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2014年苏锡常镇四市高三数学情况调查(一)试题word版,含答案


2014 年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查(一) 数学Ⅰ试题 2014.3

注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页包含填空题(第 1 题——第 14 题) 、解答题(第 15 题——第 20 题) .本卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟.考试结束后请将答题卡交回. 2.答题前请您务必将自己

的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的 规定位置. 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答在其他位置作答一律无效.作答必须用 0.5 毫 米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整笔迹清楚. 4.如需作图须用 2B 铅笔绘、写清楚线条、符号等须加黑、加粗. 5.请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔. 参考公式: 柱体的体积公式:V 柱体= Sh ,其中 S 是柱体的底面积,h 是高. 直棱柱的侧面积公式:S 直棱柱侧=ch,其中 c 是直棱柱的底面周长,h 是高. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........ 1.已知集合 A ? ?1, 2,3, 4? , B ? ?m, 4,7? ,若 A ? B ? ?1, 4? ,则 A ? B ? 2.若复数 z =
1 ? 3i ( i 为虚数单位) ,则 | z | = 1? i



. 开始



. ▲ .

3.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 3 ,则实数 m 的值为 m 8

x ← 1 y ← 1 x≤5 Y y ← 2y ? 1 N 输出 y 结束

4.一个容量为 20 的样本数据分组后,分组与频数分别如下:?10, 20? ,2; ,3; ? 30, 40? ,4; ? 40,50? ,5; ? 50,60? ,4; ? 60,70? ,2.则 ? 2 0 , 3? 0 样本在 ?10,50? 上的频率是 ▲ . 5.执行如图所示的算法流程图,则最后输出的 y 等于 ▲ . ▲ .

6.设函数 f ( x) ? a sin x ? x 2 ,若 f (1) ? 0 ,则 f (?1) 的值为

x ← x ? 1 Y
(第 5 题)

7.四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, PA⊥底面 ABCD 且 PA = 4,则 PC 与底面 ABCD 所成角的正切值为 ▲ .

8.从甲,乙,丙,丁 4 个人中随机选取两人,则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为 9.已知 tan(a ? b ) ?
p? 2 1 ? , tan b ? ,则 tan ? a + ? 的值为 4? 5 3 ?







. ▲ .

10.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? ?3 , ak ?1 ?

3 , Sk ? ?12 ,则正整数 k = 2

11.已知正数 x, y 满足 x ? 2 y ? 2 ,则

x ? 8y 的最小值为 xy





??? ? ???? ??? ? ???? 12. 如图, 在△ABC 中, BO 为边 AC 上的中线, 设 CD ∥ AG , BG ? 2GO ,

B

???? 1 ??? ? ???? 若 AD ? AB ? ? AC (? ? R) ,则 ? 的值为 5





? (2 x ? x 2 )e x , x ≤ 0, 13. 已知函数 f ( x) ? ? 2 若函数 g ( x) 恰 g ( x) ? f ( x) ? 2k , ?? x ? 4 x ? 3, x ? 0,

G C

D

有两个不同的零点,则实数 k 的取值范围为





A

O
(第 12 题)

14 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 点 P(3,0) 在 圆

动直线 AB 过点 P 且交圆 C 于 A, B 两点, 若△ABC 的面积的最大 C : x2 ? y 2 ? 2mx ? 4 y ? m2 ? 28 ? 0 内, 值为 16 ,则实数 m 的取值范围为 ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明 ....... 过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? 6cos2 x ? 2 3 sin x cos x . (1)求 f ( x) 的最小正周期和值域; (2)在锐角△ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 f ( B) ? 0 且 b ? 2 , cos A ?

