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2013届高考数学第一轮立体几何初步专项复习教案6.doc


§6 垂直关系 6.1 垂直关系的判定(一)
【课时目标】 1.掌握直线与平面垂直的定义.2.掌握直线与 平面垂直的判定定理并能灵活应用定理证明直线与平面垂直.

1.定义:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直, 那么称这条直线和这个平面垂直. 2.判定定理 文字表述:如果一条直线和一个平面内的 __________________ 都垂直,那么该直线与此平面垂直. l⊥a l⊥b 符号表述:

? ? ??l⊥α. ? ?

一、选择题 1.下列命题中正确的个数是( ) ①如果直线 l 与平面 α 内的无数条直线垂直,则 l⊥α; ②如果直线 l 与平面 α 内的一条直线垂直,则 l⊥α; ③如果直线 l 不垂直于 α,则 α 内没有与 l 垂直的直线; ④如果直线 l 不垂直于 α,则 α 内也可以有无数条直线与 l 垂直. A.0 B.1 C.2 D.3 2.直线 a⊥直线 b,b⊥平面 β,则 a 与 β 的关系是( ) A.a⊥β B.a∥β C.a ? β D.a ? β 或 a∥β 3.空间四边形 ABCD 的四边相等,则它的两对角线 AC、BD 的 关系是( ) A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直 C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交 4.如图所示,定点 A 和 B 都在平面 α 内,定点 P?α,PB⊥α,C

是平面 α 内异于 A 和 B 的动点,且 PC⊥AC,则△ABC 为(

)

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 5.如图所示,PA⊥平面 ABC,△ABC 中 BC⊥AC,则图中直 角三角形的个数为( )

A.4 B.3 C.2 D.1 6.从平面外一点 P 向平面引一条垂线和三条斜线,斜足分别为 A,B,C,如果 PA=PB=PC,有如下命题: ①△ABC 是正三角形; ②垂足是△ABC 的内心; ③垂足是△ABC 的外心; ④垂足是△ABC 的垂心. 其中正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 7.下列五个正方体图形中,l 是正方体的一条体对角线,点 M、 N、P 分别为其所在棱的中点,能得出 l⊥平面 MNP 的图形的序号是 ______________(写出所有符合要求的图形序号).

8.在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,BC=CC1,当底面 A1B1C1 满 足条件________时,有 AB1⊥BC1(注:填上你认为正确的一种条件即 可,不必考虑所有可能的情况). 9.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是棱 AA1 和 AB 上的点,若∠B1MN 是直角,则∠C1MN=________.

三、解答题 10.如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是棱 B1C1、B1B 的中点. 求证:CF⊥平面 EAB.

11.如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧 棱 PA 垂直于底面,E、F 分别是 AB,PC 的中点,PA=AD. 求证:(1)CD⊥PD; (2)EF⊥平面 PCD.

能力提升 12.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为 DD1 的中 点,O 为 ABCD 的中心,求证 B1O⊥平面 PAC.

13.如图所示,△ABC 中,∠ABC=90° ,SA⊥平面 ABC,过 点 A 向 SC 和 SB 引垂线, 垂足分别是 P、 Q, 求证: (1)AQ⊥平面 SBC; (2)PQ⊥SC.

1.运用化归思想,将直线与平面垂直的判定转化为直线与平面 内两条相交直线的判定,而同时还由此得到直线与直线垂直.即“线 线垂直?线面垂直”. 2.直线和平面垂直的判定方法 (1)利用线面垂直的定义. (2)利用线面垂直的判定定理. (3)利用下面两个结论:①若 a∥b,a⊥α,则 b⊥α;②若 α∥β, a⊥α,则 a⊥β.

§ 6 垂直关系 6.1 垂直关系的判定(一) 答案
知识梳理 2.两条相交直线 a ? α b ? α a∩b=A 作业设计 1.B [只有④正确.] 2.D 3.C

[取 BD 中点 O,连接 AO,CO, 则 BD⊥AO,BD⊥CO, ∴BD⊥面 AOC,BD⊥AC, 又 BD、AC 异面,∴选 C.] 4.B [易证 AC⊥面 PBC,所以 AC⊥BC.]

