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二元一次方程和一次函数教案


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第 13 章 一次函数 13.1 函数 第一教时 教学目标 1、通过直观感知,领悟常量、变量、函数的意义。 2、了解函数三种表示方法中的列表法和解析法 教学重点、难点 1、重点:理解函数的意义,并会根据具体问题探究相应的函数关系式 2、难点:对函数意义的准确理解 教学过程 一、

创设情境,导入新课 导语: 注意观察情境图, 并引导学生思考情境图中的热气球是怎样运动变化的?图下方的表 格以有等式“h=30t+1200”表达的是怎样的含义? 二、合作交流、解读探究 问题 1、如图 13-1,用热气球探测高空气象,设热气球从海拔 1200m 处的某地上升空,它上 升后到达的海拔高度 hm 与上升时间 tmin 的关系记录如下表: (引导学生观察课本 P22 图 13-1) (1)观察上表,热气球在升空的过程中平均每分上升多少米? (2)你能写出表达式上升后到达的海拔高度 h 与上升时间 t 的关系式吗? (h =30 t +1200) 问题 2:图 13-2 是 S 市某日自动测量仪记下的用电负荷曲线。 (引导学生观察图 13-2) 看图回答 (1)任意给出这天中的某一时刻 X,能找到这一时刻的负荷 ymw(兆瓦)是多少吗? (2)这一天的用电高峰、用电低谷时负荷各是多少?它们是在什么时刻达到的? (3)S 市规定电费实行分时计价: 正常用电时段 (6:00-22:00)的电价为 0.61 元/ (kw·h) , 低谷用电时刻段(22:00-次日 6:00)的电价为 0.30 元/(kw·h) ,你知道其中的道理吗? 问题 3:汽车在行驶过程中,由于惯性的作用刹车后的仍将滑行一段距离才能停住,刹车距 离是分析事故原因的一个重要因素。 某型号的汽车在平整路面上的刹车距离 Sm 与车速 vkm/h
s ? v
2

之间有下列经验公式:

256

当刹车时速 V 分别是 40、80、120 km/h 时,相应的滑行距离 S 分别是多少? 问题 4:为加强公民的节水意识,某城市制定以下用水收费标准:每户每月用水不超过 7 m3 时,每立方米收费 1 元,并加收 0.2 元的污水处理费;超过 7 m3 的部分每立方米收费 1.5 元,并加收 0.4 元的污水处理费,如果设某户每月用水量为 X m3,应缴水费 y 元。 (1)填写下表: 用水量 x / m3 水费 y/元
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(2)对于每个给定的用水量 X,本应的水费是确定的吗? 问题 1 中,热气球的上升速度在上升速度过程中的始终保持不变(取值一直为 50 m / min) , 这个量叫做常量,而热热气球的上升时间 t 和上升的高度 h 都是变化的,叫做变量 h 是随着 t 的变化而变化的 任给变量的 t 的一个值,就可以相应地得到变量 h 的一个确定的值,t 是自变量,h 是因变 量 [交流]: 在问题 2-4 中, 哪些量是常量?哪些量是自变量?哪些变量是因变量?与同伴交流。 一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量 x 与 y,并且对于 x 的每一个值,y 都有唯一 确定的值与其对应的,那么我们就说 x 是自变量,y 是 x 的函数 从上面讨论可以看出,表示两个变量的函数关系,主要有下列三种方法 1、列表法 通过列出自变量的值,与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法 例如:问题 1 2、解析法 用数学式子表示函数关系的方法叫做解析法 例如:问题 3 三、例题评析 例 1、一个游泳池内有水 300 m3,现打开排水管以每时 25 m3 排出量排水。 (1)写出游泳池内剩余水量 Q m3 与排水时间 th 间的函数关系式; (2)写出自变量 t 的取值范围 (3)开始排水后的第 5h 末,游泳池中还有多少水? (4)当游泳池中还剩 150 m3 已经排水多少时? 解: (1)排水后的剩水量 Q m3 是排水量时间 h 的函数,有 Q=-25 t +300t (2)由于池中共有 300 m3 每时排 25 m3 全部排完只需 300÷25=12(h) ,故自变量 T 的取 值范围是 0≤t≤12 (3)当 t=5,代入上式得 Q=-5×25+300=175(m3) ,即第 5h 末池中还有水 175 m3 (4)当 Q=150 时,由 150=-25 t +300,得 t =6,即节 6 h 末池中有水 150m3 四、学生练习 www.xkb1.com 课本 P25,第 1、2、3 五、小结 掌握函数的概念,能根据问题背景,确定函数关系式,会确定自变量的取值范围。 六、布置作业: 1、课本 P30,第 1、2 2、 《基训》 教学后记:

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第二教时 教学目标 1、了解函数的第三种表示方法-图象法 2、会用描点画出函数的近似图象 教学重点、难点 1、点:认识函数图象的意义,在了解列表或画图法表示函数的基础上,会对简单的函数列 表、描点、连线,画出函数图象。 2、难点:如何正确使用描点画出函数图象。 教学过程 一、创设情境 导入新课 导语: 第一课时问题 2 中两个变量间的函数关系是用平面直角坐标系中的一条曲线来表示的,那 么, 其他问题中两个变量之间的函数关系能否也用这样的方法来示呢?如果能, 可以怎么做 呢?这又是一种什么样的方法呢? 二、合作交流 解读探究 问题 1:对于第 1 课时问题 1 的函数 y=30 t +1200,能否用图形来表示呢?在平面直角坐标 系中,以(t、h)为坐标,作出点,将表格中各对数值所对应的点画上。
s ? v
2

问题 2:尝试在平面直角坐标系中画出函数 列表: v/(km/h) s/m 0 0 10 0.39

256 的图形(v≥0)

20 1.56

30 3.52

40 6.25

一般地,对于一个函数,把自变量 X 与函数 Y 的每对对应值分别作为点的横、纵坐标平面内 描出相应的点,由这些点组成的图形就叫做函数的图象。 这种表示函数关系的方法叫做图象法 三、例题评析: 例 2:画函数 y=2x-1 的图象 解: (1)列表: x y ?? ?? -2 -5 -1 -3 0 -1 1 1 2 3 3 5 ?? ??

(2)描点:根据表中数值在直角坐标系内描点(x、y) (3)连线:按照自变量由小到大的顺序,用光滑曲线连接所描的各点,得到 y =2x-1 的图 形。

四、学生练习: 课本 P26-27,第 1、2 五、小结
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1、列表时应尽量体现函数自变量的取值范围 2、描点时描出的点越多,图象越精确 3、连接描点的同时,应使用光滑的曲线连接 六、布置作业: 1、课本 P30,第 3 题 (补充)分别画出下列函数的图象
y ? x
2

(1)y=-3x+2 2、 《基训》

(2)

2

教学后记:新课标第一网

第三教时 教学目标 能够理解函数图象的实际意义,学会从函数中获取有用的信息。 教学重点、难点 1、重点:从函数图象中读取有用的信息 2、难点:对已有图象能读图、识图,从图象中解释函数变化关系。 教学过程 一、创设情境 导入新课 导语:用图象法表示函数关系有什么优点呢?怎样利用函数图象去解决实际问题呢? 二、合作交流 解读探究 问题 1、图 13-8 是记录某男孩在 24H 内的体温变化情况的图象。 (引导学生观察课本 P27 图 13-8) (1)图中有哪两个变化的量?哪个变量是自变量?哪个变量是因变量? (2)在这天中此人的最高体温与最低体温各是多少?分别辊是在什么时刻达到的? (3)在哪段进间里体温上升?在哪段时间里体温下降?哪段时间里体温变化最小? (4)21:00 时的体温是多少? (5)这天体温 36.0?C 是什么时刻? 问题 2:一艘轮船在 w 港与 s 港之间往返运输,只行驶一个来回,中间停靠 t 港,图 13-9
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(2)是这艘轮船离开 w 港的距离随时间的变化曲线。 (1)解释曲线的各段表示什么意思? OA 表示轮船 AB 表示轮船 BC 表示轮船 CD 表示轮船 DE 表示轮船 EF 表示轮船 FG 表示轮船 (2)你知道轮船从 w 港前往 s 港的行驶速度快,还是轮船返回的速度快呢? (3)如果轮船往返的机器速度是一样的,那么从 w 港到 s 港是顺水还是逆水? 问题 3:某班同学为了探索用泥壶和塑料壶盛水时的散热情况,进行了对比实验。在同等的 情况下,把稍高于室温(25?C)的水放入两壶中,每隔 1H 同时测出两壶水温,所得数据如 下表: (课本 P29) (1)上面的实验中,什么是自变量?什么是因变量? (2)在同一平面上直角坐标系中,描出两壶水温的变化曲线 (3)分析上面表格中的数据,结合观察曲线,你能得出哪些结论?能说明泥壶盛水喝起来 凉的原因吗? 解: (1)在上面的实验中,时间是自变量,水温是因变量,水温是时间的函数。 (2)在同一平面直角坐标系中,两水温的变化曲线大致如图。 (3)从上面的表格,我们能发现:随着时间的变化,两壶水温都在下降,并且泥壶的水温 比塑料壶下降得快,泥壶的水温 5H 后开始稳定在 22.5?C,低于室温,塑料壶下降得的水温 什 4H 开始稳定在 25.5?C,略高于室温,因而,泥水壶里的水喝起来感觉比较凉。 三、学生练习 课本 P29,第 1、2 四、小结 在数学学习中体会“问题情境—建立模型—解释应用”的过程,数形结合是一种解题模式, 掌握一定的规律,对于学习非常重要。 五、布置作业: 1、课本 P31,第 4、5 2、 《基训》 教学后记:

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13.2 一次函数 第一教时 教学目标 1、理解一次函数的概念,并能根据实际上问题列出简单的一次函数的表达式 2、理解一次函数的图象是一条直线,熟练地作出一次函数的图象 教学重点、难点 1、重点:一次函数的概念,及一次函数的图象 2、难点:实际问题中一次函数解析式的确定。 教学过程 在上节,遇到过这样一些函数: h=30t+1800; Q=-25t+300; y=2x; y=-2x; s=80t. 这些函数有什么共同特点? 不难看出,这些函数都是用自变的量的一次式表示的. 可以写成:y=kx+b 的形式. 一般地,如果有:y=kx+b(k,b 为常数,且 k≠0),那么,y 叫做 x 的一次函数. 其中,当 b=0 时,一次函数 y=kx+b 就成为 y=kx(k≠0). 如上面的 y=2x、y=-2x、s=80t,这些函数中两个变量间的关系,就是小学学过的正比例关 系.因此,y=kx(k≠0)中 y 叫做 x 的正比例函数. 可见,正比例函数是一次函数的特殊情形. 下面,来研究一次函数的图象与性质. 前面画过函数 y=2x、y=-2x 及另外一些正比例函数的图象,可见正比例函数 y=kx(k≠0) 的图象是一条直线,通常我们把正比例函数 y=kx(k≠0)的图象叫做直线 y=kx. 因为两点确定一条直线,所以画正比例函数的图象,只要先描出两点,再过这两点画直线, 就可以了. 例 1 在同一坐标系里,画下列函数的图象: y=1/2x, y=x, y=3x. 解 列表: (为便于比较,三个函数值计算表排在一起) x y=1/2x y=x y=3x ? ? ? ? 0 0 0 0 1 1/2 1 3 ? ? ? ?

如图 13-11,过两点(0,0)(1,1/2)画直线,得 y=1/2x 的图象; , 过两点(0,0)(1,1)画直线,得 y=x 的图象; , 过两点(0,0)(1,3)画直线,得 y=3x 的图象; , 学生练习 课本 P35 ,第 1、2 布置作业 1、课本 P43-44 习题中,第 1、3 题 2、 《基训》 教学后记:

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第二教时 教学目标 1、理解正比例函数的概念及其图象是一条直线 2、熟练地作出一次函数和正比例函数的图象,掌握 k 与 b 的取值对直线位置的影响。 教学重点、难点 1、重点:理解一次函数与正比例函数图象间的位置关系 2、难点:理解一次函数与正比例图象间的位置关系 教学过程 正比例函数 y=kx(k≠0)的图象是一条直线.对于一次函数 y=kx+b,当 b≠0 时,它的图象又 是什么呢? 下面我们用具体例子来说明. 例 2 画一次函数 y=2x+3 的图象. 解 为了便于对比,列出一次函数 y=2x+3 与正比例函数 y=2x 的 x 与 y 的对应值表: x y=2x y=2x+3 ? ? ? -2 -4 -4+3 -1 -2 -2+3 0 0 0+3 1 2 2+3 2 4 4+3 ? ? ?