4 ,求 a 和 sin C . 5

16. (本小题满分 14 分) 如图, 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 侧面 AA1 B1 B 为菱形, 且
?A1 AB ? 60? , AC ? BC , D 是 AB 的中点.
C1

B1

A1

(1)求证:平面 A1 DC ? 平面 ABC ; (2)求证: BC1 ∥平面 A1 DC .
B D A

C
(第 16 题)

17. (本小题满分 14 分) 一个圆柱形圆木的底面半径为 1m,长为 10m,将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分.现要把其中 一个部分加工成直四棱柱木梁,长度保持不变,底面为等腰梯形 ABCD (如图所示,其中 O 为圆心, ,设 ?BOC ? q ,木梁的体积为 V(单位:m3) ,表面积为 S(单位:m2) . C , D 在半圆上) (1)求 V 关于 θ 的函数表达式; (2)求 q 的值,使体积 V 最大; (3)问当木梁的体积 V 最大时,其表面积 S 是否也最大?请说明理由.

D

C

θ A O
(第 17 题)

B

18. (本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A , B , C 是椭圆
A(3 2,

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上不同的三点, a 2 b2

3 2 ) , B(?3, ?3) , C 在第三象限,线段 BC 的中点在直线 OA 上. 2
y

(1)求椭圆的标准方程; (2)求点 C 的坐标; (3)设动点 P 在椭圆上(异于点 A , B , C )且 直线 PB,PC 分别交直线 OA 于 M , N 两点,
???? ? ???? 证明 OM ? ON 为定值并求出该定值.
M C B N

A O x P

(第 18 题)

19. (本小题满分 16 分) 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn, 已知 a1 ? 1 , 且 (Sn?1 ? ? )an ? (Sn ? 1)an?1 对一切 n ? N * 都 成立. (1)若 λ = 1,求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求 λ 的值,使数列 ?an ? 是等差数列.

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? mx ? a ln x ? m , g ( x) ? (1)求 g ( x) 的极值; (2)设 m ? 1, a ? 0 ,若对任意的 x1 , x2 ? [3, 4] ( x1 ? x2 ) , f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 最小值; (3)设 a ? 2 ,若对任意给定的 x0 ? (0,e] ,在区间 (0, e] 上总存在 t1 , t2 (t1 ? t2 ) ,使得 f (t1 ) ? f (t2 ) ? g ( x0 ) 成立,求 m 的取值范围.
1 1 恒成立,求 a 的 ? g ( x2 ) g ( x1 )

ex ,其中 m,a 均为实数. ex

2014 年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查(一) 数学Ⅱ(附加题) 2014.3

注 意 事 项
1. 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 本试卷只有解答题,供理工方向考生使用.本试卷第 21 题有 A、B、C、D 4 个小题供选做, 每位考生在 4 个选做题中选答 2 题. 若考生选做了 3 题或 4 题, 则按选做题中的前 2 题计分. 第 22、23 题为必答题.每小题 10 分,共 40 分.考试时间 30 分钟.考试结束后,请将答题卡交 回. 答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡 的规定位置. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整,笔迹清楚. 如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗. 请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.

2. 3. 4. 5.

21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题 ,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 ...... ....... 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4—1:几何证明选讲 如图, ⊙ O 为四边形 ABCD 的外接圆, 且 AB ? AD ,E 是 CB 延 长线上一点,直线 EA 与圆 O 相切. 求证:
CD AB . ? AB BE
D A O B E C

(第 21-A 题) B.选修 4—2:矩阵与变换
?1 2 ? ?1 ? 已知矩阵 M ? ? , ? ? ? ? ,计算 M 6 ? . ? ? 2 1? ?7 ?

C.选修 4—4:坐标系与参数方程
? x ? 2 ? 2cos a , 在平面直角坐标系 xOy 中,圆的参数方程为 ? ( a 为参数 ) ,以坐标原点 O 为极点, x 轴的 ? y ? 2sin a

正半轴为极轴建立极坐标系.求: (1)圆的直角坐标方程; (2)圆的极坐标方程.

D.选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 ? a 2 ? 2a ,若函数 f ( x) 的图象恒在 x 轴上方,求实数 a 的取值范围.

