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【金榜提名】2015届高三数学(文理通用)二轮专项复习课件:专题7 第1讲 统计与统计案例


成才之路· 数学
新课标版 ? 二轮专题复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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专题七
概率与统计

专题七

概率与统计

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专题七
第一讲 统计与统计案例

专题七

概率与统计

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命题角度聚焦

核心知识整合

学科素能培养 方法警示探究

命题热点突破

课后强化作业

专题七 第一讲

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命题角度聚焦

专题七 第一讲

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1.以客观题形式考查抽样方法,样本的数字特征和回归 分析,独立性检验的基本思路、方法及相关计算与推断.

2.本部分较少命制大题,若在大题中考查多在概率与统
计、算法框图等知识交汇处命题,重点考查抽样方法,频率 分布直方图和回归分析或独立性检验,注意加强抽样后绘制 频率分布直方图,然后作统计分析或求概率的综合练习.

专题七 第一讲

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核心知识整合

专题七 第一讲

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1.抽样方法

三种抽样方法的比较
类别 简单随机 抽样 共同点 各自特点 从总体中逐个 抽取 相互联系 适用范围 总体中的个 体数较少 在起始部分抽 总体中的个 样时采用简单 体数较多 随机抽样

抽样过 程中每 系统抽样 个个体 被抽取 的概率 相等 分层抽样

将总体均分成 几部分,按事 先确定的规则 在各部分抽取 将总体分成几 层,分层进行 抽取

分层抽样时采 总体由差异 用简单随机抽 明显的几部 样或系统抽样 分组成
专题七 第一讲

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2.统计图表 (1)在频率分布直方图中: ①各小矩形的面积表示相应各组的频率,各小矩形的高= 频率 ;②各小矩形面积之和等于1;③中位数左右两侧的直方 组距 图面积相等,因此可以估计其近似值.

专题七 第一讲

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(2)茎叶图
当数据有两位有效数字时,用中间的数字表示十位数, 即第一个有效数字,两边的数字表示个位数,即第二个有效 数字,它的中间部分像植物的茎,两边部分像植物茎上长出 来的叶子,因此通常把这样的图叫做茎叶图.

当数据有三位有效数字,前两位相对比较集中时,常以
前两位为茎,第三位(个位)为叶(其余类推).

专题七 第一讲

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3.样本的数字特征
(1)众数 在样本数据中,频率分布最大值所对应的样本数据(或出 现次数最多的那个数据). (2)中位数

样本数据中,将数据按大小排列,位于最中间的数
据.如果数据的个数为偶数,就取当中两个数据的平均数作 为中位数.

专题七 第一讲

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(3)平均数与方差 1 - 样本数据的平均数 x =n(x1+x2+?+xn). 1 方差s =n[(x1-- x )2+(x2-- x )2+?+(xn-- x )2].
2

注意:(1)现实中总体所包含的个体数往往较多,总体的 平均数与标准差、方差是不知道(或不可求)的,所以我们通常 用样本的平均数与标准差、方差来估计总体的平均数与标准 差、方差.

专题七 第一讲

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(2) 平均数反映了数据取值的平均水平,标准差、方差描
述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大, 数据的离散程度越大,越不稳定. 4.变量间的相关关系 (1) 利用散点图可以初步判断两个变量之间是否线性相

关.如果散点图中的点从整体上看大致分布在一条直线的附
近,我们说变量x和y具有线性相关关系.

专题七 第一讲

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(2)用最小二乘法求回归直线的方程 ^x+a ^,则 设线性回归方程为^ y=b ? n n ? x ??yi-- y ? ?xiyi-n- x- y ? ?xi-- ? i=1 ?^ i=1 = ?b= n n ? 2 x2 x? ? ?xi2-n- ? ?xi-- i= 1 i= 1 ? ? ^=- ^- ? y -b x ?a

.

注意:回归直线一定经过样本的中心点( - x ,- y ),据此性 质可以解决有关的计算问题.
专题七 第一讲

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5.回归分析 x ??yi-- y? ? ?xi--
i= 1 n

r=
n 2 n i= 1 i=1

,叫做相关系数.
2 - - ? x - x ? ? y - y ? ? i ? i

相关系数用来衡量变量x与y之间的线性相关程度; |r|≤1,且|r|越接近于1,相关程度越高,|r|越接近于0,相关程 度越低.

