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高中数学解析几何问题的题型与方法


第5讲
一、 考试内容 (一)直线和圆的方程

解析几何问题的题型与方法 (4 课时)

直线的倾斜角和斜率,直线方程的点斜式和两点式,直线方程的一般式。 两条直线平行与垂直的条件,两条直线的交角,点到直线的距离。 用二元一次不等式表示平面区域,简单的线性规划问题。 曲线与方程的概念,由已知条件列出曲线方程。 圆的标准方程和一般方程,圆的参数方程。 (二)圆锥曲线方程 椭圆及其标准方程,椭圆的简单几何性质,椭圆的参数方程。 双曲线及其标准方程,双曲线的简单几何性质。 抛物线及其标准方程,抛物线的简单几何性质。

二、考试要求
(一)直线和圆的方程 1.理解直线的斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式,掌握直线方程的点斜式、 两点式、一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程。 2.掌握两条直线平行与垂直的条件,两条直线所成的角和点到直线的距离公式,能够 根据直线的方程判断两条直线的位置关系。 3.了解二元一次不等式表示平面区域。 4.了解线性规划的意义,并会简单的应用。 5.了解解析几何的基本思想,了解坐标法。 6.掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数方程的概念,理解圆的参数方程。 (二)圆锥曲线方程 1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。 2.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。 3.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。 4.了解圆锥曲线的初步应用。

三、复习目标
1. 能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程;从直线的点斜式方程出发推 导出直线方程的其他形式,斜截式、两点式、截距式;能根据已知条件,熟练地选择恰当 的方程形式写出直线的方程,熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化,能利用直线的 方程来研究与直线有关的问题了. 2.能正确画出二元一次不等式(组)表示的平面区域,知道线性规划的意义,知道线 性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念,能正确地利用图解法 解决线性规划问题,并用之解决简单的实际问题,了解线性规划方法在数学方面的应用; 会用线性规划方法解决一些实际问题. 3. 理解“曲线的方程”“方程的曲线”的意义,了解解析几何的基本思想,掌握求 、 曲线的方程的方法. 4.掌握圆的标准方程: ( x ? a) ? ( y ? b) ? r (r>0) ,明确方程中各字母的几何意 义,能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程,能从圆的标准方程中熟练地求出圆
2 2 2

心坐标和半径,掌握圆的一般方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,知道该方程表示圆的充
2 2

要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化,能根据条件,用待定系数法求出圆的方 程,理解圆的参数方程 ?

? x ? r cos ? (θ 为参数) ,明确各字母的意义,掌握直线与圆的位 ? y ? r sin ?

置关系的判定方法. 5.正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义,明确焦点、焦距的概念;能根据椭圆、双 曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程;记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程; 能根据条件,求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程;掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何 性质:范围、对称性、顶点、离心率、准线(双曲线的渐近线)等,从而能迅速、正确地 画出椭圆、双曲线和抛物线;掌握 a、b、c、p、e 之间的关系及相应的几何意义;利用椭 圆、双曲线和抛物线的几何性质,确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程,并解决简单问 题;理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程,并掌握它的应用;掌握直线与椭圆、双曲线 和抛物线位置关系的判定方法.

四、双基透视
高考解析几何试题一般共有 4 题(2 个选择题, 1 个填空题, 1 个解答题), 共计 30 分左右, 考查的知识点约为 20 个左右。 其命题一般紧扣课本,突出重点,全面考查。选择题和填 空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆锥 曲线中的重要知识点,通过知识的重组与链接,使知识形成网络,着重考查直线与圆锥曲 线的位置关系,求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法,这一点值得强化。 ............... (一)直线的方程 1.点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) ;2. 截距式: y ? kx ? b ;

y ? y1 x ? x1 x y ? ;4. 截距式: ? ? 1 ; y 2 ? y1 x 2 ? x1 a b 5.一般式: Ax ? By ? C ? 0 ,其中 A、B 不同时为 0.
3.两点式: (二)两条直线的位置关系 两条直线 l1 , l 2 有三种位置关系:平行(没有公共点) ;相交(有且只有一个公共点) ; 重合(有无数个公共点).在这三种位置关系中,我们重点研究平行与相交. 设直线 l1 : y = k 1 x + b1 ,直线 l 2 : y = k 2 x + b2 ,则

l1 ∥ l 2 的充要条件是 k 1 = k 2 ,且 b1 = b2 ; l1 ⊥ l 2 的充要条件是 k 1 k 2 =-1. (三)线性规划问题 1.线性规划问题涉及如下概念: ⑴存在一定的限制条件,这些约束条件如果由 x、y 的一次不等式(或方程)组成的不等 式组来表示,称为线性约束条件. ⑵都有一个目标要求,就是要求依赖于 x、y 的某个函数(称为目标函数)达到最大值或 最小值.特殊地,若此函数是 x、y 的一次解析式,就称为线性目标函数. ⑶求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题,统称为线性规划问题. ⑷满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解. ⑸所有可行解组成的集合,叫做可行域. ⑹使目标函数取得最大值或最小值的可行解,叫做这个问题的最优解. 2.线性规划问题有以下基本定理: ⑴ 一个线性规划问题,若有可行解,则可行域一定是一个凸多边形. ⑵ 凸多边形的顶点个数是有限的. ⑶ 对于不是求最优整数解的线性规划问题,最优解一定在凸多边形的顶点中找到.

3.线性规划问题一般用图解法. (四)圆的有关问题 1.圆的标准方程 ,称为圆的标准方程,其圆心坐标为(a,b) ,半径为 r. ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 (r>0) 特别地,当圆心在原点(0,0) ,半径为 r 时,圆的方程为 x ? y ? r . 2.圆的一般方程
2 2 2

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D 2 ? E 2 ? 4F >0)称为圆的一般方程, E 1 D 其圆心坐标为( ? , ? ) ,半径为 r ? D 2 ? E 2 ? 4F . 2 2 2 E D 2 2 当 D ? E ? 4F =0 时,方程表示一个点( ? , ? ) ; 2 2 2 2 当 D ? E ? 4F <0 时,方程不表示任何图形.
3.圆的参数方程 圆的普通方程与参数方程之间有如下关系:

? x ? r cos ? x2 ? y2 ? r 2 ? ? ? y ? r sin ?

(θ 为参数)

( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ?

? x ? a ? r cos ? ? ? y ? b ? r sin ?

(θ 为参数)

(四)椭圆及其标准方程 1. 椭圆的定义: 椭圆的定义中, 平面内动点与两定点 F1 、F2 的距离的和大于| F1 F2 | 这个条件不可忽视.若这个距离之和小于| F1 F2 |,则这样的点不存在;若距离之和等于 | F1 F2 |,则动点的轨迹是线段 F1 F2 .

x2 y2 y2 x2 2.椭圆的标准方程: 2 ? 2 ? 1 ( a > b >0) 2 ? 2 ? 1 ( a > b >0). , a b a b 2 3.椭圆的标准方程判别方法:判别焦点在哪个轴只要看分母的大小:如果 x 项的分母 2 大于 y 项的分母,则椭圆的焦点在 x 轴上,反之,焦点在 y 轴上.
4.求椭圆的标准方程的方法:⑴ 正确判断焦点的位置;⑵ 设出标准方程后,运用待定 系数法求解. (五)椭圆的简单几何性质

x2 y2 1.椭圆的几何性质:设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ( a > b >0). a b ⑴ 范围: -a≤x≤a,-b≤x≤b,所以椭圆位于直线 x= ? a 和 y= ? b 所围成的矩形里.
⑵ 对称性:分别关于 x 轴、y 轴成轴对称,关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭 圆的中心. ⑶ 顶点:有四个 A1 (-a,0) A2 (a,0) B1 (0,-b) B2 (0,b). 、 、 线段 A1 A2 、 B1 B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于 2a 和 2b,a 和 b 分 别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点,称为椭圆的顶点. ⑷ 离心率: 椭圆的焦距与长轴长的比 e ?

c 叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平 a

程度.0<e<1.e 越接近于 1 时,椭圆越扁;反之,e 越接近于 0 时,椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义 ⑴ 定义:平面内动点 M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 e ? (e<1=时,这个动点的轨迹是椭圆. ⑵ 准线:根据椭圆的对称性, 为x ??

c a

x2 y2 ? ? 1( a > b >0)的准线有两条,它们的方程 a2 b2

a2 y2 x2 .对于椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a > b >0)的准线方程,只要把 x 换成 y 就可以了, c a b a2 即y?? . c
3.椭圆的焦半径:由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.

x2 y2 ? ? 1 ( a > b >0)的左、右两焦点, a2 b2 M(x,y)是椭圆上任一点,则两条焦半径长分别为 MF1 ? a ? ex , MF2 ? a ? ex .
设 F1 (-c,0) F2 (c,0)分别为椭圆 , 椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便. 椭圆的四个主要元素 a、b、c、e 中有 a = b + c 、 e ?
2 2 2

c 两个关系,因此确定椭圆的 a

标准方程只需两个独立条件. (六)椭圆的参数方程 椭圆

? x ? a cos ? x2 y2 (θ 为参数). ? 2 ? 1 ( a > b >0)的参数方程为 ? 2 a b ? y ? b sin ?