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字 ....... 说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 甲乙两个同学进行定点投篮游戏,已知他们每一次投篮投中的概率均为
2 ,且各次投篮的结果互不影 3

响.甲同学决定投 5 次,乙同学决定投中 1 次就停止,否则就继续投下去,但投篮次数不超过 5 次. (1)求甲同学至少有 4 次投中的概率; (2)求乙同学投篮次数 x 的分布列和数学期望.

23. (本小题满分 10 分)
0 1 2 m m * ? Cn 设 Sn ? Cn ?1 ? Cn ? 2 ? ? ? (?1) Cn ? m ,m, n ? N 且 m ? n ,其中当 n 为偶数时,m ?

n ;当 n 为奇数时, 2

m?

n ?1 . 2

(1)证明:当 n ? N* , n ≥ 2 时, Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ; (2)记 S ?
1 1 1 1 1 0 1 2 3 1007 ,求 S 的值. C2014 ? C2013 ? C2012 ? C2011 ??? C1007 2014 2013 2012 2011 1007

2014 年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查(一) 数学Ⅰ试题参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. ?1, 2,3, 4,7? 10.13 2. 5
6 5
7 10 2 3

3. 4

4.

5.63

6.2

7. 2

8.

9.

9 8

11.9 12.

2 ?1 ? 7 3? 13. ? ? , ? ? ? {0, } ? 2 2? e 2

14. [3 ? 2 3,3 ? 2 7) ? (3 ? 2 7,3 ? 2 3]

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 解: (1) f ( x) ? 6 ?
1+cos 2 x ? 3 sin 2 x = 3cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 3 2

p = 2 3 cos(2 x ? ) ? 3 . 6

???????3 分
2p ?p , 2

所以 f ( x) 的最小正周期为 T ? 值域为 [3 ? 2 3,3 ? 2 3] .

???????4 分 ???????6 分

π 3 (2)由 f ( B) ? 0 ,得 cos(2 B ? ) ? ? . 6 2 π π 7π π 5π π , 2B ? ? ,∴ B ? . ? B 为锐角,∴ ? 2B ? ? 6 6 6 6 6 3
4 3 4 ∵ cos A ? , A ? (0, p ) ,∴ sin A ? 1 ? ( )2 ? . 5 5 5
b sin A ? 在△ABC 中,由正弦定理得 a ? sin B 2? 3 5?4 3. 5 3 2

???????9 分 ???????10 分

???????12 分

∴ sin C ? sin(p ? A ? B)=sin(

2p 3 1 3? 4 3 . ? A) ? cos A ? sin A ? 3 2 2 10

???????14 分

16. (1)证明:∵ ABB1 A1 为菱形,且 ?A1 AB ? 60? , ∴△ A1 AB 为正三角形. ???????2 分

? D 是 AB 的中点,∴ AB ? A1 D .
∵ AC ? BC , D 是 AB 的中点,∴ AB ? CD . ???????4 分 ???????6 分 ???????8 分

? A1D ? CD ? D ,∴ AB ? 平面 A1 DC .
∵ AB ? 平面 ABC ,∴平面 A1 DC ? 平面 ABC . (2)证明:连结 C1 A ,设 AC1 ? AC ? E ,连结 DE . 1

∵三棱柱的侧面 AAC 1 1C 是平行四边形,∴ E 为 AC1 中点. 在△ ABC1 中,又∵ D 是 AB 的中点,∴ DE ∥ BC1 . ∵ DE ? 平面 A1 DC , BC1 ? 平面 A1 DC ,∴ BC1 ∥平面 A1 DC . 17.解: (1)梯形 ABCD 的面积
S ABCD ? 2cos q ? 2 p ? sin q = sin q cos q ? sin q , q ? (0, ) . 2 2