专题七 第一讲

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6.独立性检验 假设有两个分类变量 X 和 Y,它们的取值分别为{x1,x2} 和{y1,y2},其样本频数列联表(称为 2×2 列联表)为 y1 x1 x2 总计
n 11

y2
n12 n 22 n ?2
2

总计
n1? n 2?

n 21 n ?1

n

n ? n11n 22 ? n12 n 21 ? 2 则? ? , n1? n 2? n ?1n ?2

专题七 第一讲

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若? >3.841, 则有 95%的把握说两个 事件有关; 2 若? >6.635, 则有 99%的把握说两个 事件有关; 2 若? ? 3.841,则没有充分理由认为 两个事件有关.
2

专题七 第一讲

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1.当总体数N不能被样本容量整除,用系统抽样法剔除多 余个体时,必须随机抽样.

2.注意中位数与平均数的区别,中位数可能不在样本数
据中.

专题七 第一讲

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命题热点突破

专题七 第一讲

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抽样方法
(2014· 新乡、许昌、平顶山调研 )某高校共有 450 名学生参加环保知识测试,其中男生 250 名,女生 200 名, 已知所有学生的成绩均大于 60 且小于等于 100,现按性别用分 层抽样的方法从中抽取 45 名学生的成绩, 从男生和女生中抽查 的结果分别如表 1 和表 2:

专题七 第一讲

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表1 成绩分组 人数 (60,70] 3 (70,80] m 表2 成绩分组 人数 (60,70] 2 (70,80] 5 (80,90] n (90,100] 4 (80,90] 8 (90,100] 6

专题七 第一讲

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(1)求m,n的值, (2)记表2中分组在(60,70]中的2名女生为A、B,(90,100]中 的 4 名女生为 C 、 D 、 E 、 F ,现从表 2 中 (60,70] 的女生中抽取 1 人,从(90,100]的女生中抽取2人做专题发言,求(60,70]中的女

生A和(90,100]中的女生C同时被抽到的概率是多少?

专题七 第一讲

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[ 解析] 25人,

250 (1)由抽样方法知抽取的男生人数为:45× 450 =

200 抽取的女生人数为:45×450=20. 所以m=25-(3+8+6)=8,n=20-(2+5+4)=9, 故m=8,n=9.

专题七 第一讲

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(2)满足题意的所有抽法共有12种,情况如下: (A,C,D),(A,C,E),(A,C,F),(A,D,E),(A, D,F),(A,E,F),(B,C,D),(B,C,E),(B,C,F), (B,D,E),(B,D,F),(B,E,F). 其中A和C同时被抽中的情况有3种如下所示:(A,C, D),(A,C,E),(A,C,F). 3 1 所以A和C同时被抽中的概率为P=12=4.

专题七 第一讲

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(2013· 湖南文,3)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种 产品,数量分别为 120 件、80 件、60 件,为了解它们的产品质 量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为 n 的 样本进行调查, 其中从丙车间的产品中抽取了 3 件, 则 n=( A.9 C.12 B.10 D.13 )

专题七 第一讲

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[答案] D
3 n [ 解析] ∵ = ,∴n=13.故选D. 120+80+60 60 [ 方法规律总结]
解决抽样问题,首先要深刻理解各种抽样方法的特点和适 用范围,如分层抽样,适用于数目较多且各部分之间具有明显 差异的总体.其次要抓住无论哪种抽样方法,每一个个体被抽 到的概率都等于样本容量与总体容量的比值.

专题七 第一讲

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用样本估计总体

某学校为了调查学生平均每周的上网时间( 单 位:h)对学习产生的影响,从高三年级随机抽取了 100 名学生, 将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图),其中频率分 布直方图从左到右前 3 个小矩形的面积之比为 1:3:5,试估计:

专题七 第一讲

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(1)该学校学生平均每周上网时间少于4小时的学生人数是 多少? (2) 为了调查上网时间对学习的影响程度,学校决定在平 均每周上网时间少于 4 小时的学生中利用分层抽样法抽取 4 名

学生,然后再随机抽取2名学生进行学习效率等方面的调查,
求平均每周上网时间在 2 ~ 4 小时内的学生有 2 名被抽到的概 率.

专题七 第一讲

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[解析]

(1)设频率分布直方图中从左到右前 3个小矩形的

面积分别为P,3P,5P. 由频率分布直方图可知,最后 2 个小矩形的面积之和为 (0.015+0.035)×2=0.1. 因为频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为 1,所以

P+3P+5P=0.9,即P=0.1.
所以平均每周上网时间少于 4 小时的学生所占比例为 P + 3P=0.4,即人数为0.4×100=40.