从表中可以看出, 对于自变量 x 的同一个值, 一次函数 y=2x+3 的函数值要比函数 y=2x 的函 数值大 3 个单位.也就是说, 对于相同的横坐标, 一次函数 y=2x+3 的图象上点的纵坐标要比 正比例函数 y=2x 图象上点的纵坐标大 3.因此,把直线 y=2x 向上平移 3 个单位,就得到一 次函数 y=2x+3 的图象.由此可见,一次函数 y=2x+3 的图象是平行于直线 y=2x 的一条直线, 如图 13-12. 在图 13-12 中,把直线 y=2x 向下平移 3 个单位,这时∣直线应是什么函数的图象? 一般地,一次函数 y=kx+b 的图象是平行于直线 y=kx 的一条直线,因此,我们以后把一次函 数 y=kx+b 的图象叫做直线 y=kx+b. 直线 y=kx+b 与 y 轴相交于点(0,b) 叫做直线 y=kx+b 在 y 轴上的截距,简称截距. ,b 直线 y=kx+b 可以看作是由直线 y=kx 平移∣b∣个单位长度而得到(当 b>0 时,向上平移; 当 b<0 时,向下平移). 例 3 画出直线 y=2/3x-2,并求它的截距. 解 对于 y=2/3x-2,有 x y 0 -2 3 0

过两点(0,-2)(3,0)画直线,即得 y=2/3x-2 的图象,它的截距是-2,如图 13-13. , [思考] 1、画出函数 y=2x、y=-2x 的图象 2、把上述两个函数图象分别与 y=2x+3、y=-2x-2 的图角比较,它们之间有怎样的联系? 直线 y=kx+b 可以看作是由直线 y=kx 平移|b|个单位长度而得到(当 b>0 时,向上平移;当 b<0 时,向下平移) 学生练习:
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课本 P36,第 1、2、3 小结: 1、正比例函数也是一次函数,它是一次函数的特例 2、两个一次函数,当 k 一样,b 不一样时,共同之处是直线平行都是由直线 y=kx(k≠0) 向上或向下移动得到的。 布置作业: 1.课本 P43-44,第 2、4 2、 《基训》 教学后记:

第三教时 教学目标 掌握一次函数 y=kx+b(k≠0)的性质;能根据 k 与 b 的值说出一次函数的有关性质。 教学重点、难点 理解一次函数的性质 教学过程 [探究]: 已知一次函数 y=3x+1,y=2x -3,y=x/2+4 (1)分别列出 x、y 的对应值表,观察当自变量 x 的值由小到大增加时,函数 y 的值是增大 还是减小? (2)画出图象,上述变化从图象上看,直线从左到右是上升还是不降? 2、用类似的方法,观察函数 y=-3x+1,y=-2x+3,y=-x/2-4 图象的变化趋势,从中你有什么 发现? 一般地,一次函数 y=kx+b 有下列性质: 当 k>0 时,y 随 x 的增大而增大,图象是自左向右上升的直线 当 k<0 时,y 随 x 的增大而减小,图象是自左向右下降的直线 [交流] 观察你画过的一次函数的图象,回答下列问题 (1)当 k>0 时,y=kx 的图象经过哪几个象限? 当 k<0 时呢? (2)当 b>0 时,y=x+b 的图象经过哪几个象限?当 b<0 时呢?
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学生练习 课本 P38,第 1、2、3、4、5 小结: 1、 (1)当 k>0 时,y 随 x 的增大而增大,这时函数的图象从左到右上升;当 k<0 时,y 随 x 的增大而减小,这时函数的图象,从左到右下降 (2)当 b>0 时,直线与 y 轴交于正半轴,当 b<0 时,直线与 y 轴交于负半轴;当 b=0 时, 直线与 y 轴交于坐标原点 2、k>0,b>0 时,直线经过一、二、三象限;y>0,b>0 时,直线经过一、三、四象限; k<0,b>0 时,直线经过一、二、四象限;k<0,b<0 时,直线经过二、三、四象限。 布置作业 1、课本 P44 习题中第 5、6、7 题 2、 《基训》 教学后记:

第四教时 教学目标 1、会用待定系数法求一次函数的解析式 2、学会利用一次函数解析式:性质、图象解决简单的实际问题 教学重点、难点 1、重点: 运用待定系数法求一次函数解析式 2、难点: 利用一次函数解析式、性质,图象解决简单的实际问题 教学过程 例 4 如果知道一个一次函数,当自变量 x=4 时,函数值 y=5;当 x=5 时,y=2.出这个函数的 关系式并画出它的图象. 解 因为 y 是 x 的一次函数,设其关系式为 y=kx+b 由题意,得 4k+b=5, 5k+b=2. 解方程组,得 k=-3,b=17. 所以,函数关系式为 y=-3x+17.
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图象如图 13-14 的直线. 这里,先设所求的一次函数关系式为 y=kx+b(k、b 是待确定的系数) ,再根据已知条件 列出关于 k、b 的方程组,求得 k、b 的值.这种确定关系式中系数的方法,叫做待定系数法 学生练习: 课本 P39,第 1、2、3 小结: (1)待定系数法是求函数解析式的最重要的方法,求解时就是把已知代入函数的一般形式 中,建立未知函数的方程(组) ,进而解方程(组)获得未知系数的值。 其中应注意题目中的某些隐含条件的限制作用。 (2)用函数的思想解决实际问题的关键在于用运动和变化的观点,去观察,分析具体问题 中的数量关系通过函数的形式,把这种函数关系,表示出来并加以研究,从而使问题获得解 决。 布置作业: 1、课本 P44 第 8、9、10 2、 《基训》 教学后记:

第五教时 教学目标 1、会用待定系数法求一次函数的解析式 2、学会利用一次函数解析式、性质、图象解决简单的实际问题 教学重点、难点 1、重点: 运用待定系数法求一次函数解析式 2、难点: 利用一次函数解析式、性质,图象解决简单的实际问题 教学过程 例 5(用函数模拟数据)*奥运会每 4 年举办一次.奥运会的游泳成绩在不断地被刷新,如男子 400m 自由泳项目,1996 年奥运冠军的成绩比 1960 年的提高了约 30s.下面是该项目冠军的 一些数据: 年份 1980 1984 1988 1992
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冠军成绩/s 231.31 231.23 226.95 225.00

年份 1996 2000 2004 2008
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冠军成绩/s 227.97 220.59 223.10 ?

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根据上面资料,能否预测 2008 年北京奥运会时该项目的冠军成绩? 如何解决这个问题?新课标第一网 解 1.以 1980 年为零点,举办奥运会的年份的 x 值为横坐标,相应的 y 值为纵坐标,在坐标 系中描出这些数据的点,如图 13-15. 2.观察图中描出点的整体分布,它们基本上是在一条直线附近波动.因此,y 与 x 之间的关 系可以近似地以一次函数去模拟,即设 y=kx+b. 这里我们选择点(0,231.31)及点(6,223.10)的坐标代入 y=kx+b 中,得 Ok+b=231.31 6k+b=223.10 解方程组,得 K=-1.37,b=231.31 所以,一次函数的解析式为 y=-1.37x+231.31. 3.把 x=7 代入上式,得 y=-9.59+231.31=221.72(s). 所以,可以估计 2008 年奥运会男子 400m 自由泳冠军成绩约是 221.72s. 思考 上面,给出一个建立函数模型解决实际问题的例子.对例中解的每个步骤,你有什么问题及 想法?

练习 课本 P41-42 第 1、2 小结 用函数的思想解决实际问题的关键在于用运动和变化的观点, 去观察, 分析具体问题中的数 量关系通过函数的形式,把这种函数关系,表示出来并加以研究,从而使问题获得解决。 作业 课本 P45 第 11、12、13 2、 《基训》 教学后记:

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第六教时 教学目标 1、会用待定系数法求一次函数的解析式 2、学会利用一次函数解析式:性质、图象解决简单的实际问题 教学重点、难点 1、重点: 运用待定系数法求一次函数解析式 2、难点: 利用一次函数解析式、性质,图象解决简单的实际问题 教学过程 例 6 为节约用水,某城市制定以下用水收费标准:每户每月用水不超过 8m3 时,每立方米 收取 1 元外加 0.3 元的污水处理费;超过 8m3 时,超过部分每立方米收取 1.5 元外加 1.2 元的污水处理费.设一户每月用水量为 xm3,应缴水费 y 元. (1)给出 y 关于 x 的函数关系式; (2)画出上述函数图象; (3)该市一户某月若用水量为 x=5 m3 或 x=10 m3 时,求应缴水费; (4)该市一户某月缴水费 26.6 元,求该户这月用水量. 解(1)y 关于 x 的函数关系式为: y= (1+0.3 )x=1.3x (0≤x≤8) , (1.5+1.2)(x-8)+1.3×8=2.7x-11.2(x>8). (2)如图 13-16,函数图象是一段折线. (3)当 x=5 m3 时, y=1.3×5=6.5(元); 当 x=10 时, y=2.7×10-11.2=15.8(元). (4)y=26.6>1.3×8,故由 2.7x-11.2=26.6, 解得 x=14. 即这户本月用水 14 m3. 本例给出的是在自变量的不同取值范围内表示函数关系的解析式有不同的形式, 这样的函数 称为分段函数,分段函数在生活中也是常见的. 练习 课本 P43 小结 用函数的思想解决实际问题的关键在于用运动和变化的观点, 去观察, 分析具体问题中的数 量关系通过函数的形式,把这种函数关系,表示出来并加以研究,从而使问题获得解决。 作业 课本 P45 第 14、15、16 2、 《基训》 教学后记:

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13.3 一次函数与一次方程、一次不等式 教学目标 1、理解一次函数与一次方程、一次不等式之间的关系。 2、会利用一次函数图象解决相关的一次方程式或一次不等式。 教学重点、难点 1、重点: 探究一次函数与一次议程、一次不等式之间的关系。 2、难点: 利用一次函数图象解一次方程或一次不等式 教学过程 问题:已知一次函数 y=2x+6 (1)画出函数图象,并求它与 x 轴交点的坐标。 (2)观察图象,判断 x 取什么值时,函数 y 的值等于零? (3)函数 y=2x+6 的图象与 x 轴交点横坐标与一次方程 y=2x+6 的解有何关系? 如图:一次函数 y=2x+6 的图象与 x 轴交点的横坐标 x=-3 就是方程 2x+6=0 的解, 一般地,一元一次方程 kx+b=0 的解就是一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴交点的横坐标。 [思考] 根据一次函数 y=2x+6 的图象,你能说出一元一次不等式 2x+6>0,2x+6<0 的解集吗? 由图象知,当 x>-3 时,y>0;当 x<-3 时,y<0 (2x+6>0) (2x+6<0) 一般地,一元一次不等式 kx+b>0(或 kx+b<0)的解集,就是使一次函数 y=kx+b 取正值(或 负值)时 x 的取值范围。 例 画出函数 y=-3x+6 的图像,结合图象: (1)求方程-3x+6=0 的解; (2)求不等式-3x+6>0 和-3x+6<0 的解集. 解(1)画出函数 y=-3x+6 的图像,如图 13-18. 图像与 x 轴交点 B 的坐标为(2,0). 所以,方程-3x+6=0 的解就是交点 B 的横坐标:x=2. (2)结合图象可知,y0 时 x 的取值范围是 x<2;y<0 时,x 的取值范围是 x>2. 所以,不等式-3x+6>0 的解集是 x<2,不等式-3x+6<0 的解集是 x>2. 学生练习: 课本 P47,第 1、2、 小结:数形结合能够使抽象的数形象化、直观化、化数为形,以形思数,常常是解决问题的 关键,数形结合往往能为分析问题、解决问题提供有利的条件。 布置作业: 1、课本 P47-48,习题中第 1、2、3 2、 《基训》 教学后记:

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§ 13.4 二元一次方程与一次函数 【教学目标】 【知识目标】1、使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系 2、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解. 3、能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式 【能力目标】通过学生的思考和操作,在力图提示出方程与图象之间的关系,引入二元一次方 程组图象解法,同时培养了学生初步的数形结合的意识和能力. 【情感目标】通过学生的自主探索,提示出方程和图象之间的对应关系,加强了新旧知识的联 系,培养了学生的创新意识,激发了学生学习数学的兴趣. 【教学重点】1、二元一次方程和一次函数的关系 2、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解 【教学难点】方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力 课时安排:4 个课时 第一课时 【教学过程】 y 一、忆一忆 1、 同学们:什么叫二元一次方程的解? 2、 一次函数的图像是什么? x 3、 如图,求一次函数的图像的解析式 o 1 二、试一试 1 问题:方程 x+y=5 的解有多少个?写出其中的几个解来 [方程 x+y=5 的解有无数多个,如: x=-1 x=0 x=1 x=2 x=3 y=6 y=5 y=4 y= 3 y=2 等 2 在一次函数 y=5-x 的图像上任取一点,它的坐标适合方程 x+y=5 吗? 3 以方程 x+y=5 的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数 y=5-x 的图像相同吗? 三、做一做 在同一直角坐标系内分别作出一次函数 y=5-x 和 y=2x-1 的图像,这两个图像有 交点吗?交点的坐标与方程组 x+y=5 2x- y=1 的解有什么关系?你能说明理由吗? [一次函数 y=5-x 和 y=2x-1 的图像的交点为(2,3) ,因此, x=2 就是方程组 y=3 x+y=5 y 2x - y=1 的解。] 例1、 用作图象的方法解方程组 x-2y= - 2 2x – y=2 解:由 x-2y= - 2 可得 y=
x 2 ? 1 ,同理,

