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高一数学同步练习(必修4第一章三角函数的图象及性质)(学生版)


二、
A.基础梳理

正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

1.用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点 如下表所示 x 0-φ ω 0 0 π -φ 2 ω π 2 A π-φ ω π 0 3π -φ 2 ω 3π 2 -A 2π-φ ω 2π 0

ωx+φ y=

Asin(ωx+φ)

2.函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤

2π 1 3.当函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈[0,+∞))表示一个振动时,A 叫做振幅,T= 叫做周期,f= 叫做频率, ω T ωx+φ 叫做相位,φ 叫做初相. 4.图象的对称性 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象是轴对称也是中心对称图形,具体如下: π (1)函数 y=Asin(ωx+φ)的图象关于直线 x=xk(其中 ωxk+φ=kπ+ ,k∈Z)成轴对称图形. 2 (2)函数 y=Asin(ωx+φ)的图象关于点(xk,0)(其中 ωxk+φ=kπ,k∈Z)成中心对称图形.

B.方法与要点
1、一种方法 M-m M+m 2π 在由图象求三角函数解析式时,若最大值为 M,最小值为 m,则 A= ,k= ,ω 由周期 T 确定,即由 =T 2 2 ω 求出,φ 由特殊点确定. 2、一个区别 由 y=sin x 的图象变换到 y=Asin (ωx+φ)的图象,两种变换的区别:先相位变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ| |φ| 个单位;而先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量是 (ω>0)个单位.原因在于相位变换和周期变换都是针对 x ω 而言,即 x 本身加减多少值,而不是依赖于 ωx 加减多少值.

3、两个注意 作正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)的图象时应注意:(1)首先要确定函数的定义域;
1

(2)对于具有周期性的函数,应先求出周期,作图象时先作一个周期的图象,再由周期性作整个函数的图象.

C.双基自测
π 2x- ? 的振幅、频率和初相分别为( 1.(人教 A 版教材习题改编)y=2sin? 4? ? 1 π A.2, ,- π 4 B.2, 1 π ,- 2π 4 1 π C.2, ,- π 8 ).

1 π D.2, ,- 2π 8

π |φ|< ?的部分图象如图所示, 2.已知简谐运动 f(x)=Asin(ωx+φ)? 2? ? 则该简谐运动的最小正周期 T 和初相 φ 分别为( π A.T=6π,φ= 6 ). π D.T=6,φ= 3 ).

π π B.T=6π,φ= C.T=6,φ= 3 6

π 3.函数 y=cos x(x∈R)的图象向左平移 个单位后,得到函数 y=g(x)的图象,则 g(x)的解析式应为( 2 A.-sin x B.sin x C.-cos x D.cos x

π? 4π 4.设 ω>0,函数 y=sin? ?ωx+3?+2 的图象向右平移 3 个单位后与原图象重合,则 ω 的最小值是( 2 A. 3 4 B. 3 3 C. 2 D.3

).

5.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示,则 ω=________.

D.考点解析 考点一 函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象

题型 1:给出函数作图象 π 3 ? ? ?π ? 【例 1-1】?设函数 f(x)=cos(ω x+φ )?ω >0,- <φ <0?的最小正周期为 π ,且 f? ?= . 2 ? ? ?4? 2 (1)求 ω 和 φ 的值; (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π ]上的图象. [审题视点] (1)由已知条件可求 ω ,φ ; (2)采用“五点法”作图,应注意定义域[0,π ].

题型 2:给出图象求函数 π 【例 1-2】?(1)已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,|φ|< ,ω>0) 2 的图象的一部分如图所示.
2

(1)求 f(x)的表达式;

(2)试写出 f(x)的对称轴方程.

0 ? ≤ ) 的图象与 y 轴相交于点 (0,3) ,且该函数的最小正周期为 ? . (2)如图,函数 y ? 2 cos(? x ? ? )( x ? R,≤
(1)求 ? 和 ? 的值;

π 2

( , 0) (2)已知点 A ,点 P 是该函数图象上的一点,点 Q (x0 , y0 ) 是 PA 的中点,当 y 0 ? 2
值。

?

3 ? , x ? [ , ? ) 时,求 x0 的 2 2

【训练 1-2】 1、下列函数中,图象的一部分如右图所示的是 (A) y ? sin ? x ?

? ?

??
? 6?

(B) y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

?? ? ? (C) y ? cos ? 4 x ? ? 6? 3? ?
y
1 o -1
3? 4

(D) y ? cos ? 2 x ?

? ?

??
? 6?

2?

x

2、函数 y ? A sin( ?x ? ?)( ? ? 0, ? ?

? , x ? R) 的部分图象如图所示,则函数表达式为 2 ? ? ? ? ? ? ? ? (A) y ? ?4 sin( x ? ) (B) y ? 4 sin( x ? ) (C) y ? ?4 sin( x ? ) (D) y ? 4 sin( x ? ) 8 4 8 4 8 4 8 4

3、已知函数 y=sin( ? x+ ? ) ( ? >0, - ? ? ? < ? )的图像如图所示,则

? =________________

.

