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2014高考立体几何求体积



一.解答题(共 16 小题) 1. (2014?上海)底面边长为 2 的正三棱锥 P﹣ABC,其表面展开图是三角形 P1P2P3,如图,求△ P1P2P3 的各边长及 此三棱锥的体积 V.

2. (2014?重庆)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面是以 O 为中心的菱形,PO⊥ 底面 ABCD,AB=2,∠ BAD= 为 BC 上一点,且 BM= . (Ⅰ )证明:BC⊥ 平面 POM; (Ⅱ )若 MP⊥ AP,求四棱锥 P﹣ABMO 的体积.

,M

3. (2014?辽宁)如图,△ ABC 和△ BCD 所在平面互相垂直,且 AB=BC=BD=2.∠ ABC=∠ DBC=120°,E、F、G 分别 为 AC、DC、AD 的中点. (Ⅰ )求证:EF⊥ 平面 BCG; (Ⅱ )求三棱锥 D﹣BCG 的体积. 附:锥体的体积公式 V= Sh,其中 S 为底面面积,h 为高.

4. (2014?福建)如图,三棱锥 A﹣BCD 中,AB⊥ 平面 BCD,CD⊥ BD. (Ⅰ )求证:CD⊥ 平面 ABD; (Ⅱ )若 AB=BD=CD=1,M 为 AD 中点,求三棱锥 A﹣MBC 的体积.

5. (2014?开封二模)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,CA=CB,AB=AA1,∠ BAA1=60° (Ⅰ )证明:AB⊥ A1C; (Ⅱ )若 AB=CB=2,A1C= ,求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积.

6. (2014?陕西)四面体 ABCD 及其三视图如图所示,平行于棱 AD,BC 的平面分别交四面体的棱 AB、BD、DC、 CA 于点 E、F、G、H. (Ⅰ )求四面体 ABCD 的体积; (Ⅱ )证明:四边形 EFGH 是矩形.

7. (2014?北京)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,AB⊥ BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F 分别是 A1C1,BC 的中点. (Ⅰ )求证:平面 ABE⊥ B1BCC1; (Ⅱ )求证:C1F∥ 平面 ABE; (Ⅲ )求三棱锥 E﹣ABC 的体积.

8. (2013?上海)如图,在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1=6,异面直线 BC1 与 AA1 所成角的大小为 棱柱的体积.

,求该三

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9. (2013?广东)如图 1,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,D,E 分别是 AB,AC 边上的点,AD=AE,F 是 BC 的中点,AF 与 DE 交于点 G,将△ ABF 沿 AF 折起,得到如图 2 所示的三棱锥 A﹣BCF,其中 BC= (1)证明:DE∥ 平面 BCF; (2)证明:CF⊥ 平面 ABF; (3)当 AD= 时,求三棱锥 F﹣DEG 的体积 VF﹣DEG. .

10. (2013?陕西)如图,四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形,O 为底面中心,A1O⊥ 平面 ABCD, AB=AA1= . (Ⅰ ) 证明:平面 A1BD∥ 平面 CD1B1; (Ⅱ ) 求三棱柱 ABD﹣A1B1D1 的体积.

11. (2013?重庆)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥ 底面 ABCD,PA=2 (Ⅰ )求证:BD⊥ 平面 PAC; (Ⅱ )若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF=7FC,求三棱锥 P﹣BDF 的体积.

,BC=CD=2,∠ ACB=∠ ACD=



12. (2013?四川)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C 中,侧棱 AA1⊥ 底面 ABC,AB=AC=2AA1=2,∠ BAC=120°,D, D1 分别是线段 BC,B1C1 的中点,P 是线段 AD 上异于端点的点. (Ⅰ )在平面 ABC 内,试作出过点 P 与平面 A1BC 平行的直线 l,说明理由,并证明直线 l⊥ 平面 ADD1A1; (Ⅱ )设(Ⅰ )中的直线 l 交 AC 于点 Q,求三棱锥 A1﹣QC1D 的体积. (锥体体积公式: 积,h 为高) ,其中 S 为底面面

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13. (2013?安徽)如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠ BAD=60°,已知 PB=PD=2,PA= (Ⅰ )证明:PC⊥ BD (Ⅱ )若 E 为 PA 的中点,求三棱锥 P﹣BCE 的体积.



14. (2012?广东)如图所示,在四棱锥 P﹣ABCD 中,AB⊥ 平面 PAD,AB∥ CD,PD=AD,E 是 PB 的中点,F 是 CD 上的点且 ,PH 为△ PAD 中 AD 边上的高.

