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数学高二(上)沪教版(数列的综合应用(一))教师版


年 课

级: 高二 题

辅导科目: 数学

课时数:3

数列的综合应用(一)

教学目的

掌握等差等比数列的定义及性质,并能够灵活应用性质解决一些综合性的问题

教学内容

【知识梳理】
1 通项与前 n

项和的关系: S n ? a n ? ?
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?

a1 , (n ? 1)

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?S n ? S n?1 , (n ? 2)

2 叠加累加法:
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若an ? an?1 ? f (n),(n ? 2) ,
则a2 ? a1 ? f (2) ,

a3 ? a2 ? f (3) ,………,

an ? an?1 ? f (n)

? an ? a1 ? f (2) ? f (3) ?? f (n)
3 叠乘累乘法:
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an a a a ? g (n) , 则 2 ? g (2) , 3 ? g (3) ,………, n ? g (n) an?1 a1 a2 a n?1
an ? g (2) ? g (n) a1
1 1 1 1 ? ( ? ) ( An ? B)( An ? C ) C ? B An ? B An ? C

?

4 裂项相消法: a n ?
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5 错位相减法:
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an ? bn ? cn ,

?bn ? 是公差 d≠0 等差数列, ?cn ? 是公比 q≠1 等比数列

S n ? b1c1 ? b2 c2 ? ? ? bn?1cn?1 ? bn cn 则qSn ? b1c2 ? ?? ? bn?1cn ? bn cn?1
所以有 (1 ? q)S n ? b1c1 ? (c2 ? c3 ? ??cn )d ? bn cn?1 6 通项分解法: an ? bn ? cn
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7 等差与等比的互变关系:
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?an ? 成等差数列 ? ?ba ?(b>0,b ? 1)成等比数列
n

-1-

?an?成等差数列 ? ?can ? d?(c ? 0)成等差数列
?an ? 成等比数列??logb an ? 成等差数列
?an ? 成等比数列 ? ?ank ? 成等比数列
8 等比、等差数列和的形式:
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an ?0

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?an ?成等差数列? an ? An ? B ? Sn ? An2 ? Bn
?an?(q ? 1)成等比数列 ? Sn ? A(qn ?1)( A ? 0)
9 无穷递缩等比数列的所有项和:
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Sn ? ?an ?(|q|<1)成等比数列 ? S ? lim n ??
10、等差数列与等比数列的性质

a1 1? q

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等差数列 定义 通项公 式 求和公 式

等比数列

{an }为A ? P ? an?1 ? an ? d (常数)
(n-1) d= ak + (n-k) d= dn + a1 -d an = a1 +

{an }为G ? P ?

an?1 an

? q(常数)

an ? a1q n?1 ? ak q n?k
(q ? 1) ?na1 ? s n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q (q ? 1) ? 1? q ? 1? q ?
G 2 ? ab 。推广: an ? an?m ? an?m
若 m+n=p+q,则 am an ? a p aq 。 若 {k n } 成等比数列 (其中 k n ? N ) ,则
2

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2 d d ? n 2 ? (a1 ? )n 2 2 a?b 中项公 A= 推广:2 an = an?m ? an?m 式 2 sn ?
1 若 m+n=p+q 则 am ? an ? a p ? aq 若 {k n } 成等差数列(其中 k n ? N )则 2

性 质
3

{a kn } 也为等差数列。
sn , s2n ? sn , s3n ? s2n 成等差数列。
d? a n ? a1 a m ? a n ? ( m ? n) n ?1 m?n

{a kn } 成等比数列。
sn , s2n ? sn , s3n ? s2n 成等比数列。
q n ?1 ? an , a1 q n?m ? an (m ? n) am

4

【典型例题分析】
例 1 等差数列{an}的首项 a1>0,前 n 项和为 Sn,若 Sm=Sk(m≠k),问 n 为何值时,Sn 最大? 解:根据 ?an ? 成等差数列? an ? An ? B ? Sn ? An2 ? Bn ,首项 a1>0,若 m+k 为偶数,则当 n=(m+k)/2 时,Sn 最大;
-2-

