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全国中学生数学竞赛二试模拟训练题(83)


加试模拟训练题(83)
1.在锐角?ABC中,角?C的平分线交于AB于L,从L作边AC和BC的垂线,垂 足分别是M和N,设AN和BM的交点是P,证明:CP ? AB
C

N M B A K L

2. 数列{an}定义为 a1=a2=1,an+2=an+1+an.求证:当 n≥2 时,a2n-1 必是数列中某两项的平方和, a2n 必是数列中某两项的平方差.

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3. 已知平面上 n(n>2)个点,其中任意三点都不在一直线上.试证:在经过这些点的所有闭折线中,长度 最短的一定是简单闭折线.

4 .设 ? x ? 1?

p

? x ? 3?

q

? x n ? a1 x n ?1 ? a2 x n ? 2 ? ? ? an , p, q ? N * 。

(1)若 a1 ? a2 ,求证: 3n 是完全平方数 (2)存在无穷多个 ? p, q ? ,使得 a1 ? a2

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加试模拟训练题(83)
1.在锐角?ABC中,角?C的平分线交于AB于L,从L作边AC和BC的垂线,垂 足分别是M和N,设AN和BM的交点是P,证明:CP ? AB
C

证:作CK ? AB 下证CK、BM、AN三线共点,且为P点, 要证CK、BM、AN三线共点,依塞瓦定理 AM CN BK 即要证: ? ? ?1 MC NB AK 又 ? MC ? CN AM BK 即要证明: ? ?1 AK NB AM AL ? ?AML ? ?AKC ? ? AK AC AL BC 即要证 ? ?1 AC BL
M

N

B A K L

?BNL ? ?BKC ?

BK BC ? NB BL

AL BC 依三角形的角平分线定理可知: ? ?1 AC BL ? CK、BM、AN三线共点,且为P点 ? CP ? AB
2. 数列{an}定义为 a1=a2=1,an+2=an+1+an.求证:当 n≥2 时,a2n-1 必是数列中某两项的平方和, a2n 必是数列中某两项的平方差. 【题说】1990 年南昌市赛二试题 1.此数列即为斐波拉契数列. 【证】数列的前 4 项为 1,1,2,3,

因此对一切自然数 n≥2,

3. 已知平面上 n(n>2)个点,其中任意三点都不在一直线上.试证:在经过这些点的所有闭折线中,长度
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最短的一定是简单闭折线. 【题说】 1971 年~1972 年波兰数学奥林匹克三试题 2.简单闭折线即不自身相交的闭折线.

【证】 设已知点为 A1,A2,…,An,L 为经过这些点的最短的闭折线. 若 L 不是简单闭折线,则 L 有两段,设为 AiAj、AsAt 相交于内点 P,这时 AiAt+AsAj<AiP+PAt+AsP+PAj =AiAj+AsAt 因此将 L 中的线段 AiAj、AsAt 改为 AiAt、AsAj,则折线的长度减少,与 L 的最小性矛盾,从而 L 一定是简单 闭折线. 4 .设 ? x ? 1?
p

? x ? 3?

q

? x n ? a1 x n ?1 ? a2 x n ? 2 ? ? ? an , p, q ? N * 。

(1)若 a1 ? a2 ,求证: 3n 是完全平方数 (2)存在无穷多个 ? p, q ? ,使得 a1 ? a2

解析: ? x ? 1?

p

? x ? 3?

q

? p ?? q i ? ? ? ? C ip x p ?i ?? ? Cq x q ?i (?3)i ? , ? i ?1 ?? i ?1 ?

a1 ? p ? 3q , a2 ? ?3 pq ? 9

q(q ? 1) p( p ? 1) 2 。 a1 ? a2 可以得到 3( p ? q ) ? ? p ? 3q ? ,得证。 ? 2 2

? p ? 3q ? t t2 ? t t 2 ? 3t ,q ? 可以得到 p ? ,取 t ? 3(mod12) 即可。 ? 2 4 12 ?3( p ? q ) ? t

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