说明 ⑴ 这里参数θ 叫做椭圆的离心角.椭圆上点 P 的离心角θ 与直线 OP 的倾斜角α 不同: tan? ?

b tan? ; a
x2 y2 ? 2 ? 1 与三角恒等式 cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 相比较 2 a b

⑵ 椭圆的参数方程可以由方程

而得到,所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. (七)双曲线及其标准方程 1.双曲线的定义:平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的差的绝对值等于常数 2a(小于 | F1 F2 |)的动点 M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中,要注意条件 2a<| F1 F2 |,这一条 件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若 2a=| F1 F2 |,则动点的轨迹是两条 射线;若 2a>| F1 F2 |,则无轨迹. 若 MF1 < MF2 时,动点 M 的轨迹仅为双曲线的一个分支,又若 MF1 > MF2 时, 轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的,故在定义中应为“差的绝对值”. 2. 双曲线的标准方程:

x2 y2 y2 x2 ? 2 ? 1 和 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0).这里 a2 b a b

b 2 ? c 2 ? a 2 ,其中| F1 F2 |=2c.要注意这里的 a、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.

3.双曲线的标准方程判别方法是:如果 x 项的系数是正数,则焦点在 x 轴上;如果 y 项的系数是正数,则焦点在 y 轴上.对于双曲线,a 不一定大于 b,因此不能像椭圆那样, 通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 4.求双曲线的标准方程,应注意两个问题:⑴ 正确判断焦点的位置;⑵ 设出标准方 程后,运用待定系数法求解. (八)双曲线的简单几何性质 1.双曲线

2

2

x2 y2 c 虚轴长为 2b, 离心率 e ? >1, 离心率 e 越大, ? 2 ? 1 的实轴长为 2a, 2 a a b

双曲线的开口越大.

x2 y2 x2 y2 b ? 2 ? 1 的渐近线方程为 y ? ? x 或表示为 2 ? 2 ? 0 .若已知双曲 a a b a2 b m 线的渐近线方程是 y ? ? x ,即 mx ? ny ? 0 ,那么双曲线的方程具有以下形式: n 2 2 2 2 m x ? n y ? k ,其中 k 是一个不为零的常数.
2. 双曲线 3.双曲线的第二定义:平面内到定点(焦点)与到定直线(准线)距离的比是一个大

x2 y2 ? ? 1 ,它的焦点坐标是 a2 b2 a2 a2 (-c,0)和(c,0) ,与它们对应的准线方程分别是 x ? ? 和x ? . c c c 2 2 2 在双曲线中,a、b、c、e 四个元素间有 e ? 与 c ? a ? b 的关系,与椭圆一样确 a
于 1 的常数(离心率)的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线 定双曲线的标准方程只要两个独立的条件. (九)抛物线的标准方程和几何性质 1.抛物线的定义:平面内到一定点(F)和一条定直线(l)的距离相等的点的轨迹叫 抛物线。这个定点 F 叫抛物线的焦点,这条定直线 l 叫抛物线的准线。 需强调的是,点 F 不在直线 l 上,否则轨迹是过点 F 且与 l 垂直的直线,而不是抛物 线。 2.抛物线的方程有四种类型:

y 2 ? 2 px 、 y 2 ? ?2 px 、 x 2 ? 2 py 、 x 2 ? ?2 py .
对于以上四种方程:应注意掌握它们的规律:曲线的对称轴是哪个轴,方程中的该项 即为一次项;一次项前面是正号则曲线的开口方向向 x 轴或 y 轴的正方向;一次项前面是 负号则曲线的开口方向向 x 轴或 y 轴的负方向。 3.抛物线的几何性质,以标准方程 y2=2px 为例 (1)范围:x≥0;

(2)对称轴:对称轴为 y=0,由方程和图像均可以看出; (3)顶点:O(0,0) ,注:抛物线亦叫无心圆锥曲线(因为无中心) ; (4)离心率:e=1,由于 e 是常数,所以抛物线的形状变化是由方程中的 p 决定的; (5)准线方程 x ? ?

p ; 2

(6)焦半径公式:抛物线上一点 P(x1,y1) 为抛物线的焦点,对于四种抛物线的 ,F 焦半径公式分别为(p>0) :

p ; y 2 ? ?2 px : PF ? ? x1 ? 2 p x 2 ? 2 py : PF ? y1 ? ; x 2 ? ?2 py : PF ? ? y1 ? 2 y 2 ? 2 px : PF ? x1 ?

p 2 p 2

(7)焦点弦长公式:对于过抛物线焦点的弦长,可以用焦半径公式推导出弦长公式。 设过抛物线 y2=2px(p>O)的焦点 F 的弦为 AB,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,AB 的倾斜角为 α ,则有①|AB|=x 1 +x 2 +p

以上两公式只适合过焦点的弦长的求法,对于其它的弦,只能用“弦长公式”来求。 (8)直线与抛物线的关系:直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程: x +bx+c=0,当 a≠0 时,两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同,用判别式法即可; 但如果 a=0, 则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线, 此时, 直线和抛物线相交, 但只有一个公共点。 (十)轨迹方程 ⑴ 曲线上的点的坐标都是这个方程的解; ⑵ 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线(图形或轨迹).
2

五、注意事项
1. ⑴ 直线的斜率是一个非常重要的概念, 斜率 k 反映了直线相对于 x 轴的倾斜程度. 当斜率 k 存在时,直线方程通常用点斜式或斜截式表示,当斜率不存在时,直线方程为 x=a (a∈R).因此,利用直线的点斜式或斜截式方程解题时,斜率 k 存在与否,要分别考虑. ⑵ 直线的截距式是两点式的特例, b 分别是直线在 x 轴、 轴上的截距, a、 y 因为 a≠0, b≠0,所以当直线平行于 x 轴、平行于 y 轴或直线经过原点,不能用截距式求出它的方程,

而应选择其它形式求解. ⑶求解直线方程的最后结果,如无特别强调,都应写成一般式. ⑷当直线 l1 或 l 2 的斜率不存在时,可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直 ⑸在处理有关圆的问题,除了合理选择圆的方程,还要注意圆的对称性等几何性质的 运用,这样可以简化计算. 2. ⑴用待定系数法求椭圆的标准方程时,要分清焦点在 x 轴上还是 y 轴上,还是两种 都存在. ⑵注意椭圆定义、性质的运用,熟练地进行 a、b、c、e 间的互求,并能根据所给的方 程画出椭圆. ⑶求双曲线的标准方程 应注意两个问题:⑴ 正确判断焦点的位置;⑵ 设出标准方 程后,运用待定系数法求解.

x2 y2 x2 y2 b ? 2 ? 1 的渐近线方程为 y ? ? x 或表示为 2 ? 2 ? 0 .若已知双曲 a a b a2 b m 线的渐近线方程是 y ? ? x ,即 mx ? ny ? 0 ,那么双曲线的方程具有以下形式: n 2 2 2 2 m x ? n y ? k ,其中 k 是一个不为零的常数.
⑷双曲线

x2 y2 y2 x2 ⑸双曲线的标准方程有两个 2 ? 2 ? 1 和 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0).这里 a b a b 2 2 2 b ? c ? a ,其中| F1 F2 |=2c.要注意这里的 a、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.
⑹求抛物线的标准方程,要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型,再求抛物线的 标准方程,要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型,再由条件确定参数 p 的值.同时, 应明确抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存,知道其中抛物线的标准方 程、焦点坐标、准线方程三者相依并存,知道其中一个,就可以求出其他两个.

六、范例分析
例 1、 求与直线 3x+4y+12=0 平行, 且与坐标轴构成的三角形面积是 24 的直线 l 的方程。 分析:满足两个条件才能确定一条直线。一般地,求直线方程有两个解法,即用其中 一个条件列出含待定系数的方程,再用另一个条件求出此参数。 解法一:先用“平行”这个条件设出 l 的方程为 3x+4y+m=0①再用“面积”条件去求

m ,0) ,交 y 轴于 B(0,? m) 由 1 ? ? m ? ? m ? 24 ,得 m ? ?24 ,代 2 3 4 3 4 入①得所求直线的方程为: 3x ? 4 y ? 24 ? 0
m,∵直线 l 交 x 轴于 A(? 解法二:先用面积这个条件列出 l 的方程,设 l 在 x 轴上截距离 a,在 y 轴上截距 b,

1 ab ? 24 ,因为 l 的倾角为钝角,所以 a、b 同号,|ab|=ab,l 的截距式为 x ? y ?1 , 2 a 48 a 2 48 ? a ? ? 48a ,∴ a ? ?8 代入②得所 即 48x+a2y-48a=0②又该直线与 3x+4y+2=0 平行, ∴ 3 4 2 求直线 l 的方程为 3x ? 4 y ? 24 ? 0
则有 说明:与直线 Ax+By+C=0 平行的直线可写成 Ax+By+C1=0 的形式;与 Ax+By+C=0 垂 直的直线的方程可表示为 Bx-Ay+C2=0 的形式。

例 2、若直线 mx+y+2=0 与线段 AB 有交点,其中 A(-2, 3),B(3,2),求实数 m 的取值 范围。 解:直线 mx+y+2=0 过一定点 C(0, -2),直线 mx+y+2=0 实际上表示的是过定点(0, -2) 的直线系,因为直线与线段 AB 有交点,则直线只能落在∠ABC 的内部,设 BC、CA 这两 条直线的斜率分别为 k1、k2,则由斜率的定义可知,直线 mx+y+2=0 的斜率 k 应满足 k≥k1 或 k≤k2, ∵A(-2, 3) B(3, 2)

