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全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题汇编2005~2010含答案细则


2005 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛 试题参考答案及评分标准
2005 年 04 月 03 日

一.选择题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) ? 1. 函数 y ? f ( x) 的图像按向量 a ? ( , 2) 平移后, 得到的图像的解析式为 4 ? y ? sin( x ? ) ? 2 . 那么 y ? f ( x) 的解析式为

4 A. y ? sin x B. y ? cos x C. y ? sin x ? 2 D. y ? cos x ? 4
答: [ B ] 解: y ? sin[( x ?

?
4

)? ], 即 4

?

y ?cos x . 故选 B.

2. 如果二次方程 x2 ? px ? q ? 0 ( p, q ? N*) 的正根小于 3, 那么这样的二次方程有 A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个 D. 8 个
答: [ C ] 解:由 ? ? p2 ? 4q ? 0, ?q ? 0 , 知方程的根为一正一负. 设 f ( x) ? x2 ? px ? q ,则 f (3) ? 32 ? 3 p ? q ? 0 , 即 3 p ? q ? 9 . 由于 p, q ? N*, 所以 p ? 1, q ? 5 或 p ? 2, q ? 2 . 于是共有 7 组 ( p, q) 符合 题意. 故选 C.

3. 设 a ? b ? 0 , 那么 a 2 ? A. 2 B. 3

1 的最小值是 b( a ? b )

C. 4

D. 5
答: [ C ]

解:由 a ? b ? 0 , 可知

0 ? b( a ? b ) ? 1 4 ? a 2 ? 2 ? 4 . 故选 C. b( a ? b ) a

a2 a 1 ? (b ? ) 2 ? a 2 , 4 2 4

所以, a ?
2

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4. 设四棱锥 P ? ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面 ? 去截此四棱锥, 使得
截面四边形是平行四边形, 则这样的平面

?

A. 不存在

B. 只有 1 个

C. 恰有 4 个

D. 有无数多个
答: [ D ]
P

解:设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线 为 m 、 n , 直线 m 、 n 确定了一个平面 ? . 作与 ? 平行的平面

? , 与四棱锥的各个侧面
A

A1 D

D1

B1

C1

相截,则截得的四边形必为平行四边形.而这样 的平面 ? 有无数多个.故选 D.

C B

5. 设数列 {an } : a0 ? 2, a1 ? 16, an?2 ? 16an?1 ? 63an , n ?N*, 则 a2005 被
64 除的余数为

A. 0

B. 2

C. 16

D. 48
答: [ C ]

解:数列 {an } 模 64 周期地为 2,16,-2,-16,??. 又 2005 被 4 除余 1, 故 选 C.

6. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1 ? 1 m 2 的整块地砖来铺设(每块地砖
都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同 拼色方法有

A. 308 个

B. 30 ? 257 个

C. 30 ? 207 个

D. 30 ? 217 个

答: [ D ] 30 解:铺第一列(两块地砖)有 种方法;其次铺第二列.设第一列的两格铺了 A 、 B 两色(如图),那么,第二列的上格不能铺 A 色.若铺 B 色,则有 (6 ? 1) 种铺法;若不
2 铺 B 色, 则有 (6 ? 2) 种方法. 于是第二列上共有 21 种铺法. 同理, 若
7 后一列都有 21 种铺法.因此,共有 30 ? 21 种铺法. 故选 D.

A B

前一列铺好, 则其

二.填空题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) ? 7. 设向量 OA 绕点 O 逆时针旋转 得向量 OB , 且 2OA ? OB ? (7,9) , 则 2
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向量 OB ? (-

11 23 5,5) .

解:设 OA ? (m, n) , 则 OB ? (?n, m) , 所以

2OA ? OB ? (2m ? n, 2n ? m) ? (7,9) .
? 2m ? n ? 7 , 解得 ? ? m ? 2n ? 9 .
(? 11 23 , ) . 5 5



23 ? m ? , ? ? 5 ? ? n ? 11 . ? 5 ?

因此, OA ? (

23 11 11 23 , ), OB ? (? , ) . 5 5 5 5

故填

8. 设无穷数列 {an } 的各项都是正数, Sn 是它的前 n 项之和, 对于任意正整数 n , an 与 2 的等
差中项等于 Sn 与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为 an= 4n-2

(n∈N*) .
解:由题意知 由 a1 ? S1 得 又由 ① 式得

an ? 2 (a ? 2) 2 ? 2Sn , 即 Sn ? n . 2 8

??? ①

a1 ? 2 ? 2a1 , 从而 a1 ? 2 . 2

Sn ?1 ?

(an ?1 ? 2)2 (n ? 2) , 8
(an ? 2)2 (an ?1 ? 2) 2 ? (n ? 2) , 8 8

??? ②

于是有

an ? Sn ? Sn?1 ?