???????10 分 ???????12 分 ???????14 分

???????2 分 ???????3 分

p 体积 V (q) ? 10(sin q cos q ? sin q), q ? (0, ) . 2

(2) V ?(q) ? 10(2cos2 q ? cos q ? 1) ? 10(2cos q ? 1)(cos q ? 1) . 令 V ?(q) ? 0 ,得 cos q ?
1 ,或 cos q ? ?1 (舍) . 2

p p ∵ q ? (0, ) ,∴ q ? . 2 3 p 1 当 q ? (0, ) 时, ? cos q ? 1 , V ?(q) ? 0,V (q) 为增函数; 2 3
p p 1 当 q ? ( , ) 时, 0 ? cos q ? , V ?(q) ? 0,V (q) 为减函数. 3 2 2

???????5 分

???????7 分 ???????8 分

∴当 q ?

p 时,体积 V 最大. 3

q p (AB ? 2BC ? CD) ? 10 = 20(cos q ? 2sin ? 1) , q ? (0, ) . (3)木梁的侧面积 S侧 ? 2 2 q p S ? 2S ABCD ? S侧 = 2(sin q cos q ? sin q) ? 20(cos q ? 2sin ? 1) , q ? (0, ) .???????10 分 2 2 q p q q 设 g (q) ? cos q ? 2sin ? 1 , q ? (0, ) .∵ g (q) ? ?2sin 2 ? 2sin ? 2 , 2 2 2 2

∴当 sin

q 1 p ? ,即 q ? 时, g (q) 最大. 2 2 3

???????12 分

又由(2)知 q ? 所以 q ?

p 时, sin q cos q ? sin q 取得最大值, 3

p 时,木梁的表面积 S 最大. 3

???????13 分 ???????14 分

综上,当木梁的体积 V 最大时,其表面积 S 也最大.
9 ? ? 18 2 ? 1, ? ? 18.解: (1)由已知,得 ? a 2 b 2 ?9 9 ? 2 ? 2 ? 1, b ?a

? a 2 ? 27, ? 解得 ? 2 27 ?b ? . ? 2

???????2 分

所以椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1. 27 27 2

???????3 分

(2)设点 C(m, n) (m ? 0, n ? 0) ,则 BC 中点为 (

m?3 n?3 , ). 2 2

由已知,求得直线 OA 的方程为 x ? 2 y ? 0 ,从而 m ? 2n ? 3 .① 又∵点 C 在椭圆上,∴ m2 ? 2n2 ? 27 .② 由①②,解得 n ? 3 (舍) , n ? ?1 ,从而 m ? ?5 . 所以点 C 的坐标为 (?5, ?1) . (3)设 P( x0 , y0 ) , M (2 y1 , y1 ) , N (2 y2 , y2 ) . ∵ P, B, M 三点共线,∴ ∵ P, C, N 三点共线,∴
3( y0 ? x0 ) y1 ? 3 y0 ? 3 ,整理,得 y1 ? .???????8 分 ? 2 y1 ? 3 x0 ? 3 x0 ? 2 y0 ? 3 y ?1 5 y0 ? x0 y2 ? 1 ,整理,得 y2 ? .???????10 分 ? 0 2 y2 ? 5 x0 ? 5 x0 ? 2 y0 ? 3

???????5 分 ???????6 分

∵点 C 在椭圆上,∴ x02 ? 2 y02 ? 27 , x02 ? 27 ? 2 y02 . 从而 y1 y2 ?
3( x0 2 ? 5 y0 2 ? 6 x0 y0 ) 3(3 y0 2 ? 6 x0 y0 ? 27) 3 9 ? ? 3? ? . 2 2 2 x0 ? 4 y0 ? 4 x0 y0 ? 9 2 y0 ? 4 x0 y0 ? 18 2 2

???????14 分

???? ? ???? 45 所以 OM ? ON ? 5 y1 y2 ? . 2 ???? ? ???? 45 ∴ OM ? ON 为定值,定值为 . 2

???????15 分 ???????16 分

19.解: (1)若 λ = 1,则 (Sn?1 ? 1)an ? (Sn ? 1)an?1 , a1 ? S1 ? 1 . 又∵ an ? 0,Sn ? 0 , ∴ ∴
Sn ?1 ? 1 an ?1 , ? Sn ? 1 an