由 2x – y=2 可得 y=2x – 2,在同坐标系中作出 一次函数 y=
x 2 ? 1 的图像和 y=2x – 2 的图像,

o

1

x

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观察图像,得两直线交于点(2,2) ,所以方程组 的解是

x-2y= - 2 2x – y=2

x=2 y= 2 原来我们解二元一次方程组除了代入法和加减法 外还可以用图像法,那么用作图 法来解方程组的步骤如下: 1、 把二元一次方程化成一次函数的形式 2、 在直角坐标系中画出两个一次函数的图像,并标出交点 3、 交点坐标就是方程组的解 4、 检验其交点是否方程组的解 四、练一练 1、用作图象的方法解方程组 2x+y=4 2x-3y=12 [由 2x+y=4 得 y= -2x+4 由 2x-3y=12
2 3

可得 y=

2 3

x ? 4 在同一直角坐标系中作出

函数 y= -2x+4 和函数 y=

x ? 4 的图像,观察图像可得交点为(3,-2) ,所以方程组

2x+y=4 的解是 x =3 2x-3y=12 y= - 2 2、在图中的两直线 l1、l2 的交点坐标可以看作 [答案: y=1+2x y=4 – x

的解。 4 y

O

2

6

x

4 五、小结 1、 二元一次方程的图像实际上就是一次函数的图像 2、用图像法可以解二元一次方程组,原来我们还可以用几何的图像法来解代数问题。 六 作业:

七 教学后记:

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第二课时

两条直线的交点问题

一、复习 1 什么是二元一次方程组的图象解法。 2、如何利用图象求二元一次方程组的图象解法。 二、探讨新知 例 1、利用图象解方程 x – y = -1 (1) { 2x + y = 1 (2) 解:对于方程(1)可转化为 y = x + 1 x y 0 1 2 3

对于方程(2)可转化为 y = -2x + 1 x y -1 +3 0 1

由图可知交于(0,1)所以原方程组的解是 x = 0 y=1 例 2 利用图象法解方程组 5x-2y=4 (1) { 10x-4y=8 (2) 解:对于方程(1)有过 A(0,-2)和 B(2,3) 同样把 A(0,-2)和 B(2,3)也在表示方程(2)的直线上 所示方程(1)(2)的图象都是通过 A(0,-2)B(2,3)的直线所示原方程组有无穷多组 , 解 例 3 利用图象法解方程组 3x+2y=-2 6x+4y=4 方程组的两个方程的图象有怎样的位置关系?方程组的解的情况怎样? 解:作出两个方程组的图象,两条直线平行,故方程组无解。 三、拓展提升 巩固新知 每一个二元一次方程组都可以专户为 y=k1x+b1 { y=k2x+b2 (1) 当 k1= k2 时,b1 不等于 b2 两条直线平行,故方程组无解 (2)当 k1= k2 时, b1=b2 两条直线重合,故方程组有无数组解 (3)当 k1 不等于 k2 时 两条直线有交点,故方程组有唯一解 四、练习 P52 第(1) (3) (2) (4) 五、巩固练习 P523 第(1) (3) (2) (4) 六、作业 七、教学后记
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第三课时

