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宁夏银川一中2014届高三第一次月考 数学理


银川一中 2014 届高三年级第一次月考

数 学 试 卷(理)
命题人:曹建军

第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.) 1. 设集合 M ? {x | x ? A. M ? N C. M ? N
2 2
<

br />k 1 k 1 ? , k ? Z }, N ? {x | x ? ? , k ? Z } 则 2 2 4 2
B. M ? N D. M ? N ? ?

2. 命题“若 a ? b ? 0, 则a ? 0且b ? 0 ”的逆否命题是 A.若 a ? b ? 0, 则a ? 0且b ? 0
2 2

B.若 a ? b ? 0, 则a ? 0或b ? 0
2 2

C.若则 a ? 0且b ? 0, 则a ? b ? 0
2 2

D.若 a ? 0或b ? 0, 则a ? b ? 0
2 2

3.给出下列四个命题: ①命题 p : ?x ? R, sin x ? 1 ,则 ?p : ?x ? R, sin x ? 1 . ②当 a ? 1时,不等式 x ? 4 ? x ? 3 ? a 的解集为非空. ③当 x ? 1时,有 ln x ?

1 ? 2. ln x

④设复数 z 满足(1-i)z=2 i,则 z=1-i 其中真命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4

4. a ? b ? c ,则函数 f ? x ? ? ? x ? a ?? x ? b ? ? ? x ? b ?? x ? c ? ? ? x ? c ?? x ? a ? 的两个零点分别位于区间 若 A. C.

? b, c ? 和 ? c, ?? ? 内
? a , b ? 和 ? b, c ? 内

B. ? ??, a ? 和 ? a, b ? 内 D. ? ??, a ? 和 ? c, ?? ? 内
2 2

5. 设 x,y∈R,则“x≥2 且 y≥2”是“x +y ≥4”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 6. 曲线 y ? B.必要而不充分条件 D.即不充分也不必要条件

2 与直线 y ? x ? 1 及 x ? 4 所围成的封闭图形的面积为 x
·1·

A. 2ln 2

B. 2 ? ln 2
x

C. 4 ? ln 2

D. 4 ? 2ln 2

7. 设点 P 在曲线 y ? e 上,点 Q 在曲线 y ? ln x 上,则|PQ|最小值为 A. 2 ? 1 B.

2

C. 1? 2

D. ln 2

8. 若定义在 R 上的偶函数 f ? x ? 满足 f ?x ? 2? ? f ?x ? 且 x ? ?0,1?时, f ?x ? ? x, 则方程

f ? x ? ? log 3 x 的零点个数是
A. 2个 B. 3个 C. 4 个 D. 多于 4 个

? ? x 2 ? 2 x, x ? 0 9.已知函数 f ( x) ? ? ,若| f ( x) |≥ ax ,则 a 的取值范围是 ?ln( x ? 1), x ? 0
A. (??, 0] B. (??,1]
2

C. [?2,1]

D. [?2,0]

10. 设直线 x ? t 与函数 f ( x) ? x , g ( x) ? ln x 的图象分别交于点 M , N , 则当 | MN | 达到最小时 t 的 值为 A.1 B.

1 2

C.

5 2

D.

2 2

11.已知函数 f ( x ) 定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? e x ( x ? 1) ,给出下列命题: ①当 x ? 0 时, f ( x ) ? e x (1 ? x ); ③ f ( x ) ? 0 的解集为 (?1, 0) ? (1, ? ?) 其中正确命题个数是 A.1 B.2
2 2

②函数 f ( x ) 有 2 个零点 ④ ?x1 , x2 ? R ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 2

C.3
2

D.4
2

12. 已知函数 f ? x ? ? x ? 2 ? a ? 2 ? x ? a , g ? x ? ? ? x ? 2 ?a ? 2 ? x ? a ? 8. 设

H1 ? x ? ? max ? f ? x ? , g ? x ?? , H 2 ? x ? ? min ? f ? x ? , g ? x ?? , ? max ? p, q?? 表示 p, q 中的较大
值, min ? p, q? 表示 p, q 中的较小值,记 H1 ? x ? 得最小值为 A, H 2 ? x ? 得最大值为 B ,则

A? B ?
A. a ? 2a ? 16
2

B. a ? 2a ? 16
2

C. ?16

D. 16

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

·2·

13. 设集合 P={x|?x(3t -10t+6)dt=0,x>0},则集合 P 的非空子集个数是

2

?0

. .