(1)证明:PH⊥ 平面 ABCD; (2)若 PH=1, ,FC=1,求三棱锥 E﹣BCF 的体积; (3)证明:EF⊥ 平面 PAB.

15. (2012?湖南)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥ 平面 ABCD,底面 ABCD 是等腰梯形,AD∥ BC,AC⊥ BD. (Ⅰ )证明:BD⊥ PC; (Ⅱ )若 AD=4,BC=2,直线 PD 与平面 PAC 所成的角为 30°,求四棱锥 P﹣ABCD 的体积.

16. (2012?陕西)直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=AA1,∠ CAB= (Ⅰ )证明:CB1⊥ BA1; (Ⅱ )已知 AB=2,BC=



,求三棱锥 C1﹣ABA1 的体积.

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2015 年 01 月 02 日 18045139988 的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一.解答题(共 16 小题) 1. (2014?上海)底面边长为 2 的正三棱锥 P﹣ABC,其表面展开图是三角形 P1P2P3,如图,求△ P1P2P3 的各边长及 此三棱锥的体积 V.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用侧面展开图三点共线,判断△ P1P2P3 是等边三角形,然后求出边长,利用正四面体的体积求出几何体的 体积. 解答: 解:根据题意可得:P1,B,P2 共线,∵ ∠ ABP1=∠ BAP1=∠ CBP2,∠ ABC=60°, ∴ ∠ ABP1=∠ BAP1=∠ CBP2=60°, ∴ ∠ P1=60°,同理∠ P2=∠ P3=60°, ∴ △ P1P2P3 是等边三角形,P﹣ABC 是正四面体, ∴ △ P1P2P3 的边长为 4,
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VP﹣ABC=

=

点评: 本题考查空间想象能力以及逻辑推理能力,几何体的侧面展开图和体积的求法.

2. (2014?重庆)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面是以 O 为中心的菱形,PO⊥ 底面 ABCD,AB=2,∠ BAD= 为 BC 上一点,且 BM= . (Ⅰ )证明:BC⊥ 平面 POM; (Ⅱ )若 MP⊥ AP,求四棱锥 P﹣ABMO 的体积.

,M

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ )连接 OB,根据底面是以 O 为中心的菱形,PO⊥ 底面 ABCD,AB=2,∠ BAD=
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,M 为 BC 上一点,

且 BM= ,结合菱形的性质,余弦定理,勾股定理,可得 OM⊥ BC 及 PO⊥ BC,进而由线面垂直的判定定理 得到 BC⊥ 平面 POM; (Ⅱ )设 PO=a,利用勾股定理和余弦定理解三角形求出 PO 的值,及四棱锥 P﹣ABMO 的底面积 S,代入棱 锥体积公式,可得答案. 解答: 证明: (Ⅰ )∵ 底面是以 O 为中心的菱形,PO⊥ 底面 ABCD,
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故 O 为底面 ABCD 的中心,连接 OB,则 AO⊥ OB, ∵ AB=2,∠ BAD= , )=1,

∴ OB=AB?sin∠ BAO=2sin( 又∵ BM= ,∠ OBM=
2


2 2

∴ 在△ OBM 中,OM =OB +BM ﹣2OB?BM?cos∠ OBM= , 即 OB =OM +BM ,即 OM⊥ BM, ∴ OM⊥ BC, 又∵ PO⊥ 底面 ABCD,BC?底面 ABCD, ∴ PO⊥ BC, 又∵ OM∩ PO=O,OM,PO?平面 POM, ∴ BC⊥ 平面 POM; (Ⅱ )由(Ⅰ )可得:OA=AB?cos∠ BAO=2cos( )= ,
2 2 2

设 PO=a,由 PO⊥ 底面 ABCD 可得:△ POA 为直角三角形, 2 2 2 2 故 PA =PO +OA =a +3, 由△ POM 也为直角三角形得: PM =PO +OM =a + , 连接 AM,
2 2 2 2

在△ ABM 中,AM =AB +BM ﹣2AB?BM?cos∠ ABM= 由 MP⊥ AP 可知:△ APM 为直角三角形, 则 AM =PA +PM ,即 a +3+a + = 解得 a= ,即 PO= , ,
2 2 2 2 2

2

2

2

=





此时四棱锥 P﹣ABMO 的底面积 S=S△AOB+S△BOM= ?AO?OB+ ?BM?OM= ∴ 四棱锥 P﹣ABMO 的体积 V= S?PO= 点评: 本题考查的知识点是棱锥的体积,直线与平面垂直的判定,难度中档.

