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2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题


2008 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
(时间:2008 年 4 月 20 日上午 8:00—10:00)
一、选择题(本题满分 30 分,每小题 6 分)
2 2 1. 如果实数 m,n,x,y 满足 m ? n ? a , x ? y ? b ,其中 a,b 为常数,那么 mx+ny 的最大 值为 [ ]
2 2

/>A.

a?b 2

B.

ab
x

C.

a ?b
2

2

D.

a ?b
2

2

2

2

2. 设 y ? f ( x ) 为指数函数 y ? a . 在 P(1,1),Q(1,2),M(2,3), N ? 其反函数 y ? f ( x ) 的图像的公共点只可能是点 [ ] A. P B. Q C. M D. N 3. 在如图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差 数列,每一纵列成等比 数列,那么 x ? y ? z 的值为 答:[ ] A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
?1

?1 1? , ? 四点中,函数 y ? f ( x ) 与 ?2 4?

1 0.5

2 1
x
y
z

4. 如果 ? A1 B 1 C 1 的三个内角的余弦值分别是 ? A 2 B 2 C 2 的三个内角的正弦值,那么 [ A. ? A1 B 1 C 1 与 ? A 2 B 2 C 2 都是锐角三角形 B. ? A1 B 1 C 1 是锐角三角形, ? A 2 B 2 C 2 是钝角三角形 C. ? A1 B 1 C 1 是钝角三角形, ? A 2 B 2 C 2 是锐角三角形 D. ? A1 B 1 C 1 与 ? A 2 B 2 C 2 都是钝角三角形

]

5. 设 a, 是夹角为 30° b 的异面直线, 则满足条件 a ? ? ,b ? ? , ? ? ? ” “ 且 的平面 ? ,? [ A. 不存在 B. 有且只有一对 C. 有且只有两对 D. 有无数对 二、填空题(本题满分 50 分,每小题 10 分)
2

]

6. 设 集 合 A ? ?x x ? ? x ? ? 2 ?和 B ? ?x x ? 2 ? , 其 中 符 号 ? x ? 表 示 不 大 于 x 的 最 大 整 数 , 则
A ? B ? ___________________.

7. 同时投掷三颗骰子, 于少有一颗骰子掷出 6 点的概率是 P ? __________(结果要求写成既约分数) . 8. 已知点 O 在 ? ABC 内部, OA ? 2 OB ? 2 OC ? 0 . ? ABC 与 ? OCB 的面积之比为____________. 9. 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 外切, 且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为________________________. 10. 在 ? ABC 中,若 tanAtanB=tanAtanC+tanctanB,则
a ?b
2 2

c
2

2

=______________.

三、解答题(本题满分 70 分,各小题分别为 15 分、15 分、20 分、20 分) 11. 已知函数 f ( x ) ? ? 2 x ? bx ? c 在 x ? 1 时有最大值 1, 0 ? m ? n ,并且 x ? ?m , n ? 时, f ( x ) 的 取值范围为 ? ,
?1 1 ? ? . 试求 m,n 的值. ?n m ?

1

12.

A、B 为双曲线 (Ⅰ)求证:

x
1

2

?
?

y

2

? 1 上的两个动点,满足 OA ? OB ? 0 。
1
2

4
2

9

为定值;

OA

OB

(Ⅱ)动点 P 在线段 AB 上,满足 OP ? AB ? 0 ,求证:点 P 在定圆上.

13. 如图,平面 M、N 相交于直线 l. A、D 为 l 上两点,射线 DB 在平面 M 内,射线 DC 在平面 N 内. 已知 ? BDC ? ? , ? BDA ? ? , ? CDA ? ? ,且 ? , ? ,? 都是锐角. 求二面角 M ? l ? N 的平 面角的余弦值(用 ? , ? , ? 的三角函数值表示).