专题七 第一讲

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(2)由题意可知,利用分层抽样的方法抽取上网时间在0~ 2小时内的学生1名(记为A),抽取上网时间在2~4小时内的学 生3名(分别记为B1,B2,B3),从这4名学生中随机抽取2名学生 有(A,B1),(A,B2),(A,B3),(B1,B2),(B2,B3),(B1, B3),共6种结果, 其中上网时间在2~4小时内的学生有2名被抽到所包括的 基本事件有(B1,B2),(B2,B3),(B1,B3),共3种结果, 3 1 故所求概率P=6=2.
专题七 第一讲

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(2014· 新课标Ⅰ文, 18)从某企业生产的某种产品中抽取 100 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频数 分布表: 质量指 标值分 组 频数 6 26 38 22 8 [75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125)

专题七 第一讲

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(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图;

专题七 第一讲

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(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差 (同一组中的 数据用该组区间的中点值作代表); (3) 根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种 产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品的

80%”的规定?

专题七 第一讲

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[解析] (1)

专题七 第一讲

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(2)质量指标值的样本平均数为 x =80×0.06×+90×0.26+100×0.38+110×0.22+

120×0.08=100. 质量指标值的样本方差为 s2=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+0×0.38+102×0.22+ 202×0.08=104. 所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100,方差 的估计值为104.

专题七 第一讲

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(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+ 0.22+0.08=0.68. 由于该估计值小于 0.8,故不能认为该企业生产的这种产

品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”
的规定.

专题七 第一讲

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[方法规律总结]
1.观察茎叶图重点看数据的集中程度. 2.求中位数、平均数、方差主要依据公式进行计算. 3.在频率分布直方图中,平均数的估计值等于每个小矩 形的面积乘以小矩形底边中点横坐标之和;在中位数的估计

值两侧直方图的面积相等;最高小矩形中点对应数据为这组
数据的众数. 4.方差越大,数据的波动程度越大,越不稳定. 5.准确理解给出图表及已知条件中数据的含义是解决统 计问题的关键.
专题七 第一讲

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回归分析及其应用
班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析,决 定从全班 25 位女同学,24 位男同学中随机抽取一个容量为 8 的样本进行分析.若这 8 位同学的数学、物理分数对应如下表:

学生编号 1 数学分数x 60 物理分数y 72

2 65

3 70

4 75

5 80

6 85

7 90

8 95

77

80

84

88

90

93

95

上表数据表示变量 y 与 x 的相关关系.
专题七 第一讲

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(1) 画出样本的散点图,并说明物理分数 y 与数学分数 x 之 间是正相关还是负相关; (2)求y与x的线性回归直线方程(系数精确到0.01),并指出

某学生数学83分,物理约为多少分(精确到1分)?

专题七 第一讲

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^x+a ^, 参考公式:回归直线的方程是:^ y=b x ??yi-- y? ? ?xi-- ^= 其中b
i= 1 n

x ?2 ? ? x i--
i=1

n

^=- ^- ,a y -b x.

参考数据:- x =77.5,- y ≈85, ? (xi-- x ) =1050, ? (xi
2 i=1 i=1

8

8

-- x )(yi-- y )≈688.
专题七 第一讲

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[解析] (1)画样本散点图如下:

由图可知:物理分数y与数学分数x之间是正相关关系.

专题七 第一讲

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(2)从散点图中可以看出,这些点分布在一条直线附近, 因此以用公式计算得, x ??yi-- y? ? ? x i- - ^= b
i=1 8

x ?2 ? ?xi--
i=1

8

688 =1050≈0.66,

^ = - ^ - 由 - x =77.5, - y ≈85,得 a y - b x =85- 0.66×77.5≈33.85.

专题七 第一讲

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所以回归直线方程为^ y=0.66x+33.85. 当x=83时,^ y=0.66×83+33.85=88.63≈89. 因此某学生数学83分时,物理约为89分.

专题七 第一讲

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某种产品的广告费支出 x 与销售额 y 之间有如下对应数据

(单位:百万元).
x y 2 30 4 40 5 60 6 t 8 70

根据上表提供的数据, 求出 y 关于 x 的线性回归方程为^ y= 6.5x+17.5,则表中 t 的值为________.

专题七 第一讲

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[答案] 50
[ 解析]

t - - 由题意, x =5, y =40+ 5 ,且点( - x ,- y )一定

t ^ 在回归直线 y =6.5x+17.5上,代入得40+ 5 =6.5×5+17.5,解 得t=50.
[ 方法规律总结] ^ 的计算公式和 a ^=- ^ 求线性回归方程关键是熟练运用 b y -b - x.