3. (2014?辽宁)如图,△ ABC 和△ BCD 所在平面互相垂直,且 AB=BC=BD=2.∠ ABC=∠ DBC=120°,E、F、G 分别 为 AC、DC、AD 的中点. (Ⅰ )求证:EF⊥ 平面 BCG; (Ⅱ )求三棱锥 D﹣BCG 的体积.

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附:锥体的体积公式 V= Sh,其中 S 为底面面积,h 为高.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ )先证明 AD⊥ 平面 BGC,利用 EF∥ AD,可得 EF⊥ 平面 BCG; (Ⅱ )在平面 ABC 内,作 AO⊥ CB,交 CB 的延长线于 O,G 到平面 BCD 的距离 h 是 AO 长度的一半,利
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用 VD﹣BCG=VG﹣BCD=

,即可求三棱锥 D﹣BCG 的体积.

解答: (Ⅰ )证明:∵ AB=BC=BD=2.∠ ABC=∠ DBC=120°, ∴ △ ABC≌ △ DBC, ∴ AC=DC, ∵ G 为 AD 的中点, ∴ CG⊥ AD. 同理 BG⊥ AD, ∵ CG∩ BG=G, ∴ AD⊥ 平面 BGC, ∵ EF∥ AD, ∴ EF⊥ 平面 BCG; (Ⅱ )解:在平面 ABC 内,作 AO⊥ CB,交 CB 的延长线于 O, ∵ △ ABC 和△ BCD 所在平面互相垂直, ∴ AO⊥ 平面 BCD, ∵ G 为 AD 的中点, ∴ G 到平面 BCD 的距离 h 是 AO 长度的一半. 在△ AOB 中,AO=ABsin60°= , ∴ VD﹣BCG=VG﹣BCD= = = .

点评: 本题考查线面垂直,考查三棱锥体积的计算,正确转换底面是关键. 4. (2014?福建)如图,三棱锥 A﹣BCD 中,AB⊥ 平面 BCD,CD⊥ BD. (Ⅰ )求证:CD⊥ 平面 ABD;
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(Ⅱ )若 AB=BD=CD=1,M 为 AD 中点,求三棱锥 A﹣MBC 的体积.

考点: 直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ )证明:CD⊥ 平面 ABD,只需证明 AB⊥ CD;

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(Ⅱ )利用转换底面,VA﹣MBC=VC﹣ABM= S△ABM?CD,即可求出三棱锥 A﹣MBC 的体积. 解答: (Ⅰ )证明:∵ AB⊥ 平面 BCD,CD?平面 BCD, ∴ AB⊥ CD, ∵ CD⊥ BD,AB∩ BD=B, ∴ CD⊥ 平面 ABD; (Ⅱ )解:∵ AB⊥ 平面 BCD,BD?平面 BCD, ∴ AB⊥ BD. ∵ AB=BD=1, ∴ S△ABD= , ∵ M 为 AD 中点, ∴ S△ABM= S△ABD= , ∵ CD⊥ 平面 ABD, ∴ VA﹣MBC=VC﹣ABM= S△ABM?CD= .

点评: 本题考查线面垂直,考查三棱锥 A﹣MBC 的体积,正确运用线面垂直的判定定理是关键. 5. (2014?开封二模)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,CA=CB,AB=AA1,∠ BAA1=60° (Ⅰ )证明:AB⊥ A1C; (Ⅱ )若 AB=CB=2,A1C= ,求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积.

考点: 直线与平面垂直的性质;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ )由题目给出的边的关系,可想到去 AB 中点 O,连结 OC,OA1,可通过证明 AB⊥ 平面 OA1C 得要证 的结论; (Ⅱ )在三角形 OCA1 中,由勾股定理得到 OA1⊥ OC,再根据 OA1⊥ AB,得到 OA1 为三棱柱 ABC﹣A1B1C1
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的高,利用已知给出的边的长度,直接利用棱柱体积公式求体积. 解答: (Ⅰ )证明:如图, 取 AB 的中点 O,连结 OC,OA1,A1B. 因为 CA=CB,所以 OC⊥ AB. 由于 AB=AA1, ,故△ AA1B 为等边三角形,

所以 OA1⊥ AB. 因为 OC∩ OA1=O,所以 AB⊥ 平面 OA1C. 又 A1C?平面 OA1C,故 AB⊥ A1C; (Ⅱ )解:由题设知△ ABC 与△ AA1B 都是边长为 2 的等边三角形, 所以 又 ,则 . ,故 OA1⊥ OC.

因为 OC∩ AB=O,所以 OA1⊥ 平面 ABC,OA1 为三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的高. 又△ ABC 的面积 ,故三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积 .