4 k ? ?5 2 3 2 4 5 4 5 ∴-m≥ 或-m≤ ? 即 m≤ ? 或 m≥ 3 2 3 2
∴ k1 ?

y

A o
C(0,-2)

B

x

说明:此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题,这 里要清楚直线 mx+y+2=0 的斜率-m 应为倾角的正切,而当倾角在(0°,90°)或(90°,180°) 内, 角的正切函数都是单调递增的, 因此当直线在∠ACB 内部变化时, 应大于或等于 kBC, k 或者 k 小于或等于 kAC,当 A、B 两点的坐标变化时,也要能求出 m 的范围。 例 3、已知 x、y 满足约束条件 x≥1, x-3y≤-4, 3x+5y≤30, 求目标函数 z=2x-y 的最大值和最小值. 解:根据 x、y 满足的约束条件作出可行域,即 如图所示的阴影部分(包括边界). 作直线 l 0 :2x-y=0,再作一组平行于 l 0 的直线 l : 2x-y=t,t∈R. 可知,当 l 在 l 0 的右下方时,直线 l 上的点(x,y) 满足 2x-y>0,即 t>0,而且直线 l 往右平移时,t 随之增大.当直线 l 平移至 l1 的位置时,直线经过可 行域上的点 B,此时所对应的 t 最大;当 l 在 l 0 的左

y
6 5 4 3 2 1

l2 C l0: 2x-y=0 l1
x-3y+4=0

B A
1 x=1 2 3 4 5 6 3x+5y-30=0

O

x

上方时,直线 l 上的点(x,y)满足 2x-y<0,即 t <0,而且直线 l 往左平移时,t 随之减小.当直线 l 平移至 l 2 的位置时,直线经过可行域上 的点 C,此时所对应的 t 最小. x-3y+4=0, 由 解得点 B 的坐标为(5,3) ; 3x+5y-30=0, x=1, 由 3x+5y-30=0, 所以, z 最大值 =2?5-3=7; z 最小值 =2?1解得点 C 的坐标为(1,

27 ). 5

27 17 =? . 5 5

例 4、某运输公司有 10 辆载重量为 6 吨的 A 型卡车与载重量为 8 吨的 B 型卡车,有 11 名驾驶员.在建筑某段高速公路中,该公司承包了每天至少搬运 480 吨沥青的任务.已知每

辆卡车每天往返的次数为 A 型卡车 8 次,B 型卡车 7 次;每辆卡车每天的成本费 A 型车 350 元,B 型车 400 元.问每天派出 A 型车与 B 型车各多少辆,公司所花的成本费最低,最低为 多少? 解:设每天派出 A 型车与 B 型车各 x、y 辆,并设公司每天的成本为 z 元.由题意,得 x≤10, y≤5, y x+y≤11, 48x+56y≥60, 12 x,y∈N, 10 x+y=11 且 z=350x+400y. 8 x≤10, y=5 6 y≤5, A 4 l0 6x+7y=0 即 x+y≤11, 2 6x+7y≥55, 2 4 6 8 B 10 12 x,y∈N, O x x=10 作 出 可 行 域 , 作 直 线 l 0 : 350x+400y=0 , 即
l1 7x+8y=0 7x+8y=0. 作出一组平行直线:7x+8y=t 中(t 为参数)经过可行域内的点和原点距离最近的直线,此

直线经过 6x+7y=60 和 y=5 的交点 A( 所以可行域内的点 A(

25 ,5) ,由于点 A 的坐标不都是整数,而 x,y∈N, 6

25 ,5)不是最优解. 6

为求出最优解,必须进行定量分析. 因为, 7?

25 +8?5≈69.2, 所以经过可行域内的整点 (横坐标和纵坐标都是整数的点) 6

且与原点最小的直线是 7x+8y=10,在可行域内满足该方程的整数解只有 x=10,y=0,所以 (10,0)是最优解,即当 l 通过 B 点时,z=350?10+400?0=3500 元为最小. 答:每天派出 A 型车 10 辆不派 B 型车,公司所化的成本费最低为 3500 元. 例 5、已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点,AB=2、OT=t (0<t<1),以 AB 为直腰作 直角梯形 AA?B?B ,使 AA? 垂直且等于 AT,使 BB? 垂直且等于 BT, A?B? 交半圆于 P、 Q 两点,建立如图所示的直角坐标系. (1)写出直线 A?B? 的方程; (2)计算出点 P、Q 的坐标; (3)证明:由点 P 发出的光线,经 AB 反射 后,反射光线通过点 Q.

, 解: (1 ) 显然 A ?1,1 ? t ? , B ?? 1 1 ? t ?,于是 直线 A?B? 的方程为 y ? ?tx ? 1 ;
' ‘

? x 2 ? y 2 ? 1, (2)由方程组 ? ? y ? ?tx ? 1,
P(0,1) 、 Q (
2t 1? t 2 , ); 2 1? t 1? t 2

解出

1? t2 ?0 1? t2 1 1? 0 1 1? t2 (3) k PT ? k QT ? ? ? . ?? , 2 2t t 0?t t t (1 ? t ) ?t 1? t2 由直线 PT 的斜率和直线 QT 的斜率互为相反数知,由点 P 发出的光线经点 T 反射,反 射光线通过点 Q. 说明:需要注意的是, Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?

例 6、设 P 是圆 M:(x-5)2+(y-5)2=1 上的动点,它关于 A(9, 0)的对称点为 Q,把 P 绕原 点依逆时针方向旋转 90°到点 S,求|SQ|的最值。 解:设 P(x, y),则 Q(18-x, -y),记 P 点对应的复数为 x+yi,则 S 点对应的复数为: (x+yi)?i=-y+xi,即 S(-y, x) ∴ | SQ|? (18 ? x ? y)2 ? (? y ? x)2

? 182 ? x2 ? y 2 ? 36 x ? 36 y ? 2xy ? x2 ? y 2 ? 2xy ? 2 ? x2 ? y 2 ?18x ?18 y ? 81? 81 ? 2 ? (x ? 9)2 ? ( y ? 9)2
其中

( x ? 9)2 ? ( y ? 9)2 可 以 看 作 是 点 P 到 定 点 B(9, -9) 的 距 离 , 共 最 大 值 为

| MB | ?r ? 2 53 ?1 最小值为 | MB | ?r ? 2 53 ?1 ,则
|SQ|的最大值为 2 106 ? 2 ,|SQ|的最小值为 2 106 ? 2 例 7、 已知⊙M: x ? ( y ? 2) ? 1, Q是x 轴上的动点,QA,QB 分别切⊙M 于 A,B
2 2

两点, (1)如果 | AB |?

4 2 ,求直线 MQ 的方程; 3

(2)求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程.

| AB | 2 2 2 2 1 4 2 2 ) ? 12 ? ( ) ? ,由 ,可得 | MP |? | MA | ?( 2 3 3 3 2 射影定理,得 | MB | ?| MP | ? | MQ |, 得 | MQ |? 3, 在 Rt△MOQ 中,
解:(1)由 | AB |?

| OQ |? | MQ | 2 ? | MO | 2 ? 3 2 ? 2 2 ? 5 ,
故 a ? 5或a ? ? 5 , 所以直线 AB 方程是

2 x ? 5 y ? 2 5 ? 0或2 x ? 5 y ? 2 5 ? 0; (2)连接 MB,MQ,设 P( x, y), Q(a,0), 由
点 M,P,Q 在一直线上,得

2 y?2 ? , (*) 由射影定理得 | MB | 2 ?| MP | ? | MQ |, ?a x
2 2 2 即 x ? ( y ? 2) ? a ? 4 ? 1, (**) 把(*)及(**)消去 a,

并注意到 y ? 2 ,可得 x ? ( y ? ) ?
2 2

7 4

1 ( y ? 2). 16

说明:适时应用平面几何知识,这是快速解答本题的要害所在。

例 8、 直线 l 过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点, 且与抛物线相交于 A ( x1 , y1 )和B( x2 , y 2 )
2

两点.(1)求证: 4 x1 x 2 ? p ; (2)求证:对于抛物线的任意给定的一条弦 CD,直线 l 不是 CD 的垂直平分线.
2

解: (1)易求得抛物线的焦点 F ( P ,0) .
2
2 若 l⊥x 轴,则 l 的方程为 x ? P , 显然x1 x2 ? P . 2 4 P ,代入抛物线方程整理得 若 l 不垂直于 x 轴,可设 y ? k ( x ? ) 2 2P P2 P2 . x 2 ? P(1 ? 2 ) x ? ? 0, 则x1 x 2 ? 4 4 k

综上可知

4 x1 x 2 ? p 2 .
2 2

(2)设 C ( c , c), D( d , d )且c ? d ,则 CD 的垂直平分线 l ? 的方程为
2p 2p

y?

c?d c?d c ?d2 ?? (x ? ) 2 2p 4p
2

2 2 假设 l ? 过 F,则 0 ? c ? d ? ? c ? d ( p ? c ? d ) 整理得

2 2p 2 2 (c ? d )( 2 p ? c ? d ) ? 0 ? p ? 0
2 2

4p

? 2 p 2 ? c 2 ? d 2 ? 0 ,? c ? d ? 0 .

