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2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2能力强化提升:3-3-1 两条直线的交点坐标


一、选择题 1.直线 3x-y=0 与 x+y=0 的位置关系是( A.相交 C.重合 [答案] A [解析] A1B2-A2B1= 3×1-1×(-1)= 3+1≠0, 又 A1A2+B1B2= 3×1+(-1)×1= 3-1≠0,则这两条直线相 交,但不垂直. 2.直线 2x+3y+8=0 和直线 x-y-1=0 的交点坐标是( A.(-2,-1) C.(1,2) [答案] B
? ?2x+3y+8=0, [解析] 解方程组? ?x-y-1=0, ? ? ?x=-1, 得? 即交点坐标是(-1,-2). ? ?y=-2,

)

B.平行 D.垂直

)

B.(-1,-2) D.(2,1)

3.直线 ax+3y-5=0 经过点(2,1),则 a 的值等于( A.2 C.0 [答案] B [解析] 由题意得 2a+3-5=0,解得 a=1. B.1 D.-1

)

4.若三条直线 2x+3y+8=0,x-y=1,和 x+ky=0 相交于一 点,则 k 的值等于( )

A.-2 C.2 [答案] B [解析]

1 B.-2 1 D.2

? ?x-y=1 由? 得交点(-1,-2), ?2x+3y+8=0 ?

1 代入 x+ky=0 得 k=-2,故选 B. 5.直线 kx-y+1=3k,当 k 变动时,所有直线都通过定点( A.(0,0) C.(3,1) [答案] C [解析] 方程可化为 y-1=k(x-3),即直线都通过定点(3,1). 6.已知点 M(0,-1),点 N 在直线 x-y+1=0 上,若直线 MN 垂直于直线 x+2y-3=0,则 N 点的坐标是( A.(-2,-3) C.(2,3) [答案] C [解析] 将 A、B、C、D 四个选项代入 x-y+1=0 否定 A、B, 又 MN 与 x+2y-3=0 垂直,否定 D,故选 C. 7.过两直线 3x+y-1=0 与 x+2y-7=0 的交点,并且与第一 条直线垂直的直线方程是( A.x-3y+7=0 C.2x-y+7=0 [答案] B ) B.x-3y+13=0 D.3x-y-5=0 B.(2,1) D.(-2,-1) ) B.(0,1) D.(2,1) )

[解析]

? ?3x+y-1=0, 由? 得交点(-1,4). ?x+2y-7=0, ?

∵所求直线与 3x+y-1=0 垂直, 1 1 ∴所求直线斜率 k=3,∴y-4=3(x+1), 即 x-3y+13=0. 8.已知直线 mx+4y-2=0 与 2x-5y+n=0 互相垂直,垂足为 (1,p),则 m-n+p 为( A.24 C.0 [答案] B m2 [解析] ∵两直线互相垂直,∴k1· k2=-1,∴- 4 · 5=-1,∴m =10.又∵垂足为(1,p),∴代入直线 10x+4y-2=0 得 p=-2, 将(1,-2)代入直线 2x-5y+n=0 得 n=-12,∴m-n+p=20. 二、填空题 9.过原点和直线 l1:x-3y+4=0 与 l2:2x+y+5=0 的交点的 直线的方程为________. [答案] 3x+19y=0 [解析]
? ?x-3y+4=0, 19 3 由? 得交点坐标(- 7 ,7), ? ?2x+y+5=0,

) B.20 D.-4

3 ∴所求方程为 y=-19x,即 3x+19y=0. 10.在△ABC 中,高线 AD 与 BE 的方程分别是 x+5y-3=0 和 x+y-1=0, AB 边所在直线的方程是 x+3y-1=0, 则△ABC 的顶点 坐标分别是 A________;B________;C________. [答案] (-2,1) (1,0) (2,5)

[解析] 高线 AD 与边 AB 的交点即为顶点 A,高线 BE 与边 AB 的交点即为顶点 B,顶点 C 通过垂直关系进行求解. 11.两条直线 x+my+12=0,2x+3y+m=0 的交点在 y 轴上,则 m 的值是________. [答案] ± 6 [解析]
? ?mb+12=0, 设交点坐标为(0,b),则有? 解得 m=± 6. ? ?3b+m=0,

12.已知直线 l1:a1x+b1y=1 和直线 l2:a2x+b2y=1 相交于点 P(2,3),则经过点 P1(a1,b1)和 P2(a2,b2)的直线方程是________. [答案] 2x+3y=1 [解析] 由题意得 P(2,3)在直线 l1 和 l2 上,
? ?2a1+3b1=1, 所以有? 则点 P1(a1,b1)和 P2(a2,b2)的坐标是方 ?2a2+3b2=1, ?

程 2x+3y=1 的解, 所以经过点 P1(a1,b1)和 P2(a2,b2)的直线方程是 2x+3y=1. 三、解答题 13.判断下列各对直线的位置关系,若相交,求出交点坐标: (1)l1:2x-y+3=0,l2:x+2y-1=0; (2)l1:3x+4y+2=0,l2:6x+8y+3=0; (3)l1:x-y+1=0,l2:2x-2y+2=0. [解析]
? ? ?2x-y+3=0, ?x=-1, ? (1)解方程组 得? ?x+2y-1=0, ? ? ?y=1,

所以直线 l1 与 l2 相交,交点坐标为(-1,1).
? ?3x+4y+2=0, (2)解方程组? ? ?6x+8y+3=0,

① ②

①×2-②得 1=0,矛盾,方程组无解.