点评: 题主要考查了直线与平面垂直的性质,考查了棱柱的体积,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力, 属于中档题. 6. (2014?陕西)四面体 ABCD 及其三视图如图所示,平行于棱 AD,BC 的平面分别交四面体的棱 AB、BD、DC、 CA 于点 E、F、G、H. (Ⅰ )求四面体 ABCD 的体积; (Ⅱ )证明:四边形 EFGH 是矩形.

考点: 直线与平面垂直的性质;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ )证明 AD⊥ 平面 BDC,即可求四面体 ABCD 的体积; (Ⅱ )证明四边形 EFGH 是平行四边形,EF⊥ HG,即可证明四边形 EFGH 是矩形. 解答: (Ⅰ )解:由题意,BD⊥ DC,BD⊥ AD,AD⊥ DC,BD=DC=2,AD=1, ∴ AD⊥ 平面 BDC,
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∴ 四面体 ABCD 的体积 V=

= ;

(Ⅱ )证明:∵ BC∥ 平面 EFGH,平面 EFGH∩ 平面 BDC=FG,平面 EFGH∩ 平面 ABC=EH, ∴ BC∥ FG,BC∥ EH, ∴ FG∥ FH.
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同理 EF∥ AD,HG∥ AD, ∴ EF∥ HG, ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形, ∵ AD⊥ 平面 BDC, ∴ AD⊥ BC, ∴ EF⊥ FG, ∴ 四边形 EFGH 是矩形. 点评: 本题考查线面垂直,考查线面平行性质的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 7. (2014?北京)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,AB⊥ BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F 分别是 A1C1,BC 的中点. (Ⅰ )求证:平面 ABE⊥ B1BCC1; (Ⅱ )求证:C1F∥ 平面 ABE; (Ⅲ )求三棱锥 E﹣ABC 的体积.

考点: 平面与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ )证明 AB⊥ B1BCC1,可得平面 ABE⊥ B1BCC1; (Ⅱ )证明 C1F∥ 平面 ABE,只需证明四边形 FGEC1 为平行四边形,可得 C1F∥ EG;
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(Ⅲ )利用 VE﹣ABC=

,可求三棱锥 E﹣ABC 的体积.

解答: (Ⅰ )证明:∵ 三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱垂直于底面, ∴ BB1⊥ AB, ∵ AB⊥ BC,BB1∩ BC=B, ∴ AB⊥ B1BCC1, ∵ AB?平面 ABE, ∴ 平面 ABE⊥ B1BCC1; (Ⅱ )证明:取 AB 中点 G,连接 EG,FG,则 ∵ F 是 BC 的中点, ∴ FG∥ AC,FG= AC, ∵ E 是 A1C1 的中点, ∴ FG∥ EC1,FG=EC1, ∴ 四边形 FGEC1 为平行四边形, ∴ C1F∥ EG, ∵ C1F?平面 ABE,EG?平面 ABE, ∴ C1F∥ 平面 ABE; (Ⅲ )解:∵ AA1=AC=2,BC=1,AB⊥ BC, ∴ AB= ,

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∴ VE﹣ABC=

=

=

点评: 本题考查线面平行、垂直的证明,考查三棱锥 E﹣ABC 的体积的计算,正确运用线面平行、垂直的判定定 理是关键.

8. (2013?上海)如图,在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1=6,异面直线 BC1 与 AA1 所成角的大小为 棱柱的体积.

,求该三

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 因为 CC1∥ AA1. 根据异面直线所成角的定义得∠ BC1C 为异面直线 BC1 与 AA1 所成的角, 从而∠ BC1C=
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. 在

Rt△ BC1C 中,求得 BC,从而求出 S△ABC,最后利用柱体的体积公式即可求出该三棱柱的体积. 解答: 解:因为 CC1∥ AA1. 所以∠ BC1C 为异面直线 BC1 与 AA1 所成的角,即∠ BC1C= 在 Rt△ BC1C 中,BC=CC1tan∠ BC1C=6× 从而 S△ABC= =3 , =2 , .

因此该三棱柱的体积为 V=S△ABC×AA1=3 ×6=18 . 点评: 本题考查三棱柱体积的计算,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 9. (2013?广东)如图 1,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,D,E 分别是 AB,AC 边上的点,AD=AE,F 是 BC 的中点,AF 与 DE 交于点 G,将△ ABF 沿 AF 折起,得到如图 2 所示的三棱锥 A﹣BCF,其中 BC= (1)证明:DE∥ 平面 BCF; (2)证明:CF⊥ 平面 ABF; (3)当 AD= 时,求三棱锥 F﹣DEG 的体积 VF﹣DEG. .