这时 l ? 的方程为 y=0, 从而 l ? 与抛物线 y ? 2 px 只相交于原点. 而 l 与抛物线有两个不同的
2

交点,因此 l ? 与 l 不重合,l 不是 CD 的垂直平分线. 说明:此题是课本题的深化,课本是高考试题的生长点,复习要重视课本。 例 9、已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,能否在此椭圆位于 y 轴左侧的部分上找到一点 M,使它 4 3

到左准线的距离为它到两焦点 F1、F2 距离的等比中项,若能找到,求出该点的坐标,若不 能找到,请说明理由。 解:假设存在满足条件的点, M 1, 1) 2=4, 2=3, 设 (x y a b ∴a=2,b ?

3 ,c=1,∴ e ?

1 , 2

| MF1 | ? | MF2 |? (a ? ex1 )( a ? ex1 ) ? a 2 ? e 2 x1 ? 4 ?
2

1 2 x1 ,点 M 到椭圆左准线的距离 4 a2 1 2 d ? x1 ? ? x1 ? 4 , ∴ , ∴ r1r2 ? d , ? 4 ? x1 ? ( x1 ? 4) 2 c 4 12 2 5 x1 ? 32 x1 ? 48 ? 0 ,∴ x1 ? ?4 或 x1 ? ? ,这与 x1∈[-2,0)相矛盾,∴满足条件的 5
例 10、已知椭圆中心在原点,焦点在 y 轴上,焦距为 4,离心率为 (Ⅰ)求椭圆方程;

点 M 不存在。

2 , 3

(Ⅱ) 设椭圆在 y 轴正半轴上的焦点为 M, 又点 A 和点 B 在椭圆上, M 分有向线段 AB 且 所成的比为 2,求线段 AB 所在直线的方程。 解: (Ⅰ)设椭圆方程为 故 a=3,

y2 x2 ? ?1 a2 b2

由 2c=4 得 c=2



c 2 ? a 3

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 5 ∴所求的椭圆方程为
AM

y 2 x2 ? ?1 9 5

(Ⅱ)若 k 不存在,则 又设 A ( x1, y1 )

? 2 ,若 k 存在,则设直线 AB 的方程为:y=kx+2

MB B( x2 , y2 )

?y ? kx? 2 ? 由 ? x2 得 y2 ? ?1 ? 9 ?5 ?20k x1 ? x2 ? ?① 9 ? 5K 2

(9 ? 5k 2 ) x 2 ? 20kx ? 25 ? 0

x1 ? x2 ?

?25 ?② 9 ? 5K 2

∵点 M 坐标为 M(0,2) ∴ AM ? ( ? x1 ,2 ? y1 ) MB ? ( x 2 , y 2 ? 2) 由

AM MB

?2

得 AM ? 2MB ∴ (? x1 ,2 ? y1 ) ? 2( x2 , y 2 ? 2)

20k 25 2 ? ③ 2 x2 ? ?④ 2 9 ? 5k 9 ? 5k 2 3 20k 2 25 1 2 k ?? 由③、④ 得 2( ∴k ? ) ? 2 2 3 9 ? 5k 9 ? 5k 3 3 x ? 2。 ∴线段 AB 所在直线的方程为: y ? ? 3
∴ x1 ? ?2x2 代入①、②得 x2 ? 说明:有向线段所成的比,线段的定比分点等概念,本身就是解析几何研究的一类重 要问题。向量概念的引入,使这类问题的解决显得简洁而流畅。求解这类问题可以用定比 分点公式,也可以直接用有向线段的比解题。 另外,向量的长度,点的平移等与解析几何都有着千丝万缕的联系,向量与解析几何 的结合,为解决这些问题开辟了新的解题途径。

x2 y2 例 11、已知直线 l 与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 有且仅有一个交点 Q,且与 x 轴、y a b
轴分别交于 R、S,求以线段 SR 为对角线的矩形 ORPS 的一个顶点 P 的轨迹方程. 解:从直线 l 所处的位置, 设出直线 l 的方程, 由已知,直线 l 不过椭圆的四个顶点,所以设直线 l 的方程为 y ? kx ? m(k ? 0). 代入椭圆方程 b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 b 2,得
b 2 x 2 ? a 2 (k 2 x 2 ? 2kmx ? m 2 ) ? a 2 b 2 . 化简后,得关于 x 的一元二次方程 (a 2 k 2 ? b 2 ) x 2 ? 2ka2 mx ? a 2 m 2 ? a 2 b 2 ? 0.

于是其判别式 ? ? (2ka2 m) 2 ? 4(a 2 k 2 ? b 2 )(a 2 m 2 ? a 2 b 2 ) ? 4a 2 b 2 (a 2 k 2 ? b 2 ? m 2 ). 由已知,得△=0.即 a 2 k 2 ? b 2 ? m 2 . ① m 在直线方程 y ? kx ? m 中,分别令 y=0,x=0,求得 R(? ,0), S (0, m). k m y ? ? ?x ? ? k , ?k ? ? x , ? 令顶点 P 的坐标为(x,y) 由已知,得 ? , 解得? ? y ? m. ? ?m ? y. ? ? ? ?
2 2 代入①式并整理,得 a ? b ? 1 , 即为所求顶点 P 的轨迹方程. 2 2

x

y

说明:方程 a ? b ? 1 形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗? 2 2
x y

2

2

例 12、已知双曲线 距离是

x2 y2 2 3 ,过 A(a,0), B(0,?b) 的直线到原点的 ? 2 ? 1 的离心率 e ? 2 3 a b

3 . (1)求双曲线的方程; 2

(2)已知直线 y ? kx ? 5(k ? 0) 交双曲线于不同的点 C,D 且 C,D 都在以 B 为圆心的 圆上,求 k 的值. 解:∵(1) c ? 2 3 , 原点到直线 AB: x ? y ? 1 的距离 a 3 a b ab ab 3 d ? ? ? . 2 2 c 2 . a ?b
? b ? 1, a ? 3.
3
2 故所求双曲线方程为 x ? y 2 ? 1.

(2)把 y ? k x ? 5代入x ? 3 y 2 ? 3 中消去 y,整理得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 30 kx ? 78 ? 0 .
2

设 C ( x1 , y1 ), D( x2 , y 2 ), CD 的中点是 E ( x0 , y0 ) ,则 x ? x2 15 k 5 x0 ? 1 ? ? y 0 ? k x0 ? 5 ? , 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 y ?1 1 k BE ? 0 ?? . x0 k

? x0 ? ky0 ? k ? 0,


15k 5k ? ? k ? 0, 又k ? 0,? k 2 ? 7 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k
故所求 k=± 7 . 说明:为了求出 k 的值, 需要通过消元, 想法设法建构 k 的方程. 例 13、过点 P(? 3, 0) 作直线 l 与椭圆 3x2+4y2=12 相交于 A、 两点, 为坐标原点, B O

求△OAB 面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。 分析:若直接用点斜式设 l 的方程为 y ? 0 ? k ( x ? 3 ) ,则要 求 l 的斜率一定要存在,但在这里 l 的斜率有可能不存在,因此要 讨论斜率不存在的情形, 为了避免讨论, 我们可以设直线 l 的方程 为 x ? my ? 3 ,这样就包含了斜率不存在时的情形了,从而简 化了运算。 解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) l : x ? my ? 3 ,

y A P B O x

1 1 | OP | ? | y1 | ? | OP | ? | y 2 |? 3(| y1 | ? | y 2 |) ? 3( y1 ? y 2 ) 2 2 2 2 2 把 x ? my ? 3 代入椭圆方程得: 3( m y ? 2 3my ? 3) ? 4 y ? 12 ? 0 ,即 S ?AOB ?
(3m 2 ? 4) y 2 ? 6 3my ? 3 ? 0 , y1 ? y 2 ?

6 3m 3 , y1 y 2 ? ? 2 2 3m ? 4 3m ? 4

| y1 ? y 2 |?
?

108 m 2 12 1 ? ? 144 x 2 ? 48 2 2 2 2 (3m ? 4) 3m ? 4 3m ? 4

4 9m 2 ? 3 4 3 ? 3m 2 ? 1 4 3 ? 3m 2 ? 1 ? ? 3m 2 ? 4 3m 2 ? 4 (3m 2 ? 1) ? 3

?

4 3m 3m 2 ? 1 ? 3 3m 2 ? 1

?

4 3 ?2 2 3

∴S ?

3 ? 2 ? 3 ,此时 3m 2 ? 1 ? 2

3 3m 2 ? 1

m??

6 3

令直线的倾角为 ? ,则 tg? ? ?

3 6 ?? 2 6

即△OAB 面积的最大值为 3 ,此时直线倾斜角的正切值为 ?

6 。 2
?

例 14、 (2003 年江苏高考题)已知常数 a ? 0 ,向量 c ? (0, a), i ? (1, 0). 经过原点 O 以 c ? ? i 为方向向量的直线与经过定点 A(0,a)以 i ? 2? c 为方向向量的直线 相交于点 P,其中 ? ? R. 试问:是否存在两个定点 E、F,使得|PE|+|PF|为定值.若存在,求 出 E、F 的坐标;若不存在,说明理由.
解:∵ i =(1,0) c =(0,a) , , ∴ c +λ i =(λ ,a) i -2λ , 因此,直线 OP 和 AP 的方程分别为 ?y ? ax 和 y ? a ? ?2?ax . 消去参数λ ,得点 P( x, y ) 的坐标满足方程 y ( y ? a) ? ?2a 2 x 2 . 整理得

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? c =(1,-2λ

a).