专题七 第一讲

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独立性检验及其应用
(2013· 合肥质检)某校举办安全法规知识竞赛, 从参赛的高一、高二学生中各抽出 100 人的成绩作为样本.对 高一年级的 100 名学生的成绩进行统计,并按[40,50),[50,60), [60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分组,得到成绩分布的频率 分布直方图(如图).

专题七 第一讲

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(1)若规定 60 分以上(包括 60 分)为合格,计算高一年级这 次知识竞赛的合格率; (2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代 表, 据此, 估计高一年级参加这次知识竞赛的学生的平均成绩;

专题七 第一讲

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(3)若高二年级这次知识竞赛的合格率为 60%,由以上统计 数据填写下面 2×2 列联表, 并问是否有 99%的把握认为“这次 知识竞赛的成绩与年级有关系”. 高一 合格人数 不合格人数 合计 高二 总计

专题七 第一讲

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附: P( ? 2>k) k
n ? n11n 22 ? n12 n 21 ? 2 ? ? n1? n 2? n ?1n ?2
2

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

专题七 第一讲

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[ 解析]

(1)高一年级的合格率为0.02×10+0.03×10+

0.02×10+0.01×10=0.8=80%. 10 10 20 (2)高一年级样本的平均数为45× 100 +55× 100 +65× 100 30 20 10 +75×100+85×100+95×100=72, 据此,可以估计高一年级这次知识竞赛的学生的平均成绩 为72分.

专题七 第一讲

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(3) 高一 合格人数 不合格人数 合计 80 20 100 高二 60 40 100 总计 140 60 200

2 200 ? 80 × 40 - 20 × 60 ? ? 2= ≈9.5>6.635, 100×100×140×60

所以有 99%的把握认为“这次知识竞赛的成绩与年级有关 系”.
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(2014· 安徽文, 17) 某高校共有 15000 人,其中男生 10500 人,女生 4500 人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的 情况,采用分层抽样的方法,收集300位学生每周平均体育运 动时间的样本数据(单位:小时). (1)应收集多少位女生的样本数据? (2)根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时

间的频率分布直方图 ( 如图所示 ) ,其中样本数据的分组区间
为: [0,2] , (2,4] , (4,6] , (6,8] , (8,10] , (10,12] .估计该校学 生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.
专题七 第一讲

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(3)在样本数据中,有 60 位女生的每周平均体育运动时间 超过 4 个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别列联表, 并判断是否有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动 时间与性别有关”.
n ? n11n 22 ? n12 n 21 ? 附: ? ? n1? n 2? n ?1n ?2
2 2

P( ? 2≥k0) k0

0.10 2.706

0.05 3.841

0.010 6.635

0.005 7.879

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4500 [解析] (1)300× 15000 =90,所以应收集90位女生的样本 数据. (2)由频率分布直方图得1-2×(0.100+0.025)=0.75,所 以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值 为0.75. (3)由(2)知,300位学生中有300×0.75=225人的每周平均 体育运动时间超过4小时,75人的每周平均体育运动时间不超 过4小时,又因为样本数据中有210份是关于男生的,90份是关 于女生的,所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下:
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每周平均体育运动时间与性别列联表
男生 每周平均体育运动时间不超过 4 小时 每周平均体育运动时间超过 4 小时 总计 45 165 210 女生 30 60 90 总计 75 225 300

2 300 × ? 45 × 60 - 165 × 30 ? 100 2 综合列联表可算得 ? = = 21 75×225×210×90

≈4.762>3.841. 所以,有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动 时间与性别有关.”
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[方法规律总结] 理解独立性检验的思想方法,会用 K2 公式计算,并与给 出的数据比较作出判断,是解决这类问题的关键.

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学科素能培养

专题七 第一讲

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统计与其他知识的交汇

统计是高考的热点,命题时不再单纯地以抽样方法、由样 本估计总体、统计案例为重点,而是转化为与其他知识相结 合,考查学生综合运用知识的能力.