N C

A

D

B M

14. 能否将下列数组中的数填入 3×3 的方格表,每个小方格中填一个数,使得每行、每列、两条 对角线上的 3 个数的乘积都相等?若能,请给出一种填法;若不能,请给予证明. (Ⅰ)2,4,6,8,12,18,24,36,48; (Ⅱ)2,4,6,8,12,18,24,36,72.

2

2008 年江苏赛区初赛试题参考答案及评分标准 一、选择题(本题满分 30 分,每小题 6 分) 1. 答 : [B] 解 由 柯 西 不 等 式 ( mx ? ny ) 2 ? ( m 2 ? n 2 )( x 2 ? y 2 ) ? ab ; 或 三 角 换 元 即 可 得 到
mx ? ny ? ab ,当 m ? n ?
a 2

,x ?

y ?

b 2

时, mx ? ny ?
1

ab . 选 B.
1

2.答:[D]解 N. 选 D. 3.答: [A]解
z ? 3 16

1 1 ? 1 ?4 ? 1 ?2 取a ? ,把坐标代入检验,? ? ? ? ,而 ? ? ? ,∴公共点只可能是 点 16 2 4 ? 16 ? ? 16 ?

1

第一、 二行后两个数分别为 2.5, 与 1.25, 3 1.5; 第三、 五列中的 x ? 0 . 5 ,y ? 四、

5 16



,则 x ? y ? z ? 1 . 选 A. 两个三角形的内角不能有直角; ? A1 B 1 C 1 的内角余弦都大于零,所以是锐角三角 cos A1 =sin A 2 =cos ?
A1 ?
?? ? ? A1 ? , ? 2 ?

4. 答:[B] 解

形 ; 若 ? A2 B 2 C 2 是 锐 角 三 角 形 , 则 不 妨 设 cos B 1 =sin B 2 =cos ?
C1 ?

? ?? ? ? A 2 ? ,cos C 1 =sin C 2 =cos ? ? C 1 ? .则 ? 2 ? ? 2 ? ??
A1 ? B 1 ? C 1 ? 3? 2

?
2

? A 2 , B1 ?

?
2

? B2 ,

?
2

? C 2 ,即

? ( A 2 ? B 2 ? C 2 ) ,矛盾. 选 B.

5.答: [D]解 任作 a 的平面 ? ,可以作无数个. 在 b 上任取一点 M,过 M 作 ? 的垂线. b 与垂线确 定的平面 ? 垂直于 ? . 选 D. 二、填空题(本题满分 50 分,每小题 10 分) 6. 解 ∵ x ? 2 , ? x ? 的值可取 ? 2 , ? 1, 0 ,1 . 当[x]= ? 2 ,则 x ? 0 无解;
2

当[x]= ? 1 ,则 x ? 1 ,∴x= ? 1 ;
2 2 当[x]=1,则 x ? 3 ,∴ x ?

当[x]=0,则 x ? 2 无解;
2

3.

所以 x ? ? 1或 3 .

7. 解 考虑对立事件, P ? 1 ? ?

91 ?5? . ? ? 216 ?6?

3

8. 解 由图, ? ABC 与 ? OCB 的底边相同,高是 5:1. 故面积比是 5:1. 9. 解 由圆锥曲线的定义,圆心可以是以(2,0)为焦点、 x ? ? 2 为准线的抛物线上的点;若切点是 原点,则圆心在 x 轴负半轴上.所以轨迹方程为 y ? 8 x ( x ? 0 ) ,或 y ? 0 ( x ? 0 ) .
2

10. 解 切割化弦,已知等式即 亦即
sin A sin B sin C
2 2

sin A sin B

?

sin A sin C

?

sin B sin C


? 1.

?

cos A cos B cos A cos C cos B cos C sin A sin B cos C ab cos C sin( A ? B )

,即
2

cos C
2 2

sin

2

=1,即

C

c

2

所以,

a ?b ?c 2c

? 1 ,故

a ?b c
2

2

? 3.

三、解答题(本题满分 70 分,各小题分别为 15 分、15 分、20 分、20 分) 11. 解 由题 f ( x ) ? ? 2 ( x ? 1) ? 1 ,
2

??5 分

? f ( x ) ? 1 ,?