若 m+k 为奇数,当 n=(m+k─1)/2 或 n=(m+k+1)/2 时,Sn 最大 例 2 已知关于 n 的不等式 1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)>
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1 2 log a (a ? 1) ? 对于一切大于 1 的自然数 n 都成立,求 a 的 12 3
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取值范围 解:把 1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)看成一个函数 f(n),将问题转化为函数 f(n)的最小值大于右式 ∵f(n)=1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n) ∴f(n+1)- f(n)=〔1/(n+2)+1/(n+3)+…+1/(2n+2) 〕 -〔1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)〕 =1/(2n+2) +1/(2n+1) -1/(n+1) =1/(2n+1) -1/(2n+2) >0 ∴f(n+1)> f(n) ∴函数 f(n)是增函数,故其最小值为 f(2)=7/12,
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∴ 7/12>

1 2 log a (a ? 1) ? , 12 3
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解得:1<a<( 5 +1)/2

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例 3 已知数列{an},{bn}都是由正数组成的等比数列, 公比分别为 p,q,其中 p>q 且 q≠1, p≠1, 设 Cn=an+bn,Sn 为数列{Cn} 的前 n 项和,求 lim

Sn n ?? S n ?1

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解:

Sn a (q ? 1)( p n ? 1) ? b1 ( p ? 1)(q n ? 1) ,以下分两种情况讨论: ? 1 S n?1 a1 (q ? 1)( p n?1 ? 1) ? b1 ( p ? 1)(q n?1 ? 1)
q p 1 p

(1)当 p>1 时, ∵ p>q>0,∴ 0<q/p<1? lim( ) =0, lim( ) =0,
n ?? n ?? n n

两边同除以 pn,得: lim (2)当 p<1 时,

Sn =p; n ?? S n ?1
Sn =1 S n ?1

∵ p>q>o,∴ 0<q<p<1? lim p =0, lim q =0, ∴ lim
n?? n ??

n

n

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n ??

例 4 已知抛物线 y=x2,点 An 的坐标为(1,0),将 OAn 分为 n 等分,分点为 A1,A2,…An─1, 过 A1,A2,…An─1,An 分别作 y 轴 的平行线,分别交抛物线于 B1,B2,B3, …Bn─1,Bn,再分别以 OA1, A1A2,A2A3, …An─1An 为宽,以 A1B1,A2B2……作 n 个 小矩形 求 n 个小矩形的面积之和;求
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lim S n (即曲边梯形 OAnBn 的面积)
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n??

解:Sn=

1 1 1 2 2 1 3 2 1 n ? 2 ? ? ( ) ? ? ( ) ? ? ? ? ( )2 n n n n n n n n
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=(n+1)(2n+1)/(6n2);

lim S n =1/3
n??

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本题用极限的思想求曲边梯形的面积,正是高等数学中的思想 例 5 等差数列{an}中,已知公差 d≠0,an≠0,设方程 arx2+2ar+1x+ar+2=0 (r∈N)是关于 x 的一组方程 ①证明这些方程中有公共根,并求这个公共根;
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-3-

②设方程 arx2+2ar+1x+ar+2=0 的另一根记为 mr,证明:数列{1/(mr+1)}是等差数列 解:①依题意,由{an}是等差数列,有 ar+ar+2=2ar+1 (r∈N),即 x=─1 时,方程成立,因此方程恒有实数根 x=─1; ②设公差为 d(化归思想),先解出方程的另一根 mr=─ar+2/ar, ∴ 1/(mr+1)=ar/(ar─ar+2)=─ar/(2d), ∴ 1/(mr+1+1)─1/(mr+1)= 〔─ar+1/(2d)〕─〔─ar/(2d)〕=─1/2, ∴ {1/(mr+1)}是等差数列 例 6 数列{an}的前 n 项和 Sn=na+(n─1)nb,(n=1,2,…),a,b 是常数,且 b≠0, ①求证{an}是等差数列; ②求证以(an,Sn/n─1)为坐标的点 Pn 都落在同一直线上,并求出直线方程;
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证明:①根据 S n ? a n ? ?

