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椭圆测试题一


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椭 圆 检 测 题
一、选择题
x2 y2 5 ? ?1 9 1. 椭圆 25 上有一点 P 到左准线的距离为 2 则 P 到椭圆右焦点的距离为
65 B. 2 y 2 ? x 2 lg a ? 9 C. 2 15 D. 8

A. 8

2. 若方程


1 ?a 3 表示焦点在 x 轴上的椭圆则 a 的取值范围是 (0 , 1 ) 10 1 1 , ) D. 10 3 (

1 (0 , ) 3 A.
2

1 ( , ? ?) B. 3
2

C.

3. 若方程 x ? sin ? ? y sin 2? ? 1 表示椭圆,则 ? 的取值范围是

A.

( k? , k? ?

?
2

)

k ?Z
)

B.

(2k? , 2k? ?

?
2

)

k ?Z

C.

(2k? , 2k? ?

?
4

k ?Z

D. 以上皆不正确

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 4. 设 F 是椭圆 a 的一个焦点, PQ 是过中心的一条弦,记

c ? a 2 ? b 2 ,则△PQF 面积最大值是
1 ab A. 2

B. ab

C. ac

D. bc

1 5. 若圆 x ? y ? 9 上每个点的横坐标不变,纵坐标缩短为原来的 4 ,则所得曲线的
2 2

方程是

x2 y2 ? ?1 16 A. 9

x2 y2 ? ?1 B. 9 144

第 2 页 共 13 页

x 2 16 2 ? y ?1 9 C. 9

x2 y2 ? ?1 9 D. 9

6. 以点 F1 (?4, 0) 、 F2 (4, 0) 为焦点,且与直线 l : x ? 2 y ? 6 ? 0 有公共点的椭 圆中,短轴长最小的椭圆方程是

x2 y2 ? ?1 9 A. 25 x2 y2 ? ?1 2 C. 18

x2 y2 ? ?1 4 B. 20
x2 ? y2 ? 1 D. 17

7. F1 、 F2 为椭圆的两焦点,以 F2 为圆心且过椭圆中心的圆与椭圆有公共点 P ,若

F1 P 与圆 F2 相切,则离心率为
6 2 2 2

A.

3 ?1

B. 2 ? 3

C.

D.

8. 椭圆以 y 轴为准线,离心率

e?

1 3 且过点 M (3, 2) ,其长轴长的范围是 [1, 5 ] 4 [ 2, 5 ] 2

3 [ , 3] A. 2

3 3 [ , ] B. 4 2

C.

D.

x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 b 9. 椭圆 a 的两焦点为 F1 、F2 ,以 F1 F2 为边作正三角形,若
椭圆恰好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为

1 A. 2

3 B. 2

C. 4 ? 2 3

D.

3 ?1

x2 y2 3 ? 2 ?1 2 (a ? b ? 0) ,绕着它的左焦点按顺时针方向旋 b 10. 将离心率为 4 的椭圆 a

? 14 y? 3 ,则新椭圆的另一条准线方程为 转 2 后,所得新椭圆的一条准线方程为

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A.

y??

14 3
2

B.

y??

23 3
4

C.

y??

32 3
7

D.

y??

50 3
9 10

题号 答案

1

3

5

6

8

二、填空题
x2 y2 ? ?1 m 11. 若直线 y ? kx ? 1 (k ? R) 与椭圆 5 恒有公共点,则 m 的取值范围
是 。、

x2 y2 ? ?1 4 12. 椭圆 9 的焦点为 F1 、F2 ,点 P 为其上的动点,当 ?F1 PF2 为钝角时,点

P 横坐标的取值范围是_________。 13. 已知点 A(0,1) 是椭圆 x ? 4 y ? 4 上的一点,P 是椭圆上的动点,当弦 AP 的长
2 2

度最大时,则点 P 的坐标是



14. 椭圆的离心率为 e, 过右焦点 F 的弦长 | AB| ? m , 点 A、 B 到右准线的距离和是 n,

m ? 则 n _________

x2 y2 ? ?1 4 15. 椭圆 16 , F 为左焦点,过 F 且长为 2 的弦条数是



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三、解答题
1. F1、F2 是椭圆 4x2+5y2=20 的两个焦点,过 F1 作倾斜角为 45°的弦 AB,求△F2AB 的周长和面积。

2、

已知直线y ? x ? 1和椭圆

x2 y2 ? ? 1(m ? 1) 交于A、B, 若以AB为直径 m m?1

的圆过椭圆的左焦点 F,求实数 m 的值。

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3、 椭圆中心在坐标原点, 焦点在 x 轴, 直线 y ? x ? 1 与椭圆交于 M、 N 若 OM ? ON



MN ?

