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海南省海口十四中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 (Word版含解析)


海南省海口十四中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)流程图中表示判断框的是() A.矩形框 B.菱形框 C.圆形框 2. (5 分)计算机执行如图的程序段后,输出的结果是()

D.椭圆形框

A.1,3

B.4,1<

br />
C.0,0 ,A=30°则 B 为() C.30°

D.6,0

3. (5 分)在△ ABC 中,若 a=2, A.60° B.60°或 120°

D.30°或 150°

4. (5 分)在等比数列{an}中,已知 a1= ,a5=9,则 a3=() A.1 B. 3 C.±1 D.±3

5. (5 分)已知{an}是等差数列,且 a2+a3+a8+a11=48,则 a5+a7=() A.12 B.16 C.20 D.24 6. (5 分)若 a>b>0,则下列不等式成立的是() A.a>b> >b B.a> >b C.a> D. a>

7. (5 分)已知点(3,1)和(﹣4,6)在直线 3x﹣2y+a=0 的两侧,则 a 的取值范围是() A.a<﹣7 或 a>24 B.a=7 或 a=24 C.﹣7<a<24 D.﹣24<a<7 8. (5 分)等比数列{an}中,a2=9,a5=243,{an}的前 4 项和为() A.81 B.120 C.168 D.192 9. (5 分)设集合 M={x|(x+3) (x﹣2)<0},N={x|1≤x≤3},则 M∩N=() A.[1,2) B.[1,2] C.(2,3] D.[2,3]
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10. (5 分)下列不等式的证明过程正确的是() A.若 a,b∈R,则 B. 若 x,y∈R ,则 C. 若 x∈R ,则 D.若 x∈R ,则
﹣ ﹣

+

11. (5 分)在如图所示的“茎叶图”表示的数据中,众数和中位数分别()

A.23 和 26

B.31 和 26

C.24 和 30

D.26 和 30

12. (5 分)200 辆汽车通过某一段公路时,时速的频率分布直方图如图所示,则时速在[50, 70)的汽车大约有()

A.60 辆

B.80 辆

C.70 辆

D.140 辆

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) + 13. (5 分)已知 x,y∈R ,且 x+4y=1,则 x?y 的最大值为. 14. (5 分)某地区打的士收费办法如下:不超过 2 公里收 7 元,超过 2 公里时,超过的里 程每公里收 2.6 元, (其他因素不考虑)计算收费标准的框图如图所示,则①处应填.

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15. (5 分)已知 x、y 满足约束条件

,则 z=2x+4y 的最小值为.

16. (5 分)数据 80,81,82,83 的方差是.

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17. (12 分) (1)求函数 y=
a

的定义域;
b

(2)设 a,b 为实数且 a+b=3,求 2 +2 的最小值. 18. (12 分)在△ ABC 中,A=120°,a= ,S△ ABC= ,求 b,c.

19. (10 分)某校高中部有三个年级,其中高三有学生 1000 人,现采用分层抽样法抽取一 个容量为 185 的样本,已知在 2014-2015 学年高一年级抽取了 75 人,2014-2015 学年高二年 级抽取了 60 人,则高中部共有多少学生? 20. (12 分)设等差数列{an}满足 a3=5,a10=﹣9. (1)求{an}的通项公式; (2)求{an}的前 n 项和 Sn. 21. (12 分)画出求 P=1*2*3*…*99*100 的值的算法流程图. 22. (12 分)为了了解初三女生身高情况,某中学对初三女生身高情况进行了一次测量,所 得数据整理后列出了频率分布表如下: 组别 频数 频率 145.5~149.5 1 0.02
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149.5~153.5 4 153.5~157.5 20 157.5~161.5 15 161.5~165.5 8 165.5~169.5 m 合计 M (1)求出表中 m,n,M,N 所表示的数分别是多少? (2)画出频率分布直方图; (3)全体女生中身高在哪组范围内的人数最多?