??????? 2 分

S ? 1 a2 a3 a S2 ? 1 S3 ? 1 ? ? ? ? n ?1 ? ? ? ? ? n ?1 , S1 ? 1 S2 ? 1 Sn ? 1 a1 a2 an

化简,得 Sn?1 ? 1 ? 2an?1 .① ∴当 n ≥ 2 时, Sn ? 1 ? 2an .② ② ? ①,得 an?1 ? 2an , ∴
an ?1 . ? 2 ( n≥2 ) an

??????? 4 分

??????? 6 分

∵当 n = 1 时, a2 ? 2 ,∴n = 1 时上式也成立, ∴数列{an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列, an = 2n?1( n ? N * ) . ???????8 分 (2)令 n = 1,得 a2 ? ? ? 1 .令 n = 2,得 a3 ? (? ? 1)2 . 要使数列 ?an ? 是等差数列,必须有 2a2 ? a1 ? a3 ,解得 λ = 0. 当 λ = 0 时, Sn?1an ? (Sn ? 1)an?1 ,且 a2 ? a1 ? 1 . 当 n≥2 时, Sn?1 (Sn ? Sn ?1 ) ? (Sn ? 1)(Sn ?1 ? Sn ) , ??????? 10 分 ??????? 11 分

整理,得 Sn 2 ? Sn ? Sn ?1Sn ?1 ? Sn ?1 , 从而

Sn ? 1 Sn ?1 , ? Sn ?1 ? 1 Sn

??????? 13 分

S ? 1 S3 S4 S S2 ? 1 S3 ? 1 ? ??? n ? ? ? ? ? n ?1 , S1 ? 1 S2 ? 1 Sn ?1 ? 1 S2 S3 Sn

化简,得 Sn ? 1 ? Sn ?1 ,所以 an?1 ? 1 . 综上所述, an ? 1 ( n ? N * ) , 所以 λ = 0 时,数列 ?an ? 是等差数列. 20.解: (1) g ?( x) ? 列表如下: x
g ?( x)
e(1 ? x) ,令 g ?( x) ? 0 ,得 x = 1. ex

?????? 15 分

??????? 16 分 ??????? 1 分

(?∞,1) ? ↗

1 0 极大值

(1,?∞) ? ↘ ???????3 分

g(x)

∵g(1) = 1,∴y = g ( x) 的极大值为 1,无极小值. (2)当 m ? 1, a ? 0 时, f ( x) ? x ? a ln x ? 1 , x ? (0, ??) .
x?a ? 0 在 [3, 4] 恒成立,∴ f ( x) 在 [3, 4] 上为增函数. x 1 ex e x ?1 ( x ? 1) 设 h( x ) ? > 0 在 [3, 4] 恒成立, ? ,∵ h?( x) ? g ( x) ex x2

∵ f ?( x) ?

???????4 分

∴ h( x) 在 [3, 4] 上为增函数. 设 x2 ? x1 ,则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?

???????5 分
1 1 ? 等价于 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? h( x2 ) ? h( x1 ) , g ( x2 ) g ( x1 )

即 f ( x2 ) ? h( x2 ) ? f ( x1 ) ? h( x1 ) .
1 ex 设 u ( x) ? f ( x) ? h( x) ? x ? a ln x ? 1 ? ? ,则 u(x)在 [3, 4] 为减函数. e x

∴ u?( x) ? 1 ?

a 1 e x ( x ? 1) ? ? ≤0 在(3,4)上恒成立. x e x2 e x ?1 恒成立. x

???????6 分

∴ a≥ x ? e x ?1 ?

e x ?1 e x ?1 ( x ? 1) 1 1 3 ,∵ v?( x) ? 1 ? e x ?1 ? = 1 ? e x ?1 [( ? )2 ? ] ,x?[3,4], 2 x x x 2 4 1 1 3 3 ∴ e x ?1 [( ? )2 ? ] ? e2 ? 1 ,∴ v?( x) < 0, v( x) 为减函数. x 2 4 4

设 v( x) ? x ? e x ?1 ?

