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二○○七年全国高中数学联赛江西省预赛试卷(2007.9.23,详细答案)


二○○七年全国高中数学联赛江西省预赛试卷
2007 年 9 月 23 日上午(8∶30-11∶00)
考生注意:1、本试卷共三大题(15 个小题) ,全卷满分 150 分. 2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答. 3、解题书写不要超出装订线. 4、不能使用计算器.

一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)
本题共有 6 小题,

每小题均给出 A,B,C,D 四个结论,其中有且仅有一个是正确的。请将正确 答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得 6 分;不选、选错或选出的代表字母超过一个 (不论是否写在括号内) ,一律得 0 分. 1、 a, b, c 为互不相等的正数, a ? c ? 2bc ,则下列关系中可能成立的是(
2 2

) .

A 、a ? b ? c;
2、设 (

B 、 b ? c ? a;

C 、b ? a ? c;

D 、a ? c ? b;

f ? x? ?
) .

1? x , 又 记 f1 ? x ? ? f ? x ? , fk ?1 ? x ? ? f ? f k ? x ?? , k ? 1,2, 1? x
x ?1 ; x ?1

, 则 f2007 ? x ? ?

A、

1? x ; 1? x

B、

C 、x;

D 、?

1 ; x

3、设 ? 为锐角, x ? 大小顺序为(

2sin ? cos ? sin ? ? cos ? ,则 x, y , z 的 , y ? sin ? ? cos ? , z ? sin ? ? cos ? sin ? ? cos ?
) .

A 、 x ? y ? z;

B 、 x ? z ? y;

C 、 z ? x ? y;

D 、 z ? y ? x;

4、用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的 A、B、C、D 四个小方格涂色(允许 只用其中几种) ,使邻区(有公共边的小格)不同色,则不同的涂色方式种 数为( ).
C D A B

A 、 24 ;

B 、 36 ;

C 、 72 ;

D 、 84 .
).

5、正四棱锥的一个对角截面与一个侧面的面积比为 6 : 2 ,则其侧面与底面的夹角为(

A、

? ; 3

B、

? ; 4

C、

? ; 6

D、

? . 12

6、正整数集合 Ak 的最小元素为 1 ,最大元素为 2007 ,并且各元素可以从小到大排成一个公差为

k 的等差数列,则并集 A17
A 、 119 B 、 120 ;

A59 中的元素个数为(
C 、 151 ;
D 、 154 .

) .

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)
本题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上.

x y x y ? 10 ? 1, 10 3 ? 10 ?1, 则x? y ? 3 3 2 ?5 2 ?6 3 ? 5 3 ? 63 MO 8、抛物线顶点为 O ,焦点为 F , M 是抛物线上的动点,则 的最大值为 MF
7、 若实数 x , y 满足:
10

. .

9、计算

1 3 ? ? 0 sin10 cos100

.

10、过直线 l : y ? x ? 9 上的一点 P 作一个长轴最短的椭圆,使其焦点为 F 1 ? ?3,0? , F 2 ? 3,0? , 则椭圆的方程为 . .

11、把一个长方体切割成 k 个四面体,则 k 的最小值是

12、将各位数码不大于 3 的全体正整数 m 按自小到大的顺序排成一个数列 ?an ? , 则 a2007 ? .

三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分)
13、数列 ?an ? 满足: a1 ?

nan 1 ;令 xk ? a1 ? a2 ? , an?1 ? 2 ? n ? 1?? nan ? 1?
;求

? ak ,

yk ?

1 1 ? ? a1 a2

?

1 , k ? 1, 2, ak

?x y
k ?1 k

n

k



14、 如图, ?ABC 的外心为 O , E 是 AC 的中点,直线 OE 交 AB 于 D ,点 M , N 分别是

?BCD 的外心与内心,若 AB ? 2 BC ,
证明: ?DMN 为直角三角形.
E

C

N M

A

D O

B

15、 若四位数 n ? abcd 的各位数码 a, b, c, d 中, 任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长, 则称 n 为四位三角形数,试求所有四位三角形数的个数.

二○○七年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答
2007 年 9 月 23 日上午(8∶30-11∶00)
考生注意:1、本试卷共三大题(15 个小题) ,全卷满分 150 分. 2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答. 3、解题书写不要超出装订线. 4、不能使用计算器.