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考点: 直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1) 在等边三角形 ABC 中, 由 AD=AE, 可得 , 在折叠后的三棱锥 A﹣BCF 中也成立, 故有 DE∥ BC,
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再根据直线和平面平行的判定定理证得 DE∥ 平面 BCF. (2)由条件证得 AF⊥ CF ① ,且 CF⊥ BF② ,结合① ② ,证得 CF⊥ 平面 ABF. (3)由(1)可知 GE∥ CF,结合(2)可得 GE⊥ 平面 DFG.再由 算求得结果. 解答: 解: (1)在等边三角形 ABC 中,AD=AE,∴ ∴ DE∥ BC. 又∵ DE?平面 BCF,BC?平面 BCF, ∴ DE∥ 平面 BCF. (2)在等边三角形 ABC 中,F 是 BC 的中点,所以 AF⊥ BC,即 AF⊥ CF ① ,且 ∵ 在三棱锥 A﹣BCF 中, ,∴ BC =BF +CF ,∴ CF⊥ BF② .
2 2 2

.在三棱锥 A﹣BCF 中,由

,可得 BC =BF +CF ,从而

2

2

2

,运

,在折叠后的三棱锥 A﹣BCF 中也成立,



又∵ BF∩ AF=F,∴ CF⊥ 平面 ABF. (3)由(1)可知 GE∥ CF,结合(2)可得 GE⊥ 平面 DFG. ∴ = .

点评: 本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定的定理的应用,用等体积法求三棱锥的 体积,属于中档题. 10. (2013?陕西)如图,四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形,O 为底面中心,A1O⊥ 平面 ABCD, AB=AA1= . (Ⅰ ) 证明:平面 A1BD∥ 平面 CD1B1; (Ⅱ ) 求三棱柱 ABD﹣A1B1D1 的体积.

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考点: 平面与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ )由四棱柱的性质可得四边形 BB1D1D 为平行四边形,故有 BD 和 B1D1 平行且相等,可得 BD∥ 平面 CB1D1.同理可证,A1B∥ 平面 CB1D1.而 BD 和 A1B 是平面 A1BD 内的两条相交直线,利用两个平面平行 的判定定理可得平面 A1BD∥ 平面 CD1B1 .
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(Ⅱ ) 由题意可得 A1O 为三棱柱 ABD﹣A1B1D1 的高,由勾股定理可得 A1O=

的值,再根据

三棱柱 ABD﹣A1B1D1 的体积 V=S△ABD?A1O,运算求得结果. 解答: 解: (Ⅰ ) ∵ 四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, A1O⊥ 平面 ABCD, AB=AA1= , 由棱柱的性质可得 BB1 和 DD1 平行且相等,故四边形 BB1D1D 为平行四边形,故有 BD 和 B1D1 平行且相 等. 而 BD 不在平面 CB1D1 内,而 B1D1 在平面 CB1D1 内,∴ BD∥ 平面 CB1D1. 同理可证,A1BCD1 为平行四边形,A1B∥ 平面 CB1D1. 而 BD 和 A1B 是平面 A1BD 内的两条相交直线,故有平面 A1BD∥ 平面 CD1B1 . (Ⅱ ) 由题意可得 A1O 为三棱柱 ABD﹣A1B1D1 的高.三角形 A1AO 中,由勾股定理可得 A1O= = =1, ?A1O= ×1=1.

∴ 三棱柱 ABD﹣A1B1D1 的体积 V=S△ABD?A1O=

点评: 本题主要考查棱柱的性质,两个平面平行的判定定理的应用,求三棱柱的体积,属于中档题.

11. (2013?重庆)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥ 底面 ABCD,PA=2 (Ⅰ )求证:BD⊥ 平面 PAC; (Ⅱ )若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF=7FC,求三棱锥 P﹣BDF 的体积.

,BC=CD=2,∠ ACB=∠ ACD=



考点: 直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 压轴题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ )由等腰三角形的性质可得 BD⊥ AC,再由 PA⊥ 底面 ABCD,可得 PA⊥ BD.再利用直线和平面垂直的判 定定理证明 BD⊥ 平面 PAC.
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(Ⅱ )由侧棱 PC 上的点 F 满足 PF=7FC,可得三棱锥 F﹣BCD 的高是三棱锥 P﹣BCD 的高的 .求出△ BCD 的面积 S△BCD,再根据三棱锥 P﹣BDF 的体积 V=VP﹣BCD﹣VF﹣BCD= 运算求得结果. 解答: 解: (Ⅰ )∵ BC=CD=2,∴ △ BCD 为等腰三角形,再由 再由 PA⊥ 底面 ABCD,可得 PA⊥ BD.
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,∴ BD⊥ AC.