5.A

[

PA⊥平面ABC ? ?

?? ? BC?平面ABC?

PA⊥BC ? ?
? AC⊥BC?

? ? BC⊥ 平 面 PAC ?

BC⊥PC, ∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.] 6.A

[PO⊥面 ABC. 则由已知可得,△PAO、△PBO、△PCO 全等,OA=OB=OC, O 为△ABC 外心. 只有③正确.] 7.①④⑤ 8.∠A1C1B1=90° [

如图所示,连接 B1C, 由 BC=CC1,可得 BC1⊥B1C, 因此,要证 AB1⊥BC1,则只要证明 BC1⊥平面 AB1C, 即只要证 AC⊥BC1 即可,由直三棱柱可知,只要证 AC⊥BC 即 可. 因为 A1C1∥AC,B1C1∥BC,故只要证 A1C1⊥B1C1 即可. (或者能推出 A1C1⊥B1C1 的条件,如∠A1C1B1=90° 等)] 9.90° 解析 ∵B1C1⊥面 ABB1A1, ∴B1C1⊥MN. 又∵MN⊥B1M,∴MN⊥面 C1B1M, ∴MN⊥C1M. ∴∠C1MN=90° . 10.证明 在平面 B1BCC1 中, ∵E、F 分别是 B1C1、B1B 的中点, ∴△BB1E≌△CBF, ∴∠B1BE=∠BCF, ∴∠BCF+∠EBC=90° ,∴CF⊥BE,

又 AB⊥平面 B1BCC1,CF ?平面 B1BCC1, ∴AB⊥CF,AB∩BE=B,∴CF⊥平面 EAB. 11.证明 (1)∵PA⊥底面 ABCD, ∴CD⊥PA. 又矩形 ABCD 中,CD⊥AD,且 AD∩PA=A, ∴CD⊥平面 PAD, ∴CD⊥PD.

(2)取 PD 的中点 G, 连接 AG,FG. 又∵G、F 分别是 PD,PC 的中点, 1 ∴GF 綊2CD,∴GF 綊 AE, ∴四边形 AEFG 是平行四边形, ∴AG∥EF. ∵PA=AD,G 是 PD 的中点, ∴AG⊥PD,∴EF⊥PD, ∵CD⊥平面 PAD,AG ?平面 PAD. ∴CD⊥AG.∴EF⊥CD. ∵PD∩CD=D,∴EF⊥平面 PCD. 12.

证明 连接 AB1,CB1, 设 AB=1. ∴AB1=CB1= 2, ∵AO=CO,∴B1O⊥AC. 连接 PB1. 3 2 2 ∵OB1 =OB2+BB1 =2, 9 2 2 2 PB1 =PD1 +B1D1 =4,

3 OP2=PD2+DO2=4,
2 2 ∴OB1 +OP2=PB1 . ∴B1O⊥PO, 又∵PO∩AC=O, ∴B1O⊥平面 PAC. 13.证明 (1)∵SA⊥平面 ABC,BC ?平面 ABC, ∴SA⊥BC. 又∵BC⊥AB,SA∩AB=A, ∴BC⊥平面 SAB. 又∵AQ ?平面 SAB, ∴BC⊥AQ.又∵AQ⊥SB,BC∩SB=B, ∴AQ⊥平面 SBC. (2)∵AQ⊥平面 SBC,SC ?平面 SBC, ∴AQ⊥SC. 又∵AP⊥SC,AQ∩AP=A, ∴SC⊥平面 APQ. ∵PQ ?平面 APQ,∴PQ⊥SC.

6. 1

垂直关系的判定(二)

【课时目标】 1.掌握二面角的概念,二面角的平面角的概念, 会求简单的二面角的大小.2.掌握两个平面互相垂直的概念,并能 利用判定定理判定两个平面垂直.

