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数学高二(上)沪教版(数列的综合应用(一))教师版


年 课

级: 高二 题

辅导科目: 数学

课时数:3

数列的综合应用(一)

教学目的

掌握等差等比数列的定义及性质,并能够灵活应用性质解决一些综合性的问题

教学内容

【知识梳理】
1 通项与前 n

项和的关系: S n ? a n ? ?
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?

a1 , (n ? 1)

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?S n ? S n?1 , (n ? 2)

2 叠加累加法:
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若an ? an?1 ? f (n),(n ? 2) ,
则a2 ? a1 ? f (2) ,

a3 ? a2 ? f (3) ,………,

an ? an?1 ? f (n)

? an ? a1 ? f (2) ? f (3) ?? f (n)
3 叠乘累乘法:
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an a a a ? g (n) , 则 2 ? g (2) , 3 ? g (3) ,………, n ? g (n) an?1 a1 a2 a n?1
an ? g (2) ? g (n) a1
1 1 1 1 ? ( ? ) ( An ? B)( An ? C ) C ? B An ? B An ? C

?

4 裂项相消法: a n ?
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5 错位相减法:
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an ? bn ? cn ,

?bn ? 是公差 d≠0 等差数列, ?cn ? 是公比 q≠1 等比数列

S n ? b1c1 ? b2 c2 ? ? ? bn?1cn?1 ? bn cn 则qSn ? b1c2 ? ?? ? bn?1cn ? bn cn?1
所以有 (1 ? q)S n ? b1c1 ? (c2 ? c3 ? ??cn )d ? bn cn?1 6 通项分解法: an ? bn ? cn
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7 等差与等比的互变关系:
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?an ? 成等差数列 ? ?ba ?(b>0,b ? 1)成等比数列
n

-1-

?an?成等差数列 ? ?can ? d?(c ? 0)成等差数列
?an ? 成等比数列??logb an ? 成等差数列
?an ? 成等比数列 ? ?ank ? 成等比数列
8 等比、等差数列和的形式:
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an ?0

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?an ?成等差数列? an ? An ? B ? Sn ? An2 ? Bn
?an?(q ? 1)成等比数列 ? Sn ? A(qn ?1)( A ? 0)
9 无穷递缩等比数列的所有项和:
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Sn ? ?an ?(|q|<1)成等比数列 ? S ? lim n ??
10、等差数列与等比数列的性质

a1 1? q

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等差数列 定义 通项公 式 求和公 式

等比数列

{an }为A ? P ? an?1 ? an ? d (常数)
(n-1) d= ak + (n-k) d= dn + a1 -d an = a1 +

{an }为G ? P ?

an?1 an

? q(常数)

an ? a1q n?1 ? ak q n?k
(q ? 1) ?na1 ? s n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q (q ? 1) ? 1? q ? 1? q ?
G 2 ? ab 。推广: an ? an?m ? an?m
若 m+n=p+q,则 am an ? a p aq 。 若 {k n } 成等比数列 (其中 k n ? N ) ,则
2

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2 d d ? n 2 ? (a1 ? )n 2 2 a?b 中项公 A= 推广:2 an = an?m ?