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等比数列及应用


2014 届高三实验班一轮教学案

编写、校对:陈维栋

等比数列及应用
一、聚焦核心: 1.设数列{ an }前 n 项和为 Sn,a1=t,a2=t2,Sn+2-(t+1)Sn+1+tSn=0,则{an}是________ 数列,通项 an=________. 2.已知正数数列{an}对任意 p,q∈N*都有 ap+q=ap·

aq,若 a2=4,则 a9=________. 3.数列{an}为正项等比数列,若 a2=2,且 an+an+1=6an-1(n∈N,n≥2),则此数列的前 4 项和 S4=________. 1 4.已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn=t· 5n-2-5,则实数 t 的值为________. 5.已知各项都为正数的等比数列{an}中,a2· a4=4,a1+a2+a3=14, 1 an+1· an+2>9的最大正整数 n 的值为________. 则满足 an· 2 ?an+2? * ? 6.设 a1=2,an+1=an+1,bn=? ?an-1?-1,n∈N ,则 b2 011=________. 7.已知正数数列{an}对任意 p,q∈N*,都有 ap+q=ap· aq,若 a2=4,则 an=________. 8.数列{an}为正项等比数列,若 a2=1,且 an+an+1=6an-1(n∈N,n≥2),则此数列的前 n 项和 Sn=________. 二、典例分析: 1 例 1.设数列{an}的首项 a1=a≠4,且 an+1 n=1,2,3,?. (1)求 a2,a3; (2)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论. 1

?2a ,n为偶数; =? 1 ?a +4,n为奇数.
n n

1 记 bn=a2n-1-4,

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n

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*

例 2.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=a,an+1=Sn+3 ,n∈N ,且 a≠3. (1)设 bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式;(2)求数列{an}的通项公式.

a4=65,a1+a5=18. 例 3.已知公差大于零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a2· (1)求数列{an}的通项公式 an. 求 i 的值; (3)是否存在常数 k, 使得数列{ Sn+kn}为等差数列?若存在, 求出常数 k; 若不存在, 请说明理由. (2)若 1<i<21,a1,ai,a21 是某等比数列的连续三项,

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三、课堂反馈 5 1.已知{an}为等比数列,Sn 是它的前 n 项和.若 a2· a3=2a1,且 a4 与 2a7 的等差中项为4, 则 S5=________. 2.设 1=a1≤a2≤?≤a7,其中 a1,a3,a5,a7 成公比为 q 的等比数列,a2,a4,a6 成公差 为 1 的等差数列,则 q 的最小值为________. 3.在等比数列{an}中,若 a9+a10=a(a≠0),a19+a20=b,则 a99+a100=________. 4.已知数列{xn}满足 lg xn+1=1+lg xn(n∈N*),且 x1+x2+x3+?+x100=1, 则 lg(x101+x102 +?+x200)=____. 5.已知数列{an}满足 3an+1+an=4(n∈N*)且 a1=9,其前 n 项和为 Sn,则满足不等式|Sn- 1 n-6|<125的最小正整数 n 是________. 6.已知{an}是公差不为 0 的等差数列,{bn}是等比数列,其中 a1=2,b1=1,a2=b2,2a4 =b3,且存在常数 α,β,使得 an=logαbn+β 对每一个正整数 n 时成立,则 α =________. 7.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=4an+2. (1)设 bn=an+1-2an,证明:数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式.
β

8.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn=2an+(-1)n,n≥1. 2 ? ? n? (1)写出数列{an}的前三项 a1, a2, a3; (2)求证数列? 并求出{an} ?an+3×?-1? ?为等比数列, 的通项公式.

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S2n 9.设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,若 Sn (n∈N*)是非零常数,则称该数列为“和等比数列”. (1)若数列{ 2 bn }是首项为 2,公比为 4 的等比数列,试判断数列{bn}是否为“和等比数 列”; (2)若数列{cn}是首项为 c1,公差为 d(d≠0)的等差数列,且数列{cn}是“和等比数列”, 试探究 d 与 c1 之间的关系.

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2 1.设数列{an }前 n 项和为 Sn,a1=t,a2=t2,Sn+2-(t+1)Sn+1+tSn=0,则{an}是________

数列,通项 an=________. 解析 由 Sn+2-(t+1)Sn+1+tSn=0,得 Sn+2-Sn+1=t(Sn+1-Sn),所以 an+2=tan+1, an+2 a2 - 所以 =t,又 =t,所以{an}成等比数列,且 an=t· tn 1=tn. a1 an+1 2.已知正数数列{an}对任意 p,q∈N*都有 ap+q=ap· aq,若 a2=4,则 a9=________. 解析 令 p=n,q=1,得 an+1=an· a1,又 an>0,所以{an}是公比为 a1 的等比数列,所以
n 9 an=an 1.又 a2=4,所以 an=2 ,a9=2 =512.