1.二面角:从一条直线出发的______________所组成的图形叫 做二面角. ______________ 叫做二面角的棱. __________________ 叫做二面角的面. 2.平面与平面的垂直 ①定义:两个平面相交,如果所成的二面角是____________,就 说这两个平面互相垂直. ②面面垂直的判定定理 文字语言:如果一个平面经过另一个平面的________,那么这两 个平面互相垂直.

符号表示:

a ⊥β

? ? ??α⊥β. ? ?

一、选择题 1.下列命题: ①两个相交平面组成的图形叫做二面角; ②异面直线 a、b 分别和一个二面角的两个面垂直,则 a、b 组成 的角与这个二面角的平面角相等或互补; ③二面角的平面角是从棱上一点出发, 分别在两个面内作射线所 成角的最小角; ④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系. 其中正确的是( ) A.①③ B.②④ C.③④ D.①② 2.下列命题中正确的是( ) A.平面 α 和 β 分别过两条互相垂直的直线,则 α⊥β B.若平面 α 内的一条直线垂直于平面 β 内两条平行线,则 α⊥β C. 若平面 α 内的一条直线垂直于平面 β 内两条相交直线, 则 α⊥β D.若平面 α 内的一条直线垂直于平面 β 内无数条直线,则 α⊥β 3.设有直线 m、n 和平面 α、β,则下列结论中正确的是( ) ①若 m∥n,n⊥β,m ? α,则 α⊥β; ②若 m⊥n,α∩β=m,n ? α,则 α⊥β; ③若 m⊥α,n⊥β,m⊥n,则 α⊥β. A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 4.过两点与一个已知平面垂直的平面( ) A.有且只有一个 B.有无数个 C.有且只有一个或无数个 D.可能不存在 5.在边长为 1 的菱形 ABCD 中,∠ABC=60° ,把菱形沿对角 3 线 AC 折起,使折起后 BD= 2 ,则二面角 B-AC-D 的余弦值为 ( ) 1 1 2 2 3 A.3 B.2 C. 3 D. 2 6.在正四面体 P-ABC 中,D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的 中点,下面四个结论中不成立的是( ) A.BC∥面 PDF B.DF⊥面 PAE

C.面 PDF⊥面 ABC D.面 PAE⊥面 ABC 二、填空题 7.过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 AP⊥平面 ABCD,且 AP =AB,则平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面角的度数是________. 8.如图所示,已知 PA⊥矩形 ABCD 所在的平面,图中互相垂 直的平面有________对.

9.已知 α、β 是两个不同的平面,m、n 是平面 α 及 β 之外的两 条不同直线,给出四个论断: ①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α. 以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为 正确的一个命题:________________. 三、解答题 10.如图所示,在空间四边形 ABCD 中,AB=BC,CD=DA, E、F、G 分别为 CD、DA 和对角线 AC 的中点. 求证:平面 BEF⊥平面 BGD.

11. 如图所示, 四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱 形,∠BCD=60° ,E 是 CD 的中点,PA⊥底面 ABCD,PA= 3. (1)证明:平面 PBE⊥平面 PAB; (2)求二面角 A—BE—P 的大小.

能力提升 12.如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,E、F 分别是 A1B、A1C 的中点,点 D 在 B1C1 上,A1D⊥B1C.

求证:(1)EF∥平面 ABC; (2)平面 A1FD⊥平面 BB1C1C.

13.如图,在三棱锥 P—ABC 中,PA⊥底面 ABC,PA=AB, ∠ABC=60° , ∠BCA=90° , 点 D、 E 分别在棱 PB、 PC 上, 且 DE∥BC.

(1)求证:BC⊥ 平面 PAC. (2)是否存在点 E 使得二面角 A—DE—P 为直二面角?并说明理 由.

1.证明两个平面垂直的主要途径 (1)利用面面垂直的定义,即如果两个相交平面的交线与第三个 平面垂直,又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂 直,就称这两个平面互相垂直. (2)面面垂直的判定定理,即如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线,那么这两个平面互相垂直. 2.利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法:先从 现有的直线中寻找平面的垂线,若图中存在这样的直线,则可通过线 面垂直来证明面面垂直;若图中不存在这样的直线,则可通过作辅助 线来解决, 而作辅助线则应有理论依据并有利于证明, 不能随意添加. 3.证明两个平面垂直,通常是通过证明线线垂直→线面垂直→ 面面垂直来实现的, 因此, 在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、 线面垂直、面面垂直的相互转化.每一垂直的判定都是从某一垂直开 始转向另一垂直,最终达到目的的.