2 ∴ v( x) 在[3,4]上的最大值为 v(3) = 3 ? e2 . 3

??????? 8 分

2 2 ∴a≥3 ? e2 ,∴ a 的最小值为 3 ? e2 . 3 3

???????9 分 ???????10 分

(3)由(1)知 g ( x) 在 (0, e] 上的值域为 (0,1] . ∵ f ( x) ? mx ? 2ln x ? m , x ? (0, ??) , 当 m ? 0 时, f ( x) ? ?2ln x 在 (0, e] 为减函数,不合题意.
m( x ? x

??????? 11 分

当 m ? 0 时, f ?( x) ? 所以 0 ?

2 ) m ,由题意知 f ( x) 在 (0, e] 不单调,

2 2 ? e ,即 m ? .① m e

???????12 分

2 2 此时 f ( x) 在 (0, ) 上递减,在 ( ,e) 上递增, m m

∴ f (e)≥1 ,即 f (e) ? me ? 2 ? m≥1 ,解得 m≥ 由①②,得 m≥
3 . e ?1

3 .② e ?1

???????13 分 ???????14 分

2 ∵ 1? (0,e] ,∴ f ( )≤ f (1) ? 0 成立. m 2 下证存在 t ? (0, ] ,使得 f (t ) ≥1. m

取 t ? e?m ,先证 e? m ?

2 ,即证 2em ? m ? 0 .③ m 3 , ??) 时恒成立. e ?1

设 w( x) ? 2e x ? x ,则 w?( x) ? 2e x ? 1 ? 0 在 [ ∴ w( x) 在 [

3 3 , ??) 时为增函数.∴ w( x)≥ w( ) ? 0 ,∴③成立. e ?1 e ?1

再证 f (e? m ) ≥1. ∵ f (e? m ) ? me? m ? m ? m≥
3 3 时,命题成立. ? 1 ,∴ m≥ e ?1 e ?1 3 , ??) . e ?1

综上所述, m 的取值范围为 [

???????16 分

2014 年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查(一) 数学Ⅱ(附加题) 参考答案
21、 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题 ,每小题 10 分,共计 20 分. ...... A.选修 4—1:几何证明选讲 证明:连结 AC .? EA 是圆 O 的切线,∴ ?EAB ? ?ACB . ???????2 分 ???????4 分 ???????6 分 ???????8 分 ???????10 分

? AB ? AD ,∴ ?ACD ? ?ACB . ∴ ?ACD ? ?EAB .

?圆 O 是四边形 ABCD 的外接圆,∴ ?D ? ?ABE .
∴ ?CDA ∽ ?ABE . ∴
CD DA CD AB , ? AB ? AD ,∴ . ? ? AB BE AB BE

B.选修 4—2:矩阵与变换 解:矩阵 M 的特征多项式为 f (? ) ?

? ?1
?2

?2

? ?1

? ? 2 ? 2? ? 3 .

?1? ?1? 令 f (? ) ? 0,解得?1 ? 3,?2 ? ?1 ,对应的一个特征向量分别为 α1 ? ? ? , α2 ? ? ? . ?5 分 ?1? ? ?1?

令 β ? mα1 ? nα2 ,得 m ? 4, n ? ?3 .
?1? ? 1 ? ? 2913? M 6 β ? M 6 (4α1 ? 3α2 ) ? 4( M 6 α1 ) ? 3( M 6 α2 ) ? 4 ? 36 ? ? ? 3(?1)6 ? ? ? ? ? .?????10 分 ?1? ? ?1? ? 2919?