?

a1 , (n ? 1)

?S n ? S n?1 , (n ? 2)

得 an=a+(n─1)? 2b,

∴{an}是等差数列,首项为 a,公比为 2b ②由 x=an=a+(n─1)?2b, y=Sn/n─1=a+(n─1)b 两式中消去 n,得:x─2y+a─2=0,

例 7 已知数列{an}满足条件 a1=1,a2=r(r>0),且{anan+1}是公比为 q (q>0)的等比数列,设 bn=a2n─1+a2n (n=1,2,3,…) ① 求出使不等式 anan+1+an+1an+2>an+2an+3 (n∈N) 成立的 q 的取值范围;

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② 求 bn 和 lim

1 ,其中 Sn 为数列 bn 的前 n 项的和; n?? S n

③ 设 r=219 2─1,q=0 5,求数列{
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log 2 bn ?1 }的最大项和最小项的值 log 2 bn

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解:①rqn─1+rqn>rqn+1, q>0 ?0<q<(1+ 5 )/2; ②

an?1an? 2 an? 2 b a ? a2 n? 2 a2 n?1q ? a2 n q =q≠0 ? ? q ? n?1 ? 2 n?1 ? an an?1 an bn a2 n?1 ? a2 n a2 n?1 ? a2 n
1 =0; n?? S n
-4-

∴ {bn}是首项为 1+r,公比为 q 的等比数列,从而 bn=(1+r)qn─1, 当 q=1 时,Sn=n(1+r), lim

当 0<q<1 时, lim
n??

1 =(1─q)/(1+r); Sn

当 q>1 时, lim

1 =0; n?? S n
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log 2 bn ?1 19 .2 ? n =f(n)= =1+1/(n─20 2), 20 .2 ? n log 2 bn
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当 n?21 时,f(n)递减,∴ f(n)?f(21)?1<f(n)?2 25; 当 n?20 时,f(n)递减,∴ f(n)?f(20)?1>f(n)?─4;
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∴ 当 n=21 时,

log 2 bn ?1 log 2 bn ?1 有最大值 2 25;当 n=20 时, 有最小值─4 log 2 bn log 2 bn
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例 8 某林场原有森林木材量为 a,木材以每年 25%的增长速度增长,而每年要砍伐的木材量为 r,为使经过 20 年木材 存量翻两番,求每年的最大砍伐量 x(取 lg2=0 3) 解:用归纳法求解, 第一年存量:1 25a─x; 第二年存量:1 25(1 25a─x)─x=a?1 252─x(1+1 25); 第三年存量:1 25?[a?1 252─x(1+1 25)]─x=a?1 253─x(1+1 25+1 252); …… 第 20 年末存量:a?1 2520─x(1+1 25+1 252+…+1 2519)=a?1 2520─4x(1─1 2520) 依题意:a?1 2520─4x(1─1 2520)=4a, 又设 y=1 2520?lgy=20lg1 25=20(1─3lg2)=2 ∴ y=100,即 1 2520=100?x=8a/33 答:每年的最大砍伐量为 8a/33 例 9 某地区现有耕地面积 10000 公顷,规划 10 年后粮食单产比现在提高 22%,人均粮食占有量比现在提高 10%,如果 人口年增长率为 1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷?(精确到 1 公顷) 解法一:以粮食单产比现在提高 22%为目标建立数学模型,设现有的人口为 A 人,人均粮食占有量为 b 吨,平均每 年减少耕地 x 公顷,由题意可知:
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A(1 ? 0.01)10 b(1 ? 0.1) Ab ? 4 (1 ? 0.22 ) 10 104 ? 10x
解得: x ?

104 (1 ? 0.22) ? 104 (1 ? 0.01)10 (1 ? 0.1) , 10 ? 1.22
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再用二项式定理进行计算可得:x?4 解法二:以 10 年后人均粮食占有量比现在提高 10%为目标建立数学模型,粮食单产为 a 吨/公顷, 可得:
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a(1 ? 0.22)(104 ? 10x) a ? 104 (1 ? 10%) ?x?4 (公顷) ? A A(1 ? 0.01)10
例 10 某城市 2010 年末汽车保有量为 30 万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量的 6%,并且每年新增汽车 数量相同 为了保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过 60 万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆? 解:设 2010 年末的汽车保有量为 a1 ,以后每年末的汽车保有量依次为 a2 , a3.... ,每年新增汽车 x 万辆
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由题意得 an ?1 ? 0.94 an ? x即an ?1 ?

x x ? 0.94(an ? ) 0.06 0.06

x x )0.94n ?1 ? 0.06 0.06 30 令a n ? 60, 解得x ? (30 ? ) ? 0.06 1 ? 0.94n ?1 上式右端是关于 n的减函数, 且当n ? ?时, 上式趋于3.6 an ? (30 ? 故要对一切自然数 n满足an ? 60, 应有x ? 3.6,即每年新增汽车不应超 过3.6万辆