0.08 0.40 0.30 0.16 n N

海南省海口十四中 2014-2015 学年高二上学期期中数学 试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)流程图中表示判断框的是() A.矩形框 B.菱形框 C.圆形框

D.椭圆形框

考点: 流程图的概念. 专题: 图表型. 分析: 根据算法框图中表示判断的是菱形框,故选择菱形框,得到结果. 解答: 解:流程图中矩形框表示处理框 菱形框表示判断框 圆形框(圆角矩形框)表示起止框 没有椭圆形框 故选 B 点评: 本题考查算法的特点,本题解题的关键是知道几种不同的几何图形所表示的意义, 才能正确选择. 2. (5 分)计算机执行如图的程序段后,输出的结果是()

A.1,3

B.4,1

C.0,0

D.6,0

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考点: 程序框图. 专题: 操作型. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是利用顺序结构计算变量 a,b 的值,并输出,逐行分析程序各语句的功能不难得到结果. 解答: 解:∵a=1,b=3 ∴a=a+b=3+1=4, ∴b=a﹣b=4﹣3=1. 故输出的变量 a,b 的值分别为:4,1 故选 B 点评: 根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处 理方法是: :①分析流程图(或伪代码) ,从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型, 又要分析出参与计算的数据 (如果参与运算的数据比较多, 也可使用表格对数据进行分析管 理)?②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型③解模. 3. (5 分)在△ ABC 中,若 a=2, A.60° B.60°或 120° ,A=30°则 B 为() C.30°

D.30°或 150°

考点: 正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 利用正弦定理和题设中两边和一个角的值求得 B. 解答: 解:由正弦定理可知 = ,

∴sinB=

=

∵B∈(0,180°) ∴∠B=60°或 120°° 故选 B. 点评: 本题主要考查了正弦定理的应用.正弦定理常用来运用 a:b:c=sinA:sinB:sinC 解决角之间的转换关系.属于基础题.

4. (5 分)在等比数列{an}中,已知 a1= ,a5=9,则 a3=() A.1 B. 3 C.±1 D.±3

考点: 等比数列的通项公式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由等比数列的性质可知, 解答: 解:∵a1= ,a5=9, 由等比数列的性质可知, =1 ,可求

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∴a3=±1 当 a3=﹣1 时, =﹣9 不合题意

∴a3=1 故选 A 点评: 本题主要考查了等比数列的性质的简单应用,属于基础试题 5. (5 分)已知{an}是等差数列,且 a2+a3+a8+a11=48,则 a5+a7=() A.12 B.16 C.20 D.24 考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 把已知条件用首项和公差表示, 求出 2a1+10d=24, 而 a5+a7=2a1+10d, 则答案可求. 解答: 解:设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, 由 a2+a3+a8+a11=48,得 4a1+20d=48,∴2a1+10d=24. 而 a5+a7=a1+4d+a1+6d=2a1+10d, ∴a5+a7=24. 故选:D. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式, 关键是把已知和要求的式子都化为首项和公差的 形式,是基础题. 6. (5 分)若 a>b>0,则下列不等式成立的是() A.a>b> >b B.a> >b C.a> D. a>

考点: 专题: 分析: 解答: ∴

不等关系与不等式. 不等式的解法及应用. 利用不等式的性质、基本不等式的性质即可得出. 解:∵a>b>0, ,

故选:D. 点评: 本题考查了不等式的性质、基本不等式的性质,属于基础题. 7. (5 分)已知点(3,1)和(﹣4,6)在直线 3x﹣2y+a=0 的两侧,则 a 的取值范围是() A.a<﹣7 或 a>24 B.a=7 或 a=24 C.﹣7<a<24 D.﹣24<a<7 考点: 专题: 分析: 解答: 二元一次不等式的几何意义. 不等式的解法及应用. 根据二元一次不等式组表示平面区域, 以及两点在直线两侧, 建立不等式即可求解. 解:∵点(3,1)与 B(﹣4,6) ,在直线 3x﹣2y+a=0 的两侧,
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∴两点对应式子 3x﹣2y+a 的符号相反, 即(9﹣2+a) (﹣12﹣12+a)<0, 即(a+7) (a﹣24)<0, 解得﹣7<a<24, 故选:C. 点评: 题主要考查二元一次不等式表示平面区域, 利用两点在直线的两侧得对应式子符号 相反是解决本题的关键. 8. (5 分)等比数列{an}中,a2=9,a5=243,{an}的前 4 项和为() A.81 B.120 C.168 D.192 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 根据等比数列的性质可知 等于 q ,列出方程即可求出 q 的值,利用
3