因为 a

a ( y ? )2 x2 2 ? 1. ??① ? 1 a 2 ( ) 8 2 ? 0, 所以得:

(i)当 a

?

2 2

时,方程①是圆方程,故不存在合乎题意的定点 E 和 F;

(ii)当 0 ? a ? 两个定点; (iii)当 a ?

2 时,方程①表示椭圆,焦点 E ( 1 2 2

1 a 1 1 a ? a 2 , ) 和 F (? ? a 2 , ) 为合乎题意的 2 2 2 2 2

1 1 1 1 2 时,方程①也表示椭圆,焦点 E (0, (a ? a 2 ? )) 和 F (0, (a ? a 2 ? )) 为合乎 2 2 2 2 2

题意的两个定点.

说明:由于向量可以用一条有向线段来表示,有向线段的方向可以决定解析几何中直线 的斜率,故直线的方向向量与解析几何中的直线有着天然的联系。求解此类问题的关键是: 根据直线的方向向量得出直线方程,再转化为解析几何问题解决。 例 15、已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的长、短轴端点分别为 A、B,从此椭圆上一 a2 b2 点 M 向 x 轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点 F1 ,向量 AB 与 OM 是共线向量。

(1)求椭圆的离心率 e; (2)设 Q 是椭圆上任意一点, F1 、 F2 分别是左、右焦点,求∠ F1QF2 的取值范围;

(2)设

b2 b2 解: (1)∵ F1 (?c,0), 则x M ? ?c, y M ? ,∴ k OM ? ? 。 a ac 2 b b2 b , OM 与 AB 是共线向量,∴ ? ∵ k AB ? ? 。 ? ? ,∴b=c,故 e ? 2 a ac a F1Q ? r1 , F2Q ? r2 , ?F1 QF2 ? ? ,
? r1 ? r2 ? 2a , F1F2 ? 2c ,

cos ? ?

r12 ? r22 ? 4c 2 (r1 ? r2 )2 ? 2r1r2 ? 4c 2 a 2 a2 ? ? ?1 ? ?1 ? 0 r1 ? r2 2 2r1r2 2r1r2 r1r2 ( ) 2

当且仅当 r1 ? r2 时,cosθ =0,∴θ ? [0,

?

2

]。

说明:由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用,因此,解析 几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类 问题的关键是:正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系,把有关向量的 问题转化为解析几何问题。

2 x2 y2 的椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) 2 a b 交于 P、Q,两点,直线 l 与 Y 轴交于点 R,且 OP ? OQ ? ?3 , PR ? 3RQ ,求直线 l 和椭
例 16、一条斜率为 1 的直线 l 与离心率为 圆 C 的方程。
解:? 椭圆离心率为

2 2

,?

2 c ? 2 a

,a

2

? 2b 2

所以椭圆方程为

x2 y2 ? 2 ? 1 ,设 l 方程为: y ? x ? m , P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) 2b 2 b

? x2 y2 ? 2 ?1 ? 2 2 2 由 ? 2b 2 消去 y 得 3x ? 4mx ? 2m ? 2b ? 0 b ?y ? x ? m ?

? ? 16 m 2 ? 4 ? 3(2m 2 ? 2b 2 ) ? 8(?m 2 ? 3b 2 ) ? 0 ? 3b 2 ? m 2 ?(*) 4 2 x1 ? x2 ? ? m ??(1) x1 x2 ? (m 2 ? b 2 ) ??(2) 3 3 OP ? OQ ? ?3 所以 x1 x2 ? y1 y 2 ? ?3


y1 y 2 ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? x1 x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m 2 4 2 4 2 所以 2 x1 x 2 ? m( x1 ? x 2 ) ? m ? ?3 (m ? b 2 ) ? m 2 ? m 2 ? ?3 3 3 2 2 所以 3m ? 4b ? ?9 ?? (3) R(0, m) ,PR ? 3RQ ,(? x1 , m ? y1 ) ? 3( x2 , y 2 ? m) 又
从而 ? x1

? 3x2 ??(4)
2

由(1) (4)得 3m (2) 适合 (*) ,

2

? b 2 ??(5)
2

由(3) (5)解得 b 所以所求直线 l 方程为:

? 3 , m ? ?1

y ? x ? 1 或 y ? x ? 1 ;椭圆 C 的方程为

x y2 ? ?1 6 3

说明:向量数量积的坐标表示,构建起向量与解析几何的密切关系,使向量与解析几何融 为一体。求此类问题的关键是:利用向量数量积的坐标表示,沟通向量与解析几何的联系。 体现了向量的工具性。 例 17、已知椭圆 C 的中心在原点,焦点 F1、F2 在 x 轴上,点 P 为椭圆上的一个动点, 且∠F1PF2 的最大值为 90°,直线 l 过左焦点 F1 与椭圆交于 A、B 两点,△ABF2 的面积最 大值为 12. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)求椭圆 C 的方程. 解法一: (1)设 , 对 ?PF1 F2 , 由余弦定理, 得
cos ?F1 PF2 ? r11 ? r22 ? 4c 2 (r1 ? r2 ) 2 ? 2r1 r2 ? 4c 2 4a 2 ? 4c 2 4a 2 ? 4c 2 ? ? ?1 ? ?1 r1 ? r2 2 2r1 r2 2r1 r2 2r1 r2 2( ) 2 2 ? 1 ? 2e 2 ? 0 , 解出 e? .
2

(2)考虑直线 l 的斜率的存在性,可分两种情况: i) 当 k 存在时,设 l 的方程为 y ? k ( x ? c) ??????① 椭圆方程为 由e ? 2 .
2

x2 y2 ? ? 1, A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) a2 b2 得 a 2 ? 2c 2 , b 2 ? c 2 .
??????② x ? 2k ( x ? c) ? 2c 2 ? 0 ,
2 2 2

0 ? 2 c2 ? 2 y 2 ? 2 x

于是椭圆方程可转化为 将①代入②,消去 y 得

c2 ?| 2F 1F | , 2r ?| 2FP | , 1r ?| 1FP |

整理为 x 的一元二次方程,得 则 x1、x2 是上述方程的两根.且
| x 2 ? x1 |? 2 2c 1 ? k 2 , 1 ? 2k 2

(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4ck 2 x ? 2c 2 (k 2 ? 1) ? 0 .

| AB |? 1 ? k 2 | x 2 ? x1 |?

2 2c(1 ? k 2 ) , 1 ? 2k 2

AB 边上的高 h ?| F1 F2 | sin ?BF1 F2 ? 2c ?
S? 1 1? k 2 |k| 2 2c ( ) 2c 2 2 1 ? 2k 1? k 2

|k| 1? k 2

,

? 2 2c 2

1? k 2 | k | k 2? k 4 ? 2 2c 2 ? 2 2c 1 ? 2k 2 1 ? 4k 2 ? 4k 4

2

1 1 4? 4 k ? k2

? 2c . 2

ii) 当 k 不存在时,把直线 x ? ?c 代入椭圆方程得
2

由①②知 S 的最大值为 2c 2 由题意得 2c 2 =12 所以 c 2 ? 6 2 ? b 2 2 2 故当△ABF2 面积最大时椭圆的方程为: x ? y ? 1. 解法二:设过左焦点的直线方程为: x ? my ? c ????①
2 2 椭圆的方程为: x ? y ? 1, A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 2 2

a

b

2 得: 2 a ? 2c 2 , b 2 ? c 2 , 于是椭圆方程可化为: x 2 ? 2 y 2 ? 2c 2 ? 0 ??② . 2 把①代入②并整理得: (m 2 ? 2) y 2 ? 2mcy ? c 2 ? 0 于是 y1 , y 2 是上述方程的两根.

由e ?

AB 边上的高 h ?

2 从而 S ? 1 | AB | h ? 1 ? 2 2c(1 ? m ) ? 2

当且仅当 m=0 取等号,即 S max ? 由题意知 2c 2 ? 12 , 于是

故当△ABF2 面积最大时椭圆的方程为:

例 18 、 2002 年 天 津 高 考 题 ) 已 知 两 点 M ( -1 , 0 ) N ( 1 , 0 ) 且 点 P 使 ( ,

MP ? MN , PM ? PN , NM ? NP 成公差小于零的等差数列,

| 1y ? 2 y | 2 m ? 1 ? 2 ) 2 y ? 1 y ( ? 2 ) 2 x ? 1x ( ?| BA |

2c 1 ? m2

,
2c 1 ? m2 ? 2 2c 2 1 ? m2 (m ? 2) 2

2

2

m ?2

? 2 2c 2 m ?1?
2

1 1 ?2 m2 ? 1

? 2c 2 .

b 2 ? c 2 ? 6 2 , a 2 ? 12 2 .
x2 12 2 ? y2 6 2 ? 1.

c2 ? c 2

1 2 ? S ,c2 ?| BA | ,c ??y 2 2

a 2 ? 12 2

12 2

6 2

? 1 ? m2

4m 2 c 2 ? 4c 2 (m 2 ? 2) m2 ? 2

?