14. 方程 x -3x=k 有 3 个不等的实根, 则常数 k 的取值范围是
2 2

3

15. 已知“命题 p : ( x ? m) ? 3( x ? m) ”是“命题 q : x ? 3x ? 4 ? 0 ”成立的必要不充分条件,则 实数 m 的取值范围为_________________. 16. 关于函数 f ( x) ? lg
x2 ? 1 ( x ? 0) ,有下列命题: |x|

①其图象关于 y 轴对称; ②当 x>0 时,f(x)是增函数;当 x<0 时,f(x)是减函数; ③f(x)的最小值是 lg2; ④f(x)在区间(-1,0)(2,+≦)上是增函数; 、 ⑤f(x)无最大值,也无最小值. 其中所有正确结论的序号是 17. (本小题满分 12 分) 设命题 p:函数 f(x)=lg(ax -4x+a)的定义域为 R;命题 q:不等式 2x +x>2+ax,对
2 2



三、解答题:本大题共 5 小题,共计 70 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤

? x∈(-≦,-1)上恒成立,如果命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,求实数 a 的取值范围.
18. (本小题满分 12 分) 设函数 f n ( x) ? x ? bx ? c
n

(n ? N ? , b, c ? R)

?1 ? c ? ?1,证明: f n ( x) 在区间 ? ,1? 内存在唯一的零点; ?2 ? (2) 设 n ? 2 ,若对任意 x1 , x2 ? [?1,1] ,有 | f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) |? 4 ,求 b 的取值范围;
(1)设 n ? 2 , b ? 1, (3)在(1)的条件下,设 x n 是 f n (x) 在 ? ,1? 内的零点,判断数列 x 2 , x3 , ? x n ? 的增减性. 19. (本小题满分 12 分) 某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 C (x) ,当年产量 .. 不足 80 千件时, ( x) ? C

?1 ? ?2 ?

1 2 10000 (万元) .当年产量不小于 80 千件时, ( x) ? 51x ? x ? 10 x C ? 1450 3 x

(万元).每件商品售价为 0.05 万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完. .. (Ⅰ)写出年利润 L(x) (万元)关于年产量 x (千件)的函数解析式; .. (Ⅱ)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? .. 20. (本小题满分 12 分) 设 a 为实数,函数 f ( x) ? e ? 2 x ? 2a, x ? R.
x

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间与极值; (Ⅱ)求证:当 a ? ln 2 ? 1且 x ? 0 时, e ? x ? 2ax ? 1.
x 2

21. (本小题满分 12 分)
·3·

已知函数 f ( x) = x ? ax ? b , g ( x) = e (cx ? d ) ,若曲线 y ? f ( x) 和曲线 y ? g ( x ) 都过点
2
x

P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y ? 4 x ? 2 . (Ⅰ)求 a , b , c , d 的值; (Ⅱ)若 x ≥-2 时, f ( x) ≤ kg ( x) ,求 k 的取值范围. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅 笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分) 选修 4—1;几何证明选讲. 如图,已知 PE 切⊙ O 于点 E,割线 PBA 交⊙ O 于

A、B 两点,∠APE 的平分线和 AE、BE 分别交于点 C、D.
求证:(Ⅰ) CE ? DE ; (Ⅱ)

CA PE ? . CE PB

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程. 在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线

? ? x ? ?2 ? C : p sin ? ? 2a cos ? (a ? 0) 过点 P(-2,-4)的直线 l : ? ? ? y ? ?4 ? ? ? M,N 两点 . (Ⅰ)求曲线 C 和直线 l 的普通方程;
2

2 t, 2 (t 为参数)与曲线 C 相交于点 2 t 2

(Ⅱ)若|PM|,|MN|,|PN |成等比数列,求实数 a 的值 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲. 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? a | ? | x ? 1| . (Ⅰ)当 a = 3 时,求不等式 f ( x) ? 2 的解集; (Ⅱ)若 f ( x) ? 5 ? x 对 ?x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围.

