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海南省文昌中学2014-2015学年高二(下)期中数学试卷(文科) Word版含解析


海南省文昌中学 2014-2015 学年高二(下)期中数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,下列每小题有且只有一个正确答案, 请把正确答案的代号,涂在答题卡上) 1. (2015?丰台区二模)“a=0”是“复数 z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数”的( ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也

不必要条件 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:常规题型. 分析:由于复数 z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数,故 a=0 且 b≠0,即“a=0”是“复数 z=a+bi(a,b∈R) 为纯虚数”的必要不充分条件. 解答: 解: 依题意, 复数 z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数, ?a=0 且 b≠0, ∴“a=0”是“复数 z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数”的必要不充分条件, 故选 B. 点评:本题主要考查复数的基本概念,以及必要条件、充分条件的判断,是一道比较基础的 题目. 2. (2013?湖北)四名同学根据各自的样本数据研究变量 x,y 之间的相关关系,并求得回 归直线方程,分别得到以下四个结论: ①y 与 x 负相关且 =2.347x﹣6.423; ②y 与 x 负相关且 =﹣3.476x+5.648; ③y 与 x 正相关且 =5.437x+8.493; ④y 与 x 正相关且 =﹣4.326x﹣4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( A. ①② ①④ ) B.②③ C. ③④ D.

考点:线性回归方程. 专题:规律型. 分析:由题意,可根据回归方程的一次项系数的正负与正相关或负相关的对应对四个结论作 出判断,得出一定不正确的结论来,从而选出正确选项. 解答: 解:①y 与 x 负相关且 =2.347x﹣6.423;此结论误,由线性回归方程知,此两变量 的关系是正相关; ②y 与 x 负相关且 ;此结论正确,线性回归方程符合负相关的特征;

③y 与 x 正相关且 ④y 与 x 正相关且



此结论正确,线性回归方程符合正相关的特征; .此结论不正确,线性回归方程符合负相关的特征.

综上判断知,①④是一定不正确的 故选 D 点评:本题考查线性回归方程,正确理解一次项系数的符号与正相关还是负相关的对应是解 题的关键,本题是记忆性的基础知识考查题,较易 3. (2015 春?文昌校级期中)二维空间中圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积) S=πr , 观察发现 S′=l; 三维空间中球的二维测度 (表面积) S=4πr , 三维测度 (体积) V= πr , 观察发现 V′=S.则由四维空间中“超球”的三维测度 V=8πr ,猜想其四维测度 W=( ) 4 2 4 4 A. 4πr B.4πr C. 2πr D. πr 考点:类比推理. 专题:综合题;推理和证明. 分析:根据所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是底一维的测度,从而得到 W′=V,从而求出所求. 2 解答: 解:∵二维空间中圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr ,观察发现 S′=l 三维空间中球的二维测度(表面积)S=4πr ,三维测度(体积)V= πr ,观察发现 V′=S ∴四维空间中“超球”的三维测度 V=8πr ,猜想其四维测度 W,则 W′=V=8πr ; 4 ∴W=2πr . 故选:C. 点评:本题考查类比推理,解题的关键是理解类比的规律,解题的关键主要是通过所给的示 例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是低一维的测度,属于基础题. 4. (2014?黄山一模)若(1+2ai)i=1﹣bi,其中 a、b∈R,i 是虚数单位,则|a+bi|=( A. B. C. D. )
3 3 2 3 3 2 2 3

考点:复数求模;复数代数形式的乘除运算. 专题:计算题. 分析:首先进行复数的乘法运算,根据复数相等的充要条件,得到复数的实部和虚部分别相 等,得到 a,b 的值,求出复数的模长. 解答: 解:∵(1+2ai)i=1﹣bi, ∴i﹣2a=1﹣bi ∴﹣2a=1,b=﹣1 ∴a=﹣ ,b=﹣1 ∴|a+bi|=