2 2c(1 ? m 2 ) , m2 ? 2

2c 2 .

(Ⅰ)点 P 的轨迹是什么曲线? (Ⅱ)若点 P 坐标为 ( x 0 , y 0 ) , ? 为 PM与PN 的夹角,求 tanθ 。 解: (Ⅰ)记 P(x,y) ,由 M(-1,0)N(1,0)得

PM ? ? MP ? (?1 ? x,? y )
所以

PN ? ? NP ? (?1 ? x,? y )

MN ? ? NM ? (2,0)

MP ? MN ? 2(1 ? x) NM ? NP ? 2(1 ? x)

PM ? PN ? x 2 ? y 2 ? 1

于是, MP ? MN , PM ? PN , NM ? NP 是公差小于零的等差数列等价于

1 ? 2 2 ? x ? y ? 1 ? [2(1 ? x) ? 2(1 ? x)] 2 ? ?2(1 ? x) ? 2(1 ? x) ? 0 ?



?x 2 ? y 2 ? 3 ? ?x ? 0

所以,点 P 的轨迹是以原点为圆心, 3 为半径的右半圆。

???? ??? ? ? 2 2 2 PM PN ? (1 ? x0 )2 ? y0 ? (1 ? x0 )2 ? y0 ? (4 ? 2 x0 ) ? (4 ? 2 x0 ) ? 2 4 ? x0 ???? ???? ? PM ? PN 1 因为 0〈 x 0 ? 3 , 所以 所以cos ? ? ???? ???? ? . ? 2 PM ? PN 4 ? x0
1 1 ? , ? cos? ? 1,0 ? ? ? , sin ? ? 1 ? cos2 ? ? 1 ? 2 4 ? x0 2 3

(Ⅱ)点 P 的坐标为 ( x 0 , y 0 ) 。 PM ? PN ? x0 ? y 0 ? 1 ? 2 。
2 2

tan? ?

sin? ? cos?

1?

1 2 4 ? x0

1 2 4 ? x0

2 ? 3 ? x0 ? y 0 .

说明:在引入向量的坐标表示后,可以使向量运算代数化,这样就可以将“形”和“数” 紧密地结合在一起。向量的夹角问题融入解析几何问题中,也就显得十分自然。求解这类 问题的关键是:先把向量用坐标表示,再用解析几何知识结合向量的夹角公式使问题获解; 也可以把两向量夹角问题转化为两直线所成角的问题,用数形结合方法使问题获解。

七、强化训练
1、已知 P 是以 F1 、 F2 为焦点的椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点,若 PF1 ? PF2 ? 0 a2 b2
( (D) )

tan ?PF1 F2 ?
(A)

1 2

1 ,则椭圆的离心率为 2 2 1 (B) (C) 3 3

5 3
C y B T o M A x

2、已知△ABC 的顶点 A(3, -1),AB 边上的中线所在直线的方程为

6x+10y-59=0,∠B 的平分线所在直线的方程为:x-4y+10=0,求边 BC 所在直线的方程。 3、求直线 l2:7x-y+4=0 到 l1:x+y-2=0 的角平分线的方程。 4、已知三种食物 P、Q、R 的维生素含量与成本如下表所示. 食物 P 400 800 6 食物 Q 600 200 5 食物 R 400 400 4

维生素 A(单位/kg) 维生素 B(单位/kg) 成本(元/kg)

现在将 xkg 的食物 P 和 ykg 的食物 Q 及 zkg 的食物 R 混合,制成 100kg 的混合物.如果 这 100kg 的混合物中至少含维生素 A44 000 单位与维生素 B48 000 单位,那么 x,y,z 为 何值时,混合物的成本最小? 5、某人有楼房一幢,室内面积共 180 m ,拟分隔成两类房间作为旅游客房.大房间每间 面积为 18 m ,可住游客 5 名,每名游客每天住宿费为 40 元;小房间每间面积为 15 m , 可住游客 3 名,每名游客每天住宿费为 50 元.装修大房间每间需 1000 元,装修小房间每间 需 600 元.如果他只能筹款 8000 元用于装修,且游客能住满客房,他应隔出大房间和小房 间各多少间,能获得最大收益? 6、已知△ABC 三边所在直线方程 AB:x-6=0,BC:x-2y-8=0,CA:x+2y=0,求此三角 形外接圆的方程。 7、已知椭圆 x2+2y2=12,A 是 x 轴正方向上的一定点,若过点 A,斜率为 1 的直线被椭
2 2 2

4 13 ,求点 A 的坐标。 3 x2 y2 8、已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)上两点 A、B,直线 l : y ? x ? k 上有两点 C、D, a b 且 ABCD 是正方形。此正方形外接圆为 x2+y2-2y-8=0,求椭圆方程和直线 l 的方程。 9、求以直线 l : x ? ?2 为准线,原点为相应焦点的动椭圆短轴 MN 端点的轨迹方程。
圆截得的弦长为 10、若椭圆的对称轴在坐标轴上,两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点,又焦 点到同侧长轴端点的距离为 2 ? 1 ,求椭圆的方程。

x2 y2 11、已知直线 y ? ? x ? 1 与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A、B 两点,且线段 AB a b 的中点在直线 l : x ? 2 y ? 0 上.
(1)求此椭圆的离心率; (2 )若椭圆的右焦点关于直线 l 的对称点的在圆 x ? y
2 2

? 4 上,求此椭圆的方程.

12、设 A(x1,y1)为椭圆 x2+2y2=2 上任意一点,过点 A 作一条直线 l ,斜率为 ?

x1 , 2 y1

又设 d 为原点到直线 l 的距离,r1、r2 分别为点 A 到椭圆两焦点的距离。求证: r1 ? r2 ? d 为 定值。 13、 某工程要将直线公路 l 一侧的土石,通过公路上的两个道口 A 和 B,沿着道路 AP、 BP 运往公路另一侧的 P 处,PA=100m,PB=150m,∠APB=60°,试说明怎样运土石最省 工?

x2 y2 ,P ? ? 1(a>b>0) 为椭圆上除长轴端点外的任一点,F1、F2 为椭 a 2 b2 ??? cos 2 ; 圆的两个焦点, (1)若 ?PF1 F2 ? ? , ?PF1 F2 ? ? ,求证:离心率 e ? (2) ??? cos 2 2 若 ?F1 PF2 ? 2? ,求证: ?F1 PF2 的面积为 b ? tan? 。
14、已知椭圆 15、在 Rt△ABC 中,∠CBA=90°,AB=2,AC=

2 。DO⊥AB 于 O 点,OA=OB, 2

DO=2,曲线 E 过 C 点,动点 P 在 E 上运动,且保持| PA |+| PB |的值不变. (1)建立适当的坐标系,求曲线 E 的方程; (2) D 点的直线 L 与曲线 E 相交于不同的两点 M、 且 M 在 D、 之间, 过 N N 设 试确定实数 ? 的取值范围.

DM ??, DN
2

16、 (2004 年北京春季高考)已知点 A 8) B( x1 ,y1 ) ,C( x2 ,y2 ) 在抛物线 y ? 2 px (2, , 上, ?ABC 的重心与此抛物线的焦点 F 重合(如图)
y B A O F M x

C

(I)写出该抛物线的方程和焦点 F 的坐标; (II)求线段 BC 中点 M 的坐标; (III)求 BC 所在直线的方程。

八、参考答案
1、解:设 c 为为椭圆半焦距,∵ PF1 ? PF2 ? 0 ∴ PF1 ? PF2

又 tan ?PF1 F2 ?

1 2

? 2 2 ? 2 ? PF1 ? PF2 ? (2c) ? ∴ ? PF1 ? PF2 ? 2a ? ? PF2 ? 1 ? PF1 2 ?

解得: ( ) ?
2

c a

5 9

e?

c 5 ? a 3

选(D) 。

说明:垂直向量的引入为解决解析几何问题开辟了新思路。求解此类问题的关键是利 用向量垂直的充要条件: a ? b ? a ? b ? 0 ” “ ,促使问题转化,然后利用数形结合解决问 题。 2、解:设 B(a, b),B 在直线 BT 上,∴a-4b+10=0① 又 AB 中点 M ? ? 线 CM 上,∴点 M 的坐标满足方程 6x+10y-59=0 ∴ 6?

3? a , b ?1? 在直 ? 2 ? ? 2

a ? 3 ?10?b ?1?59 ? 0 ② 解①、 2 2


②组成的方程组可得 a=10,b=5 ∴B(10, 5),又由角平分线的定义可知,直线 BC 到 BT 的 角等于直线 BT 到直线 BA 的角,又 k AB ?