即可求出

a1 的值,然后利用等比数列的首项和公比,根据等比数列的前 n 项和的公式即可求出{an} 的前 4 项和. 解答: 解:因为 = =q =27,解得 q=3
3

又 a1=

= =3,则等比数列{an}的前 4 项和 S4=

=120

故选 B 点评: 此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的前 n 项和的公式化简求值, 是 一道中档题. 9. (5 分)设集合 M={x|(x+3) (x﹣2)<0},N={x|1≤x≤3},则 M∩N=() A.[1,2) B.[1,2] C.(2,3] D.[2,3] 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据已知条件我们分别计算出集合 M,N,并写出其区间表示的形式,然后根据交 集运算的定义易得到 A∩B 的值. 解答: 解:∵M={x|(x+3) (x﹣2)<0}=(﹣3,2) N={x|1≤x≤3}=[1,3], ∴M∩N=[1,2) 故选 A 点评: 本题考查的知识点是交集及其运算,其中根据已知条件求出集合 M,N,并用区间 表示是解答本题的关键. 10. (5 分)下列不等式的证明过程正确的是()

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A.若 a,b∈R,则 B. 若 x,y∈R ,则 C. 若 x∈R ,则 D.若 x∈R ,则
﹣ ﹣

+

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 根据基本不等式的使用条件, 以及基本不等式的等号成立的条件, 逐一检验各个选 项,可得只有 D 正确,从而得出结论. 解答: 解:A 不正确,因为 a、b 不满足同号,故不能用基本不等式. B 不正确,因为 lgx 和 lgy 不一定是正实数,故不能用基本不等式. C 不正确,因为 x 和 不是正实数,故不能直接利用基本不等式. D 正确,因为 2 和 2
﹣x

x

﹣x

都是正实数,故

成立,当且仅当 2 =2

x

相等时(即 x=0 时) ,等号成立. 故选 D. 点评: 本题主要考查基本不等式的应用, 注意基本不等式的使用条件, 并注意检验等号成 立的条件,属于基础题. 11. (5 分)在如图所示的“茎叶图”表示的数据中,众数和中位数分别()

A.23 和 26

B.31 和 26

C.24 和 30

D.26 和 30

考点: 众数、中位数、平均数;茎叶图. 专题: 概率与统计. 分析: 由茎叶图得 11 个数分别为:12,14,20,23,25,26,30,31,31,41, 42,由 此能求出众数和中位数. 解答: 解:由茎叶图,得 11 个数分别为: 12,14,20,23,25,26,30,31,31,41,42, ∴众数为 31,中位数为 26. 故选:B. 点评: 本题考查众数和中位数的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意茎叶图性质的 合理运用.

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12. (5 分)200 辆汽车通过某一段公路时,时速的频率分布直方图如图所示,则时速在[50, 70)的汽车大约有()

A.60 辆

B.80 辆

C.70 辆

D.140 辆

考点: 频率分布直方图. 专题: 计算题. 分析: 根据已知中的频率分布直方图,我们可以计算出时速在[50,70)的数据对应的矩 形高之和,进而得到时速在[50,70)的数据的频率,结合样本容量为 200,即可得到时速 在[50,70)的数据的频数,即时速在[50,70)的汽车的辆数. 解答: 解:由于时速在[50,70)的数据对应的矩形高之和为 0.03+0.04=0.07 由于数据的组距为 10 故时速在[50,70)的数据的频率为:0.07×10=0.7 故时速在[50,70)的数据的频数为:0.7×200=140 故选 D 点评: 本题考查的知识点是频率分布直方图,其中频率=矩形高×组距= 此类问题的关键. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分)已知 x,y∈R ,且 x+4y=1,则 x?y 的最大值为
+

是解答



考点: 基本不等式. 专题: 计算题. 分析: 变形为 x 与 4y 的乘积,利用 基本不等式求最大值 解答: 解: 故应填 . ,当且仅当 x=4y= 时取等号.