故选 C. 点评:本题考查复数的代数形式的乘除运算和复数的求模,本题解题的关键是求出复数中的 字母系数,本题是一个基础题. 5. (2015 春?文昌校级期中)已知 f1(x)=sinx,f2(x)=f1′(x) ,f3(x)=f2′(x) ,f4(x) =f3′(x) ,…,fn(x)=fn﹣1′(x) ,则 f2015(x)等于( ) A. cosx B.﹣cosx C. sinx D. ﹣ sinx 考点:导数的运算. 专题:导数的概念及应用. 分析:对函数连续求导研究其变化规律,可以看到函数解析式呈周期性出现,以此规律判断 求出 f2015(x) . 解答: 解:由题意 f1(x)=sinx,f2(x)=f1′(x)=cosx,f3(x)=f2′(x)=﹣sinx,f4(x) =f3′(x)=﹣cosx,f5(x)=f4′(x)=sinx,… 由此可知,在逐次求导的过程中,所得的函数呈周期性变化,从 1 开始计,周期是 4, ∵2015=4×503+3, 故 f2015(x)=f3(x)=﹣sinx, 故选:D. 点评:本题考查导数的运算,求解本题的关键是掌握正、余弦函数的求导公式,以及在求导 过程中找出解析式变化的规律, 归纳总结是解题过程中发现规律的好方式. 本题考查了归纳推 理. 6. (2013?天津)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出 n 的值为( )

A.

7

B.

6

C.

5

D. 4

考点:程序框图. 专题:算法和程序框图. 分析:利用循环结构可知道需要循环 4 次方可得到 S←2,因此输出的 n←4. 1 2 3 4 解答: 解:由程序框图可知:S=2=0+(﹣1) ×1+(﹣1) ×2+(﹣1) ×3+(﹣1) ×4, 因此当 n=4 时,S←2,满足判断框的条件,故跳出循环程序.

故输出的 n 的值为 4. 故选 D. 点评:正确理解循环结构的功能是解题的关键. 7. (2015 春?会宁县校级期中)观察数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…的特点,问第 100 项为( ) A. 10 B. 14 C. 13 D. 100 考点:数列的概念及简单表示法. 专题:点列、递归数列与数学归纳法. 分析:根据数列项的值,寻找规律即可得到结论. 解答: 解:设 n∈N ,则数字 n 共有 n 个 所以由 ≤100,
*

即 n(n+1)≤200, * 又因为 n∈N , 所以 n=13,到第 13 个 13 时共有 =91 项,

从第 92 项开始为 14,故第 100 项为 14. 故选:B. 点评:本题主要考查数列的简单表示,根据条件寻找规律是解决本题的关键. 8. (2015 春?文昌校级期中)下面用“三段论”形式写出的演绎推理:因为指数函数 y=a (a >0 且 a≠1)在(0,+∞)上是增函数,y=( ) 是指数函数,所以 y=( ) 在(0,+∞) 上是增函数.该结论显然是错误的,其原因是( ) A. 大前提错误 B.小前提错误 D.以上都可能
x x x

C. 推理形式错误

考点:演绎推理的意义. 专题:推理和证明. 分析:分析该演绎推理的大前提、小前提和结论,可以得出正确的答案. x 解答: 解:该演绎推理的大前提是:指数函数 y=a (a>0 且 a≠1)在(0,+∞)上是增函数, 小前提是:y=( ) 是指数函数, 结论是:y=( ) 在(0,+∞)上是增函数. 其中,大前提是错误的,因为 0<a<1 时,函数 y=a 在(0,+∞)上是减函数,致使得出的 结论错误. 故选:A. 点评:本题考查了演绎推理的应用问题,解题时应根据演绎推理的三段论是什么,进行逐一 判定,得出正确的结论,是基础题.
x x x

9. (2015 春?文昌校级期中)已知复数 z= z 在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 D.第四象限

, (i 为虚数单位) ,则复数

B.第二象限

C. 第三象限

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:利用复数的除法的运算法则化简复数为 a+bi 的形式,即可求出复数对应点的坐标所在 象限. 解答: 解:复数 z= = = = = ,

复数对应点为(

) .在第一象限.

故选:A. 点评:本题考查复数的代数形式的混合运算,复数单位的幂运算,复数的几何意义,考查计 算能力.

10. (2008?天津)设椭圆

(m>0,n>0)的右焦点与抛物线 y =8x 的焦点相同,

2

离心率为 ,则此椭圆的方程为(



A.

B.

C.

D.

考点:椭圆的标准方程. 专题:计算题;分析法. 分析:先求出抛物线的焦点,确定椭圆的焦点在 x 轴,然后对选项进行验证即可得到答案. 解答: 解:∵抛物线的焦点为(2,0) ,椭圆焦点在 x 轴上,排除 A、C, 由 排除 D,

故选 B 点评:本题主要考查抛物线焦点的求法和椭圆的基本性质.圆锥曲线是高考的必考内容,其 基本性质一定要熟练掌握.

