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高中物理竞赛实验误差理论


实验名称 实验目的 实验仪器

实验原理 实验步骤
数据记录表格 数据处理 结果陈述与分析讨论

误差理论与数据处理
误差理论包括:误差的定义、分类、来源、误差的 控制以及不确定度的评估等 数据处理包括:计算步骤、作图、作表、有效数 字运算、实验结果表示等 一、测量和误差 二、误差的种类和来源 四、有效数字

>
三、不确定的评定
五、结果表示

误差理论功能: (1)评定实验结果(准???不准???) (2)选择合适的实验参数区间,提高测量精度

(3)设计实验时,选择合适的仪器及实验方案

例:重力加速度的测量(自由落体):

1 2 h ? gt 2

2h g? 2 t

(v ? 0)

误差理论与数据处理
一、测量和误差
1、测量
所谓测量就是以确定量值为目的的一组操作(比 较 )。 直接测量 间接测量 等精度测量 不等精度测量

2、误差
测量值与真值(约定真值)之差

误差理论与数据处理
真值
真值是与给定的特定量定义一致的值。由于测量 技术、条件以及真值本身的性质,真值是不可得的, 测量结果根据需要有限度地接近真值。实验中常用 算术平均值代替真值参与运算 。
N1 ? N 2 ? ??? ? N K 1 K N? ? ? Ni K K i ?1 误差的表示(表述形式)

绝对误差: ?N ? N ? N / (单位)
?N 相对误差: EN ? / ?100% N

例:测得两个物体的长度为:
l1 ? ?23.50 ? 0.03?cm, l2 ? ?2.35 ? 0.03?cm

其相对不确定度分别为:
0.03 0.03 E1 ? ?100% ? 0.13%, E2 ? ?100% ? 1.3% 23.50 2.35

两者不确定度相等,但相对不确定度后者大 1个数量级。
注:不确定度一般取1~2位有效数字。

二、 误差的分类和来源(性质)
1、系统误差: 在相同条件下(实验方法、仪器、环境、人员 相同)对同一物理量测量时误差的正、负始终保持 不变(要么始终偏大,要么始终偏小;不可能一会 偏大,一会偏小)。 产生的原因: (1)仪器的固有缺陷 (2)理论方法有误差 (3)个人误差

系统误差举例:
例1、千分尺的零值误差

修正值=测量值-零值误差

系统误差举例:
例 2、
mA V V mA

mA表外接,伏特表分流; mA表内接, mA表分压;

电阻小时 适用 电阻大时 适用

————必要时可以修正

系统误差特点:要么偏大,要么偏小,(可知道)

系统误差处理:根据具体问题采取一些措施,例 如进行零值修正、 改进实验方案等在一定程度上 去克服它。

误差理论与数据处理
2、偶然(随机)误差:
某次测量的测量结果与在重复性条件下对同一 被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。 特点: 某一次测量值可能偏大,下一次测量值可能偏小(随 机/偶然),反映了实验的重复性。 随测量次数的增加,偶然(随机)误差遵从统 计规律,其分布函数:
? 2 1 f (?) ? e 2? ? 2? ?2

误差理论与数据处理 特点:
? 2 1 f (?) ? e 2? ? 2? ?2

——偶然(随机)误差分布函数:
f (?)

P=0.683

单峰性:绝对值小的误差出现的
概率大,而绝对值大的误差出现的 概率小。 差出现的概率大致相等。

对称性:绝对值相等的正、负误
抵偿性:
误差算术平均值随测量 [? ? , ? ] P ? 0.683 次数增加而趋于零。

?3? ?2? ??

0

?

2?

3? ?

有界性:绝对值非常大的误差出 [?2? , 2? ] P ? 0.95
现的概率趋于零。

归一性:曲线下概率密度和1。

[?3? ,3? ] P ? 0.997

k次测量中,单次测量值的标准偏差:

??

? ?N
k i ?1

i

?N

?