4、已知函数 f ( x ) =Acos( ? x ? ? )的图象如图所示, f ( ) ? ?

?

2

2 ,则 f (0) = 3

2 (A) ? 3

2 (B) 3

1 (C)- 2

1 (D) 2

21 世 纪教育 网

考点二

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换

题型 1:给定原函数 f ( x) 和变换过程求变换后的函数
3

【例 2-1】?(1) (2009 全国卷Ⅱ理)若将函数 y ? tan ? ? x ?

? ?

??

? ? ?? ? 0 ? 的图像向右平移 6 个单位长度后,与函数 4?

?? ? y ? tan ? ? x ? ? 的图像重合,则 ? 的最小值为 6? ?
A.

1 6

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2

【例 2-1】?(2)函数 y=cosx 的图象向左平移 函数图象解析式为
1 ? (A) y=3cos( x+ ) 2 3

1 ? 个单位,横坐标缩小到原来的 ,纵坐标扩大到原来的 3 倍,所得的 2 3 ( )

(B) y=3cos(2x+

? ) 3

(C) y=3cos(2x+

2? ) 3

1 1 ? (D) y= cos( x+ ) 2 3 6

【训练 2-1】 (1)把函数 y=cos2x+1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),然后向左平移 1 个单位长度,再 向下平移 1 个单位长度,得到的图像是

(2) 先将函数 y=( f x) 的图象向右移

? ? ? 个单位, 再将所得的图象作关于直线 x= 的对称变换, 得到 y ? sin( ?2 x ? ) 3 6 4


的函数图象,则 f(x)的解析式是( A、 y ? sin( ?2 x ?

?
3

)

B、 y ? sin( ?2 x ?

?
3

)

C、 y ? sin( 2 x ?

?
3

)

D、 y ? sin( 2 x ?

?
3

)
.

(3)把函数 y = sin(2x+

? ? 1 )的图象向右平移 个单位, 再将横坐标缩小为原来的 , 则其解析式为 2 4 8

题型 2:给定变换前后函数求变换过程 【例 2-2】?(1) f ( x ) ? sin(

?
3

? 2 x) 其图象可以由 y=sinx 的图象经过怎样的变换得到?

【例 2-2】?(2)要得到函数 y ? (A)横坐标缩短到原来的

2 cos x 的图象,只需将函数 y ? 2 sin( 2 x ?

?
4

) 的图象上所有的点的(C)

1 ? 倍(纵坐标不变),再向左平行移动 个单位长度 2 8 1 ? (B)横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,再向右平行移动 个单位长度 2 4

? 个单位长度 4 ? (D)横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再向右平行移动 个单位长度 8
(C)横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再向左平行移动
4

【训练 2-2】 (1)要得到函数 A、向左平移 个单位 的图象,只要将函数 y=sin2x 的图象( B、向右平移 个单位 C、向左平移 个单位 ) D、向右平移 个单位

2)将 y ? sin( 2 x ?

?
3

) 的图象变为 y ? sin( 3 x ?

?
3

) ,其变换方法是______________________

(3)已知函数 f ( x) ? sin(? x ?

?
4

)(x ? R ,? ? 0)的最小正周期为 ? ,为了得到函数 g ( x) ? cos? x 的图象,只要将

y ? f ( x) 的图象

? 个单位长度 8 ? C.向左平移 个单位长度 4
A.向左平移 (4)有下列四种变换方式: ①向左平移

? 个单位长度 8 ? D. 向右平移 个单位长度 4
B. 向右平移

? 1 1 ? ,再将横坐标变为原来的 ;②横坐标变为原来的 ,再向左平移 ; 4 2 2 8 1 ? ? 1 ③横坐标变为原来的 ,再向左平移 ; ④向左平移 ,再将横坐标变为原来的 ; 2 4 8 2 ? 其中能将正弦曲线 y ? sin x 的图像变为 y ? sin(2 x ? ) 的图像的是( ) 4
A.①和② B.①和③ C. ②和③ D. ②和④

考点三

三角函数模型的简单应用

【例 3】 ?一个大风车的半径为 8 米, 12 分钟旋转一周, 它的最低点离地面 2 米, 求风车翼片的一个端点离地面距离 h(米) 与时间 t(分钟)之间的函数关系式.
8 m 2 m

P
h

高一数学必修四单元检测题
一,选择题 1、 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) (A>0,ω >0)在 x=1 处取最大值,则( ) .
5

A. f ( x ? 1) 一定是奇函数 2、函数 y=tg(

B. f ( x ? 1) 一定是偶函数 C. f ( x ? 1) 一定是奇函数 )

D. f ( x ? 1) 一定是偶函

)在一个周期内的图象(

A、

B、

C、

D、

3、函数 y ? sin(?x ? ? )(x ? R, ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 的部分图象如图,则 A. ? ? C. ? ?