6 k ? 1 ∴ kBT ? kBC ? kBA ? kBT BT 1? kBT kBC 1? kBA ?kBT 7 4 kBC ? ? 2 ,∴BC 所在直线的方程为 y ?5 ? ? 2 (x ?10) 即 2x+9y-65=0 9 9
3、解法一:设 l2 到 l1 角平分线 l 的斜率为 k,∵k1=-1,k2=7

k ? 7 ? ?1? k ,解之得 k=-3 或 k ? 1 ,由图形可知 k<0, 2 ∴ 1 1? 7k 1? k 3 Q x ? 2 y ? 2 ? 0 解得 l 与 l 的交点 Q? ? 1 , 9 ? , ∴k=-3,又由 ? ? 1 2 1 2 7x ? y ? 4 ? 0 ? 4 4? 9 1 由点斜式得 y ? ? ?3? x ? ? 即 6x+2y-3=0 ? ? o x 4 ? 4? k ?k 4 ? 解法二:设 l2 到 l1 的角为θ ,则 tg? ? 1 2 ? ,所以角θ 为锐角,而 ?1 ? ? 2 ? , 1? k1k2 3 2 2tg ? 2 ? tg? ? 4 ∴ tg? ? ?2 或 tg ? ? 1 由二倍角公式可知 ?? 为锐角, ? 3 2 2 2 2 1? tg 2 2 ? 1 k ? 7 ,∴k=-3 等同解法一。 ∴ tg ? ? 2 2 1? 7k

y

?

解法三:设 l:(x+y-2)+λ (7x-y+4)=0 ∴k?

1? 7? ,由解法一知 k ? ?3 ? 1? 7? ,∴ ? ? 1 ,代入①化简即得:6x+2y-3=0 ? ?1 ? ?1 5

即(1+7λ )x+(1-λ )y+(4λ -2)=0①

| x ? y ? 2 | | 7x ? y ? 4 | ∴ 整理得:6x+2y-3=0 与 x-3y+7=0,又 l 是 l2 到 l1 的角的平分线, ? 2 50
k<0,∴x-3y+7=0 不合题意所以所求直线 l 的方程为 6x+2y-3=0. 4、分析:由 x+y+z=100,得 z=100-x-y,所以 y 上述问题可以看作只含 x, 两个变量.设混合物的 y 成本为 k 元, 那么 k=6x+5y+4 100-x-y) ( =2x+y+400. 100 于是问题就归结为求 k 在已知条件下的线性规划问 题. 80 G 解:已知条件可归结为下列不等式组: l1 60 x≥0,
40 20

解法四:用点到直线的距离公式,设 l 上任一点 P(x, y),则 P 到 l1 与 l2 的距离相等。

2x-y=40

x+y=100 y=20

E
20 40

F
60 80 100

O

x

l0: 2x+y=0

y≥0, x+y≤100, 400x+600y+400(100-x-y)≥44000, 800x+200y+400(100-x-y)≥48000. x+y≤100, 即 y≥20, ① 2x-y≥40. 在平面直角坐标系中,画出不等式组①所表示的平面区域,这个区域是直线 x+y=100,y=20,2x-y=40 围成的一个三角形区域 EFG(包括边界) ,即可行域,如图所 示的阴影部分. 设混合物的成本为 k 元,那么 k=6x+5y+4(100-x-y)=2x+y+400. 作直线 l 0 :2x+y=0,把直线 l 0 向右上方平移至 l1 位置时,直线经过可行域上的点 E,且 与原点的距离最小,此时 2x+y 的值最小,从而 k 的值最小. 2x-y=40, x=30, 由 得 即点 E 的坐标是(30,20). y=20, y=20, 所以, k 最小值 =2?30+20+400=480(元) ,此时 z=100-30-20=50. 答:取 x=30,y=20,z=50 时,混合物的成本最小,最小值是 480 元. 5、解:设隔出大房间 x 间,小房间 y 间时收益为 z 元,则 x、y 满足 18x+15y≤180, y 1000x+600y≤8000, x,y∈N, 14 且 z=200x+150y. 12 所以 6x+5y≤60, 10 5x+3y≤40, 8 x,y∈N, B (3,8) 6 作出可行域及直线 l 0 :200x+150y=0, 即 4x+3y=0.(如图 4) 把直线 l 0 向上平移至 l1 的位置时, 直线经过 可行域上的点 B,且与原点距离最大.此时, z=200x+150y 取最大值.但解 6x+5y=60 与 5x+3y=40 联立的方程组得到 B (

l0

4 2

O

2

4

6

8

l2l1

10

12

14

x

20 60 , ) . 7 7

由于点 B 的坐标不是整数,而 x,y∈N,所以可行域内的点 B 不是最优解. 为求出最优解,同样必须进行定量分析. 因为 4?

20 60 260 +3? = ≈37.1,但该方程的非负整数解(1,11)(4,7)(7,3)均 、 、 7 7 7

不在可行域内,所以应取 4x+3y=36.同样可以验证,在可行域内满足上述方程的整点为(0, 12)和(3,8).此时 z 取最大值 1800 元. 6、解:解方程组可得 A(6, -3)、B(6, -1)、C(4, 2)设方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0,则:

?62 ? (?3)2 ? 6D ? 3E ? F ? 0 ? 2 ?6 ? (?1)2 ? 6D ? E ? F ? 0 ?42 ? 22 ? 4D ? 2E ? F ? 0 ? 21 解之得:D= ? ,E=4,F=30 2
所以所求的△ABC 的外接圆方程为: x2 ? y 2 ?

21 x ? 4 y ? 30 ? 0 2

7、分析:若直线 y=kx+b 与圆锥曲线 f(x,y)=0 相交于两点 P(x1,y1) 、Q(x2、y2) , 则弦 PQ 的长度的计算公式为 | PQ |? 1 ? k | x1 ? x2 |? 1 ?
2

1 | y1 ? y 2 | ,而 k2

| x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ,因此只要把直线 y=kx+b 的方程代入圆锥曲线 f(x,y)
=0 方程,消去 y(或 x) ,结合一元二次方程根与系数的关系即可求出弦长。 解:设 A(x0,0) 0>0) (x ,则直线 l 的方程为 y=x-x0,设直线 l 与椭圆相交于 P(x1,y1) , 2 2 Q(x2、y2) ,由 y=x-x0 可得 3x -4x0x+2x0 -12=0, x2+2y2=12

x1 ? x2 ?

2 x0 ? 12 4 x0 , x1 ? x 2 ? ,则 3 3
2

| x1 ? x 2 |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ?


16 x0 8 x ? 48 2 2 ? 0 ? 36 ? 2 x0 9 3 3
2 2

4 14 2 4 14 2 ? 2 ? ? 36 ? 2 x0 ? 1 ? x 2 ? | x1 ? x2 | ,即 3 3 3
8、解:圆方程 x2+y2-2y-8=0 即 x2+(y-1)2=9 的圆心 O' (0,1) ,半径 r=3。 设正方形的边长为 p,则 2 p ? 2r ,∴ p ? 3 2 ,又 O'是正方形 ABCD 的中心,∴O'

∴x02=4,又 x0>0,∴x0=2,∴A(2,0) 。

到直线 y=x+k 的距离应等于正方形边长 p 的一半即 或 k=4。 (1)设 AB:y=x-2 CD:y=x+4 由

3 2 , 由点到直线的距离公式可知 k=-2 2
D y

y=x-2 x2+y2-2y-8=0

x2 y2 得 A(3,1)B(0,-2) ,又点 A、B 在椭圆 2 ? 2 ? 1 上, a b 2 2 x y ? ? 1。 ∴a2=12,b2=4,椭圆的方程为 12 4

C O B

O'

A x

(2)设 AB:y=x+4,同理可得两交点的坐标分别为(0,4)(-3,1)代入椭圆方程得 ,

a2 ?

48 2 。 , b ? 16 ,此时 b2>a2(舍去) 5
x2 y2 ? ? 1。 12 4

综上所述,直线 l 方程为 y=x+4,椭圆方程为

9、分析:已知了椭圆的焦点及相应准线,常常需要运用椭 圆的第二定义: 椭圆上的点到焦点的距离与到相应准线的距离之 比等于离心率 e,而该题中短轴端点也是椭圆上的动点,因此只 要运用第二定义结合 a、b、c 的几何意义即可。 解:设 M(x,y) ,过 M 作 MA?l 于 A, | MO |?

l A

y M(x,y) O O' x

x ?y ,
2 2

x2 ? y2 ? e ,又过 M 作 MO ??x 轴于 O' , | MA |? x ? 2 ,∴ x?2
因为点 M 为短轴端点,则 O'必为椭圆中心,

x=-2

| ∴ | OO? |? x ? c , MO |? a ?

x2 ? y2 , e ? ∴

c ? a

x x2 ? y2

, ∴

x2 ? y2 x?2

x x2 ? y2

化简得 y2=2x,∴短轴端点的轨迹方程为 y2=2x(x≠0) 。 10、 若椭圆的焦点在 x 轴上, 解: 如图, ∵四边形 B1F1B2F2 是正方形, A1F1= 2 ? 1 , 且

?b ? c ? 由椭圆的几何意义可知, ?a ? 2b 解之得: a ? 2 , b ? 1 ,此时椭圆的方程为 ? ?a ? c ? 2 ? 1 2 x x2 2 ? y ? 1 , 同 理 焦 点 也 可 以 在 y 轴 上 , 综 上 所 述 , 椭 圆的 方 程 为 ? y2 ? 1 或 2 2 2 y ? x 2 ? 1。 2 ? y ? ? x ? 1, ? 11、解:(1)设 A、B 两点的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ).则由? x 2 得 y2 ? 2 ?1 ? 2 b ?a 2 2 2 2 2 2 2 ( a ? b ) x ? 2a x ? a ? a b ? 0 ,
根据韦达定理,得

2a 2 2b 2 x1 ? x 2 ? 2 , y1 ? y 2 ? ?( x1 ? x 2 ) ? 2 ? 2 , a ? b2 a ? b2 a2 b2 , 2 ∴线段 AB 的中点坐标为( 2 ). a ? b2 a ? b2
a2 2b 2 ? 2 ? 0,? a 2 ? 2b 2 ? 2(a 2 ? c 2 ) ? a 2 ? 2c 2 由已知得 2 2 2 a ?b a ?b
故椭圆的离心率为 e ?