而 PA∩ AC=A,故 BD⊥ 平面 PAC. (Ⅱ )∵ 侧棱 PC 上的点 F 满足 PF=7FC, ∴ 三棱锥 F﹣BCD 的高是三棱锥 P﹣BCD 的高的 . △ BCD 的面积 S△BCD= BC?CD?sin∠ BCD= ∴ 三棱锥 P﹣BDF 的体积 V=VP﹣BCD﹣VF﹣BCD= = = . = ﹣ . = ×

点评: 本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用,用间接解法求棱锥的体积,属于中档题. 12. (2013?四川)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C 中,侧棱 AA1⊥ 底面 ABC,AB=AC=2AA1=2,∠ BAC=120°,D, D1 分别是线段 BC,B1C1 的中点,P 是线段 AD 上异于端点的点. (Ⅰ )在平面 ABC 内,试作出过点 P 与平面 A1BC 平行的直线 l,说明理由,并证明直线 l⊥ 平面 ADD1A1; (Ⅱ )设(Ⅰ )中的直线 l 交 AC 于点 Q,求三棱锥 A1﹣QC1D 的体积. (锥体体积公式: 积,h 为高) ,其中 S 为底面面

考点: 直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ ) 在平面 ABC 内, 过点 P 作直线 l 和 BC 平行, 根据直线和平面平行的判定定理可得直线 l 与平面 A1BC 平行.
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等腰三角形 ABC 中, 根据等腰三角形中线的性质可得 AD⊥ BC, 故 l⊥ AD. 再由 AA1⊥ 底面 ABC, 可得 AA1⊥ l. 再 利用直线和平面垂直的判定定理可得直线 l⊥ 平面 ADD1A1 . (Ⅱ )过点 D 作 DE⊥ AC,证明 DE⊥ 平面 AA1C1C.直角三角形 ACD 中,求出 AD 的值,可得 DE 的值, 从而求得 = = = ? 的值,再根据三棱锥 A1﹣QC1D 的体积 ?DE,运算求得结果.

解答: 解: (Ⅰ )在平面 ABC 内,过点 P 作直线 l 和 BC 平行,由于直线 l 不在平面 A1BC 内,而 BC 在平面 A1BC 内, 故直线 l 与平面 A1BC 平行. 三角形 ABC 中,∵ AB=AC=2AA1=2,∠ BAC=120°,D,D1 分别是线段 BC,B1C1 的中点,∴ AD⊥ BC,∴ l⊥ AD. 再由 AA1⊥ 底面 ABC,可得 AA1⊥ l. 而 AA1∩ AD=A, ∴ 直线 l⊥ 平面 ADD1A1 . (Ⅱ )设(Ⅰ )中的直线 l 交 AC 于点 Q,过点 D 作 DE⊥ AC, ∵ 侧棱 AA1⊥ 底面 ABC,故三棱柱 ABC﹣A1B1C 为直三棱柱, 故 DE⊥ 平面 AA1C1C. 直角三角形 ACD 中,∵ AC=2,∠ CAD=60°,∴ AD=AC?cos60°=1,∴ DE=AD?sin60°= .

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=

=

=1, = = ? ?DE= ×1× = .

∴ 三棱锥 A1﹣QC1D 的体积

点评: 本题主要考查直线和平面平行、垂直的判定定理的应用,用等体积法求三棱锥的体积,属于中档题. 13. (2013?安徽)如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠ BAD=60°,已知 PB=PD=2,PA= (Ⅰ )证明:PC⊥ BD (Ⅱ )若 E 为 PA 的中点,求三棱锥 P﹣BCE 的体积. .

考点: 直线与平面垂直的性质;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题;证明题;空间位置关系与距离. 分析: (I)连接 AC 交 BD 于 O,连接 PO.菱形 ABCD 中,证出 AC⊥ BD 且 O 是 BD 的中点,从而得到 PO 是等 腰△ PBD 中,PO 是底边 BD 的中线,可得 PO⊥ BD,结合 PO、AC 是平面 PAC 内的相交直线,证出 BD⊥ 平 面 PAC,从而得到 PC⊥ BD; 2 2 2 (II)根据 ABCD 是边长为 2 的菱形且∠ BAD=60°,算出△ ABC 的面积为 ,△ PAO 中证出 AO +PO =6=PA 可得 PO⊥ AC, 结合 PO⊥ BD 证出 PO⊥ 平面 ABCD, 所以 PO= 是三棱锥 P﹣ABC 的高, 从而三棱锥 P﹣ABC
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的体积 VP﹣ABC=1,再由 E 为 PA 中点算出三棱锥 E﹣ABC 的体积 VE﹣ABC= ,进而可得三棱锥 P﹣BCE 的 体积等于 VP﹣ABC﹣VE﹣ABC= ,得到本题答案. 解答: 解: (I)连接 AC 交 BD 于 O,连接 PO ∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AC⊥ BD,且 O 是 BD 的中点 ∵ △ PBD 中,PD=PB,O 为 BD 中点,∴ PO⊥ BD ∵ PO、AC?平面 PAC,PO∩ AC=O,∴ BD⊥ 平面 PAC, ∵ PC?平面 PAC,∴ PC⊥ BD; (II)∵ ABCD 是边长为 2 的菱形,∠ BAD=60°, ∴ BO= AB=1,AC= =2 ,可得△ ABC 的面积为 S= AC×BO= BD=