3.数列{an}为正项等比数列,若 a2=2,且 an+an+1=6an-1(n∈N,n≥2),则此数列的前 4 项和 S4=________. 解析 由 a1q=2,a1qn 1+a1qn=6a1qn 2,得 qn 1+qn=6qn 2,所以 q2+q=6.又 q>0,所
- - - -

以 q=2,a1=1. a1?1-q4? 1-24 所以 S4= = =15. 1-q 1-2 1 - 4.已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn=t· 5n 2- ,则实数 t 的值为________. 5 解析 4 ?2 1 1 4 ∵a1=S1= t- ,a2=S2-S1= t,a3=S3-S2=4t,∴由{an}是等比数列知? ?5t? = 5 5 5

?1t-1?×4t,显然 t≠0,所以 t=5. ?5 5?
5.已知各项都为正数的等比数列{an}中,a2· a4=4,a1+a2+a3=14,则满足 an· an+1· an+2 1 > 的最大正整数 n 的值为________. 9 解析 由等比数列的性质,得 4=a2· a4=a2 3(a3>0),所以 a3=2,所以 a1+a2=14-a3=12, a =8, 2 ? ? 1 ?a1q =2, ?1?n-1=?1?n-4. 于是由? 解得? 1 所以 an=8· ?2? ?2? ?a1(1+q)=12, ? ?q=2,

?1?3(n-3)=?1?n-3>1,得 n-3≤1,即 n≤4. 于是由 an· an+1· an+2=a3 n+1= 2 ? ? ?8? 9
2 ?an+2?-1,n∈N*,则 b =________. 6.设 a1=2,an+1= ,bn=? ? 2 011 an+1 ?an-1?
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解析 由题意得 b1=?

?a1+2?-1=3, ? ?a1-1?

?an+1+2?-1=2?an+2?-1=2(b +1)-1=2b +1,∴b +1=2(b +1), bn-1=? ? ?a -1? n n n+1 n ?an+1-1? ? n ?
故 bn+1+1 + =2,故数列{bn+1}是以 4 为首项,2 为公比的等比数列.∴bn+1=2n 1,∴bn bn+1


=2n 1-1. 7.(1)已知正数数列{an}对任意 p,q∈N*,都有 ap+q=ap· aq,若 a2=4,则 an=________. (2)数列{an}为正项等比数列,若 a2=1,且 an+an+1=6an-1(n∈N,n≥2),则此数列的前 n 项和 Sn=________. [解析] (1)由 ap+q=ap· aq,a2=4,可得 a2=a2 a1,即 1=4?a1=2,所以 ap+1=ap· =2,即数列{an}为等比数列,所以 an=a1· qn 1=2· 2n 1=2n.
- -

ap+1 =a1 ap

(2)设等比数列的公比为 q,由 an+an+1=6an-1 知,当 n=2 时,a2+a3=6a1.再由 a2=1,得 1 ?1-2n? 2 6 1 2 1+q= , 化简得 q +q-6=0, 解得 q=-3 或 q=2.∵q>0, ∴q=2, ∴a1= , ∴Sn= q 2 1-2 1 - =2n 1- . 2 这两题分别是由“ap+q=ap· aq”和“an+an+1=6an-1”推出其他条件来确定基本量, 不过第(1)小题中首先要确定该数列的特征, 而第(2)小题已经明确是等比数列, 代入公式列 方程求解即可.

1 8.设数列{an}的首项 a1=a≠ ,且 an+1 4

?2a ,n为偶数; =? 1 ?a +4,n为奇数.
n n

1

1 记 bn=a2n-1- ,n=1,2,3,?.(1)求 a2,a3;(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你 4 的结论. 解 1 1 1 1 1 (1)a2=a1+ =a+ ,a3= a2= a+ . 4 4 2 2 8

1 1 1 3 1 1 3 1 1 1 a- ? , (2)因为 a4=a3+ = a+ , 所以 a5= a4= a+ , 所以 b1=a1- ≠0, b2=a3- = ? 4 2 8 2 4 16 4 4 2? 4? 1 1 1 1 a- ?.猜想{bn}是公比为 的等比数列. b3=a5- = ? 4 4? 4? 2
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1 1 1 1 1 1 1 1 1 a - + ?- = ?a - - ?= b (n∈N*),所 证明如下:因为 bn+1=a2n+1- = a2n- = ? 4 2 4 2? 2n 1 4? 4 2? 2n 1 4? 2 n 1 1 以{bn}是首项为 a- ,公比为 的等比数列. 4 2 9.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=a,an+1=Sn+3n,n∈N*,且 a≠3. (1)设 bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式;(2)求数列{an}的通项公式. 解 (1)依题意,Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,即 Sn+1=2Sn+3n,由此得 Sn+1-3n 1=2(Sn-3n).