点评: 考查利用基本不等式求最值,此为和定积最大型. 14. (5 分)某地区打的士收费办法如下:不超过 2 公里收 7 元,超过 2 公里时,超过的里 程每公里收 2.6 元, (其他因素不考虑)计算收费标准的框图如图所示,则①处应填 y=2.6x+1.8.

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考点: 程序框图. 专题: 图表型. 分析: 根据题意,当满足条件 x>2 时,即里程超过 2 公里,应按超过 2 公里的里程每公 里收 2.6 元,进而可得函数的解析式. 解答: 解:由题意可知, 当满足条件 x>2 时,即里程超过 2 公里, 而超过 2 公里时,按超过的里程每公里收 2.6 元, ∴y=2.6(x﹣2)+7 整理可得 y=2.6x+1.8, ∴①处应填 y=2.6x+1.8. 故答案为:y=2.6x+1.8. 点评: 本题考查了程序框图,考查的形式是程序填空,该题型也是重要的考试题型,这种 题考试的重点有:①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出.此种题型的 易忽略点是:不能准确理解流程图的含义而导致错误.属于基础题.

15. (5 分)已知 x、y 满足约束条件

,则 z=2x+4y 的最小值为﹣6.

考点: 简单线性规划. 专题: 数形结合;不等式的解法及应用. 分析: 由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解, 求得最优解的坐标,代入目标函数得答案.

解答: 解:由约束条件

作出可行域如图,

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化 z=2x+4y 为 y=﹣ x+ . 由图可知,当直线 y=﹣ x+ 过 A(3,﹣3)时 z 有最小值,等于 2×3+4×(﹣3)=﹣6. 故答案为:﹣6. 点评: 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 16. (5 分)数据 80,81,82,83 的方差是 1.25. 考点: 极差、方差与标准差. 专题: 概率与统计. 分析: 求出平均数.然后利用方差公式求解即可. 解答: 解:数据 80,81,82,83 的平均数为:
2

=81.5.
2 2

∴数据 80,81,82,83 的方差是: [(80﹣81.5) +(81﹣81.5) +(82﹣81.5) +(83﹣ 81.5) ]=1.25. 故答案为:1.25. 点评: 本题考查数据的方差,基本知识的考查. 三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17. (12 分) (1)求函数 y=
a 2

的定义域;
b

(2)设 a,b 为实数且 a+b=3,求 2 +2 的最小值. 考点: 基本不等式;函数的定义域及其求法. 专题: 不等式的解法及应用. 2 分析: (1)解不等式 4﹣x >0 可得函数的定义域为{x|﹣2<x<2}; (2)由基本不等式可得 2 +2 ≥2 解答: 解: (1)要使函数 y=
a b

=2 有意义,

=4

,注意等号成立的条件即可.

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需 4﹣x >0,解﹣2<x<2 ∴原函数的定义域为{x|﹣2<x<2}; (2)∵a,b 为实数且 a+b=3, ∴2 +2 ≥2
a b a b

2

=2

=4

当且仅当 2 =2 ,即 a=b 时取等号, ∴2 +2 的最小值为:4 点评: 本题考查基本不等式求最值,涉及函数的定义域的求解,属基础题. 18. (12 分)在△ ABC 中,A=120°,a= 考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由 = ,可得 bc=4 ①.再由余弦定理可得 21=b +c +4,即 b +c =17
2 2 2 2 a b

,S△ ABC=

,求 b,c.

②.由①②解得 b 和 c 的值. 解答: 解:在△ ABC 中,∵A=120°,a= ①. 再由余弦定理可得 a =21=b +c ﹣2bc?cosA=b +c +bc=b +c +4,∴b +c =17 ②. 由①②解得 b=4,c=1; 或者 b=1,c=4. 点评: 本题主要考查三角形的面积公式、余弦定理的应用,属于中档题. 19. (10 分)某校高中部有三个年级,其中高三有学生 1000 人,现采用分层抽样法抽取一 个容量为 185 的样本,已知在 2014-2015 学年高一年级抽取了 75 人,2014-2015 学年高二年 级抽取了 60 人,则高中部共有多少学生? 考点: 分层抽样方法. 专题: 计算题. 分析: 采用分层抽样法抽取一个容量为 185 的样本,在 2014-2015 学年高一年级抽取了 75 人,2014-2015 学年高二年级抽取了 60 人,得到在高三抽取的人数,算出在抽样过程中, 每个个体被抽到的概率,用样本容量除以被抽到的概率,得到总人数. 解答: 解:∵采用分层抽样法抽取一个容量为 185 的样本, 在 2014-2015 学年高一年级抽取了 75 人,2014-2015 学年高二年级抽取了 60 人, ∴在高三抽取了 185﹣75﹣60=50, ∵高三有学生 1000 人, ∴在抽样过程中,每个个体被抽到的概率是 ∵采用分层抽样法抽取一个容量为 185 的样本 ∴高中部共有学生 185÷ =3700 人. =
2 2 2 2 2 2 2 2 2