∵ △ PBD 中,PB=PD=BD=2,∴ 中线 PO=
2 2 2

因此,△ PAO 中 AO +PO =6=PA ∴ PO⊥ AC,结合 PO⊥ BD 得到 PO⊥ 平面 ABCD, 得到三棱锥 P﹣ABC 的体积 VP﹣ABC= ×S△ABC×PO= ∵ E 为 PA 中点,∴ E 到平面 ABC 的距离 d= PO= 由此可得三棱锥 E﹣ABC 的体积 VE﹣ABC= ×S△ABC×d= × 因此,三棱锥 P﹣BCE 的体积 VP﹣EBC=VP﹣ABC﹣VE﹣ABC= .
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=1

=

点评: 本题给出底面为菱形的四棱锥,求证线线垂直并求锥体的体积,着重考查了线面垂直的判定与性质、菱形 的性质及面积计算和锥体体积公式等知识,属于中档题. 14. (2012?广东)如图所示,在四棱锥 P﹣ABCD 中,AB⊥ 平面 PAD,AB∥ CD,PD=AD,E 是 PB 的中点,F 是 CD 上的点且 ,PH 为△ PAD 中 AD 边上的高.

(1)证明:PH⊥ 平面 ABCD; (2)若 PH=1, ,FC=1,求三棱锥 E﹣BCF 的体积; (3)证明:EF⊥ 平面 PAB.

考点: 直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 分析: (1)因为 AB⊥ 平面 PAD,所以 PH⊥ AB,因为 PH 为△ PAD 中 AD 边上的高,所以 PH⊥ AD,由此能够证明 PH⊥ 平面 ABCD. (2)连接 BH,取 BH 中点 G,连接 EG,因为 E 是 PB 的中点,所以 EG∥ PH,因为 PH⊥ 平面 ABCD,所 以 EG⊥ 平面 ABCD,由此能够求出三棱锥 E﹣BCF 的体积.
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(3) 取 PA 中点 M, 连接 MD, ME, 因为 E 是 PB 的中点, 所以 故四边形 MEDF 是平行四边形.由此能够证明 EF⊥ 平面 PAB. 解答: 解: (1)证明:∵ AB⊥ 平面 PAD, ∴ PH⊥ AB, ∵ PH 为△ PAD 中 AD 边上的高, ∴ PH⊥ AD, ∵ AB∩ AD=A, ∴ PH⊥ 平面 ABCD. (2)如图,连接 BH,取 BH 中点 G,连接 EG, ∵ E 是 PB 的中点, ∴ EG∥ PH, ∵ PH⊥ 平面 ABCD, ∴ EG⊥ 平面 ABCD, 则 ∴ , =
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, 因为 ME

, 所以 ME

DF,

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(3)证明:如图,取 PA 中点 M,连接 MD,ME, ∵ E 是 PB 的中点, ∴ ME ∵ , ,

∴ ME DF, ∴ 四边形 MEDF 是平行四边形, ∴ EF∥ MD, ∵ PD=AD,∴ MD⊥ PA, ∵ AB⊥ 平面 PAD,∴ MD⊥ AB, ∵ PA∩ AB=A,∴ MD⊥ 平面 PAB, ∴ EF⊥ 平面 PAB.

点评: 本题考查直线与平面垂直的证明,求三棱锥的体积,解题时要认真审题,注意合理地化立体几何问题为平 面几何问题. 15. (2012?湖南)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥ 平面 ABCD,底面 ABCD 是等腰梯形,AD∥ BC,AC⊥ BD. (Ⅰ )证明:BD⊥ PC; (Ⅱ )若 AD=4,BC=2,直线 PD 与平面 PAC 所成的角为 30°,求四棱锥 P﹣ABCD 的体积.