?
2

,? ?

?
4

B. ? ?

?

?

4

,? ?

?

4

6 5? D. ? ? , ? ? 4 4

?

3

,? ?

?

4、函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的部分图象如图所示,则 f (1) ? f (2) ? ? ? f (11) 的值是( A、0 B、-1 C、2+2 2 D、2-2 2



5、函数 f ( x) ?

2 sin(2 x ? ) ,给出下列三个命题: 4 ? ? ? 5? ? ①函数 f ( x ) 在区间 ? , 上是减函数;②直线 x ? 是函数 f ( x ) 的图象的一条对称; ? 8 ?2 8 ?
③函数 f ( x ) 的图象可以由函数 y ? 2 sin 2 x 的图象向左平移 其中正确的是 A.①③ B ①② C.②③

?

? 而得到。 4

( D.①②③



6、函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? k ( A ? 0, ? ? 0,| ? |? A. y ? 2sin(

?
2

, x ? R) 的部分图象如图所示, ,则函数表达式为( ) )
y

?
3

x?

?
6

) ?1 ) ?1

B. y ? 2sin( D. y ? 2sin(

?
6

x?

?
3

3
1

C. y ? 2sin(

?
3

x?

?
6

?

6

x?

?

3

) ?1

O ?1

2

x ? 7、为了得到函数 y ? 2 sin( ? ), x ? R 的图像,只需把函数 y ? 2 sin x, x ? R 的图像上所有的点 3 6

13 2

x

(A)向左平移 (B)向右平移 (C)向左平移

? ? ?

1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 6 3

1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 6 3 6

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)

6

(D)向右平移 (D)向右平移

?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 6 8、 (已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能 是 ( ) ...

?

9.函数 y ? tan x ? sin x ? tan x ? sin x 在区间 (
y
y
y

? 3?
2 , 2

) 内的图象是
y

?
2

2 -

?
?
2

2 -

?
?
2

o ?2 -

?

3? 2

?
2

x

o

?
A

3? 2

x o

?
B

3? 2

x

?

o ?2 -

?

3? 2

x

?

C

D

10、 12 年北京国际数学家大会会标是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中 较小的锐角为 θ,大正方形的面积为 1,小正方形的面积是 1 ,则 sin2θ-cos2θ 的值是 (A) 1 (B) 24
25

(C) 7

25

(

)

25

(D) - 7

25

二填空题 11、.函数 y=cos(sinx)的奇偶性是

;最小正周期是________________
1 ],则函数 y=f(sin2x) 的定义域.是____________________ 4

12、已知函数 y= f(x)的定义域是[0,

?? ? ? ? ? 25? ? ? 17? ? ; 13、对于下列四个命题:① sin? ? ? ? ? sin? ? ? ;② cos? ? ? ? cos? ? ? ? ? ? 4 ? 18 10 4 ? ? ? ? ③ tan 138? ? tan 143? ;④ tan 40? ? sin 40? 。其中正确命题的序号是_________________ π? 5π π? π 7π? ? ? 14、已知函数 f(x)=sin? ?ωx+3?(ω>0)的单调递增区间为?kπ-12,kπ+12?(k∈Z),单调递减区间为?kπ+12,kπ+12?(k
∈Z),则 ω 的值为________. 15、 曲线 y ? sin 2 x 和直线 y ? 于__ 三、解答题 16、已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? __.

1 在 y 轴右侧有无数个交点, 把交点的横坐标从小到大依次记为 x1 , x2 , ??????, xn , 则 x3 等 2

?
2

)的图象与 x 轴的交点中,相邻两个交点之间

7

? 2? , ?2) ,且图象上一个最低点为 M ( 3 2 ? ? (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)当 x ? [ , ] 时,求 f ( x ) 的值域. 12 2
的距离为

17 、函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等,请选择适当的探究顺序,研究函数 f(x)= 1 ? sin x ? 1 ? sin x 的性质,并在此基础上,作出其在 [?? , ? ]上的图象。 (提示: sin x ? 2 sin

x x cos ) 2 2

18、已知 f ( x) ? ?2a sin( 2 x ?

?

? 3? ) ? 2a ? b, x ? [ , ] ,是否存在常数 a, b ? Q ,使得 f(x)的值域为 [?3, 3 ? 1] ? 6 4 4

若存在,求出 a、b 的值;若不存在,说明理由。

19 、已知定义在区间 [ ? ?

2 ? 2 ? , ? ] 上的函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? ? 对称,当 x ? [ ? , ? ] 时,函数 3 6 3 6
?
? ? ? ) ,其图象如图 3 所示 2 2

f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? 2 3

?

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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y
1
?

(1)求函数 y ? f ( x) 在 [ ? ? , ? ] 的表达式; (2)求方程 f ( x ) ?

2 的解. 2



?

x??

?
6

o

? 6

2? 3

?

x

8


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