2

k ?1

k次测量中,平均值的标准偏差:

?N ?

?
k

?

?(N
i ?1

k

i

? N)

2

k (k ? 1)

精密度——随机误差 准确度——系统误差 精确度——系统误差和随机误差

三、不确定度的评定 1、不确定度评定的意义

测量结果不可能是绝对准确的,它必然有不确定 的成分。这种不确定的程度是可以用一种科学的、合 理的、公认的方法来表征,这就是“不确定度”的评 定,在测量方法正确的情况下,不确定度愈小,表示 测量结果愈可靠。

意义:不确定度必须正确评价。评价得过大,在实验 中会怀疑结果的正确性而不能果断地作出判断,在生 产中会因测量结果不能满足要求而需再投资,造成浪 费;评价得过小,在实验中可能得出错误的结论;在 生产中则产品质量不能保证,造成危害。

2、关于不确定度的一些基本概念和分类
不确定度是表征测量结果具有分散性的一个参数,它 是被测量的真值在某一量值范围内的一个评定。
所谓“标准不确定度”是指以“标准偏差”表示的测 量不确定度估计值,简称不确定度,记为△。 不确定度一般可分为以下三类: (1)A类评定不确定度△A:统计方法得到的

随机误差

(2)B类评定不确定度△B:非统计方法得到的系统误差

(3)合成标准不确定度△: ?

? ? ??
2 A

2 B

(△A和△B相互独立,且具有相同的置信概率)

3、不确定度的评定
(1)A类评定不确定度(平均值标准偏差):
? A ? uA ?

?
k

?

2 ( N ? N ) ? i i ?1

k

k (k ? 1)

对单次测量,不计 算A类不确定度。

公式条件: 许多次测量,服从高斯分布 对于具体实验,常常是有限次测量,服从学生分布

扩展(展审)置信度:
k

学生分布 tp 因子
? tp k ?
2 ( N ? N ) ? i i ?1

? A ? t p ? uA ? t p

?
k

(k ? 1)

Tp因子与置信概率和测量次数有关,详见课本 page 15
例如:n=6, p=95%, tp=2.57 ? ? A ? t p ? u A ? 2.57 ? 1.05? ? ?
6

(2)B 类评定不确定度: 是用非统计方法获得的,由测量不确定度和仪器不确 定度两部分组成。 为简单起见, 我们只考虑仪器不确定度:

?仪 ( p ? 68%) ?B ? c C为置信系数,与仪器误差的分布有关 正态分布 c ? 3 米尺、千分尺、物理天平、秒表
均匀分布 c ? 三角分布

3 游标卡尺

c? 6

仪器误差Δ仪表(限)
正确使用仪器时,仪器的示值与被测量真值之间可 能产生的最大误差的绝对值被称为仪器误差(限), 用 Δ仪表示。
Δ仪的含义:在正常使用下仪器示值的最大可能误差, 置信概率通常为95%~99%。 Δ仪通常由厂家给出,见产品说明书。

常用物理实验仪器的误差限Δ仪
名称 量程 最小分度(精度等级) Δ仪

钢尺
螺旋测微计 游标卡尺 机械表 水银温度计 磁电式电表

300mm
20mm 150mm 12h 100℃ A

1 mm
0.005 mm 0.02mm(50分度) 1s 1℃ K

0.5mm(最小分 度的1/2) 最小分度的1/2
0.02mm 最小分度值 最小分度值 A· K· %

扩展(展审)置信度:

?仪 ?B ? c

( p ? 68%) ( p ? 95%)

?仪 ?仪 ?B ? KP ? ? 1.96 ? c c
如均匀分布:

?仪 ?仪 ?B ? KP ? ? 1.96 ? ? ?仪 ( p ? 95%) c 3

直接测量的标准不确定度的计算示例
例. 一同学用游标卡尺测量某工件的外径,测量结果如下:
次数i 直径D (cm) 1 4.684 2 4.686 3 4.688 4 4.682 5 4.484

其测量结果如何表示? ?仪 ? 0.02mm 【解】: ? Di
D? n ? 4.6848 cm
i

SD ?