( 2 ) 由 ( 1 ) 知 b ? c, 从 而 椭 圆 的 右 焦 点 坐 标 为 F (b,0), 设 F (b,0) 关 于 直 线

2 . 2

l : x ? 2 y ? 0 的对称点为 ( x0 , y 0 ), 则
解得

y0 ? 0 1 x ?b y ? ? ?1且 0 ? 2 ? 0 ? 0, x0 ? b 2 2 2

3 4 x0 ? b且y0 ? b 5 5 3 4 2 2 由已知得 x0 ? y 0 ? 4,? ( b) 2 ? ( b) 2 ? 4,? b 2 ? 4 5 5 2 2 x y 故所求的椭圆方程为 ? ?1 . 8 4
12、分析:根据椭圆的第二定义,即到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数 e

x2 y2 ? ? 1 上任一点 P(x1,y1)到左焦点 F1 的距 a 2 b2 y2 x2 离|PF1|=a+ex1,到右焦点 F2 的距离|PF2|=a-ex1;同理椭圆 2 ? 2 ? 1 上任一点 P(x1,y1) a b
(0<e<1)的点的轨迹是椭圆,椭圆 到两焦点的距离分别为 a+ey1 和 a-ey1,这两个结论我们称之为焦半径计算公式,它们在椭 圆中有着广泛的运用。 解:由椭圆方程 x ? 2 y ? 2 可知 a2=2,b2=1 则 c=1,∴离心率 e ?
2 2

2 ,由焦半径公式 2

可知, r1 ? r2 ? (a ? ex1 )( a ? ex1 ) ? a ? e x1 ? 2 ?
2 2 2

1 2 x1 。又直线 l 的方程为: 2 2 x y ? y1 ? ? 1 ( x ? x1 ) 即 x1x+2y1y-2=0,由点到直线的距离公式知, d ? , 2 2 2 y1 x1 ? 4 y1
2 x1 ? 4 y1
2 2

又点(x1,y1)在椭圆上,∴2y12=2=x12, ∴d ?

?
2

2 x1 ? 2( 2 ? x1 )
2 2

?

2 4 ? x1
2



∴ r1r2 ? d ?

4 ? x1 2 ? ? 2 为定值。 2 2 4 ? 4 x1

13、解: 以直线 l 为 x 轴,线段 AB 的中点为原点对立直角坐标系,则在 l 一侧必存在 经 A 到 P 和经 B 到 P 路程相等的点,设这样的点为 M,则 |MA|+|AP|=|MB|+|BP|, 即 |MA|-|MB|=|BP|-|AP|=50, ? | AB |? 50 7 ,
2 2 ∴M 在双曲线 x ? y ? 1 的右支上. 25 2 25 2 ? 6 故曲线右侧的土石层经道口 B 沿 BP 运往 P 处, 曲线左侧的土石层经道口 A 沿 AP 运往 P 处,按这种方法运土石最省工. 相关解析几何的实际应用性试题在高考中似乎还未涉及,其实在课本中还可找到典型的范 例,你知道吗?

14、分析: ?PF1 F2 的两个顶点为焦点,另一点是椭圆上的 动点, 因此 | PF1 | ? | PF2 |? 2a , 1F2|=2c, |F 所以我们应以 ?PF1 F2 为突破口,在该三角形中用正弦定理或余弦定理,结合椭圆的定 义即可证得。 证 明 :( 1 ) 在 ?PF1 F2 中 , 由 正 弦 定 理 可 知

y α F1 O

P β F2 x

| F1 F2 | | PF1 | | PF2 | ,则 ? ? s i?? ? (? ? ? )? s i ? n n s i? n | PF1 | ? | PF2 | 2c 2c 2a ∴ ? ? sin(? ? ? ) sin ? ? sin ? sin(? ? ? ) sin ? ? sin ? ??? ??? ??? 2 sin ? cos cos 2c sin(? ? ? ) 2 2 ? 2 ∴e ? ? ? ??? ??? ??? 2a sin ? ? sin ? 2 sin cos cos 2 2 2 (2)在 ?PF1 F2 中由余弦定理可知
(2c) 2 ?| PF1 |2 ? | PF2 |2 ?2 | PF1 | ? | PF2 | ? cos 2? ? (| PF1 | ? | PF2 |) 2 ? 2 | PF1 || PF2 | ? 2 | PF1 | ? | PF2 | ? cos 2? ? (2a ) 2 ? 2 | PF1 | ? | PF2 | ?(1 ? cos 2? )
∴ | PF1 | ? | PF2 |? ∴ S ?PF1F2 y

1 4a ? 4c 2b ? ? C 2 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 1 sin 2? ? | PF1 | ? | PF2 | ? sin 2? ? b 2 ? ? b 2 ? tan? 。 2 1 ? cos 2?
2 2 2

x
O B

A

15、解: (1)建立平面直角坐标系, 如图所示 . ∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB | = ∴动点 P 的轨迹是椭圆 . ∵a ?

2 2 ? 22 ? ( )2 ? 2 2 2 2
c ? 1.

2,

b ? 1,
2

x ? y2 ? 1 . 2 2 2 (2)设直线 L 的方程为 y ? kx ? 2 , 代入曲线 E 的方程 x ? 2 y ? 2 ,得
∴曲线 E 的方程是

(2k 2 ? 1) x 2 ? 8kx ? 6 ? 0 N ( x2 , y 2 ) , 则 设 M1( x1, y1 ),

? ?? ? (8k ) 2 ? 4(2k ? 1) ? 6 ? 0, ① ? 8k ? , ? x1 ? x 2 ? ? 2 2k ? 1 ② ? 6 ? ? x1 x 2 ? 2k 2 ? 1 . ③ ? | DM | 1 i) L 与 y 轴重合时, ? ? ? | DN | 3
ii) L 与 y 轴不重合时, 由①得

x DM x D ? x M 3 ? ? 1, . 又∵ ? ? DN xD ? xN x2 2 ∵ x2 ? x1 ? 0, 或 x2 ? x1 ? 0,

k2 ?

∴0< ? <1 , ∴ ∵

( x1 ? x 2 ) 2 x1 x 2 1 ? ? ?2??? ?2 . x1 ? x 2 x 2 x1 ?

( x ? x2 ) 2 x1 ? x 2
2

64 k 2 ? ? 6(2k 2 ? 1)
∴ 6 ? 3(2 ?

32 3(2 ? 1 ) k2

32 16 1 ? , ) ? 8. ∴ 4 ? 2 1 3 k 3(2 ? 2 ) k 1 16 1 10 ∴ 4??? ?2? , 2??? ? , ? 3 ? 3 ? ?0 ? ? ? 1, ? 1 1 ? ?1 ? ? ? ? ? 1. ∴ ? 的取值范围是 ? ,1? 。 ?? ? ? 2, ? 3 ?3 ? ? 1 10 ? ?? ? ? ? 3 , ?
而k ?

3 , 2

16、分析:本小题主要考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题 和解决问题的能力。 解: (I)由点 A(2,8)在抛物线 y ? 2 px 上,有 8 ? 2 p ? 2
2 2

解得 p ? 16

所以抛物线方程为 y ? 32 x ,焦点 F 的坐标为(8,0)
2

(II)如图,由 F(8,0)是 ?ABC 的重心,M 是 BC 的中点,所以 F 是线段 AM 的定比分 点,且

AF ?2 FM

设点 M 的坐标为 ( x0 ,y0 ) ,则

2 ? 2 x0 8 ? 2 y0 ? 8, ?0 1? 2 1? 2
(11, ? 4)

解 得 x0 ? 11,y0 ? ?4

所以点 M 的坐标为

y B A O F M x

C

(III)由于线段 BC 的中点 M 不在 x 轴上,所以 BC 所在的直线不垂直于 x 轴。 设 BC 所成直线的方程为

y ? 4 ? k ( x ? 11)( k ? 0)
ky 2 ? 32 y ? 32(11k ? 4) ? 0

由?

? y ? 4 ? k ( x ? 11) ? y ? 32 x
2

消x得

所以 y1 ? y 2 ?

32 k

由(II)的结论得

因此 BC 所在直线的方程为

y1 ? y2 解得 k ? ?4 ? ?4 2 即 4 x ? y ? 40 ? 0 。 y ? 4 ? ?4( x ? 11)


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高中数学解析几何解题方法

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高中数学解析几何解题方法

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高中数学解析几何解题方法

参系数等多种问题,因而成为高中数学综合 能力要求最高的内容之一(2)解析几何的计算量相对偏大(3)在大家的“拿可拿之分” 的理念下,大题的前三道成了兵家...


专题5:解析几何问题的题型与方法

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...高三数学提高复习——数学解析几何题型及方法

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高中数学解析几何解题方法

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