银川一中 2014 届高三第一次月考数学(理科)试卷参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的.

题 号 答 案
13. 3

1 B

2 D

3 A

4 C

5 A

6 D

7 B

8 C

9 D

10 D

11 B

12 C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 14. -2<k<2 15. (??, ?7] ? [1, ??) 16.①③④ 三、解答题:本大题共 5 小题,共计 70 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17. 解:p:?<0 且 a>0,故 a>2; q:a>2x-2/x+1,对 ? x∈(-∞,-1),上恒成立,增函数(2x-2/x+1)<1 此时 x=-1,故 a≥1
·4·

“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,等价于 p,q 一真一假.故 1≤a≤2 18. 解析:(1) b ? 1, c ? ?1 , n ? 2 时, f n ( x) ? x ? x ? 1
n

∵ f n ( ) f n (1) ? (

1 2

1 1 ?1 ? ? ) ?1 ? 0 ,∴ f n ( x) 在 ? ,1? 内存在零点. n 2 2 ?2 ?

?1 ? n ?1 ?1 ? 0 ?2 ? ?1 ? ?1 ? ∴ f n ( x) 在 ? ,1? 上是单调递增的,所以 f n ( x) 在 ? ,1? 内存在唯一零点. ?2 ? ?2 ?
又当 x ? ? ,1? 时, f n?( x) ? nx (2)当 n ? 2 时, f 2 ( x) ? x ? bx ? c
2

| 对任意 x1 , x2 ?[?1,1] 都有 | f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) ? 4等价于 f 2 ( x) 在 [?1,1] 上最大值与最小值之差

b M ? 4 ,据此分类讨论如下:(ⅰ)当 | |? 1 ,即 | b |? 2 时, 2 M ?| f 2 (1) ? f 2 (?1) |? 2 | b |? 4 ,与题设矛盾 b ? 0 ,即 0 ? b ? 2 时, 2 b b M ? f 2 (?1) ? f 2 (? ) ? ( ? 1) 2 ? 4 恒成立 2 2 b (ⅲ)当 0 ? ? 1 ,即 ?2 ? b ? 0 时, 2 b b M ? f 2 (?1) ? f 2 (? ) ? ( ? 1) 2 ? 4 恒成立. 2 2 综上可知, ?2 ? b ? 2
(ⅱ)当 ?1 ? ? 注:(ⅱ)(ⅲ)也可合并证明如下: 用 max{a, b} 表示 a, b 中的较大者.当 ?1 ?

b ? 1 ,即 ?2 ? b ? 2 时, 2

b M ? max{ f 2 (1), f 2 (?1)} ? f 2 (? ) 2 f 2 (?1) ? f 2 (1) | f 2 (?1) ? f 2 (1) | b ? ? ? f 2 (? ) 2 2 2 2 b ? 1 ? c ? | b | ?( ? ? c ) 4 |b| ? (1 ? ) 2 ? 4 恒成立 2 ?1 ? (3)证法一 设 xn 是 f n ( x) 在 ? ,1? 内的唯一零点 (n ? 2) ?2 ?
?1 ? n n ?1 f n ( xn ) ? xn ? xn ? 1 , f n ?1 ( xn ?1 ) ? xn ?1 ? xn ?1 ? 1 ? 0 , xn ?1 ? ? ,1? ?2 ? n ?1 n 于是有 f n ( xn ) ? 0 ? f n ?1 ( xn ?1 ) ? xn ?1 ? xn ?1 ? 1 ? xn ?1 ? xn ?1 ? 1 ? f n ( xn ?1 )
·5·

?1 ? ,1? 上是递增的,故 xn ? xn?1 (n ? 2) , ?2 ? 所以,数列 x2 , x3 ,? , xn ? 是递增数列.
又由(1)知 f n ( x) 在 ? 证法二 设 xn 是 f n ( x) 在 ?