【课堂小练】
1 在等差数列{an}中,a1+a2+a3+a4+a5=30,a6+a7+a8+a9+a10=80,则 a11+a12+a13+a14+a15= 答案:130 2 数列{an}中,a15=10,a45=90,若{an}为等差数列,则 a60= ;若{an}为等比数列,则 a60= ; 答案:130,±270(两种解法) 3.a1,a2,…,a2n+1 成等差数列,且下标为奇数的项的和为 60,下标为偶数的项的和为 45,则该数列的项数是 答案:7 结论: 当总项数为奇数时,S 奇= (n+1)an+1 S 偶= nan+1 4 {an}是等比数列,且 an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则 a3+a5 为 ; 答案:5 5 设等差数列{an}的前 n 项之和为 30,前 2n 项之和为 100,则它的前 3n 项之和为 答案:210 6 {an}是等差数列,且 a1─a4─a8─a12+a15=2,求 a3+a13 的值; 答案:─4 7 一个等差数列共 n 项,其和为 200,其中前 10 项之和为 25,后 10 项之和为 75,则 n= 答案:40 8 等比数列{an}中,已知 a1a2a3=1,a4a5a6=2,则 a7a8a9a10a11a12= 答案:32; a1a2a3,a4a5a,a7a8a9……成等比数列 9 等比数列{an}中,Sn=2n─1,则 a12+a22+…+an2 等于 答案:(4n─1)/3
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? ,若 S n / S n ? =(7n+2)/(n+4),则 a5/b5= 10 数列{an}和{bn}均为等差数列,它们的前 n 项之和分别为 Sn , S n
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答案:5; 11 等差数列{an}的公差为 1/2,且前 100 项之和为 S100=145,求 a1+a3+a5+…+a99 的值 答案:S100=a1+a3+a5+…+a99+a2+a4+a6+…+a100=2(a1+a3+a5+…+a99)+50d=145? a1+a3+a5+…+a99=60 12 项数为奇数的等差数列,奇数项之和为 44,偶数项之和为 33,求该数列的中间项 答案:S 奇+S 偶=Sn; S 奇─S 偶=a 中; Sn=na 中 ?a 中=11 13 等差数列{an}中,前 m 项之和(m 为奇数)为 77,其中偶数项之和为 33,a1─am=18,求此数列的通项公式
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答案:

m ?1 (a1 ? a m ) ? 44, (奇数项之和) 4

m ?1 (a 2 ? a m ?1 ) ? 33 ,两式相除得到:(m+1)/(m─1)=4/3 ?m=7, 4
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再联立方程组解得:a1=20,am=2?d=─3?an=─3n+23 14 在等差数列{an}中,如果 Sm/Sn=m2/n2(m,n 为已知数),求 am/an 的值 答案: (2m─1)/(2n─1)
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15 等差数列{an}中,公差 d≠0,其中 ak1 , ak2 ,?, akn ?构成等比数列,若 k1=1,k2=5,k3=17,求 k1+k2+k3+…+kn
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答案:由题意知 a52=a1a17,列方程得到 a1=2d,公比 q=a5/a1=(a1+4d)/a1=3, ∴ a kn =a1? 3n─1, (1);

-6-

又 a kn =a1+(kn─1)d=

kn ? 1 a1 2

(2);
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由(1)及(2)得 kn=2?3n─1─1,∴ k1+k2+…+kn=2(1+3+32+…+3n─1)─n=3n─n─1 16 在 1/n 和 n+1 之间插入 n 个正数,使得这 n+2 个数成等比数列,求插入的 n 个数之积
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n ?1 2 答案: ( ) n
17 等差数列{an}中,a3=12,S13<0,S12>0,(1)求公差 d 的取值范围;(2)指出 S1,S2,…,S12 中哪一个最大?并说明理由 答案:(1)由 S12=12a1+12?11d/2>0, S13=13a1+13?12d/2<0 , a3=a1+2d=12 得到:
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n