因此{bn}以 a-3 为首项,2 为公比的等比数列.因此,所求通项公式为 bn=(a-3)2n 1,n∈N*.


(2)由(1)知 Sn=3n+(a-3)2n 1,n∈N*,于是,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1


=3n+(a-3)×2n 1-3n 1-(a-3)×2n 2=2×3n 1+(a-3)2n 2.
- - - - -

? ?a,n=1, 又 a1=S1=a,所以 an=? n-1 n-2 ?2×3 +?a-3?2 ,n≥2. ?

10.已知公差大于零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a2· a4=65,a1+a5=18. (1)求数列{an}的通项公式 an.(2)若 1<i<21,a1,ai,a21 是某等比数列的连续三项,求 i 的 值; (3)是否存在常数 k,使得数列{ Sn+kn}为等差数列?若存在,求出常数 k;若不存在,请 说明理由. 解 根.
?a1+d=5, ? 又公差 d>0,所以 a2<a4.所以 a2=5,a4=13.所以? 解得 a1=1,d=4. ? ?a1+3d=13,

(1)因为 a1+a5=a2+a4=18,又 a2· a4=65,所以 a2,a4 是方程 x2-18x+65=0 的两个

所以 an=4n-3. (2)由 1<i<21,a1,ai,a21 是某等比数列的连续三项,所以 a1· a21=a2 81=(4i-3)2, i ,即 1· 解得 i=3. n?n-1? (3)由(1)知,Sn=n· 1+ · 4=2n2-n.假设存在常数 k,使数列{ Sn+kn}为等差数列, 2 由等差数列通项公式,可设 Sn+kn=an+b,得 2n2+(k-1)n=an2+2abn+b 恒成立,可 得 a=2,b=0,k=1.所以存在 k=1 使得{ Sn+kn}为等差数列. (二) 5 1.已知{an}为等比数列,Sn 是它的前 n 项和.若 a2· a3=2a1,且 a4 与 2a7 的等差中项为 , 4
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则 S5=________. 解析 设数列{an}的公比为 q,则由等比数列的性质知,a2· a3=a1· a4=2a1,即 a4=2. 5 5 由 a4 与 2a7 的等差中项为 知,a4+2a7=2× , 4 4 5 1 1 a 1 1 1 2× -a4? = .∴ q3= 7= ,即 q= . ∴ a4= a1q3= a1× = 2,∴ a1= 16,∴ S5= ∴ a7= ? ? 4 2? 4 a4 8 2 8 1? 16? ?1-25? =31. 1 1- 2 2.设 1=a1≤a2≤?≤a7,其中 a1,a3,a5,a7 成公比为 q 的等比数列,a2,a4,a6 成公差 为 1 的等差数列,则 q 的最小值为________. 解析 由题意知 a3=q,a5=q2,a7=q3 且 q≥1,a4=a2+1,a6=a2+2 且 a2≥1,那么有 q2≥2 且 q3≥3. 3 3 故 q≥ 3,即 q 的最小值为 3. 3.在等比数列{an}中,若 a9+a10=a(a≠0),a19+a20=b,则 a99+a100=________. 解析 因为{an}是等比数列,所以 a9+a10,a19+a20,?,a99+a100 成等比数列,从而得 b9 a99+a100= 8. a 4.已知数列{xn}满足 lg xn+1=1+lg xn(n∈N*),且 x1+x2+x3+?+x100=1, 则 lg(x101+x102 +?+x200)=________. xn+1 解析 由 lg xn+1=1+lg xn(n∈N*)得 lg xn+1-lg xn=1,∴ =10, ∴数列{xn}是公比为 10 xn 的等比数列, ∴xn+100=xn· 10100, ∴x101+x102+?+x200=10100(x1+x2+x3+?+x100)=10100, ∴lg(x101+x102+?+x200)=lg 10100=100. 5.已知数列{an}满足 3an+1+an=4(n∈N*)且 a1=9,其前 n 项和为 Sn,则满足不等式|Sn- n-6|< 1 的最小正整数 n 是________. 125

解析 由 3an+1+an=4 得, 1 1 an+1-1=- (an-1)(运用构造数列法),∴{an-1}是以 a1-1=8 为首项,以- 为公比的 3 3 等比数列,

?-1?n-1,所以 an=8×?-1?n-1+1. 所以 an-1=8· ? 3? ? 3?
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1 - ?n 1-? 3 ? ? 1 1 1 1?n ? ? ? ?2 ? ?n-1? 所以 Sn=8? +n=6-? ?1+?-3?+?-3? +?+?-3? ?+n=8× ?-3? ×6+n, 1 1+ 3