一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)
本题共有 6 小题,每小题均给出 A,B,C,D 四个结论,其中有且仅有一个是正确的。 请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得 6 分; 不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在括号内) ,一律得 0 分. 1、 a, b, c 为互不相等的正数, a ? c ? 2bc ,则下列关系中可能成立的是(
2 2



A 、a ? b ? c;

B 、 b ? c ? a;

C 、b ? a ? c;

D 、a ? c ? b;

2 2 2 2 答案: C ;解:若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c ? 2bc ,不合条件,排除 A, D ,又由

a2 ? c2 ? 2c ?b ? c ? ,故 a ? c 与 b ? c 同号,排除 B ;且当 b ? a ? c 时, a 2 ? c2 ? 2bc 有可
能成立, 例如取 ? a, b, c ? ? ?3,5,1? ,故选 C . 2 、设 f ? x ? ? ( )

1? x ,又记 f1 ? x ? ? f ? x ? , fk ?1 ? x ? ? f ? f k ? x ?? , k ? 1,2, 1? x
x ?1 ; x ?1

, 则 f2007 ? x ? ?

A、

1? x ; 1? x

B、

C 、x;

D 、?

1 ; x

答案: B ;解: f1 ? x ? ?

1 ? f1 1? x 1 , f2 ? x ? ? ?? , 1? x 1 ? f1 x
n 4 ?

f3 ? x ? ?
f 4 n ?3 ? x ? ?

1? x 1 ? f3 1 ? f2 x ?1 , f ? , f4 ? x ? ? ? x , 据 此 , f 4 n ? 1? x ? ? 1? x 1 ? f2 x ? 1 1 ? f3

?2x ? ? ?

1 , x

x ?1 , f 4 n ? x ? ? x ,因 2007 为 4n ? 3 型,故选 B . x ?1
2sin ? cos ? sin ? ? cos ? , , y ? sin ? ? cos ? , z ? sin ? ? cos ? sin ? ? cos ?

3、设 ? 为锐角, x ?

则 x, y , z 的大小顺序为(



A 、 x ? y ? z;
答案: A ;解:

B 、 x ? z ? y;

C 、 z ? x ? y;

D 、 z ? y ? x;

x sin ? ? cos ? sin ? ? cos ? ? ? ? 1, y sin ? ? cos ? sin ? ? cos ?

z?

2sin ? cos ? 2sin ? cos ? ? ? sin ? cos ? ? sin ? ? cos ? ? y ,故 x ? y ? z . sin ? ? cos ? 2 sin ? cos ?

4、用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的 A、B、C、D 四个小方格涂色(允许只用其中几种) , 使邻区(有公共边的小格)不同色,则不同的涂色方式种数为( ).
A B

A 、 24 ;

B 、 36 ;

C 、 72 ;

D 、 84 .

2 2 答案:D ;解:选两色有 C4 种,一色选择对角有 2 种选法,共计 2C4 ? 12

C

D

种;
3 1 选三色有 C4 种,其中一色重复有 C3 种选法,该色选择对角有 2 种选法,另两色选位有 2 种,共

计 4 ? 3 ? 2 ? 2 ? 48 种;四色全用有 4! ? 24 种(因 A, B, C , D 为固定位置) ,合计 84 种. 5、正四棱锥的一个对角截面与一个侧面的面积比为 6 : 2 ,则 其侧面与底面的夹角为( ).

P
C、

A、

? ; 3

B、

? ; 4

? ; 6

D、

? . 12
D H A B
M

答案: A ;解:设底面正方形边长为 1 ,棱锥的高为 h ,侧面三角形

C

6 2h h 3 ? 的高为 l ,则 AC ? 2 , ,则 sin ?PMH ? ? , 2 l l 2
?PMH ?

?
3

.

6、正整数集合 Ak 的最小元素为 1 ,最大元素为 2007 ,并且各元素可以从小到大排成一个公 差为 k 的等差数列,则并集 A17

A59 中的元素个数为(
C 、 151 ;
D 、 154 .

) .

A 、 119

B 、 120 ;

0 0 7 1? ? nk , 答案:C ; 解: 用 Ak 表示集 Ak 的元素个数, 设 Ak ? n ? 1 , 由2 得n ?
于是 A17 ?