6. 1

垂直关系的判定(二)

答案

知识梳理 1.两个半平面 这条直线 这两个半平面 2.①直二面角 ②垂线 a ? α 作业设计 1.B [①不符合二面角定义,③从运动的角度演示可知,二面 角的平面不是最小角.故选 B.] 2.C 3.B [②错,当两平面不垂直时,在一个平面内可以找到无数 条直线与两个平面的交线垂直.] 4.C [当两点连线与平面垂直时,有无数个平面与已知平面垂 直,当两点连线与平面不垂直时,有且只有一个平面与已知平面垂 直.] 5.B [

如图所示,由二面角的定义知∠BOD 即为二面角的平面角. 3 ∵DO=OB=BD= 2 , ∴∠BOD=60° .] 6.C [

如图所示,∵BC∥DF, ∴BC∥平面 PDF. ∴A 正确. 由 BC⊥PE,BC⊥AE, ∴BC⊥平面 PAE. ∴DF⊥平面 PAE. ∴B 正确. ∴平面 ABC⊥平面 PAE(BC⊥平面 PAE). ∴D 正确.]

7.45° 解析 可将图形补成以 AB、AP 为棱的正方体,不难求出二面 角的大小为 45° . 8.5 解析 由 PA⊥面 ABCD 知面 PAD⊥面 ABCD, 面 PAB⊥面 ABCD, 又 PA⊥AD,PA⊥AB 且 AD⊥AB, ∴∠DAB 为二面角 D—PA—B 的平面角, ∴面 DPA⊥面 PAB.又 BC⊥面 PAB, ∴面 PBC⊥面 PAB,同理 DC⊥面 PDA, ∴面 PDC⊥面 PDA. 9.①③④?②(或②③④?①) 10.证明 ∵AB=BC,CD=AD,G 是 AC 的中点, ∴BG⊥AC,DG⊥AC, ∴AC⊥平面 BGD. 又 EF∥AC,∴EF⊥平面 BGD. ∵EF ?平面 BEF,∴平面 BEF⊥平面 BGD. 11.(1)证明 如图所示,连接 BD,由 ABCD 是菱形且∠BCD =60° 知,△BCD 是等边三角形. 因为 E 是 CD 的中点,所以 BE⊥CD.

又 AB∥CD,所以 BE⊥AB. 又因为 PA⊥平面 ABCD, BE ?平面 ABCD, 所以 PA⊥BE.而 PA∩AB=A, 因此 BE⊥平面 PAB. 又 BE?平面 PBE, 所以平面 PBE⊥平面 PAB. (2)解 由(1)知,BE⊥平面 PAB,PB ?平面 PAB, 所以 PB⊥BE.又 AB⊥BE, 所以∠PBA 是二面角 A—BE—P 的平面角. PA 在 Rt△PAB 中,tan∠PBA=AB= 3, 则∠PBA=60° . 故二面角 A—BE—P 的大小是 60° .

12.证明 (1)由 E、F 分别是 A1B、A1C 的中点知 EF∥BC. 因为 EF ? 平面 ABC. BC ?平面 ABC. 所以 EF∥平面 ABC. (2)由三棱柱 ABC—A1B1C1 为直三棱柱知 CC1⊥平面 A1B1C1. 又 A1D ?平面 A1B1C1,故 CC1⊥A1D. 又因为 A1D⊥B1C,CC1∩B1C=C, 故 A1D⊥平面 BB1C1C,又 A1D ?平面 A1FD, 所以平面 A1FD⊥平面 BB1C1C. 13.(1)证明 ∵PA⊥底面 ABC, ∴PA⊥BC. 又∠BCA=90° , ∴AC⊥BC.又∵AC∩PA=A, ∴BC⊥平面 PAC. (2)解 ∵DE∥BC,又由(1)知, BC⊥平面 PAC, ∴DE⊥平面 PAC. 又∵AE ?平面 PAC,PE ?平面 PAC, ∴DE⊥AE,DE⊥PE. ∴∠AEP 为二面角 A—DE—P 的平面角. ∵PA⊥底面 ABC, ∴PA⊥AC,∴∠PAC=90° . ∴在棱 PC 上存在一点 E, 使得 AE⊥PC. 这时∠AEP=90° , 故存在点 E,使得二面角 A—DE—P 为直二面角.