1 m

? 1 ,即 m ? 1 ,? f ( x ) 在 ?m , n ? 上单调减,
2

? f ( m ) ? ? 2 ( m ? 1) ? 1 ?

1 m

且 f ( n ) ? ? 2 ( n ? 1) ? 1 ?
2

1 n

.

??10 分

3

? m ,n 是方程 f ( x ) ? ? 2 ( x ? 1) ? 1 ?
2

1 x

的两个解,方程即 ( x ? 1)( 2 x ? 2 x ? 1) =0,
2

解方程,得解为 1,

1? 2

3



1? 2

3

.? 1 ? m ? n ,? m ? 1 , n ?

1? 2

3

.

??15 分

12. 证 (Ⅰ)设点 A 的坐标为 ( r cos ? , r sin ? ) ,B 的坐标为 ( r ? cos ? ?, r ? sin ? ?) ,则 r ? OA ,
2 ? cos 2 ? sin ? 2 ? r ? ? OB ,A 在双曲线上,则 r ? ? 4 9 ?
2 2

2 2 ? 1 cos ? sin ? ? ? 1 .所以 2 ? ? . ? 4 9 r ?
2 2

?5 分

由 OA ? OB ? 0 得 OA ? OB ,所以 cos ? ? ? sin ? , cos ? ? sin ? ? . 同理, 所以
1 r? 1
2

?

cos ? ?
2

?

sin ? ?
2

?

sin ?
2

?

cos ?
2

, ??10 分

| OA |

2

?

4 1

9
2

?

1 r
2

?

1 r'
2

?

4 1

?

1 9

?

9 5

.

| OB |

4

36

(Ⅱ)由三角形面积公式,得 OP ? AB ? OA ? OB ,所以
2

OP

? AB

2

? OA

2

? OB

2

,即 OP
2

2

? ? ? OA ?

2

? OB

2

? ? ? OA ?

2

? OB

2

.

即 OP

2

? ? 1 ?? ? OA ?

2

?

1
2

OB

? ? ? ? OP ? ?

?1 1? ? ? ? ? ? OP ?4 9?

2

? 5 ? ?? ? ? 1 . 于是, OP ? 36 ?

2

?

36 5

.

即 P 在以 O 为圆心、

6 5 5

为半径的定圆上.

??15 分

13.解 在平面 M 中,过 A 作 DA 的垂线,交射线 DB 于 B 点;在平面 N 中,过 A 作 DA 的垂线, 交射线 DC 于 C 点.设 DA=1,则 AB ? tan ? , DB ? 并且 ? BAC ? ? 就是二面角 M ? l ? N 平面角. 在 ? DBC 与 ? ABC 中,利用余弦定理,可得等式
BC
2

1 cos ?

, AC ? tan ? , DC ?

1 cos ?

,?5 分

??10 分

? cos

1
2

?

?

1 cos
2

?

?

2 cos ? cos ?
2

cos ? ? tan
2

2

? ? tan ? ? 2 tan ? tan ? cos ? ,
2

所以, 2 tan ? tan ? cos ? ? tan ? ? tan ? ?
cos

1
2

?

?

1 cos
2

?

?

2 cos ? cos ?

cos ?

= 故得到 cos ? ?

2 (cos ? ? cos ? cos ? ) cos ? cos ?

,??15 分

cos ? ? cos ? cos ? sin ? sin ?

36 8 6

2 12 72

24 18 4

.

??20 分

14. 解(Ⅰ)不能. ??5 分 因为若每行的积都相等,则 9 个数的积是立方数. 但是 1?1? 2 ?1? 2 ?1 2× 6× 12× 24× 48=21+2+1+3+2+1+3+2+4× 4× 8× 18× 36× 3 =219·8 3 不是立方数,故不能. (Ⅱ)可以. ??15 分 如右表 表中每行、每列及对角线的积都是 26·23. ??20 分

4


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