2006 , k

2006 2006 ? 1 ? 119 , A59 ? ? 1 ? 35 , A17 17 59

A59 ? A1003 ?

2006 ? 1 ? 3 ;从而 17 ? 59

A17

A59 ? A17 ? A59 ? A1003 ? 119 ? 35 ? 3 ? 151 .

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)
本题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上.

x y x y ? 10 ? 1, 10 3 ? 10 ?1, 则x? y ? . 3 3 2 ?5 2 ?6 3 ? 5 3 ? 63 x y 10 10 3 3 ? ? 1 的两个根, 答案: 2 ? 3 ? 5 ? 6 ; 解:据条件, 210 ,310 是关于 t 的方程 3 t ? 5 t ? 63
7、 若实数 x , y 满足:
10
2 3 3 即 t ? x? y ?5 ?6 t ?

?

?

? 0 的 两 个 根 , 所 以 210 ? 310 ? x ? y ? 53 ? 63 ;

x ? y ? 210 ? 310 ? 53 ? 63 .
8、抛物线顶点为 O ,焦点为 F , M 是抛物线上的动点,则

MO 的最大值为 MF



答案:

2 3 ?p ? ;解:设抛物线方程为 y 2 ? 2 px ,则顶点及焦点坐标为 O ? 0,0 ? , F ? ,0 ? ,若设点 3 ?2 ?

M 坐标为 M ? x, y ? ,则

x 2 ? 2 px x 2 ? 2 px 4 x2 ? y 2 x 2 ? 2 px ? MO ? ? ? ? , ? ? ? ? 2 2 3 2 1 3 2 2 px 3 p ? MF ? ? p? 2 2 x ? px ? ? x 2 ? p 2 ? x ? px ? x ? px ? x ? ? y ? ? 4 4 4 4 4 2? ?


2

MO 2 3 ? . (当 M ? x, y ? ? p, MF 3 1 3 ? ? 0 sin10 cos100

?

2 ? p 或 M ? x, y ? ? p, ? 2 ? p 时取等号)

?

?

?

9、计算

.

?1 ? 3 2 ? cos100 ? sin100 ? 2sin ? 300 ? 100 ? 2 2 1 3 ? ? 答案: 4 . 解: ? ? ? ?4. 1 sin100 cos100 sin100 cos100 0 sin 20 2
10、 过直线 l : y ? x ? 9 上的一点 P 作一个长轴最短的椭圆, 使 其 焦 点 为 F 1 ? ?3,0? , F 2 ? 3,0? , 则 椭 圆 的 方 程 为 .
F1 O F2 x Q P y

答案:

x2 y 2 ? ? 1 ; 解 :设 直线 l 上 的 点 为 P ?t, t ? 9? , 取 F ? 关 于 直线 l 的 对 称 点 1 ? ?3, 0 45 36

Q ? ?9, 6? ,据椭圆定义, 2a ? PF1 ? PF2 ? PQ ? PF2 ? QF2 ? 122 ? 62 ? 6 5 ,当且仅当
Q, P, F2 共线,即 KPF2 ? KQF2 ,也即
t ?9 6 ? 时,上述不等式取等号,此时 t ? ?5 , t ? 3 ?12

点 P 坐标为 P ? ?5, 4? ,据 c ? 3, a ? 3 5 得, a2 ? 45, b2 ? 36 ,椭圆的方程为 11、把一个长方体切割成 k 个四面体,则 k 的最小值是 .

x2 y 2 ? ?1. 45 36

答案: 5 ;解:据等价性,只须考虑单位正方体的切割情况,先说明 4 个不够,若为 4 个,因四 面体的面皆为三角形,且互不平行,则正方体的上底至少要切割成两个 三角形,下底也至少要切割成两个三角形,每个三角形的面积 ?

1 ,且 2
A1

D1

C1

这四个三角形要属于四个不同的四面体,以这种三角形为底的四面体,

D

B1 C

?1 1 ? 2 其高 ? 1 ,故四个不同的四面体的体积之和 ? 4 ? ? ? ?1? ? ? 1 ,不 ?3 2 ? 3
合;

A

B

所以 k ? 5 ,另一方面,可将单位正方体切割成 5 个四面体; 例如从正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1中 间挖出一个四面体 A1BC1D ,剩下四个角上的四面体,合计 5 个四面体. 12 、 将 各 位 数 码 不 大 于 3 的 全 体 正 整 数 m 按 自 小 到 大 的 顺 序 排 成 一 个 数 列 ?an ? , 则

a2007 ?



