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小专题---解析中的斜率之积为定值


椭圆中的一类问题
(1)平面上一动点 P( x, y) 与两点 A(?2,0), B(2,0) 的连线的斜率之积是
? 3 x2 y 2 ,求点 P 的轨迹方程. ? ? 1( x ? ?2) 4 4 3

(2)椭圆 积是

x2 y 2 ? ? 1 上任一点 P 与两点 A(?2,0), B(2,0) 的连线的斜率之

4 3
k1k2 ? ? 3 4

你发现了什么? 大胆猜想、类比圆与双曲线 探究: (1)椭圆 率之积是 (2)椭圆

x2 y 2 b2 ? ? 1 ? k k ? ? 1 2 a 2 b2 a2

x2 y 2 ? ? 1 上任一点 P 与两点 A(?a,0), B(a,0) 的连线的斜 a 2 b2 ? b2 a2

x2 y 2 ? ? 1 上任一点 P 与椭圆上两定点 A( x0 , y0 ), B(? x0 , ? y0 ) 的 a 2 b2 ? b2 a2

连线的斜率之积是 (3) P

x2 y 2 是椭圆 2 ? 2 ? 1 上一点,直线 y ? 2 x 与椭圆相交于两点 A, B , a b ? b2 a2

则直线 PA, PB 的连线的斜率之积是 (4)椭圆

x2 y 2 ? ?( 1 a ? b ? 0) 上任一点 P 与两点 A(?a,0), B(a,0) 的连线 a 2 b2
3 4

的斜率之积是 ? ,则椭圆的离心率 (5)一椭圆上任一点 P 与椭圆上两定点 A( x0 , y0 ), B(?x0 , ? y0 ) 的连线的 斜率之积是 ? ,则椭圆的离心率
4 3

展示 1: 1 x2 y 2 已知直线 y= x 与椭圆 C: ? ? 1 交于 D,E 两点,过 D 点作斜 2 8 2 率为 k 的直线 l1.直线 l1 与椭圆 C 的另一个交点为 P,与直线 x=4 的交点为 Q,过 Q 点作直线 EP 的垂 线 l2.求证:直线 l2 恒过一定点.
Q y P E O D B A l2 x l1

x 2 y2 3 展示 2:已知椭圆 C: + =1 上一点 P(1, ),过点 P 的直线 l1 , l2 与 4 3 2 椭圆 C 分别交于点 A,B(不同于 P) , 3 且它们的斜率 k1,k2,满足 k1k2=- . 4 (1)求证:直线 AB 过定点; (2)求△PAB 面积的最大值.
l1 A O B l2 x y P


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