?1 ? ,1? 内的唯一零点 ?2 ? n n n f n?1 ( xn ) f n?1 (1) ? ( xn ?1 ? xn ? 1)(1n?1 ? 1 ? 1) ? xn ?1 ? xn ? 1 ? xn ? xn ? 1 ? 0

则 f n ?1 ( x) 的零点 xn ?1 在 ( xn ,1) 内,故 xn ? xn ?1 (n ? 2) , 所以,数列 x2 , x3 ,? , xn ? 是递增数列. 19.解: (Ⅰ) 因为每件商品售价为 0.05 万元, x 千件商品销售额为 0.05×1000 x 万元, 则 .. 依题意得: .. 当 0 ? x ? 80 时, L( x) ? (0.05 ?1000 x) ?

1 2 x ? 10 x ? 250 3

1 ? ? x 2 ? 40 x ? 250 .????????????2 分 3 10000 当 x ? 80 时, L( x) ? (0.05 ?1000 x) ? 51x ? ? 1450 ? 250 x 10000 ? ? = 1200 ? ? x ? ? .??????????????????4 分 x ? ? ? 1 2 ?? 3 x ? 40 x ? 250 (0 ? x ? 80 ), ? 所以 L( x) ? ? ????6 分 10000 ? ? ?1200 ? ? x ? ?( x ? 80 ). ? x ? ? ? 1 (Ⅱ)当 0 ? x ? 80 时, L( x) ? ? ( x ? 60) 2 ? 950 . 3 此时,当 x ? 60 时, L(x) 取得最大值 L(60) ? 950 万元. ??????8 分
当 x ? 80 时,

10000 ? ? L( x) ? 1200 ? ? x ? ? x ? ? ? 1200 ? 2 x ? 10000 ? 1200 ? 200 ? 1000 x

10000 时,即 x ? 100 时 L(x) 取得最大值 1000 万元.??????11 分 x ?950 ? 1000
此时,当 x ? 所以,当产量为 100 千件时,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为 1000 万元. ????????????????????????????????????12 分 20. (1)解:由 f ( x) ? e ? 2 x ? 2a, x ? R 知, f ( x) ? e ? 2, x ? R .
x ' x

令 f ( x) ? 0 ,得 x ? ln 2 .于是,当 x 变化时, f ?? x ? 和 f ? x ? 的变化情况如下表:
'

x
f ' ( x)

(??,ln 2)

ln 2
0
·6·

(ln 2, ??)
+

?

单调递增 2 ? 2ln 2 ? 2a 故 f ( x) 的单调递减区间是 (??,ln 2) ,单调递增区间是 (ln 2, ??) . f ( x) 在 x ? ln 2 处取得极小值, 极小值为 f (ln 2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a .

f ( x)

单调递减

(2)证明:设 g ( x) ? e ? x ? 2ax ? 1, x ? R ,于是 g ?( x) ? e ? 2 x ? 2a, x ? R .
x 2 x

由(1)知, 对任意 x ?R ,都有 g ( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 R 内单调递增.
'

于是,当 a ? ln2 ?1 时,对任意 x ? (0, ??) ,都有 g (x) ? g (0) ,而 g (0) ?0 , 从而对任意 x ? (0, ??) ,都有 g ( x) ? 0 ,即 e ? x ? 2ax ? 1 ? 0, 故 e x ? x 2 ? 2ax ? 1.
x 2