6. 2

垂直关系的性质(一)

【课时目标】 1.理解直线和平面垂直的性质定理,并能用文 字、符号和图形语言描述定理.2.能够灵活地应用线面垂直的性质 定理证明相关问题.

直线与平面垂直的性质定理

文字语言 符号语言 图形语言 作用

垂直于同一个平面的两条直 线______ ? a⊥α ? ??________ b⊥α? ?

①线面垂直?线线平行 ②作平行线

一、选择题 1.下列说法正确的是( ) A.若 l 上有无数个点不在平面 α 内,则 l∥α B.若直线 l 与平面 α 垂直,则 l 与 α 内的任一直线垂直 C.若 E、F 分别为△ABC 中 AB、BC 边上的中点,则 EF 与经 过 AC 边的所有平面平行 D.两条垂直的直线中有一条和一个平面平行,则另一条和这个 平面垂直 2.若 m、n 表示直线,α 表示平面,则下列命题中,正确命题的 个数为( ) m∥n? m⊥α? ? ? ??n⊥α; ② ??m∥n; ① ? ? m⊥α? n⊥α ? m⊥α? m∥α? ? ? ??m⊥n; ??n⊥α. ④ ? ? n∥α ? m⊥n? A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知直线 PG⊥平面 α 于 G,直线 EF?α,且 PF⊥EF 于 F, 那么线段 PE,PF,PG 的大小关系是( ) A.PE>PG>PF B.PG>PF>PE C.PE>PF>PG D.PF>PE>PG 4.PA 垂直于以 AB 为直径的圆所在平面,C 为圆上异于 A,B 的任一点,则下列关系不正确的是( ) ③

A.PA⊥BC

B.BC⊥平面 PAC

C.AC⊥PB D.PC⊥BC 5.下列命题: ①垂直于同一直线的两条直线平行; ②垂直于同一直线的两个平面平行; ③垂直于同一平面的两条直线平行; ④垂直于同一平面的两平面平行. 其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.在△ABC 所在的平面 α 外有一点 P,且 PA、PB、PC 两两垂 直,则 P 在 α 内的射影是△ABC 的( ) A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心 二、填空题 7.线段 AB 在平面 α 的同侧,A、B 到 α 的距离分别为 3 和 5, 则 AB 的中点到 α 的距离为________. 8.直线 a 和 b 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的两个不同平面内, 使 a∥b 成立的条件是________.(只填序号) ①a 和 b 垂直于正方体的同一个面;②a 和 b 在正方体两个相对 的面内,且共面;③a 和 b 平行于同一条棱;④a 和 b 在正方体的两 个面内,且与正方体的同一条棱垂直. 9.如图所示,平面 ABC⊥平面 ABD,∠ACB=90° ,CA=CB, △ABD 是正三角形,O 为 AB 中点,则图中直角三角形的个数为 ________.

三、解答题 10.如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 是 AB 上一 点,N 是 A1C 的中点,MN⊥平面 A1DC. 求证:(1)MN∥AD1; (2)M 是 AB 的中点.

11.如图所示,设三角形 ABC 的三个顶点在平面 α 的同侧, AA′⊥α 于 A′,BB′⊥α 于 B′,CC′⊥α 于 C′,G、G′分别 是△ABC 和△A′B′C′的重心, 求证:GG′⊥α.

能力提升 12. 如图, △ABC 为正三角形, EC⊥平面 ABC, DB⊥平面 ABC, CE=CA=2BD,M 是 EA 的中点,N 是 EC 的中点, 求证:平面 DMN∥平面 ABC.