10 2 求椭圆方程。

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4、一个椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,P 是椭圆上的一点,P 在 x 轴上的射影恰 为椭圆的左焦点 F,P 与中心 O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线 AB,且左焦点 F 与左顶 点的距离等于 10 ? 5,试求该椭圆的离心率及其方程。

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x2 y2 ? 2 ?1 2 b 5、 如下图,已知椭圆 a (其中 a ? b ? 0 ),点 P 为其上一点,F1 、 F2
为焦点, ?F1 PF2 的外角平分线为 l 点, F2 关于 l 的对称点为 Q, F2 Q 交 l 于点 R。 (1)当 P 点在椭圆上运动时,求 R 的轨迹方程; (2)设点 R 形成的曲线为 C,直线 l ? : y ? k ( x ? 2a) 与曲线 C 相交于 A、B 两点, ?AOB 的面积为 S,求 S 取得最大值时 k 的值。

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6、 如下图,A、B 是两个定点,| AB |? 4 ,动点 M 到 A 点的距离是 6,线段 MB 的

5 垂直平分线 l 交 MA 于点 P,直线 l ? 垂直于 AB,且 B 到 l ? 的距离是 2 。若以 AB 所在
直线为 x 轴,AB 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系。 (1)求证:点 P 到点 B 的距离与直线 l ? 的距离之比为定值。 (2)若 P 点到 A、B 两点的距离之积为 m ,当 m 取最大值时,求 P 点的坐标。 (3)设直线 y ? kx ? m(k ? 0) 与点 P 所在曲线相交于不同两点 C、D,定点 G ( 0,? 5 ),则使 | GC |?| GD | 的正数 m 是否存在?若存在,则求出其取值范围;若 不存在,请说明理由。

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参考答案
一、 ADDDC,BABDD 二、 11、 [1 , 5) ? (5 , ? ?) ; 13、 三、 1、解:
椭圆标准方程为 x2 y2 ? ? 1,a ? 5,b ? 2 ,c ? 1 5 4
(? 4 1 2 ,? ) 3 3

12、 14、e

(?

3 5 3 5 , ) 5 5

15、1

(1)由定义:| AF1 |?| AF2 | ? 2a,| BF1 |?| BF2 | ? 2a
? | AF2 |?| BF2 |?| AB| ?| AF1 |?| AF2 |?| BF1 |?| BF2 | ? 4a ? 4 5

?y ? x ? 1 (2 )直线AB:y ? x ? 1,由 ? 2 2 ?4 x ? 5 y ? 20
得9 y 2 ? 8 y ? 16 ? 0
设A( x1 ,y1 ) ,B( x 2 ,y 2 ) ,则| y1 ? y 2 | ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ? ? S ?F2 AB ? S ?AF1F2 ? S ?BF1F2 ?
2、

8 10 9

1 8 | F1 F2 |(| y1 |?| y 2 |) ? c| y1 ? y 2 | ? 10 2 9

分析:对“以 AB 为直径的圆过点 F”可有两条途径去证:

? ? 一是证明?AFB ? 90°,即证k AF ? k BF ? ?1或 FA? FB ? 0;
二是证明以 A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0 过 F。 解: 椭圆中,a ? m,b ? m ? 1,c ? 1,c ? 1,F (?1,0)
2 2 2

?y ? x ? 1 ? 由? x 2 ,消去y得(2m ? 1) x 2 ? 2mx ? 2m ? m2 ? 0 y2 ? m ? m?1 ? 1 ?

(*)

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设A( x1 ,y1 ) ,B( x2 ,y2 ) ,则由韦达定理x1 ? x2 ?
? ? ? FA ? ( x1 ? 1,y1 ) , FB ? ( x2 ? 1,y2 )

2m 2m ? m 2 ,x1 x2 ? 2m ? 1 2m ? 1

? ? ? FA · FB ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y2 ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? 2 x1 x2 ? 2

? ? 2m ? m 2 令 FA · FB ? 0,得x1 x2 ? ?1,即 ? ?1, 2m ? 1

解得m ? 2 ? 3

? m ? 1, ? m ? 2 ? 3 ? m ? 2 ? 3为所求。

此时方程(*)的判别式△>0

2 2 3、解:设椭圆 mx ? ny ? 1 当 y ? x ? 1 交 M ( x1 , y1 ) N ( x2 , y2 )

?m x2 ? ny 2 ? 1 ? m x2 ? n( x ? 1) 2 ? 1 ? ?y ? x ?1
即: (m ? n) x ? 2nx ? n ? 1 ? 0
2

? 2n ? x1 ? x 2 ? ? ? m?n ? ?x ? x ? n ? 1 ? 1 2 m?n ∴ ?
OM ? ON
∴ x1 x2 ? y1 y 2 ? 0

x1 ? x 2 ? (x1 ? 1)(x 2 ? 1) ? 0 ①

MN ? 1 ? 1 ? x1 ? x2 ?