21. (Ⅰ)由已知得 f (0) ? 2, g (0) ? 2, f ?(0) ? 4, g ?(0) ? 4 ,
x 而 f ?( x) = 2x ? b , g ?( x) = e (cx ? d ? c) ,∴ a =4, b =2, c =2, d =2;

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? x ? 4 x ? 2 , g ( x) ? 2e ( x ? 1) ,
2 x

设函数 F ( x) = kg ( x) ? f ( x) = 2ke ( x ? 1) ? x ? 4 x ? 2 ( x ? ?2 ),
x 2

F ?( x) = 2ke x ( x ? 2) ? 2 x ? 4 = 2( x ? 2)(ke x ? 1) , 有题设可得 F (0) ≥0,即 k ? 1 ,
令 F ?( x) =0 得, x1 = ? ln k , x2 =-2, (1) 若 1 ? k ? e , 则 -2< x1 ≤0,∴ 当 x ? (?2, x1 ) 时 , F ( x) <0, 当 x ? ( x1 , ??) 时 , F ( x) >0, 即
2

F ( x) 在 (?2, x1 ) 单 调 递 减 , 在 ( x1 , ??) 单 调 递 增 , 故 F ( x) 在 x = x1 取 最 小 值 F ( x1 ) , 而

F ( x1 ) = 2 x1 ? 2 ? x12 ? 4 x1 ? 2 = ? x1 ( x1 ? 2) ≥0, ∴当 x ≥-2 时, F ( x) ≥0,即 f ( x) ≤ kg ( x) 恒成立,
(2)若 k ? e ,则 F ?( x) = 2e ( x ? 2)(e ? e ) ,
2
2 x 2

∴当 x ≥-2 时, F ?( x) ≥0,∴ F ( x) 在(-2,+∞)单调递增,而 F (?2) =0, ∴当 x ≥-2 时, F ( x) ≥0,即 f ( x) ≤ kg ( x) 恒成立, (3)若 k ? e ,则 F (?2) = ?2ke
2 2 ?2

? 2 = ?2e ?2 (k ? e 2 ) <0,

∴当 x ≥-2 时, f ( x) ≤ kg ( x) 不可能恒成立, 综上所述, k 的取值范围为[1, e ]. 22. (Ⅰ)证明:? PE 切⊙ O 于点 E ,??A ? ?BEP ? PC 平分??A ? ?CPA ? ?BEP ? ?DPE ? ?ECD ? ?A ? ?CPA , ?EDC ? ?BEP ? ?DPE ,
??ECD ? ?EDC ,? EC ? ED

(Ⅱ)证明:? ?PDB ? ?EDC , ?EDC ? ?ECD , ?PDB ? ?PCE
??BPD ? ?EPC ,??PBD ∽ ?PEC ,?

PE PC ? PB PD

同理 ?PDE ∽ ?PCA ,?

PC CA ? PD DE PE CA CA PE ? ? ? DE ? CE , ? ? PB DE CE PB

23.

·7·

24.解:(Ⅰ) a ? 3 时,即求解 2 x ? 3 ? x ? 1 ? 2

3 时, 2 x ? 3 ? x ?1 ? 2? x ? 2 2 3 ②当 1 ? x ? 时, 3 ? 2x ? x ?1 ? 2?2 ? x ? 2? x ? 0 2 2 ③当 x ? 1时, 3 ? 2 x ? 1 ? x ? 2 ? 3x ? 2 ? x ? 3 ? 2 ? ?综上,解集为 ? x x ? 或x ? 2 ? ? 5? 3 ? ?
①当 x ? (Ⅱ)即 2 x ? a ? 5 ? x ? x ? 1 恒成立 令 g ( x) ? 5 ? x ? x ? 1 ? ?

y
4

? 6 ? 2 x, x ? 1 则函数图象为 ? 4, x ? 1

a ? ? 3 ,?a ? 6 ?10? 2

o

3

a 2

x

·8·


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