考点: 直线与平面垂直的性质;直线与平面所成的角. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)由 PA⊥ 平面 ABCD,AC⊥ BD 可证得 BD⊥ 平面 PAC,从而证得 BD⊥ PC; (2) 设 AC∩ BD=O, 连接 PO, 由 BD⊥ 平面 PAC 可得∠ DPO 是直线 PD 和平面 PAC 所成的角, 于是∠ DPO=30°, 从而有 PD=2OD,于是可证得△ AOD,△ BOC 均为等腰直角三角形,从而可求得梯形 ABCD 的高,继而可求
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SABCD,VP﹣ABCD. 解答: 解: (Ⅰ )∵ PA⊥ 平面 ABCD,BD?平面 ABCD, ∴ PA⊥ BD; 又 AC⊥ BD,PA,AC 是平面 PAC 内的两条相交直线, ∴ BD⊥ 平面 PAC,而 PC?平面 PAC,∴ BD⊥ PC;
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(Ⅱ )设 AC∩ BD=O,连接 PO,由(Ⅰ )知 BD⊥ 平面 PAC, ∴ ∠ DPO 是直线 PD 和平面 PAC 所成的角, ∴ ∠ DPO=30°, 由 BD⊥ 平面 PAC,PO?平面 PAC 知,BD⊥ PO.在 Rt△ POD 中,由∠ DPO=30°得 PD=2OD. ∵ 四边形 ABCD 是等腰梯形,AC⊥ BD, ∴ △ AOD,△ BOC 均为等腰直角三角形,从而梯形 ABCD 的高为 AD+ BC= ×(4+2)=3, 于是 SABCD= ×(4+2)×3=9. 在等腰三角形 AOD 中,OD= ∴ PD=2OD=4 ,PA= AD=2 =4, ,

∴ VP﹣ABCD= SABCD×PA= ×9×4=12.

点评: 本题考查直线与平面垂直判定定理与性质性质定理,考查直线与平面所成的角的应用与锥体体积,突出对 分析、推理与计算能力的考查与应用,属于中档题.

16. (2012?陕西)直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=AA1,∠ CAB= (Ⅰ )证明:CB1⊥ BA1; (Ⅱ )已知 AB=2,BC=



,求三棱锥 C1﹣ABA1 的体积.

考点: 直线与平面垂直的性质;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题;证明题. 分析: (I)连接 AB1,根据 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱,得到平面 ABC⊥ 平面 ABB1A1,结合 AC⊥ AB,可得 AC⊥ 平面 ABB1A1,从而有 AC⊥ BA1,再在正方形 ABB1A1 中得到 AB1⊥ BA1,最后根据线面垂直的判定定理, 得到 BA1⊥ 平面 ACB1,所以 CB1⊥ BA1;
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(II)在 Rt△ ABC 中,利用勾股定理,得到 AC=

=1,又因为直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,

A1C1=AC=1 且 AC⊥ 平面 ABB1A1,得到 A1C1 是三棱锥 C1﹣ABA1 的高,且它的长度为 1.再根据正方形

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ABB1A1 面积得到△ ABA1 的面积,最后根据锥体体积公式,得到三棱锥 C1﹣ABA1 的体积为 . 解答: 解: (I)连接 AB1, ∵ ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱, ∴ 平面 ABC⊥ 平面 ABB1A1, 又∵ 平面 ABC∩ 平面 ABB1A1=AB,AC⊥ AB, ∴ AC⊥ 平面 ABB1A1, ∵ BA1?平面 ABB1A1,∴ AC⊥ BA1, ∵ 矩形 ABB1A1 中,AB=AA1, ∴ 四边形 ABB1A1 是正方形, ∴ AB1⊥ BA1, 又∵ AB1、CA 是平面 ACB1 内的相交直线, ∴ BA1⊥ 平面 ACB1, ∵ CB1?平面 ACB1,∴ CB1⊥ BA1; (II)∵ AB=2,BC= , ∴ Rt△ ABC 中,AC= =1

∴ 直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,A1C1=AC=1 又∵ AC∥ A1C1,AC⊥ 平面 ABB1A1, ∴ A1C1 是三棱锥 C1﹣ABA1 的高. ∵ △ ABA1 的面积等于正方形 ABB1A1 面积的一半 ∴ = AB =2 ×A1C1= .
2

三棱锥 C1﹣ABA1 的体积为 V= ×

点评: 本题根据底面为直角三角形的直三棱柱,证明线面垂直并且求三棱锥的体积,着重考查了直线与平面垂直 的性质与判定和锥体体积公式等知识点,属于中档题.

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