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空间两条直线的位置关系


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1.2.2
教学目标:

空间两条直线的位置关系(1)

1.了解空间两条直线的位置关系; 2.理解并掌握公理 4 及等角定理; 3.初步培养学生空间想象能力,抽象概括能力,让学生初步了解将空间问 题平面化是处理空间问题的基本策略.

教材分析及教材内容的定位: 本节课是研究空间线线位置关系的基础, 异面直线的定义是本节课的重点和 难点.公理 4 是等角定理的基础,而等角定理是后面学习异面直线所成角的理论 基础,也是判断空间两角相等的重要方法.空间问题平面化是立体几何的核心思 想之一,而这个思想的形成需要一个过程,本节课需要对此进行渗透.因此本节 课具有承上启下的作用.

教学重点: 异面直线的定义,公理 4 及等角定理. 教学难点: 异面直线的定义,等角定理的证明,空间问题平面化思想的渗透.

教学方法: 启发引导学生概括空间两条直线的位置关系, 类比平面几何中的结论学习公 理 4 及等角定理.

教学过程: 一、问题情境 1.在平面几何中,两条直线的位置关系有哪些?观察教室中的墙角线、电 棒等所在的直线,说说空间两条直线有哪些位置关系?
A1 D A A B D1
1

C1 B1 C C

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2.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,指出下列两条直线的位置关系: (1)AB 和 AD; (2)AB 和 CD; (3)AB 和 C1D1;(4)AB 和 B1C1; 3.在上图中,∠CAB 的两边和∠C1A1B1 的两边在位置上有何关系?这两角 的大小呢? 二、学生活动 1.说出教室内墙角线所在的直线之间的位置关系,由此概括空间两条直线 位置关系; 2.观察正方体中各棱所在的直线的位置关系,由此得出公理 4; 3.由问题情境 3,概括等角定理. 三、建构数学 1.引导学生描述异面直线的定义; 2.空间两条直线的位置关系有以下三种: (1)相交直线:在同一个平面内,有且只有一个的两条直线; (2)平行直线:在同一个平面内,没有公共点的两条直线; (3)异面直线:不同在任何一个平面内的两条直线; 从有无公共点的角度, 可以将空间两条直线的位置关系分成: 相交直线和不 相交直线两类; 从是否共面的角度, 可以将空间两条直线的位置关系分成: 共面直线和不共 面直线两类; 3.平行的传递性: a∥b b∥c ?a∥c

公理 4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行. 符号表示: 4.等角定理: 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同, 那么这两个角相等. 思考:如果将定理中“方向相同”这一条件去掉,结论会是怎样的呢? 四、数学运用 1.例题.

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例1

如图在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 已知 E、 F 分别为 AB、 BC 的中点, D1
1

求证:EF∥A1C1. A1

C1
B B 1

DD AA E

1

BB

F

CC

变式:如图 E、F、G、H 是平面四边形 ABCD 四边中点,四边形 EFGH 的 形状是平行四边形吗?为什么?如果将 ABCD 沿着对角线 BD 折起就形成空间四 边形 ABCD,那么四边形 EFGH 的形状还是平行四边形吗? A E B F C 例2 G H D
折叠

A E B F C H D G

如图在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知 E1,E 分别为 A1D1,AD 的中

点,求证:∠C1E1B1=∠CEB. D1 E1
A1 B1

C1

E A 2.练习.

D

1

C B

(1) 若两直线 a 和 b 没有公共点,则 a 与 b 的位置关系________________. (2)直线 a 和 b 分别是长方体的两个相邻的面的对角线所在直线,则 a 和 b 的位置关系是_________. (3) 如果 OA∥O1A1, OB∥O1B1, ∠AOB=40o, 则∠A1O1B1= .

∥ ∥ (4)如图已知 AA1,BB1,CC1 不共面,AA1 = BB1,BB1 = CC1,求证:△ABC

≌△A1B1C1.
C

A C1 B

A1

B1

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五、要点归纳与方法小结 本节课学习了以下内容: 1.异面直线的概念; 2.空间两条直线的位置关系; 3.公理 4 和等角定理; 4.公理 4 和等角定理都是将平面几何中的结论推广到空间; 等角定理是通过 构造全等三角形来证明的,这个过程就是一个平面化的过程.


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