0.
这就是直线的一般式方程.在方程中令 y ? 0 ,则 x ? ?2, 故直线在x轴上的截距为 ?2; 令 x ? 0 ,则 y ? 3 ,故直线在y轴上的截距为3.

8. 2

直线的方程

求直线x ? 2 y ? 8 ? 0 在x轴、y轴上的截距及斜率.

运 用 知 识 强 化 练 习

在x轴上的截距-8; 在y轴上的截距4; 1 斜率 . 2

8. 2

直线的方程

1

直线的点斜式方程

理 论 升 华 整 体 建 构

2

直线的斜截式方程

y ? y0 ? k ( x ? x0 )
3 直线的一般式方程

y ? kx ? b

Ax ? By ? C ? 0 (其中A、B不全为零).

8. 2

直线的方程

学习效果

自 我 反 思 目 标 检 测

学习行为

学习方法

8. 2

直线的方程

作业
继 续 探 索 活 动 探 究
读书部分:阅读教材相关章节 书面作业:教材习题8.2 A(必做) 教材习题8.2 B(选做) 实践调查:编写一道关于求直线

方程的问题并求解.
8. 2 直线的方程


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