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高二数学椭圆的标准方程(1)


§8.1.2

椭圆的标准方程

临川二中

袁庆

圆锥曲线的形成

椭圆的定义
定义 平面内与两定点F1、F2的距离之和等于

定值(大于 F1F2 )的点的轨迹叫做椭圆。
焦点:两个定点F1、F2称为焦点。 焦距:两个焦点之间的距离 F1F2 称为焦距。

椭圆的标准方程

焦点的位置

平面内到定点F 的距离与到定直线L 椭圆的第二定义:

的距离之比为常数e (0<e<1) 的点的轨迹为椭圆.
d1
d2

MF1 d1

?

MF2 d2

?e

例题讲解一
例 1 :已知椭圆中心在原点,一个焦点为( F -2 3,0)

且长轴长是8,求该椭圆的标准方程。 解:由题可知椭圆的焦点在x轴
且c=2 3, 2a ? 8

即a ? 4, b ? a ? c =2
2 2

x2 y 2 所以椭圆的标准方程为 ? ?1 16 4
注:a-----长半轴长 2a----长轴长 b-----短半轴长 2b-----短轴长

变式1:已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,
x y 解法一: 若椭圆的焦点在x轴上,则设 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b ?6 1 ? 2 ?1 2 2 2 ? ?a 2 ? 9 ?a b x y 由题可知: ? ? ? 2 即 ? ? 1 ? 3 ? 2 ? 1 ?b ? 3 9 3 2 2 ? a b ? y 2 x2 若椭圆的焦点在y轴上,则设 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b

求椭圆的方程 且经过两点( P1 6,1),P ( ,- 2), 2 - 3
2 2

?1 6 ? 2 ?1 2 ? ?a b 2 2 由题可知: ? a ? 3, b ? 9(舍去) ? ? 2 ? 3 ?1 2 2 ? a b ?

x y 法二 可设椭圆方程为 ? ? 1(m ? 0, n ? 0) m n

2

2

?6 1 ? ?1 ? ?m n 由题: ? m ? 9, n ? 3 ? ? 3 ? 2 ?1 ? ?m n
x y 即 ? ?1 9 3
2 2

也可设椭圆方程为Ax ? By ? 1( A ? 0, B ? 0)
2 2

例题讲解二

x2 y 2 例2 椭圆 ? ? 1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上, 9 2 若 PF1 ? 4,则 PF2 ? 2

若将PF2延长交椭圆于另一点Q,
12 则?PFQ 的周长为 1 Y
P
F1

O

F2

Q

X

x y 椭圆 2 ? 2 ? 1(m ? 1)上一点P到其左焦点的 例3: m m ?1 距离为3,到右焦点的距离为 1.则P到右准线的 y

2

2

距离为 2
o x

x2 y2 ? ?1 内有一点( P 1,-1), 变式2 在椭圆 4 3

F为右焦点,椭圆上有一点M,
则这一最小值是 使 MP ? 2 MF 的值最小,

,点M的坐标为

变式2: ?ABC中角A,B,C所对的边分别a,b,c,

已知b, a,c为等差数列且 c>a>b, BC =2, 求顶点 A的轨迹方程。 解:以直线BC所在直线为x轴,

线段BC的中点为原点 建立直角坐标系,如右图: 则B(-1,0),C(1,0),设A(x,y) 由2a ? b ? c即 CA + AB =2 BC
故 (x-1) ? y ? (x+1) ? y ? 4
2 2 2 2

化简得: 3x ? 4 y ? 12 (0 ? x ? 2)
2 2

例2.如图,已知一个圆的圆心坐标为原点,半径为2, 从这个圆上任意一点P向x轴作垂线PP’,求线段PP’的 中点M的轨迹.
y P M o P’

解:设M 为(x,y),P为(x0 ,y0 ) ? x0 ? x 由题可知: ? ? y0 ? 2 y x ? P点在圆x2 ? y 2 ? 4上运动

? x02 ? y02 ? 4

即x2 ? 4 y 2 ? 1为中点M的轨迹方程。 ? M的轨迹为焦点在x轴上,长轴
长为2,短轴长为1的椭圆。

思考题

已知圆C: ( x ? 1) ? y ? 25, 及点A(1,0),
2 2

AQ的垂直平分线交CQ Q为圆上一动点, 于点M, 求点M的轨 迹方程.
y Q

M CO A

x y ? ?1 25 / 4 21 / 2
x

2

2

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也或许自己看中的仅仅只是这一个思考的过程,与这结果的两面并无太多执着,宽广也好狭隘也罢,不过皆是一种形式,无甚重要。

院子里的茉莉花香带她回到老家的阳台,看见母亲栽种的一盆茉莉,枝叶繁茂,四季常绿。母亲说,每年都会结很多花苞,开很多花。在夏天 的时候,她却从未见过。 如果你的记忆里曾清晰地记住某些微小的事物,你会很容易在后来的某时某刻因为这微小之物回到过去记忆之初。 父亲离世一周后,她再次离开故乡。 伤痛不能沉湎,生活需要继续。身后是幽暗的深渊,需要不断向前推进,否则便会被深渊吞噬。即使,此刻,她并不知道下一份工作是做什么, 什么时候开始。 母亲送她去车站,陈旧的汽车站,地面和墙壁上四处都是斑驳的印记,深深浅浅的污浊。各色人群短暂汇集,又迅速分离。空气里流动着,体 味、汗味、廉价的香水味和皮肤头发油腻的气息,如同中国所有偏远小县城的车站一样。人群大声说话,嬉笑怒骂,非常嘈杂混乱。有大人责 骂小孩的声音,小孩只是放声大哭。人们的脸上多是一种习以为常的麻木,生活一直如此,不觉有任何不妥。


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