答案:133113 ; 解:简称这种数为“好数” ,则一位好数有 3 个;两位好数有 3 ? 4 ? 12 个;三
2 k ?1 位 好 数 有 3 ? 4 ? 48 个 ; ? , k 位 好 数 有 3 ? 4 个 ; k ? 1, 2,

, 记 Sn ? 3

?4
k ?1

n

k ?1

,因

S5 ? 2007 ? S6 , 2007 ? S5 ? 984 ,即第 2007 个好数为第 984 个六位好数;而六位好数中,首
位为 1 的共有 4 ? 1024 个,前两位为 10,11,12,13 的各有 4 ? 256 个,因此第 2007 个好数的前
5 4

两位数为 13 , 且是前两位数为 13 的第 984 ? 3 ? 256 ? 216 个数; 而前三位为 130,131,132,133 的 各 64 个,则 a2007 的前三位为 133 ,且是前三位数为 133 的第 216 ? 3 ? 64 ? 24 个数;

而前四位为 1330,1331,1332,1333 的各 16 个, 则 a2007 的前四位为 1331 , 且是前四位数为 1331 的 第 24 ? 16 ? 8 个数;则 a2007 的前五位为 13311 ,且是前五位数为 13311 的第 8 ? 4 ? 4 个数,则

a2007 ? 133113 .

三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分)
13、数列 ?an ? 满足: a1 ?

nan 1 ;令 xk ? a1 ? a2 ? , an?1 ? 2 ? n ? 1?? nan ? 1?
;求

? ak ,

yk ?

1 1 ? ? a1 a2

?

1 , k ? 1, 2, ak

?x y
k ?1 k

n

k

解:改写条件式为

1 1 ? ? 1 ,则 ? n ? 1? an?1 nan
? 1 1? 1 ?? ? ?? ? 2a2 a1 ? a1

? 1 ? ? ? 1 1 1 1 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n ? 1? a ?? nan ? na n ? 1 a n ? 2 a ? ? ? ? n n ? 1 n ? 1 n ? 2 ? ? ? ?

? ? n ?1? ? 2 ? n ?1 ,
所以 an ?
k
k k 1 1 k ?1 1 ? , xk ? ? ai ? ? ? ? ; ? ? ? 1? i ?1 ? k ?1 k ?1 n ? n ? 1? i ?1 i ?1 ? i

yk ? ?
i ?1
n

k k k k ? k ? 1?? 2k ? 1? k ? k ? 1? k ? k ? 1?? k ? 2 ? 1 ? ? ; ? ? i ? i ? 1? ? ? i 2 ? ? i ? 6 2 3 ai i ?1 i ?1 i ?1
2

1 n 2 1 ? n ? n ? 1? ? 2 n ? n ? 1?? 2n ? 1? x y ? k ? k ? 2? ? ? ? ? ? ? ? k k 3 k ?1 3? 2 6 k ?1 ? 3

?

n ? n ? 1? ? 3n2 ? 11n ? 4 ? 36



C

14、 如图, ?ABC 的外心为 O , E 是 AC 的 中 点 , 直 线 OE 交 AB 于 D , 点 M , N 分 别 是
E N M A D O B

?BCD 的外心与内心,若 AB ? 2 BC ,
证明: ?DMN 为直角三角形.

证:由于点 O, M 皆在 BC 的中垂线上,设直线 OM 交 BC 于 P ,交 M 于 F ,则 P 是
BC 的中点, F 是 BC 的中点; 因 N 是 ?BCD 的内心,故 D, N , F 共线,且 FP ? BC .

又 OE 是 AC 的中垂线, 则 DC ? DA , 而
DF , OE 为 ?BDC 的内、外角平分线,故
C F

有 OD ? DF ,则 OF 为 M 的直径,所 以, OM ? MF ,又因
?BNF ? 1 1 ?BDC ? ?DBC ? ?NBF , 2 2
A

E

N M D O H

P B

则 NF ? BF . 作 NH ? BD 于 H ,则有,
1 ? BD ? DC ? BC ? 2 1 1 1 1 ? ? BD ? DA ? BC ? ? ? AB ? BC ? ? BC ? BP , D H ? ? B D C ?? F B P 且 ?N 2 2 2 2 DH ?
MN ∥ OD ,而 OD ? DN ,则 MN ? DN .故 ?DMN 为直角三角形.