10 2



3 1 ? ? m? m? ? ? ? ? 2 2 ?? ? ?n ? 1 ?n ? 3 ? ? 2 (舍) ? 2 ? 由①②
4、分析

x2 y2 ? ?1 2 2 3 ∴

? PF?A' A

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∴P 点坐标可用 a,b,c 表示,再利用 PO//BA,即可找到 a 与 c 的一个关系式, 从而离心率 e 及标准方程可求。 解 :

设椭圆方程为
顶点为 B(0,b)

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0), 左焦点为F ( ?c,0), 右顶点为A(a ,0), a 2 b2 上

∵P(-c,y0)在椭圆上

c 2 y0 ? 2 ? 2 ?1 a b

2

? y0 ? ?

b2 a

? b2 ? 不失一般性,不妨设P? ?c, ? a? ?
? PO / / BA,
? k OP ? k AB

b b2 而k AB ? ? ,k OP ? ? a ac ?? b b2 ?? a ac

? b ? c,又a ? a 2 ? c 2 ? 2c
?e ? c 2 ? a 2

由题意,又知| FA'| ? a ? c ? 10 ? 5
? ?a ? c ? 10 ? 5 由? ,可解出a ? 10,c ? 5 ? ?a ? 2c
x2 y2 ? 椭圆方程为 ? ?1 10 5

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5、 (1)解法一:连结 PQ ∵ F2 、Q 关于 l 对称

∴ ?F2 PR ? ?QPR , F2 R ? QR , PF2 ? PQ 又 l 为 ?F1 PF2 的外角平分线,故点 F1 、P、Q 在同一直线上 设 R( x0 , y0 ),Q( x1 , y1 ), F1 ( ? c ,0), F2 ( c,0 )

| F1Q |?| F1 P | ? | PQ |?| F1 P | ? | F2 P |? 2a
则 ( x1 ? c) ? y ? (2a) ,
2 2 1 2

x0 ?

x1 ? c y y0 ? 1 2 , 2
∴ (2x0 ) ? (2 y0 ) ? (2a)
2 2 2

∴ x1 ? 2 x0 ? c , y1 ? 2 y0 ∴ x0 ? y0 ? a
2 2 2

故 R 的轨迹方程为 x ? y ? a ( y ? 0 )
2 2 2

解法二:同解法一得 F1 、 P、Q 共线 ∵ | F1O |?| OF2 | , | F2 R |?| RQ |

连结 OR



| OR |?

1 1 | F1Q |? (| PF1 | ? | PF2 |) ? a 2 2

即 R 的轨迹是以 O 为原点, a 为半径的圆 又 P、R 不在 x 轴上 ∴ R 的轨迹方程 x ? y ? a ( y ? 0 )
2 2 2

(2)解:∵

S ?AOB

1 a2 ? ? | OA | ? | OB | ? sin ?AOB ? sin ?AOB 2 2



?AOB ?

?

1 2 a 2 时, S ?AOB 的最大值为 2

| OC |?
此时弦心距

| 2 ak | 1? k
2

| OC | ? 2 ? cos?AOC ? cos ? a 4 2 ∵ k ?? 3 3

| 2ak |


1? k

2

?

2 a 2



第 13 页 共 13 页

6、(1)证明:A( ? 2,0 ),B( 2,0 ), l ? :

x?

9 2

由题意, | PA | ? | PM |?| PA | ? | PB |? 6 且 | AB |? 4

x2 y2 ? ?1 5 ∴ 点 P 在椭圆 9 上
∴ l?:

x?

9 2 为椭圆的右准线,且右焦点为 B(2,0),若 P 到 l ? 的距离为 d

| PB | 2 ?e? 3 为定值 则 d

(2)解: m ?| PA |

? | PB |? (

PA ? PB 2

)2 ? 9

当 PA ? PB ,即 P(0,? 5 ) 或 (0, 5 ) 时, m 取最大值 (3)解:设存在直线 y ? kx ? m(k ? 0) 与 P 点所在曲线交于 C( x1 , y1 )、D ( x2 , y2 )两点,CD 中点为 N( x0 , y0 )



x0 ?

x1 ? x 2 2 ,GC ? GD

kCD ? kGN ? k ? kGN ? ?1 即 GN 为 CD 的中垂线,

? y ? kx ? m ? 2 ?x y2 ? ?1 2 2 2 ? 5 由? 9 得 (5 ? 9k ) x ? 18mkx? 9m ? 45 ? 0


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