专题七 第一讲

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(2014· 甘肃省三诊 ) 随着工业化以及城市车辆 的增加,城市的空气污染越来越严重,空气质量指数 API 一直 居高不下,对人体的呼吸系统造成了严重的影响.现调查了某 市 500 名居民的工作场所和呼吸系统健康, 得到 2×2 列联表如 下:

室外工作

室内工作

合计

有呼吸系统疾病
无呼吸系统疾病

150
100

合计

200
专题七 第一讲

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(1)补全 2×2 列联表; (2)你是否有 95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所 有关; (3)现采用分层抽样从室内工作的居民中抽取一个容量为 6 的样本,将该样本看成一个总体,从中随机的抽取两人,求两 人都有呼吸系统疾病的概率.
n ? n11n 22 ? n12 n 21 ? 2 参考公式与临界值表: ? ? n1? n 2? n ?1n ?2
2

P( ? 2≥k0) k0

0.100 2.706

0.050 3.841

0.025 5.024

0.010

0.001

6.635 10.828
专题七 第一讲

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[解析] (1)2×2列联表如下 室外工作 有呼吸系统疾病 无呼吸系统疾病 合计 150 50 200 室内工作 200 100 300 合计 350 150 500

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2 500 × ? 150 × 100 - 200 × 50 ? (2)计算: ? 2= ≈3.968, 350×150×200×300

所以有 95% 的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有 关. (3)采用分层抽样从室内工作的居民中抽取 6 名进行座谈, 有呼吸系统疾病的抽 4 人,记为 A、B、C、D,无呼吸系统疾 病的抽 2 人, 记为 E、 F, 从中抽两人, 共有 15 种抽法, A=“从 2 中随机的抽取两人, 两人都有呼吸系统疾病”有 6 种, P(A)= . 5
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(2014· 邯郸市一模)在某大学联盟的自主招生考试中,报考 文史专业的考生参加了人文基础学科考试科目“语文”和“数 学”的考试 . 某考场考生的两科考试成绩数据统计如下图所 示,本次考试中成绩在[90,100]内的记为 A,其中“语文”科目 成绩在[80,90)内的考生有 10 人.

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(1)求该考场考生数学科目成绩为A的人数; (2)已知参加本考场测试的考生中,恰有2人的两科成绩均 为A.在至少一科成绩为A的考生中,随机抽取2人进行访谈,求 这2人的两科成绩均为A的概率.

[解析] (1)该考场的考生人数为10÷0.25=40人.
数 学 科 目 成 绩 为 A 的 人 数 为 40×(1 - 0.0025×10 - 0.015×10-0.0375×10×2)=40×0.075=3人.

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(2)语文和数学成绩为A的各有3人,其中有两人的两科成 绩均为A,所以还有两名同学只有一科成绩为A. 设这四人为甲、乙、丙、丁,其中甲、乙的两科成绩均为 A,则在至少一科成绩为A的考生中,随机抽取两人进行访 谈,基本事件为{甲,乙},{甲,丙},{甲,丁},{乙,丙}, {乙,丁},{丙,丁}共6个, 设“随机抽取两人,这两人的两科成绩均为A”为事件 1 M,则事件M包含的事件有1个,则P(M)=6.
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对统计图表理解错误,识读不清致误
如图所示是某公司(共有员工 300 人)2014 年员 工年薪情况的频率分布直方图,由此可知,员工中年薪在 1.4 万元~1.6 万元之间的共有________人.

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[错解]

填180.员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的频率

为1-(0.02+0.08+0.10)×2=0.60,从而得到员工中年薪在1.4 万元~1.6万元之间的共有300×0.60=180(人). [ 辨析 ] 审题不细,频率 / 组距值为 0.08 和 0.10 的都有 2 个,但值为0.02的只有一个组.

[ 正解 ]

72

由所给图形,可知员工中年薪在 1.4 万元~

1.6万元之间的频率为1-(0.02+0.08+0.08+0.10+0.10)×2= 0.24 , 所 以 员 工 中 年 薪 在 1.4 万 元 ~ 1.6 万 元 之 间 的 共 有 300×0.24=72(人),故填72.

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[ 警示 ]

在频率分布直方图中,纵轴为频率 / 组距,不是

频率;各小矩形面积的和为 1,平均数的估计值等于频率分布 直方图中各小矩形的面积乘以小矩形底面中点的横坐标之

和.识图时要严格按概念要求进行.

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(2014· 武汉调研)某校 100 名学生期中考试数学成绩的频率 分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[50,60),[60,70), [70,80),[80,90),[90,100],则图中 a 的值为( )

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A.0.006 C.0.0045 [答案] B

B.0.005 D.0.0025

[解析] (2a+0.02+0.03+0.04)×10=1,
∴a=0.005,故选B.

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