13.如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC⊥BC,AC= BC=CC1, M, N 分别是 A1B, B1C1 的中点. 求证: MN⊥平面 A1BC.

1.直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的判定定 理,可以并入平行推导链中,实现平行与垂直的相互转化,即线线垂 直?线面垂直?线线平行?线面平行. 2.“垂直于同一平面的两条直线互相平行”、“垂直于同一直 线的两个平面互相平行”都是真命题. 但“垂直于同一直线的两条直 线互相平行”、“垂直于同一平面的两个平面互相平行 ”都是假命 题,一定要记住.

6. 2
知识梳理

垂直关系的性质(一)

答案

文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 ? a⊥ α ? ??a∥b 符号语言 b⊥α? ? 图形语言 作用 ①线面垂直?线线平行 ②作平行线

作业设计 1.B [由线面垂直的定义知 B 正确.]

2.C [①②③正确,④中 n 与面 α 可能有:n ? α 或 n∥α 或相 交(包括 n⊥α).] 3.C [由于 PG⊥平面 α 于 G,PF⊥EF, ∴PG 最短,PF<PE, ∴有 PG<PF<PE.故选 C.] 4.C [PA⊥平面 ABC,得 PA⊥BC,A 正确; 又 BC⊥AC,∴BC⊥面 PAC, ∴BC⊥PC,B、D 均正确. ∴选 C.] 5.B [由线线、线面垂直与平行的性质知②③正确,故选 B.] 6.A [设 P 在面 α 的射影为 O,则 PA⊥面 PBC, ∴PA⊥BC,又 BC⊥PO, ∴BC⊥AO,同理 AC⊥BO, ∴O 为△ABC 的垂心.] 7.4 解析 由直线与平面垂直的性质定理知 AB 中点到 α 距离为以 3 和 5 为上、下底的直角梯形的中位线的长. 8.①②③ 解析 ①为直线与平面垂直的性质定理的应用, ②为面面平行的 性质,③为公理 4 的应用. 9.6 解析 由题意知 CO⊥AB, ∴CO⊥面 ABD,∴CO⊥OD, ∴直角三角形为△CAO,△COB,△ACB,△AOD,△BOD, △COD. 10.证明 (1)∵ADD1A1 为正方形, ∴AD1⊥A1D. 又∵CD⊥平面 ADD1A1,∴CD⊥AD1. ∵A1D∩CD=D,∴AD1⊥平面 A1DC. 又∵MN⊥平面 A1DC, ∴MN∥AD1.

(2)连接 ON,在△A1DC 中, A1O=OD,A1N=NC.

1 1 ∴ON 綊2CD 綊2AB, ∴ON∥AM. 又∵MN∥OA, ∴四边形 AMNO 为平行四边形,∴ON=AM. 1 1 ∵ON=2AB,∴AM=2AB, ∴M 是 AB 的中点. 11.证明

连接 AG 并延长交 BC 于 D,连接 A′G′并延长交 B′C′于 D′ , 连 接 DD′ , 由 AA′⊥α , BB′⊥α , CC′⊥α , 得 AA′∥BB′∥CC′. ∵D、D′分别为 BC 和 B′C′的中点, ∴DD′∥CC′∥BB′,∴DD′∥AA′, ∵G、G′分别是△ABC 和△A′B′C′的重心, AG A′G′ ∴GD= ,∴GG′∥AA′, G′D′ 又∵AA′⊥α,∴GG′⊥α. 12.证明 ∵M、N 分别是 EA 与 EC 的中点, ∴MN∥AC, 又∵AC ?平面 ABC,MN ? 平面 ABC, ∴MN∥平面 ABC, ∵DB⊥平面 ABC,EC⊥平面 ABC, ∴BD∥EC,四边形 BDEC 为直角梯形, ∵N 为 EC 中点,EC=2BD, ∴NC 綊 BD,∴四边形 BCND 为矩形, ∴DN∥BC, 又∵DN ? 平面 ABC,BC ?平面 ABC, ∴DN∥平面 ABC,又∵MN∩DN=N, ∴平面 DMN∥平面 ABC. 13.证明 如图所示,由已知 BC⊥AC,BC⊥CC1,得 BC⊥平 面 ACC1A1.