? (D

? D )2

n ?1

? 0.0023 cm

2 ? D ? ?2 ? S cm D ? 0.003 仪

D ? D ? ? D ? (4.685? 0.003)cm

3、间接测量的标准不确定度的传递(微分)
N ? f ? x1 , x2 , , xn ?
测量结果N的标准不确定度为:
? ?f ? 2 ? ?f ? 2 ?N ? ? ? ? x1 ? ? ? ? x2 ? ? ?x1 ? ? ?x2 ?
2 2

? ?f ? 2 ?? ? ? xn ? ?xn ?

2

(1)和差形式函数

f ? ax ? by

2 2 ? N ? a2?2 ? b ?y x

不确定度的传递公式举例
(2)积商形式函数、混合形式函数f,测量结果N的相对不确 定度为: 2 2 2 ? ? ln f ? 2 ? ? ln f ? 2 ? ? ln f ? 2 相对不确定度: EN ? ? ? ? xn ? ? x1 ? ? ? ? x2 ? ? ? ? ?x1 ? ? ?x2 ? ? ?xn ?

例 (1) f ? x a y b (2) B ?
D1 D2 D1 ? D2

?f ?x 2 ?y 2 ? (a ) ? (b ) f x y

ln B ? ln D1 ? ln D2 ? ln(D1 ? D2 )
D1 ? ln B 1 1 ? ? ? ?D2 D2 D1 ? D2 D2 ( D1 ? D2 )

D2 ? ln B 1 1 ? ? ? ?D1 D1 D1 ? D2 D1 ( D1 ? D2 )

EB ? [

D2 ? D1 D1 D1 ? D2

?

?

]2 ? [

D1? D2 D2 D1 ? D2

?

?

]2

常用函数的不确定度传递公式
函数表达式 合成标准不确定度公式
N ? ax ? by N ? ax ? by

相对不确定度
EN ? ?N N

?N ?

?a? ?
x

2

? ?b? y ?

2

N ? xy N ? x/ y

? N ? N ? EN

EN ?

2 2 Ex ? Ey

N ? ax

? N ? a? x
? N ? N ? EN
? N ? N ? EN

EN ? Ex

N? x
n

1 EN ? Ex n
EN ? ?kEx ? ? ?mEy ? ? ?nEz ?
2 2 2

xk ym N? n z

间接测量的标准不确定度的计算示例
例 已知金属环的外径 D2 ? 3.600? 0.004cm
内径 D1 ? 2.880? 0.004cm 高度 h ? 2.575 ? 0.004 cm 求环的体积V和不确定度 ? V ??? 解: V ? ? ( D 2 ? D 2 )h ? 9.436cm 3
4
2 1

? ? ln V EV ? ? ? ? ?D V 2 ? ?V
? 2 D2 ? D 2 ? ? 2 ?D ?D2 1 ? 2 ? ? ? D2 ? ?
2

? ? ? ? D2 ?

2

?

?

2

? ? ln V ?? ? ?D 1 ?
2

? ? ? ? D1 ?
2

2

? ?

2

? ? ln V ? 2 ?? ? ?? h ? ? ?h ?
? ? ? ?
2

2

? ?

2

? 2 D1 ? D 1 ?? 2 ?D ?D2 1 ? 2

? ? ? D1 ? ?

? ?