所以直线 l1 与 l2 无公共点,即 l1∥l2.
? ?x-y+1=0, ① (3)解方程组? ?2x-2y+2=0, ② ?

①×2 得 2x-2y+2=0. 因此,①和②可以化为同一个方程,即①和②表示同一条直线, 所以直线 l1 与 l2 重合. 14.已知直线 x+y-3m=0 和 2x-y+2m-1=0 的交点 M 在第 四象限,求实数 m 的取值范围. [分析] 解方程组得交点坐标, 再根据点 M 在第四象限列出不等 式组,解得 m 的取值范围.
? ?x+y-3m=0, [解析] 由? ?2x-y+2m-1=0, ?

1 ?x=m+ 3 , 得? 8m-1 y = ? 3 .

m+1 8m-1 ∴交点 M 的坐标为( 3 , 3 ). ∵交点 M 在第四象限, 1 ?m+ 3 >0, ∴? 8m-1 ? 3 <0,

1 1 解得-1<m<8.∴m 的取值范围是(-1,8).

15.直线 l 过定点 P(0,1),且与直线 l1:x-3y+10=0,l2:2x+ y-8=0 分别交于 A、B 两点.若线段 AB 的中点为 P,求直线 l 的方 程. [解析] 解法 1:设 A(x0,y0),由中点公式,有 B(-x0,2-y0), ∵A 在 l1 上,B 在 l2 上,

? ? ?x0-3y0+10=0 ?x0=-4 ? ∴ ?? , ?-2x0+?2-y0?-8=0 ? ? ?y0=2

∴kAP=

1-2 1 =-4, 0+4

1 故所求直线 l 的方程为:y=-4x+1, 即 x+4y-4=0. 解法 2:设所求直线 l 方程为: y=kx+1,l 与 l1、l2 分别交于 M、N.
? ?y=kx+1 10k-1 7 解方程组? ?N( , ) 3k-1 3k-1 ? ?x-3y+10=0 ? ?y=kx+1 8k+2 7 解方程组? ?M( , ) k+2 k+2 ?2x+y-8=0 ?

∵M、N 的中点为 P(0,1)则有: 1 7 7 1 ( + ) = 0 ? ∴ k =- 2 3k-1 k+2 4. 故所求直线 l 的方程为 x+4y-4=0. 解法 3:设所求直线 l 与 l1、l2 分别交于 M(x1,y1)、N(x2,y2), P(0,1)为 MN 的中点,则有:
?x1+x2=0, ?x2=-x1, ? ? ? ?? ? ? ?y1+y2=2 ?y2=2-y1.

代入 l2 的方程,得: 2(-x1)+2-y1-8=0 即 2x1+y1+6=0.
?x1-3y1+10=0 ? 解方程组? ?M(-4,2). ?2x1+y1+6=0 ?

由两点式:所求直线 l 的方程为 x+4y-4=0. 解法 4:同解法 1,设 A(x0,y0),

? ?x0-3y0+10=0 ? ,两式相减得 x0+4y0-4=0,(1) ?2x0+y0+6=0 ?

考察直线 x+4y-4=0,一方面由(1)知 A(x0,y0)在该直线上;另 一方面,P(0,1)也在该直线上,从而直线 x+4y-4=0 过点 P、A.根据 两点决定一条直线知,所求直线 l 的方程为:x+4y-4=0. 16.求证:不论 m 取什么实数,直线(2m-1)x+(m+3)y-(m- 11)=0 都经过一个定点,并求出这个定点的坐标. [分析] 题目所给的直线方程的系数中含有字母 m,给定 m 一个 实数值,就可以得到一条确定的直线,因此所给的方程是以 m 为参 数的直线系方程,要证明这个直线系中的直线都过一定点,就是证明 它是一个共点的直线系,我们可以给出 m 的两个特殊值,得到直线 系中的两条直线,它们的交点即是直线系中任何直线都过的定点. 另一思路是:由于方程对任意的 m 都成立,那么就以 m 为未知 数,整理为关于 m 的一元一次方程,再由一元一次方程有无数个解 的条件求得定点的坐标. [解析] 证法一:对于方程(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0, 令 m=0,得 x-3y-11=0;令 m=1,得 x+4y+10=0.
? ?x-3y-11=0, 解方程组? 得两直线的交点为(2,-3). ?x+4y+10=0, ?

将点(2,-3)代入已知直线方程左边,得 (2m-1)×2+(m+3)×(-3)-(m-11)=4m-2-3m-9-m+11 =0. 这表明不论 m 取什么实数,所给直线都经过定点(2,-3). 证法二:将已知方程以 m 为未知数,整理为(2x+y-1)m+(-x +3y+11)=0.

? ?2x+y-1=0, 因为 m 可以取任意实数,所以有? 解得 ?-x+3y+11=0, ? ?x=2, ? ? ?y=-3. ?

所以不论 m 取什么实数所给的直线都经过定点(2,-3). 规律总结:(1)分别令参数取两个特殊值得方程组,求出点的 坐标,代入原方程满足,则此点为定点. (2)直线过定点,即与参数无关,则参数的同次幂的系数为 0,从 而求出定点.


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