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2018高考数学异构异模复习第十章圆锥曲线与方程课时撬分练10.3抛物线及其性质理


2018 高考数学异构异模复习考案 第十章 圆锥曲线与方程 课时撬分 练 10.3 抛物线及其性质 理
时间:45 分钟 基础组 1.[2016?衡水二中周测]若抛物线 y =2px 上一点 P(2,y0)到其准线的距离为 4,则抛 物线的标准方程为( A.y =4x C.y =8x 答案 C 解析 ∵抛物线 y =2px,∴准线为 x=- .∵点 P(2,y0)到其准线的距离为 4,∴ 2
2 2 2 2

) B.y =6x D.y =10x
2 2

p

?-p-2?=4,∴p=4. ? 2 ? ? ?
∴抛物线的标准方程为 y =8x,故选 C. 2. [2016?枣强中学仿真]已知双曲线 C1: 2- 2=1(a>0, b>0)的焦距是实轴长的 2 倍. 若 抛物线 C2: x =2py(p>0)的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2, 则抛物线 C2 的方程为( 8 3 2 A.x = y 3 C.x =8y 答案 D 解析 ∵2c=4a,∴c=2a,又 a +b =c ,∴b= 3a,∴渐近线 y=± 3x,又∵抛物 线 C2 的焦点?0, ?, ? 2?
2 2 2 2 2 2

x2 y2 a b

)

16 3 2 B.x = y 3 D.x =16y
2

?

p?

p
2 2 ∴d= =2,∴p=8,∴抛物线 C2 的方程为 x =16y. 2 3. [2016?衡水二中月考]如图, 过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A,
2

B,交其准线 l 于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为(

)

1

A.y =9x C.y =3x 答案 C
2

2

B.y =6x D.y = 3x
2

2

解析 如图, 分别过 A, B 作 AA1⊥l 于 A1, BB1⊥l 于 B1, 由抛物线的定义知, |AF|=|AA1|, |BF|=|BB1|,

∵|BC|=2|BF|, ∴|BC|=2|BB1|, ∴∠BCB1=30°, ∴∠AFx=60°.连接 A1F,则△AA1F 为等边三角形,过 F 作 FF1⊥AA1 于 F1,则 F1 为 AA1 1 1 3 2 的中点,设 l 交 x 轴于 K,则|KF|=|A1F1|= |AA1|= |AF|,即 p= ,∴抛物线方程为 y = 2 2 2 3x,故选 C. 4. [2016?武邑中学热身]已知点 M(-3,2)是坐标平面内一定点,若抛物线 y =2x 的焦 点为 F,点 Q 是该抛物线上的一动点,则|MQ|-|QF|的最小值是( A. C. 7 2 5 2 B.3 D.2 )
2

答案 C

2

1 解析 抛物线的准线方程为 x=- ,当 MQ∥x 轴时,|MQ|-|QF|取得最小值,此时|QM| 2 1 5 -|QF|=3- = ,选 C. 2 2 5.[2016?衡水二中热身]已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O,并且经过 点 M(2,y0).若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3,则|OM|=( A.2 2 C.4 答案 B B.2 3 D.2 5 )

? ? 2 解析 设抛物线方程为 y =2px(p>0),则焦点坐标为? ,0?,准线方程为 x=- , 2 ?2 ?
p p
∵M 在抛物线上,∴M 到焦点的距离等于到准线的距离, ∴

?2-p?2+y2=2+p=3. ? 2? 0 2 ? ?

解得:p=2,y0=±2 2. ∴点 M(2,±2 2),根据两点距离公式有: ∴|OM|= 2 +?±2 2? =2 3.
2 2 2

6. [2016?武邑中学期末]已知抛物线方程为 y =4x,直线 l 的方程为 x-y+4=0,在 抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1,到直线 l 的距离为 d2,则 d1+d2 的最小值为( A. C. 5 2 +2 2 5 2 -2 2
2

)

B. D.

5 2 +1 2 5 2 -1 2

答案 D 解析 因为抛物线的方程为 y =4x,所以焦点为 F(1,0),准线方程为 x=-1,因为点 P 到 y 轴的距离为 d1,所以到准线的距离为 d1+1,又 d1+1=|PF|,所以 d1+d2=d1+1+d2-1 |1-0+4| 5 5 2 5 2 =|PF|+d2-1,焦点 F 到直线 l 的距离 d= = = ,而|PF|+d2≥d= , 2 2 2 2 所以 d1+d2=|PF|+d2-1≥ 5 2 -1,选 D. 2
2

7.[2016?衡水二中预测]已知抛物线 y =2px(p>0),过其焦点且斜率为-1 的直线交抛 物线于 A,B 两点,若线段 AB 的中点的横坐标为 3,则该抛物线的准线方程为( A.x=1 C.x=-1 答案 C 解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方程为 y=-?x- ?,与抛物线方程联立得, ? 2? B.x=2 D.x=-2 )

?

p?