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 解: (1)圆的直角坐标方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 . ???????5 分

? x ? ? cos ? , (2)把 ? 代入上述方程,得圆的极坐标方程为 ? ? 4cos? .???????10 分 ? y ? ? sin ? ,

D.选修 4—5:不等式选讲 解: f ( x) 的最小值为 3 ? a 2 ? 2a , 由题设,得 a 2 ? 2a ? 3 ,解得 a ? (?1,3) . 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22.解: (1)设甲同学在 5 次投篮中,有 x 次投中, “至少有 4 次投中”的概率为 P ,则
P ? P( x ? 4) ? P( x ? 5)

???????5 分 ???????10 分

???????2 分 ???????4 分

2 2 2 112 5 2 5 = C54 ( )4 (1 ? )1 ? C5 . ( ) (1 ? )0 = 3 3 3 3 243

(2)由题意 x ? 1, 2,3, 4,5 .

P(x ? 1) ?

2 1 2 2 1 1 2 2 ?1? 2 2 , P(x ? 2) ? ? ? , P(x ? 3) ? ? ? ? , P(x ? 4) ? ? ? ? ? , 3 3 3 9 3 3 3 27 ? 3 ? 3 81
4

3

1 ?1? P(x ? 5) ? ? ? ? . ? 3 ? 81

x 的分布表为 x

1
2 3

2
2 9

3
2 27

4
2 81

5
1 81

P

???????8 分
2 2 2 2 1 121 . x 的数学期望 Ex ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 3 9 27 81 81 81

???????10 分

23.解: (1)当 n 为奇数时, n ? 1 为偶数, n ? 1 为偶数,
0 1 ∵ Sn ?1 ? Cn ?1 ? Cn ? ? ? (?1) n ?1 2 0 1 2 Cn? 1 , S n ? Cn ? Cn ?1 ? ? ? (?1) 2 n ?1 n ?1 2 n ?1 2 Cn? 1 , 2

0 1 Sn ?1 ? Cn ?1 ? Cn ? 2 ? ? ? (?1)

n ?1 2

n ?1 2 Cn? 1 , 2

0 0 1 1 ∴ Sn ?1 ? Sn ? (Cn ?1 ? Cn ) ? (Cn ? Cn ?1 ) ? ? ? (?1)

n ?1 2

2 2 (C n ? ? Cn? 1 1 ) ? (?1) 2 ?1 2

n ?1

?1

n ?1

n ?1 2

n ?1 2 Cn? 1 2

0 1 = ?(Cn ?1 ? Cn ? 2 ? ? ? (?1)

n ?1 2

2 Cn? 1 ) ? ? Sn ?1 . 2

n ?1

∴当 n 为奇数时, Sn?1 ? Sn ? Sn?1 成立. 同理可证,当 n 为偶数时, Sn?1 ? Sn ? Sn?1 也成立. (2)由 S ?

???????5 分 ???????6 分

1 1 1 1 1 0 1 2 3 1007 ,得 C2014 ? C2013 ? C2012 ? C2011 ??? C1007 2014 2013 2012 2011 1007 2014 1 2014 2 2014 3 2014 1007 C2013 ? C2012 ? C2011 ? ? ? C1007 2013 2012 2011 1007 1 2 3 1007 1007 1 2 2 3 3 1007 C2013 ) ? (C2012 ? C2012 ) ? (C2011 ? C2011 ) ? ? ? (C1007 ? C1007 ) 2013 2012 2011 1007

0 2014S ? C2014 ?

0 1 = C2014 ? (C2013 ?

0 1 2 1007 0 1 2 1006 ? C2013 ? C2012 ? ? ? C1007 ) ? (C2012 ? C2011 ? C2010 ? ? ? C1006 ) = (C2014

= S2014 ? S2012 . 又由 Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ,得 Sn ? 6 ? Sn , 所以 S2014 ? S2012 ? S4 ? S2 ? ?1 , S ? ?
1 . 2014

???????9 分

???????10 分


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