? ?h ?? ? ? h

? 0.0081? 0.81%

? V ? EV ? V ? 0.08cm 3
3 V ? V ? ? V ? 9.44 ? 0.08cm

Page 6 同类例题

三、有效数字(表征测量精度的高低)
1、有效数字的概念
在测量和计算的数据的各数字中,既有没有误差的可靠数字,又 有含有误差的可疑数字,我们把可靠数字和数据最末的一位可疑 数字统称为有效数字。

有关有效数字的几点说明: (1)有效数字的位数与小数点的位置无关。
例如:0.00430m = 0.430cm =4.30mm 皆为三位有效数字。(有 效数字前的零不是有效数字)

(2)数字中间的0和末尾的0均算有效数字,所以末 尾的零不能随意增减。
例如:200.5mm 和 30.50cm 都是四位有效数字。

2、仪器的估计读数: (1)仪器的不确定度对齐 例:
仪器名称 量程 分度值
cm 1 2 3

钢直尺

300mm

1mm

零值误差 ?仪 ± 0.1mm ——

读数 L=25.6 (mm) 测量值读准了的位数加上一位估读位组成有效数字。

3、有效数字的运算(四舍六入五凑偶)

和最靠前的 对齐

(1) 加减运算:

N ? 71.3 ? 0.8 ? 6.3 ? 271 ? 347.8 ? 348
(2)乘除运算
(39.5 ? 4.08 ? 0.0013) N? =2.4136866 ?10-4 868
和位数最少 的对齐

? 2.4 ?10-4

(3)乘方开方运算

位数一样

7652=5.85? 105

200 = 14.1

? 例1 251.3 ? + 24.45 ? 275.75 ? 记作275.8 ? 例2: 583.5 ? - 41.23 ? 542.27 ? 记作542.3

有效位数运算规则总结: 加减法: 取精度差的(即小数点 位数最少的)。

33

? 例3: 562.31 ? × 12.1 ? 56231 ? 112462 ? 56231 ? 6803.951 记作6.80×103

有效位数运算规则总结:

乘除法: 取有效位数最少的相同 (特殊情况比最少者多 一位)。

34

科学记数法

例1:

A ? a ?10 , 且1 ? a ? 10
n

光速C=30万公里每秒
不正确的写法:C=300000km/s;C=30km/s 正确的写法:C=3.0×105km/s=3.0×108m/s

例2: 电子电量 e = 1.602189 ×10-19 C

小数点对齐 (4)测量结果的有效数字位数的确定: D ? (26.12 ? 0.02)mm

要求:(1)误差最多两个有效数字 (2)小数位数对齐
N=0.123456…=0.12 N=0.6789……=0.7
例如: ?1.35 ? 0.01? cm 正确,
(1.351 ? 0.01)cm

错误。

四、结果表示:
1、结果属于计算出一个量值的

y ? [ y ? ?( y)] (单位) P ? 0.683 ? 68.3%
?y E? ? 100% y

P不写,默认为95%

例: D ? (26.12 ? 0.03)mm P ? 68.3% ED ? 0.11 0 0

取舍原则:四舍六入五凑偶

0.345=0.34 0.355=0.36

2、作图规范:
(1)作图用纸一般应采用标准坐标纸,图纸的大小应 能反映物理量的有效数字;作图区域应占图纸的一 半以上。 (2)取自变量为横坐标(向右增大);取因变量为纵 坐标(向上增大)。画出纵、横坐标轴,并与图纸 上印的线条密切重合,但坐标轴不一定取图纸所印 表格的边线,坐标轴的标度值不一定从零开始。 (3)根据自变量(及因变量)的最低值与最高值,选 取合适的作图比例,应取图纸上的1格所表示的原数 据的量值变化为1、2、5等数(或它们的十进倍 率)。

(4)每隔相同距离,沿轴画一垂直于轴的短线(称 为标度线),并在其附近注以标度值,标度值的位 数不必取实验数据中的全部有效数字位数,例如 2.50只标2.5即可。(一般在各坐标轴上可标5-10 个标度值。) (5)对每一坐标轴,要标明物理量的名称及单位符 号。(标注的方法与表格相同。)