3

p? ? ?y=-? ?x-2? ? ? ? 2 ? ?y =2px

,消去 y 整理得:x -3px+ =0,可得 x1+x2=3p.根据中点坐标公式, 4

2

p2

3p 有 =3,p=2,因此抛物线的准线方程为 x=-1. 2 8.[2016?枣强中学月考]过抛物线 y =2px(p>0)焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 B、C 两 → → 点,l 与抛物线的准线交于点 A,且|AF|=6,AF=2FB,则|BC|=( A. C. 9 2 13 2 B.6 D.8 )
2

答案 A π 解析 不妨设直线 l 的倾斜角为 θ ,其中 0<θ < ,点 B(x1,y1)、C(x2,y2),则点 B 在 2 |AF| p x 轴的上方. 过点 B 作该抛物线的准线的垂线, 垂足为 B1, 于是有|BF|=|BB1|=3, = , |AB| |BB1|

p 2 1 2 2 由此得 p=2,抛物线方程是 y =4x,焦点 F(1,0),cosθ = = = ,sinθ = 1-cos θ |AF| 6 3


?y=2 2?x-1? 2 2 sinθ ,tanθ = =2 2,直线 l:y=2 2(x-1).由? 2 3 cosθ ?y =4x

得 8(x-1)

2

5 5 9 2 =4x,即 2x -5x+2=0,x1+x2= ,|BC|=x1+x2+p= +2= ,选 A. 2 2 2 9.[2016?衡水二中猜题]已知 P 为抛物线 y =4x 上一个动点,Q 为圆 x +(y-4) =1 上一个动点,那么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线准线的距离之和的最小值是________. 答案 解析 17-1 由题意知,圆 x +(y- 4) = 1 的圆心为 C(0,4),半径为 1,抛物线的焦点为
2 2 2 2 2

F(1,0).根据抛物线的定义,点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线准线的距离之和即点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线焦点的距离之和, 因此|PQ|+|PF|≥|PC|+|PF|-1≥|CF|-1= 17
-1. 10.[2016?衡水二中一轮检测]已知圆 C:x +y +6x+8y+21=0,抛物线 y =8x 的准 线为 l,设抛物线上任意一点 P 到直线 l 的距离为 m,则 m+|PC|的最小值为________. 答案 41
2 2 2 2 2

解析 由题意得圆 C 的方程为(x+3) +(y+4) =4,圆心 C 坐标为(-3,-4).由抛物 线 定 义 知 , 当 m + |PC| 最 小 时 , 为 圆 心 与 抛 物 线 焦 点 间 的 距 离 , 即 (m + |PC|)min = ?-3-2? +?-4? = 41. 11.[2016?冀州中学周测]已知直线 l 与抛物线 y =8x 交于 A、B 两点,且 l 经过抛物 线的焦点 F,A 点的坐标为(8,8),则线段 AB 的中点到准线的距离是________. 答案 25 4
2 2 2

4

解析 由 y =8x 知 2p=8, ∴p=4,则点 F 的坐标为(2,0). 由题设可知,直线 l 的斜率存在,设 l 的方程为 y=k(x-2),点 A,B 的坐标分别为(xA,

2

yA),(xB,yB).
4 又点 A(8,8)在直线上,∴8=k(8-2),解得 k= . 3 4 ∴直线 l 的方程为 y= (x-2).① 3 将①代入 y =8x,整理得 2x -17x+8=0,则 xA+xB= 离是
2 2

17 ,∴线段 AB 的中点到准线的距 2

xA+xB p 17
2

25 + = +2= . 2 4 4
2

12.[2016?冀州中学热身]已知过抛物线 y =2px(p>0)的焦点,斜率为 2 2的直线交抛 物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程; → → → (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC=OA+λ OB,求 λ 的值. 解 (1)直线 AB 的方程是 y=2 2?x- ?, ? 2?
2 2 2

?

p?