连接 AC1,则 BC⊥AC1. 由已知,可知侧面 ACC1A1 是正方形,所以 A1C⊥AC1. 又 BC∩A1C=C, 所以 AC1⊥平面 A1BC. 因为侧面 ABB1A1 是正方形,M 是 A1B 的中点,连接 AB1,则点 M 是 AB1 的中点. 又点 N 是 B1C1 的中点,则 MN 是△AB1C1 的中位线,所以 MN∥AC1.故 MN⊥平面 A1BC.

6. 2

垂直关系的性质(二)

【课时目标】 1.理解平面与平面垂直的性质定理.2.能应用 面面垂直的性质定理证明空间中线、面的垂直关系.

1.平面与平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么 在一个平面内________于它们________的直线垂直于另一个平面. 用符号表示为:α⊥β,α∩β=l,a ? α,a⊥l?________. 2.两个重要结论: (1)如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直 于第二个平面的直线在第一个平面内.

图形表示为: 符号表示为:α⊥β,A∈α,A∈a,a⊥β?a ? α. (2)已知平面 α⊥平面 β,a ? α,a⊥β,那么 a∥α(a 与 α 的位置关 系).

一、选择题 1.平面 α⊥平面 β,直线 a∥α,则(

)

A.a⊥β B.a∥β C.a 与 β 相交 D.以上都有可能 2.平面 α∩平面 β=l,平面 γ⊥α,γ⊥β,则( ) A.l∥γ B.l ? γ C.l 与 γ 斜交 D.l⊥γ 3.若平面 α 与平面 β 不垂直,那么平面 α 内能与平面 β 垂直的 直线有( ) A.0 条 B.1 条 C.2 条 D.无数条 4. 若 α⊥β, 直线 a?α, 直线 b?β, a, b 与 l 都不垂直, 那么( ) A.a 与 b 可能垂直,但不可能平行 B.a 与 b 可能垂直,也可能平行 C.a 与 b 不可能垂直,但可能平行 D.a 与 b 不可能垂直,也不可能平行 ? ?x⊥y 5.设 x,y,z 中有两条直线和一个平面,已知条件? 可推 ?y∥z ? 得 x⊥z,则 x,y,z 中可能为平面的是( ) A.x 或 y B.x C.y D.z 6.在空间四边形 ABCD 中,若 AB=BC,AD=CD,E 为对角 线 AC 的中点,下列判断正确的是( ) A.平面 ABD⊥平面 BDC B.平面 ABC⊥平面 ABD C.平面 ABC⊥平面 ADC D.平面 ABC⊥平面 BED

二、填空题 7.若 α⊥β,α∩β=l,点 P∈α,P ? l,则下列结论中正确的为 ________.(只填序号) ①过 P 垂直于 l 的平面垂直于 β; ②过 P 垂直于 l 的直线垂直于 β; ③过 P 垂直于 α 的直线平行于 β; ④过 P 垂直于 β 的直线在 α 内. 8.α、β、γ 是两两垂直的三个平面,它们交于点 O,空间一点 P 到 α、β、γ 的距离分别是 2 cm、3 cm、6 cm,则点 P 到 O 的距离为 ________. 9.在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90° ,BC1⊥AC,则

点 C1 在底面 ABC 上的射影 H 必在________.

三、解答题 10.如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC, 平面 PAB⊥平面 PBC.

求证:BC⊥AB.

11.如图所示,P 是四边形 ABCD 所在平面外的一点,四边形 ABCD 是∠DAB=60° 且边长为 a 的菱形.侧面 PAD 为正三角形,其 所在平面垂直于底面 ABCD. (1)若 G 为 AD 边的中点,求证:BG⊥平面 PAD; (2)求证:AD⊥PB.

能力提升 12.如图,在三棱锥 P—ABC 中,△PAB 是等边三角形,∠PAC =∠PBC=90° . 证明:AB⊥PC.