, 所以,

Rt ?NDH ? Rt ?FBP ,故得 DN ? BF ? NF ,因此, MN 是 ?FOD 的中位线,从而

? b 证 二 : 记 BC ? a, CD ? b, BD ? c , 因 DE 是 AC 的 中 垂 线 , 则 A D ? C D ,由条件

b ? c ? 2a
延长 DN 交

1 ○

B ? F C ? F N e ? M 于F , 并记 FN ? e, DN ? x , 则F

, 对圆内接四边形 BDCF

用托勒密定理得 FC ? BD ? FB ? CD ? BC ? DF ,即 ec ?eb ? a x e ??

?

2 ,由○ 1 、○ 2 得 ○

2ae ? a ? x ? e? ,所以 x ? e ,
即 N 是弦 DF 的中点,而 M 为外心,所以 MN ? DF ,故 ?DMN 为直角三角形. 15、 若四位数 n ? abcd 的各位数码 a, b, c, d 中, 任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长, 则称 n 为四位三角形数,试求所有四位三角形数的个数. 解:称 ? a, b, c, d ? 为 n 的数码组,则 a, b, c, d ? M ? ?1,2, 一、当数码组只含一个值,为 ? a, a, a, a ? , a ? 1,2, 二、当数码组恰含二个值 a , b , ? a ? b ? .

,9? ;

,9 ,共得 9 个 n 值;

?1? 、数码组为 ? a, a, a, b? 型,则任取三个数码皆可构成三角形,对于每个
a ??2, ,9? , b 可取 a ? 1 个值,则数码组个数为 ? ? a ? 1? ? 36 ,对于每组 ? a, a, a, b ? ,
a ?2 9

b 有 4 种占位方式,于是这种 n 有 36 ? 4 ? 144 个.

? 2 ? 、数码组为 ? a, b, b, b? 型, ? a ? b ? ,据构成三角形条件,有 b ? a ? 2b ,
b 的取值
1 2 3 4 5 6 7 8 9

?b, 2b?

M 中 a 的个数

0

1

2

3

4

3

2

1

0

共得 16 个数码组,对于每组 ? a, b, b, b ? , a 有 4 种占位方式,于是这种 n 有 16 ? 4 ? 64 个.

? 3? 、数码组为 ? a, a, b, b? 型, ? a ? b ? ,据构成三角形条件,有 b ? a ? 2b ,同上得16 个数
2 码组,对于每组 ? a, a, b, b ? ,两个 a 有 C4 ? 6 种占位方式,于是这种 n 有 16 ? 6 ? 96 个.

以上共计 144 ? 64 ? 96 ? 304 个. 三、当数码组恰含三个值 a, b, c , ? a ? b ? c ? .

?1? 、数码组为 ? a, b, c, c ? 型,据构成三角形条件,则有 c ? b ? a ? 2c ,这种 ? a, b, c, c ? 有14
2 组,每组中 a , b 有 A4 ? 12 种占位方式,于是这种 n 有 14 ?12 ? 168 个.

? 2 ? 、数码组为 ? a, b, b, c ? 型,c ? b ? a ? b ? c ,此条件等价于 M ? ?1, 2,

,9? 中取三个不

2 同的数构成三角形的方法数,有 34 组,每组中 a , b 有 A4 ? 12 种占位方式,于是这种 n 有

34 ?12 ? 408 个.

? 3? 、数码组为 ? a, a, b, c ? 型, c ? b ? a ? b ? c ,同情况 ? 2 ? ,有 34 A42 ? 408 个 n 值.
以上共计 168 ? 408 ? 408 ? 984 个 n 值. 四、 a, b, c, d 互不相同,则有 d ? c ? b ? a ? c ? d ,这种 a, b, c, d 有 16 组,每组有 4! 个排 法,共得 16 ? 4! ? 384 个 n 值. 综上,全部四位三角形数 n 的个数为 9 ? 304 ? 984 ? 384 ? 1681 个.


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