,S△ ABC=

,∴

=

,即 bc=4

点评: 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同, 这是解决一部分抽样问题的依据, 样本 容量、总体个数、每个个体被抽到的概率,这三者可以知二求一.
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20. (12 分)设等差数列{an}满足 a3=5,a10=﹣9. (1)求{an}的通项公式; (2)求{an}的前 n 项和 Sn. 考点: 等差数列的前 n 项和;等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意易得等差数列{an}的首项和公差,进而可得通项公式和 Sn 解答: 解: (1)∵等差数列{an}满足 a3=5,a10=﹣9, ∴公差 d= = =﹣2,

∴a1=5﹣2d=9 ∴{an}的通项公式为 an=9﹣2(n﹣1)=﹣2n+11; (2)由(1)知 a1=9,an=﹣2n+11, ∴{an}的前 n 项和 Sn= = =﹣n +10n
2

点评: 本题考查等差数列的通项公式和求和公式,属基础题. 21. (12 分)画出求 P=1*2*3*…*99*100 的值的算法流程图. 考点: 设计程序框图解决实际问题. 专题: 应用题;算法和程序框图. 分析: 由已知中程序的功能为用循环结构计算 1×2×3…×100 的值,为累加运算,且要反复 累加 100 次,可令循环变量的初值为 1,终值为 100,步长为 1,由此确定循环前和循环体 中各语句,即可得到相应的程序框图. 解答: 解:由已知中程序的功能为用循环结构计算 1×2×3…×100 的值,为累加运算,且要 反复累加 100 次,可令循环变量的初值为 1,终值为 100,步长为 1,由此确定循环前和循 环体中各语句,即可得到相应的程序框图如下:

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点评: 本题考查的知识点是设计程序框图解决实际问题, 其中熟练掌握利用循环进行累加 和累乘运算的方法,是解答本题的关键,属于基本知识的考查. 22. (12 分)为了了解初三女生身高情况,某中学对初三女生身高情况进行了一次测量,所 得数据整理后列出了频率分布表如下: 组别 频数 频率 145.5~149.5 1 0.02 149.5~153.5 4 0.08 153.5~157.5 20 0.40 157.5~161.5 15 0.30 161.5~165.5 8 0.16 165.5~169.5 m n 合计 M N (1)求出表中 m,n,M,N 所表示的数分别是多少? (2)画出频率分布直方图; (3)全体女生中身高在哪组范围内的人数最多? 考点: 用样本的频率分布估计总体分布;频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: (1)由频率的意义知,N=1,n=1﹣(0.02+0.08+0.40+0.30+0.16) ,由第一组的频 率和频数,可求得 m=2,M=1+4+20+15+8+2,从而得到结论. (2)频率分布直方图如图. (3)由频率分步表可得全体女生中身高在 153.5~157.5 这一组范围内的人数最多. 解答: 解: (1)由频率的意义知,N=1,…(2 分) n=1﹣(0.02+0.08+0.40+0.30+0.16)=0.04,…(3 分) 由第一组的频率和频数,可求得 m=2,M=1+4+20+15+8+2=50.…(4 分) ∴m=2,n=0.04,M=50,N=1.…(6 分) (2)频率分布直方图如图.

…(10 分) (3)由频率分步表可得全体女生中身高在 153.5~157.5 这一组范围内的人数最多,为 20 人.…(12 分) 点评: 本题主要考查频率分步表、频率分步直方图的应用,属于基础题.
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