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24+7d>0, 3+d<0 ?─24/7<d<─3; (2)两种解法:方法一:Sn 是 n 的二次函数,由此函数配方结合 d 的范围求出最大值 方法二:S12=6(a6+a7)>0,S13=13a7<0 ?a6+a7>0,a7<0?a6>0,a7<0,故当 n?6 时,Sn 递增,n?6 时,Sn 递减,∴ S6 最大
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18 (1)数列{an}是首项为 1000,公比为 1/10 的等比数列,数列{bn}满足 bk=
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1 (lg a1 ? lg a 2 ? ? ? lg a k ) (k∈N),求数列 k

{bn}的前多少项的和最大? (2)数列{an}中,S7=S12 , 则数列的前 项之和最大 答案: (1)bk=3─(k─1)/2, bk 为等差数列; bn?0, bn+1?0,?6?n?7 所以第 6 项和第 7 项最大; (2)8 或 9 数形结合
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19 已知 n∈N,函数 y=(x2─x+n)/(x2+1)的最小值与最大值的和为 an,又 b1+2b2+…nbn=(n+10) (
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9 n ?1 100 ) ? 10 9

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①求 an 和 bn 的表达式; ②令 Cn=─anbn,试问数列{Cn}有没有最大项?如果有,求出最大项,如果没有,说明理由 答案:①先用判别式法求出 an=n+1,

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9 n ?1 100 ) ? 10 9 9 n ? 2 100 ? b1+2b2+…(n─1)bn─1=(n+9) ( ) 10 9 1 9 n ?1 相减得:bn= ? ( ) , 9 10 n ? 1 9 n ?1 ( ) , ② 从而 Cn= 9 10
又 b1+2b2+…nbn= (n+10) ( 故最大项为 C8=C9= (
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考虑数列的单调性,由 Cn?Cn─1, Cn?Cn+1 ?8?n?9

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9 7 ) 10

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18 已 知 递 增 的 等 比 数 列 {an} 的 前 三 项 之 积 为 512 , 且 这 三 项 分 别 减 去 1 , 3 , 9 后 又 成 等 差 数 列 , 求 证 :
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1 1 1 1 ? ? ?? ? 1 a1 a 2 a3 an

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答案:a2=8, 设公比为 q,则(8/q─1)+(8q─9)=2(8─3)?q=2 或 q=1/2(舍去) Sn=

1 2 3 n 1 2 3 n ? ? ??? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 , a1 a2 a3 an 2 2 2 2
1 n ? n ?1 <1 n 2 2
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用错位相减法得 Sn=1─

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19 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,bn=1/Sn,且 a3b3=1/2,S3+S5=21 ①求数列{bn}的通项公式; ②求证:b1+b2+…+bn<2
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答案:①bn=
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1 1 2 ; ②bn=2( ? )裂项相消,结果为 2─2/(n+1)<2 n n ?1 n(n ? 1)

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20 已 知 函数 f(x)=(x─1)2, 数 列 {an} 是 公差 为 d 的等 差数 列, 数列 {bn} 是 公 比为 q 的 等比 数列 (q ∈ R,q ≠ 1), 若 a1=f(d─1),a3=f(d+1),b1=f(q─1),b3=f(q+1) ①求数列{an},{bn}的通项公式;
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②设数列{cn}对任意自然数 n 均有

c c1 c2 c3 ? ? ? ? ? n ? a n?1 成立,求 c1+c3+c5+…+c2n─1 的值 b1 b2 b3 bn
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③试比较(3bn─1)/(3bn+1)与 an+1/an+2 的大小,并证明你的结论 答案:①an=2(n─1); bn=3n─1; ②cn/bn =an+1─an=2?cn=2bn=2?3n─1? c1+c3+c5+…+c2n─1=(9n─1)/4; ③(3bn─1)/(3bn+1)=(3n─1)/(3n+1), an+1/an+2=n/(n+1) 猜想 n∈N 时,有(3n─1)/(3n+1)? n/(n+1), 用数学归纳法证明(略)
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特级教师 王新敞
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【课后练习】
一、选择 1、设 {an } 是等差数列,若 a2 ? 3, a7 ? 13 ,则数列 {an } 前 8 项的和为( A.128 B.80 C.64 D.56 ) )

2、记等差数列的前 n 项和为 Sn ,若 S2 ? 4, S4 ? 20 ,则该数列的公差 d ? ( A、2 B、3 C、6 D、7

3、设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,则 A. 2 B. 4

S4 ?( ) a2

C.

15 2

D.