(6.)数据点用端正的“+”或“△”等符号来表示。数 据点应在符号的中心,符号的大小应相当于不确定度的 大小;但为简单起见,也可统一取2-3mm。在一张图 纸上作多条曲线时,不同的数据组应使用不同的符号来 表示数据点,并在图中适当位置说明不同符号的不同意 义。求斜率时取点的符号应采用有别于这些数据点的符 号,例如用正三角形“ △”,并在其旁标以坐标(坐标 值应正确写出有效数字); (7)拟合直线或曲线的线条务必匀、细、光滑。不通 过图线的数据点应匀称地分布在图线的两侧,且尽量靠 近图线。 (8)在实验报告的图纸中,应写上图名、日期、图纸 上的中英文字及数字等均需写端正。

以上是针对用手工作图的。当然也可以借助计算机 作图,则有些规则(如数据点在符号的中心,线条 匀、细、光滑,书写端正等)是自动满足的。虽然 计算机可以任意取比例,使曲线(或直线)充满图 纸,但实验作图时不宜采用这种方法,两标度线间 的量值变化仍应取1、2、5及其十进倍率为佳,因为 只有这样,才易于使用者读图。

2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2

电流(mA)

2.2

外接

系列1 系列3

内接

电压(V) 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8

0 0.5

图 二极管的正向伏安特性曲线 2008年3月28日

3、逐差法
在两个变量之间存在多项式函数关系,且自变量为等差级数变化的情况下, 用逐差法处理数据,既能充分利用实验数据,又具有减小误差的效果。 随机误差具有抵偿性,多次测量的结果,常用平均值来估计最佳值,以消 除随机误差的影响。但是,当自变量与因变量成线性关系时,对于自变量等间 距变化的多次测量,如果用求差平均的方法计算因变量的平均增量,就会使中 间测量数据两两抵消,失去利用多次测量求平均的意义。 例,在拉伸法测杨氏模量的实验中,当荷重均匀增加时,标尺位置读数依次为

x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 , x9 , x10
中间的测量数据对 的计算值不起作用。如何避免这种情况下中间数据的损 ?x 失? 逐差法是物理实验中常用的一种数据处理方法,逐差法是将测量得到的数 据按自变量的大小顺序排列后平分为前后两组,先求出两组中对应项的差值 (即求逐差),然后取其平均值。

4、最小二乘法线性拟合

谢谢!

直接测量的数据处理程序


求测量数据的平均值

1 x ? n

?x
i ?1

n

i



修正已定系统误差 (例如初读数x0),得

x ? x ? x0



求算术平均值的标准偏差

?A ?

根据所用仪器得 ?B=?仪 =e
将极限误差换算为标准差 ? B ?


n 1 ( xi ? x) 2 ? n(n ? 1) i ?1

e 3

由?A、 ?B合成总不确定度u :

u ? ΔA 2 ? ΔB 2

?x ? x ? u ? ? ? ● 给出直接测量的最后结果: ?E ? u ?100% ? ? ? x ?

间接测量的数据处理程序
1. 求出各直接测量量 xi 的平均值 x i 和(总)不确定度 Δ x
2. 求y的平均值 y ? f ( x1 , x2 ...xn ) 3. 据 y ? f ( x1 , x2 ...xn ) 求出 ?f 或 ? ln f
?xi
i

?xi

3.用 ? y ? 或先用

?
Δ y
y

?f ( ? x i )2 i ?1 ?xi
n

求出 ? y
Δy 求出 y

?

?

? ln f 2 ( Δ xi ) ?xi i ?1
n

再求 ? y

4.完整表示出y的结果 y ? y ?Δ y

简化的运算规则
(1). 两数相加(减),其和(差)的有效位数的最后(即最右)一位与 两数中最后一位位数高者相同。如:

11.4+3.56 =15.0 ;
十分位 十分位

75-10.350 =65
个位 个位

(2). 两数相乘(除),其积(商)的有效位数与两数中有效位数少者相 同。如:

98 × 2003 =2.0×105
二位 二位

; 2.000÷0.991=2.02
三位 三位

注:正确数不适用上述规则 常数应取足够的有效位数参与运算


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