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椭圆的标准方程


天体的运行

一.课题引入:

生 活 中 的 椭 圆
如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的 物件呢? 椭圆的画法

二.讲授新课:

1 .椭圆定义:
平面内与两个定点 F1 , F2 的距离和等于常数(大于 | F1F2 | )的点的轨迹叫作椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦 点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 . P
注意:椭圆定义中容易遗漏的三处地方:
(1) 必须在平面内; (2)两个定点---两点间距离确定; (3)绳长---轨迹上任意点到两定点距离和确定.
F1 F2

思考:在同样的绳长下,两定点间距离较长,则所画出的 椭圆较扁( ? 线段);两定点间距离较短,则所画出的 椭圆较圆( 圆).由此可知,椭圆的形状与两定点间 距离、绳长有关.

?

? 求动点轨迹方程的一般步骤: 坐标法 (1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y) 表示曲线上任意一点M的坐标; (2)写出适合条件 P(M) ; (3)用坐标表示条件P(M),列出方程 ; (4)化方程为最简形式; (5)证明以化简后的方程为所求方程(可以省略 不写,如有特殊情况,可以适当予以说明)

2.求椭圆的方程:
? 探讨建立平面直角坐标系的方案
y y y F1
O O O

y M M
O 2 F

y F2 xx x
O

x F1

x

方案一

方案二

建立平面直角坐标系通常遵循的原则:对称、“简洁”

解:取过焦点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂 直平分线为y轴,建立平面直角坐标系(如图). y 设M(x, y)是椭圆上任意一 M 点,椭圆的焦距2c(c>0),M 与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ,则F1、F2的 F2 F1 0 坐标分别是(?c,0)、(c,0) .

x

由椭圆的定义得,限制条件:| MF | ? | MF2 |? 2a 1 代入坐标 | MF1 |? ( x ? c) 2 ? y 2 , | MF2 |? ( x ? c) 2 ? y 2
得方程 ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? 2a

(问题:下面怎样化简?)

移项,再平方 ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 4a 2 ? 4a ( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2

a 2 ? cx ? a ( x ? c ) 2 ? y 2 两边再平方,得

a 4 ? 2a 2cx ? c 2 x 2 ? a 2 x2 ? 2a 2cx ? a 2c 2 ? a 2 y 2
整理得 (a 2 ? c 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (a 2 ? c 2 ) 由椭圆定义可知 2a ? 2c, 即a ? c, 所以

a 2 ? c 2 ? 0, 设 a 2 ? c 2 ? b 2 (b ? 0),

b2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b2
两边除以 a 2b 2 得

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0). 2 a b

3.椭圆的标准方程:
F1

y
M

o

F2 x

x2 y 2 焦点在x轴: 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? a b

( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 2a

y
F2
M

y 2 x2 焦点在y轴: ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

o
F1

x

( y ? c ) 2 ? x 2 ? ( y ? c ) 2 ? x 2 ? 2a

总体印象:对称、简洁,“像”直线方程的截距 式

定 义

|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0) y y
M F 2
M

图 形

F 1

o

F2 x

o
F 1

x

方 程 焦 点 a,b,c之间的关系

x2 y2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b

y2 x2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b

F(±c,0)

F(0,±c)

c2=a2-b2

注: 共同点:椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上, 中心在坐标原点的椭圆;方程的左边是平方和,右边是1.

x 2 项分母较大. 不同点:焦点在x轴的椭圆 2 焦点在y轴的椭圆 y 项分母较大.

例1 、已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一 个椭圆, 它的焦距为2.4m,外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为 3m,求这个椭圆的标准方程. y

F1

O

F2

x

练习1.下列方程哪些表示椭圆? 若是,则判定其焦点在何轴? 并指明 a 2 ,b 2 ,写出焦点坐标.

x2 y2 (1) ? ? 1 (4)9 x 2 ? 25y 2 ? 225 ? 0 16 16 x2 y2 (5) ? 3x 2 ? 2 y 2 ? ?1 ( 2) ? ?1 25 16 x2 y2 x2 y2 ? ?1 (3) 2 ? 2 ? 1 (6) 24 ? k 16 ? k m m ?1

?

练习2.求适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1)a=

6

,b=1,焦点在x轴上;

x2 6

? y ?1
2

(2)焦点为F1(0,-3),F2(0,3),且a=5; 25 ? 16 (3)两个焦点分别是F1(-2,0)、F2(2,0),且过 P(2,3)点; x ? y ? 1
2 2

y2

x2

?1

16

12

(4)经过点P(-2,0)和Q(0,-3).

x 2 y2 + =1 4 9

小结:求椭圆标准方程的步骤: ①定位:确定焦点所在的坐标轴; ②定量:求a, b的值.


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