17 2


4、设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 9 , S6 ? 36 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? ( A.63 B.45 C.36 D.27

5、在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? ln(1 ? ) ,则 an ? ( ) A. 2 ? ln n B. 2 ? (n ? 1) ln n C. 2 ? n ln n ) (D)15 ) (D) D. 1 ? n ? ln n

1 n

6、若等差数列 {an } 的前 5 项和 S5 ? 25 ,且 a2 ? 3 ,则 a7 ? ( (A)12 (B)13 (C)14

7、已知 ?an ? 是等比数列, a 2 ? 2,a 5 ? (A)16( 1 ? 4
?n



1 ,则 a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1 =( 4 32 ?n ?n (B)16( 1 ? 2 ) (C) (1 ? 4 ) 3
-8-

32 ?n (1 ? 2 ) 3

8、非常数数列 {an } 是等差数列,且 {an } 的第 5、10、20 项成等比数列,则此等比数列的公比为 ( A.



1 5

B.5

C.2

D.

1 2

9、已知数列 {an } 满足 a1 ? 0, a n ?1 ?

an ? 3 3a n ? 1

(n ? N * ) ,则 a 20 =(
3 2



A.0 二、填空

B. ? 3

C. 3

D.

1.已知 ?an ? 为等差数列, a3 ? a8 ? 22 , a6 ? 7 ,则 a5 ? ____________ 2.设数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an?1 ? an ? n ? 1 ,则通项 an ? ___________。 3.设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和, a12 ? ?8 , S9 ? ?9 ,则 S16 ? 4、将全体正整数排成一个三角形数阵:按照以上排列的规律,第 n 行( n ? 3 )从左向 右的第 3 个数为 三、解答题 1 、 已 知 数 列 ?xn ? 的 首 项 x1 ? 3 , 通 项 xn ? 2n p ? nq n ? N*, p, q为常数 , 且

?

?

x1

x4

(Ⅰ)p,q 的值; (Ⅱ) 数列 ?xn ? 前 n 项和 Sn 的公式。 x5 , 成等差数列。求:

2. 已知数列 {an } 的首项 a1 ? 的前 n 项和 Sn .

2 2an 1 n ,an ?1 ? ,n ? 1, 2,3, …. (Ⅰ) 证明: 数列 { ? 1} 是等比数列; (Ⅱ) 数列 { } 3 an ? 1 an an

3.数列{an}是首项为 23,公差为整数的等差数列,且第六项为正,第七项为负. (1)求数列的公差; (2)求前 n 项和 Sn 的最大值; (3)当 Sn>0 时,求 n 的最大值.

-9-

4.设等比数列 ?an ? 的首项 a1 ?

1 ,前 n 项和为 S n ,且 210 S30 ? (210 ? 1)S20 ? S10 ? 0 , 2 且数列 ?an ? 各项均正。 (Ⅰ)求 ?an ? 的通项; (Ⅱ)求 ?nSn ?的前 n 项和 Tn 。

5.已知等差数列 ?an ? 满足 a 3 ? a 6 ? ? , (1)求数列 ?an ? 的通项公式;

为数列 ?b n ?的第 1 项、第 2 项、第 3 项、……、第 n 项、……,求数列 2

4 a 1a 8 ? ? 且a 1 ? a 8 3 (2) 、把数列 ?an ? 的第 1 项、第 4 项、第 7 项、……、第 3n-2 项、……分别作

1 3

? ? 的所有项之和;
bn

答案: 一、选择 1.C 2.B 二、填空 1.15 三、解答 1.(1) p ? q ? 1 2.

3.C

4.B

5.A

6.B

7.C

8.C

9.B

n(n ? 1) ?2 2
(2) S n ?

3.-72

4.

n(n ? 1) ?3 2

n(n ? 1) ? 2n ? 2 ? 2 2

2.(1)

? 1 1? 1 ? 1 ? ? ? 1? an?1 2 ? an ?
1 n(n ? 1) ? 2n 2

(2) S n ? 2 ? ? 2 ? n ? 3.(1) d ? ?4 4.(1) an ?

(2) n ? 6, Smax ? 78 (2) Tn ? 2 ? ? 2 ? n ?

1 2n

1 2n

- 10 -

1 4 5.(1) an ? ? n ? 3 3

bn ? ?n ? 2
(2)

Sn ? 4 ?

1 2
n?2

- 11 -


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