11. (2015 春?文昌校级期中)设 F1、F2 分别是双曲线 双曲线上,且 A. ? =0,则| 3 B. + |等于( 6 ) C.

=1 的左、右焦点.若点 P 在

1

D. 2

考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:求出以 F1F2 为直径的圆的方程为 x +y =9,利用|
2 2

+

|=|2

|,可得结论.

解答: 解:双曲线

=1 中 a=
2 2

,b=2,c=3,

∴以 F1F2 为直径的圆的方程为 x +y =9, ∴| + |=|2 |=6,

故选:B. 点评:本题考查双曲线的性质,考查向量知识的运用,比较基础.

12. (2009 春?海淀区期中)函数 A. 和(2,+∞)上单调递增 C. 和(2,+∞)上单调递减





在(0,2)上单调递减 B. 在(﹣∞,0) 在(0,2)上单调递增 D. 在(﹣∞,0)

考点:函数单调性的判断与证明. 专题:计算题. 分析:先求函数的定义域,再求函数的导数,令导数大于 0,在定义域成立的前提下,解得的 x 的范围是函数的增区间,令导数小于 0,在定义域成立的前提下,解得的 x 的范围为函数的 减区间. 解答: 解:函数的定义域为{x|x≠1} 函数 得 x<0,或 x>2 令导数小于 0,即 <0,解得 0<x<2,又∵ 的导数为 ,令导数大于 0,即 >0,解

∴函数的增区间为(﹣∞,0)和(2,+∞) ,减区间为(0,1)和(1,2) 故选 B

点评:本题主要考查了利用导数判断函数的单调性,一定注意单调区间是定义域的子区间, 必须在定义域成立的前提下求单调区间. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案写在答卷上) 13. (2015 春?文昌校级期中)若复数 z= ,则复数 z 的虚部为 ﹣1 .

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:根据复数的基本运算,结合复数的概念进行求解. 解答: 解:z= = = ,

则复数 z 的虚部﹣1, 故答案为:﹣1. 点评:本题主要考查复数的概念,利用复数的基本运算进行化简是解决本题的关键. 14. (2015 春?文昌校级期中)在 2015 年春节期间,某市物价部门,对本市五个商场销售的 某商品一天的销售量及其价格进行调查,五个商场的售价 x 元和销售量 y 件之间的一组数据 如表所示: 价格 x 9 9.5 10 10.5 11 销售量 y 11 10 8 6 5 通过分析,发现销售量 y 对商品的价格 x 具有线性相关关系,且 =﹣3.2,则销售量 y 对商品 的价格 x 的回归直线方程为 =﹣3.2x+40 .

考点:线性回归方程. 专题:计算题;概率与统计. 分析:由已知表格中的数据,我们根据平均数公式计算出变量 x,y 的平均数,根据回归直线 一定经过样本数据中心点,可求出 a 值,即可求出销售量 y 对商品的价格 x 的回归直线方程. 解答: 解:由表中数据可得: =10, =8, ∵归直线一定经过样本数据中心点, ∵ =﹣3.2, ∴a=8+3.2×10=40, ∴销售量 y 对商品的价格 x 的回归直线方程是 =﹣3.2x+40. 故答案为: =﹣3.2x+40. 点评:本题考查的知识点是线性回归方程,其中根据回归直线一定经过样本数据中心点,是 解答的关键.属于基础题.

15. (2014 春?陵县期中)定义运算 =3+2i 的复数 z 等于 ﹣ i .

=ad﹣bc,则对复数 z=x+yi(x,y∈R)符合条件

考点:复数代数形式的加减运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:由条件求得 z= 解答: 解:根据条件 ∴z= = ,再利用两个复数代数形式的乘除法法则,计算求得结果. =3+2i 可得 2iz﹣z=3+2i, = ﹣ i,

故答案为: ﹣ i. 点评:本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用,属于基础题. 16. (2015 春?文昌校级期中)已知点 A(x1,x ) ,B(x2,x )是抛物线 y=x 上任意
2

不同的两点,线段 AB 总是位于 A,B 两点之间函数图象的上方,因此有结论



2

成立, 运用类比的方法可知, 若点 A(x1, sinx1) , B (x2, sinx2) 是函数 y=sinx

(x∈(0,π) )图象上不同的两点,线段 AB 总是位于 A,B 两点之间函数 y=sinx(x∈(0,π) ) 图象的下方,则类似地有结论 <sin .