图象解法的应用

一、复习 1、 图象解法的步骤 2、 交点与方程组的解的关系 二、应用新 课标第一 网 例 4:某单位有职工几十人,想在节作文日期间组织到外地 H 去旅游,当地有甲乙两家旅行 社,它们服务质量基本相同,到 H 地旅游的价格都是每人 100 元,经联系协商甲方旅行社 表示可以给予每位游客八折的优惠,乙方旅行社表示单位先交 1000 元,给予每位游客六折 优惠,问该单位选择哪个旅行社,使其支付的旅游总费较少? 解法一、 该单位参加旅游的人数 x,那么如选甲方旅行社,应付 80x(元)选乙方旅行社,应支付 60x+1000(元) y1 =80x ,y2=60x+1000 在同一座标系, 内作出两个函数的图象, 1 与 y2 交于点 y (50, 4000) 观案图象可得: 当人数为 50 时,选择甲,乙都一样 当人数为 0~45 时,选择甲旅行社费用较少 当人数为 51~100 时,选择乙旅行社费用较少 解法二、 设选择甲乙旅行社所需费用之差为 y,则 y2 一 y1=20x-1000 画出函数的 y=20x-1000 的图象,它当 x 轴的交点为(50,0) 由图可知: (1) 当 x=50 时,y=0,即 y1=y2 (2) 当 x> 50 时,y >0,即 y1 >y2 (3) 当 x<50 时,y<0,即 y1<y2 三、补充例题 例:某服装厂现有 A 种布料 70m,B 种布料 52m,现计划用这两种布料生产 M、N 两种型 号的时装 80 套,已知做一套 M 型号的时装需要 A 种布料 0.6m,B 种布料 0.9m,可获利 45 元,做一套 N 套号的时装需要 A 种布料 1.1M,B 种布料 0.4m,可获利 50 元,若设生产 N 型号的时装套数为 X,用这批布料生产这两种型号的时装所获得总利润为 Y 元 (1) 求 y 与 x 的函数关系式,并求出自变量 x 的取值范围。 (2) 该服装厂在生产这批时装中,当生产 N 型号的时装多少套时所获得的利润最 大?最大利润是多少? 三、练习 P54 第 1、2 两题 四、小结 五、作业 1、习题 13、4、第 5 题 2、基训 六、教学后记

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第四课时

复习巩固

1、若一次函数 y=-
? x ? 2 y ? ?4 的解为 ? ?2 x ? y ? 7 ?x ? y ? 4

1 2

x-2 与 y=2x-7 的图象交点为(2,-3),则二元一次方程组



2.因为 ?

?2 x ? y ? ?1

的解是 ?

? x ? _____ ? y ? _____

,所以一次函数 y=-x+4 与 y=2x+1 的图象

交点坐标为 . 3.直线 y=3x-2 和 y=-2x+3 图象的交点是 4、已知直线 y=3x 与 y=-
1 2



x+4,求:

⑴这两条直线的交点.⑵这两条直线与 y 轴围成的三角形面积. 5(2007 浙江温州)为调动销售人员的积极性,A、B 两公司采取如下工资支付方式:A 公司 每月 2000 元基本工资,另加销售额的 2%作为奖金;B 公司每月 1600 元基本工资,另加 销售额的 4%作为奖金。 已知 A、 公司两位销售员小李、 B 小张 1~6 月份的销售额如下表: 月份 销售额 小张(B 公司 销售额(单位:元) 1月 7400 2月 12800 9200 3月 14000 1100 4月 15200 12800 5月 16400 14600 6月 17600 16400

小李 公司) 11600 (A

(1)请问小李与小张 3 月份的工资各是多少? (2)小李 1~6 月份的销售额 y 1 与月份 x 的函数关系式是 y1 ? 1 2 0 0 x ? 1 0 4 0 0 , 小张 1~6 月份的销售额 y 2 也是月份 x 的一次函数,请求出 y 2 与 x 的函数关系式; (3)如果 7~12 月份两人的销售额也分别满足(2)中两个一次函数的关系,问几月份起 小张的工资高于小李的工资。 6(2007 江苏盐城)某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动,在活 动中他们参与了某种水果的销售工作,已知该水果的进价为 8 元/千克,下面是他们在活动 结束后的对话。 小丽:如果以 10 元/千克的价格销售,那么每天可售出 300 千克。 小强:如果以 13 元/千克的价格销售,那么每天可获取利润 750 元。 小红:通过调查验证,我发现每天的销售量 y(千克)与销售单价 x(元)之间存在一 次函数关系。 (1)求 y(千克)与 x(元) (x>0)的函数关系式; (2)设该超市销售这种水果每天获取的利润为 W 元,那么当销售单价为何值时,每天 可获得的利润最大?最大利润是多少元?【利润=销售量×(销售单价-进价) 】

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