?-1?n×6?=?1?n×6< 1 , 所以|Sn-n-6|=? 即 3n>750.将 n=5,6,7 代入验证符合题意的最 ?? 3? ? ?3? 125
小正整数 n=7. 6.已知{an}是公差不为 0 的等差数列,{bn}是等比数列,其中 a1=2,b1=1,a2=b2,2a4 =b3,且存在常数 α,β,使得 an=logαbn+β 对每一个正整数 n 时成立,则 αβ=________.
? ? ?a2=b2, ?2+d=q, - 解析 由题意,可设 an=2+(n-1)d,bn=qn 1,于是由? 得? 解 2 ?2a4=b3, ?2?2+3d?=q , ? ? ?d=2?d≠0?, ? - 得? 所以 an=2n,q=22n 2,代入 an=logαbn+β,得 2n=(2n-2)logα2+β, ? q = 4 , ? ? ? ?logα2=1, ?α=2, 即 2n(1-logα2)=β-2logα2,所以? 解得? 故 αβ=22=4. ?β-2logα2=0, ?β=2. ? ?

7.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=4an+2. (1)设 bn=an+1-2an,证明:数列{bn}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式. (1)证明 由已知有 a1+a2=4a1+2,解得 a2=3a1+2=5,故 b1=a2-2a1=3.又 an+2=Sn+2 -Sn+1 =4an+1+2-(4an+2)=4an+1-4an,于是 an+2-2an+1=2(an+1-2an),即 bn+1=2bn. 因此数列{bn}是首项为 3,公比为 2 的等比数列. an+1 an - (2)解 由(1)知等比数列{bn}中 b1=3,公比 q=2,所以 an+1-2an=3×2n 1,于是 n+1- n 2 2 3 = , 4
?an? 1 3 因此数列?2n?是首项为 ,公差为 的等差数列, 2 4 ? ?

an 1 3 3 1 - = +(n-1)× = n- ,所以 an=(3n-1)· 2n 2. 2n 2 4 4 4 8.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn=2an+(-1)n,n≥1. 2 ? n? (1)写出数列{an}的前三项 a1,a2,a3;(2)求证数列?an+3×?-1? ?为等比数列,并求出{an}
? ?

的通项公式. [解] (1)在 Sn=2an+(-1)n,n≥1 中分别令 n=1,2,3 得
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a1=2a1-1, ? ? ?a1+a2=2a2+1, ? ?a1+a2+a3=2a3-1,

a1=1, ? ? 解得?a2=0, ? ?a3=2.


(2)由 Sn=2an+(-1)n,n≥1,得 Sn-1=2an-1+(-1)n 1,n≥2. 两式相减得 an=2an+(-1)n-2an-1-(-1)n 1,n≥2.


4 2 4 2 - 即 an=2an-1-2(-1)n, n≥2.an=2an-1- ×(-1)n- ×(-1)n=2an-1+ ×(-1)n 1- ×(- 3 3 3 3 1)n, 2 2 - an+ ×(-1)n=2(an-1+ ×(-1)n 1)(n≥2), 3 3 2 ? 2 1 2 1 n? 故数列?an+3×?-1? ?是以 a1- = 为首项,2 为公比的等比数列.所以 an+ ×(-1)n= 3 3 3 3 ? ? ×2n 1,


1 2 - 即 an= ×2n 1- ×(-1)n. 3 3 S2n 9.设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,若 (n∈N*)是非零常数,则称该数列为“和等比数列”. Sn (1)若数列{ 2 n }是首项为 2, 公比为 4 的等比数列, 试判断数列{bn}是否为“和等比数列”; (2)若数列{cn}是首项为 c1,公差为 d(d≠0)的等差数列,且数列{cn}是“和等比数列”,试 探究 d 与 c1 之间的关系. 解 (1)因为数列{ 2 n }是首项为 2,公比为 4 的等比数列,所以 2 n =2· 4n 1=22n 1,因此,
- -

b

b

b

T2n bn=2n-1,设数列{bn}前 n 项和为 Tn,则 Tn=n2,T2n=4n2,所以 =4.因此数列{bn}是 Tn “和等比数列”. n?n-1? R2n (2)设数列{cn}的前 n 项和为 Rn, 且 =k(k≠0), 则由{cn}是等差数列, 得 Rn=nc1+ Rn 2 2n?2n-1? 2nc1+ d 2 2n?2n-1? R 2n d,R2n=2nc1+ d,所以 = =k.,对于 n∈N*都成立,化简得 2 Rn n?n-1? nc1+ d 2
??k-4?d=0, ? (k-4)dn+(k-2)(2c1-d)=0,则有? 因为 d≠0,所以 k=4,d=2c1.因 ??k-2??2c1-d?=0. ?

此,d 与 c1 之间的等量关系为 d=2c1.

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