考点:类比推理. 专题:综合题;推理和证明. 分析:由类比推理的规则得出结论,本题中所用来类比的函数是一个变化率越来越大的函数, 而要研究的函数是一个变化率越来越小的函数,其类比方式可知. 2 解答: 解:由题意知,点 A、B 是函数 y=x 的图象上任意不同两点,函数是变化率逐渐变 大的函数,线段 AB 总是位于 A、B 两点之间函数图象的上方,因此有结论 >

成立; 而函数 y=sinx(x∈(0,π) )其变化率逐渐变小,线段 AB 总是位于 A、B 两点之间函数图象 的下方,故可类比得到结论 <sin .

故答案为:

<sin



点评:本题考查类比推理,求解本题的关键是理解类比的定义,及本题类比的对象之间的联 系与区别,从而得出类比结论. 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤) . 17. (10 分) (2015 春?文昌校级期中)在 2008 年北京奥运会上,游泳项目的世界记录在水立 方屡屡被打破,充满了神奇色彩.据有些媒体的报道,这可能与运动员身上的新式泳衣有关 系.为此有人进行了调查统计,对某游泳队的 96 名运动员的成绩进行了调查,其中使用新式 泳衣成绩提高的有 12 人,没有提高的有 36 人;没有使用新式泳衣成绩提高的有 8 人,没有 提高的有 40 人.请根据该游泳队的成绩判断:成绩提高与使用新式泳衣是否有关系? 考点:独立性检验的应用. 专题:概率与统计. 分析:根据给出的数据可以列出 2×2 列联表,利用公式计算相关指数的观测值,比较与临界 值的大小,从而判定成绩提高与使用新式泳衣有关的可靠性程度. 解答: 解:假设成绩提高与使用新式泳衣没有关系.则 …(2 分) 根据给出的数据可以列出下列 2×2 列联表: 成绩提高 成绩没有提高 总计 用新式泳衣 12 36 48 未用新式泳衣 8 40 48 总计 20 76 96 … 于是 K =
2

≈1.011,由于 1.011<2.706,…(8 分)

所以我们没有理由认为成绩提高与使用新式泳衣有关系. …(10 分) 点评:本题考查了独立性检验思想方法,熟练掌握相关指数的观测值的计算方法及临界值解 答本题的关键. 18. (2015 春?鸡西校级期中)已知 1+i 是实系数方程 x +ax+b=0 的一个根. (1)求 a,b 的值; (2)试判断 1﹣i 是否是方程的根. 考点:复数代数形式的混合运算. 专题:数系的扩充和复数. 2 分析: (1)依题意,将 1+i 代入方程 x +ax+b=0,利用两复数相等即可求得 a、b 的值; (2)把 1﹣i 代入方程左端,可结果是否为 0 即可. 2 解答: 解: (1)∵1+i 是方程 x +ax+b=0 的根, 2 ∴(1+i) +a(1+i)+b=0, 即(a+b)+(a+2)i=0. ∴ ,解得 .
2

∴a,b 的值为 a=﹣2,b=2. (2)方程为 x ﹣2x+2=0, 把 1﹣i 代入方程, 2 左边=(1﹣i) ﹣2(1﹣i)+2=﹣2i﹣2+2i+2=0,显然方程成立. ∴1﹣i 也是方程的一个根. 点评:本题考查复数代数形式的混合运算,突出考查复数相等的应用,属于基础题. 19. (2015 春?文昌校级期中)设 Sn= + + +…+ ,求出 S1,S2,
2

S3,S4 的值,归纳并猜想出结果.并证明所猜想出结果的正确性. 考点:数列的求和;归纳推理. 专题:点列、递归数列与数学归纳法;推理和证明. 分析:把 n=1,2,3,4 时,代入原式计算求出 S1,S2,S3,S4 的值,通观察归纳出规律再猜 想出一般的结论,再利用裂项相消法进行证明. 解答: 解:由题意知,Sn= + + +…+ ,

当 n=1,2,3,4 时,代入原式计算求出的值分别为: S1= ,S2= = ,同理可得 S3= ,S4= .…(4 分)

观察这 4 个结果都是分数,每个分数的分子与项数对应,且分子比分母恰好小 1. 归纳猜想:Sn= 证明:∵ .…(7 分) = ﹣ ,…, = ﹣ .