13.如图所示,已知直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的底面是菱形, 且∠DAB=60° ,AD=AA1,F 为棱 BB1 的中点,M 为线段 AC1 的中 点. (1)求证:直线 MF∥平面 ABCD; (2)求证:平面 AFC1⊥平面 ACC1A1.

1.面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理. 2.判定线面垂直的方法主要有以下五种: (1)线面垂直的定义;(2)线面垂直的判定定理; (3)面面垂直的性质定理,另外,还有两个重要结论; (4)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂 a∥b? ? ??b⊥α; 直于同一平面, a⊥α? ? (5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也 α∥β? ? ??a⊥β. 垂直于另一个平面, ? a⊥α ?

6. 2
知识梳理 1.垂直 交线 作业设计 1.D 2.D

垂直关系的性质(二)

答案

a⊥β

[在 γ 面内取一点 O, 作 OE⊥m,OF⊥n, 由于 β⊥γ,γ∩β=m, 所以 OE⊥面 β,所以 OE⊥l, 同理 OF⊥l,OE∩OF=O, 所以 l⊥γ.] 3.A [若存在 1 条,则 α⊥β,与已知矛盾.] 4.C 5.A 6.D 7.①③④ 解析 由性质定理知②错误. 8.7 cm 解析 P 到 O 的距离恰好为以 2 cm,3 cm,6 cm 为长、宽、高的长 方体的对角线的长. 9.直线 AB 上

解析 由 AC⊥BC1,AC⊥AB, 得 AC⊥面 ABC1,又 AC ?面 ABC, ∴面 ABC1⊥面 ABC. ∴C1 在面 ABC 上的射影 H 必在交线 AB 上. 10.证明 在平面 PAB 内,作 AD⊥PB 于 D. ∵平面 PAB⊥平面 PBC, 且平面 PAB∩平面 PBC=PB. ∴AD⊥平面 PBC.

又 BC ?平面 PBC, ∴AD⊥BC. 又∵PA⊥平面 ABC,BC ?平面 ABC, ∴PA⊥BC,∴BC⊥平面 PAB. 又 AB ?平面 PAB, ∴BC⊥AB. 11.证明

(1)连接 PG,由题知△PAD 为正三角形,G 是 AD 的中点, ∴PG⊥AD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD, ∴PG⊥平面 ABCD, ∴PG⊥BG. 又∵四边形 ABCD 是菱形且∠DAB=60° , ∴BG⊥AD. 又 AD∩PG=G, ∴BG⊥平面 PAD. (2)由(1)可知 BG⊥AD,PG⊥AD. ∴AD⊥平面 PBG,∴AD⊥PB. 12.证明 因为△PAB 是等边三角形, 所以 PB=PA.

因为∠PAC=∠PBC=90° ,PC=PC,

所以 Rt△PBC≌Rt△PAC, 所以 AC=BC. 如图,取 AB 的中点 D,连结 PD、CD, 则 PD⊥AB,CD⊥AB, 所以 AB⊥平面 PDC, 所以 AB⊥PC. 13.证明

(1)延长 C1F 交 CB 的延长线于点 N,连接 AN. ∵F 是 BB1 的中点, ∴F 为 C1N 的中点,B 为 CN 的中点. 又∵M 是线段 AC1 的中点, ∴MF∥AN. 又∵MF ? 平面 ABCD,AN ?平面 ABCD, ∴MF∥平面 ABCD. (2) 连接 BD ,由直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 可知, A1A ⊥平面 ABCD, 又∵BD ?平面 ABCD,∴A1A⊥BD. ∵四边形 ABCD 为菱形,∴AC⊥BD. 又∵AC∩A1A=A,AC、A1A ?平面 ACC1A1, ∴BD⊥平面 ACC1A1. 在四边形 DANB 中,DA∥BN,且 DA=BN, ∴四边形 DANB 为平行四边形, ∴NA∥BD, ∴NA⊥平面 ACC1A1. 又∵NA ?平面 AFC1, ∴平面 AFC1⊥平面 ACC1A1.



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