与 y =2px 联立,从而有 4x -5px+p =0, 5p 所以 x1+x2= . 4 由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9, 所以 p=4,从而抛物线方程是 y =8x. (2)由 p=4,4x -5px+p =0 可得 x -5x+4=0, 从而 x1=1,x2=4,y1=-2 2,y2=4 2, 从而 A(1,-2 2),B(4,4 2). → 设OC=(x3,y3)=(1,-2 2)+λ (4,4 2) =(4λ +1,4 2λ -2 2), 又 y3=8x3,即[2 2(2λ -1)] =8(4λ +1),即(2λ -1) =4λ +1, 解得 λ =0 或 λ =2. 能力组 13. [2016?枣强中学周测]设抛物线 y =2x 的焦点为 F,过点 M( 3,0)的直线与抛物 线相交于 A, B 两点, 与抛物线的准线相交于点 C, |BF|=2, 则△BCF 与△ACF 的面积之比 =( A. C. ) 4 5 4 7 B. D. 2 3 1 2
2 2 2 2 2 2 2 2

S△BCF S△ACF

5

答案 A 1 解析 如图,过 A,B 作准线 l:x=- 的垂线,垂足分别为 A1,B1,由于 F 到直线 AB 2 的距离为定值,



S△BCF |BC| = . S△ACF |CA|
|BC| |BB1| |BB1| |BF| 2 S△BCF |BF| = ,由抛物线定义知 = = ,∴ = . |CA| |AA1| |AA1| |AF| |AF| S△ACF |AF|

又∵△B1BC∽△A1AC, ∴

3 由|BF|=|BB1|=2 知 xB= ,yB=- 3, 2 ∴直线 AB 的方程为 y-0= 3 3 3- 2 (x- 3).

把 x= 代入上式,求得 yA=2,xA=2, 2 5 ∴|AF|=|AA1|= . 2 故

y2

S△BCF |BF| 2 4 = = = .故选 A. S△ACF |AF| 5 5
2
2

14. [2016?冀州中学预测]已知点 P 是抛物线 y =2x 上的动点, 点 P 到准线的距离为 d,

?7 ? 且点 P 在 y 轴上的射影是 M,点 A? ,4?,则|PA|+|PM|的最小值是( ?2 ?
A. C. 7 2 9 2 B.4 D.5

)

答案 C

?1 ? ?7 ? 2 解析 设抛物线 y =2x 的焦点为 F,则 F? ,0?,又点 A? ,4?在抛物线外,抛物线的准 2 ? ? ?2 ?

6

1 1 线方程为 x=- , 则|PM|=d- , 又|PA|+d=|PA|+|PF|≥|AF|=5, 所以|PA|+|PM|=|PA| 2 2 1 1 9 9 +d- ≥5- = ,即(|PA|+|PM|)min= .故选 C. 2 2 2 2 15.[2016?衡水二中热身]如图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水 面宽 4 米,水位下降 1 米后,水面宽________米.

答案 2 6 解析 建立适当的坐标系,如图所示,可求出抛物线的方程是 x =-2y,当 y=-3 时,
2

x2=-2?(-3)=6,所以 x=± 6,即水面宽是 2 6 米.

16.[2016?武邑中学期末]设抛物线 C:x =2py(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A 为 C 上 一点,已知以 F 为圆心,FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点. (1)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为 4 2,求 p 的值及圆 F 的方程; (2)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求坐

2

7

标原点到 m,n 距离的比值. 解 形. 设 BD 交 y 轴于点 E,则|BE|=|DE|=|EF|=p.所以|BD|=2p.故圆 F 的半径|FA|=|FB| = 2p.由抛物线定义可知 A 到 l 的距离 d=|FA|= 2p. 1 1 因为△ABD 的面积为 4 2, 所以 |BD|?d=4 2, 即 ?2p? 2p=4 2, 得 p=-2(舍去) 2 2 或 p=2.所以 F(0,1).故圆 F 的方程为 x +(y-1) =8. (2)因为 A,B,F 三点在同一直线 m 上,所以 AB 为圆 F 的直径,∠ADB=90°. 1 3 3 由抛物线定义知|AD|=|FA|= |AB|,所以∠ABD=30°,m 的斜率为 或- . 2 3 3 当 m 的斜率为 3 3 2 3 2 2 时,由已知可设 n:y= x+b,代入 x =2py 得 x - px-2pb=0. 3 3 3
2 2

(1)由题意易知 B,D 两点关于 y 轴对称,所以|FB|=|FD|.故△BFD 为等腰直角三角

4 2 p 由于 n 与 C 只有一个公共点,故 Δ = p +8pb=0,解得 b=- . 3 6

p |b1| 因为 m 的截距 b1= , =3, 2 |b|
所以坐标原点到 m,n 距离的比值为 3. 当 m 的斜率为- 3 时,由图形对称性可知,坐标原点到 m,n 距离的比值为 3. 3

8


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