=1﹣ ,

∴Sn=1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ =1﹣ = .…

点评:本题考查裂项相消法求数列的和,以及归纳推理,考查观察、归纳的能力,属于中档 题.

20. (2015 春?文昌校级期中)设 w=﹣ + (1)计算:1+w+w ; 2 2 (2)计算: (1+w﹣w ) (1﹣w+w ) .
2

i,

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析: (1)利用复数的运算求值即可求得答案; (2)利用 w=﹣ + i 为 x =1 的根,即 w =1,因式分解后灵活代换即可求得答案. i,
3 3

解答: 解: (1)∵w=﹣ +

∴1+w+w ;=1+(﹣ + (2)∵w=﹣ +
2 3

2

i)+
3

=1+(﹣ +

i)+(﹣ ﹣

i)=0;

i 为 x =1 的根,即 w =1,

∴(w﹣1) (w +w+1)=0, 2 ∴w +w+1=0, 2 2 2 3 ∴(1+w﹣w ) (1﹣w+w )=﹣2w ?(﹣2w)=4w =4. 点评:本题考查复数代数形式的乘除运算,考查整体代换思想与运算求解能力,属于中档题.

21. (2014 秋?衡阳期末)已知椭圆

=1(a>b>0)的一个顶点为 A(0,1) ,离心率



,过点 B(0,﹣2)及左焦点 F1 的直线交椭圆于 C,D 两点,右焦点设为 F2.

(1)求椭圆的方程; (2)求△ CDF2 的面积. 考点:椭圆的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1) 根据椭圆的基本概念和平方关系, 建立关于 a、 b、 c 的方程, 解出 a= 从而得到椭圆的方程;

, b=c=1,

(2)求出 F1B 直线的斜率得直线 F1B 的方程为 y=﹣2x﹣2,与椭圆方程联解并结合根与系数 的关系算出|x1﹣x2|= , 结合弦长公式可得|CD|= , 最后利用点到直线的距离公式求出

F2 到直线 BF1 的距离 d,即可得到△ CDF2 的面积. 解答: 解: (1)∵椭圆 =1(a>b>0)的一个顶点为 A(0,1) ,离心率为 ,

∴b=

=1,且 =

,解之得 a= ; …(4 分)

,c=1

可得椭圆的方程为

(2)∵左焦点 F1(﹣1,0) ,B(0,﹣2) ,得 F1B 直线的斜率为﹣2 ∴直线 F1B 的方程为 y=﹣2x﹣2 由
2

,化简得 9x +16x+6=0.

2

∵△=16 ﹣4×9×6=40>0, ∴直线与椭圆有两个公共点,设为 C(x1,y1) ,D(x2,y2) ,



∴|CD|=

|x1﹣

x2|=

?

=

? = × , = .

=

又∵点 F2 到直线 BF1 的距离 d= ∴△CDF2 的面积为 S= |CD|×d=

点评:本题给出椭圆满足的条件,求椭圆的方程并求三角形的面积.着重考查了椭圆的标准 方程与简单几何性质、直线与圆角曲线的位置关系等知识,属于中档题.
3 2

22. (2015 春?文昌校级期中)已知函数 f(x)= x + (a﹣1)x +bx(a,b 为常数)在 x=1 和 x=4 处取得极值. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)当 x∈[﹣2,2]时,都有 2f(x)<﹣5x+c,求 c 的取值范围. 考点:利用导数研究函数的极值;其他不等式的解法. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)根据所给的函数的解析式,对函数求导,使得导函数等于 0,得到关于 a,b 的 关系式,解方程组即; (2)分离参数,构造函数求出函数的最值即可. 解答: 解: (1)f′(x)=x +(a﹣1)x+b. ) 由题设知 ,
2

解得


3 2

所以 f(x)= x ﹣ x +4x, (2)由题设知 2f(x)<﹣5x+c, 即 c> x ﹣5x +13x. 设 g(x)= x ﹣5x +13x,x∈[﹣2,2], 所以 c 只要大于 g(x)的最大值即可. 2 g′(x)=2x ﹣10x+13, 当 x∈(﹣2,2)时 g′(x)>0.
3 2 3 2

所以 g(x)max=g(2)= 所以 c> .



点评:本题考查了导数和函数的极值问题,以及参数的取值范围即恒成立问题,属于中档题.


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