整理得 (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 4) ? 0 . 因 an ? 0, an?1 ? 0 , 故

an ? an?1 ? 4 (n ? 2), a1 ? 2 .
所以数列 {an } 是以 2 为首项、 4 为公差的等差数列,其通项公式为 an ? 2 ? 4(n ? 1) , 即 an ? 4n ? 2 . 故填 N*). an ? 4 n ? 2 (n ? 2 . 2

9. 函数 y ?| cos x | ? | cos2 x | ( x ? R) 的最小值是
2 解:令 t ?| cos x |? [0,1] ,则 y ? t ? | 2t ?1| .

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1 9 2 ? t ? 1 时, y ? 2t 2 ? t ? 1 ? 2(t ? ) 2 ? ,得 4 8 2

2 ? y ? 2; 2 2 9 ? y? . 2 8

当 0?t ?

1 2 9 2 2 时, y ? ?2t ? t ? 1 ? ?2(t ? ) ? ,得 4 8 2

又 y 可取到

2 2

, 故填

2 2



10. 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? 2, AA1 ? AD ? 1 , 点 E 、 F 、 G
分别是棱 AA1 、 C1D1 与 BC 的中点, 那么四面体 B1 ? EFG 的体积是 VB1-EFG

3 = 8

.
解:在 D1 A1 的延长线上取一点 H ,使 A1 H ?

B1FG . 故 VB1 ?EFG ? VE ?B1FG ? VH ?B1FG
VB1 ? E F G ? 3 . 8

1 . 易证, HE || B1G , HE || 平面 4 9 ? VG?B1FH .而 S ?B1FH ? ,G 到平面 B1FH 的距离为 1 . 故填 8

11. 由三个数字 1 、2 、3 组成的 5 位数中, 1 、2 、3 都至少出现 1 次, 这样的 5 位数共有 150 个.
1 1 2 3 解:在 5 位数中, 若 1 只出现 1 次,有 C5 (C4 ? C4 ? C4 ) ? 70 个; 2 1 2 若 1 只出现 2 次,有 C5 (C3 ? C3 ) ? 60 个; 3 1 若 1 只出现 3 次,有 C5 C2 ? 20 个. 则这样的五位数共有 150 个. 故填 150

个.

12. 已知平面上两个点集 M ? {( x, y ) | | x ? y ? 1| ? 2( x 2 ? y 2 ), x, y ? R},

N ? {( x, y) | | x ? a | ? | y ?1| ? 1, x, y ?R}. 若 M
[1- 6,3+ 10] .

N ? ? , 则 a 的取值范围是

解:由题意知 M 是以原点为焦点、直线 x ? y ? 1 ? 0 为准线的抛物线上及其凹口

第 4 页共 44 页

内侧的点集, N 是以 (a,1) 为中心的正方形及其 图). 考察 M

内部的点集(如
y
3

N ? ? 时, a 的取值范围:

令 y ? 1 , 代入方程

2 1

| x ? y ? 1|? 2( x ? y ) ,
2 2

-3

-2

-1

O
-1

1

2

3

4

5

6

7

x

得 x ? 4 x ? 2 ? 0 ,解出得 x ? 2 ? 6 . 所以,
2

当 a ? 2 ? 6 ?1 ? 1 ? 6 时, 令 y ? 2 ,代入方程

M

N ??.

???? ③

| x ? y ? 1|? 2( x 2 ? y 2 ) , 得 x 2 ? 6 x ? 1 ? 0 . 解出得

x ? 3 ? 10 .所以,
当 a ? 3 ? 10 时,

M

N ??.

???? ④

因此, 综合 ③ 与 ④ 可知,当 1 ? 6 ? a ? 3 ? 10 ,即 a ?[1 ? 6, 3 ? 10] 时,

M

N ? ? .故填 [1 ? 6,3 ? 10] .

三.解答题 (第一题、第二题各 15 分;第三题、第四题各 24 分) 13. 已知点 M 是 ?ABC 的中线 AD 上的一点, 直线 BM 交边 AC 于点 BC BM N , 且 AB 是 ?NBC 的外接圆的切线, 设 ? ? , 试求 (用 ? 表示). BN MN 证明:在 ?BCN 中,由 Menelaus 定理得 A BM NA CD ? ? ?1. MN AC DB 因为 BD ? DC ,所以 N BM AC ? . ?????? 6 分 M MN AN
B

由 ?ABN ? ?ACB ,知

?ABN ∽ ?ACB ,则 AB AC CB ? ? . AN AB BN

D

C

第 5 页共 44 页

所以,

AB AC ? CB ? ? ?? ? , 即 AN AB ? BN ?
2

2

AC ? BC ? ?? ? . AN ? BN ?

2

???????? 12 分

BC BM ? BC ? ??, 故 因此, ?? ? . 又 BN MN ? BN ?

BM ? ?2 . MN

???????? 15 分

14. 求所有使得下列命题成立的正整数 n (n ? 2) : 对于任意实数 x1 , x2 ,


, xn ,

?x
i ?1

n

i

? 0 时, 总有

?x x
i ?1

n

i i ?1

? 0 ( 其中 xn?1 ? x1 ).

2 解: 当 n ? 2 时,由 x1 ? x2 ? 0 ,得 x1x2 ? x2 x1 ? ?2x1 ? 0.

所以 n ? 2 时命题成立. 当 n ? 3 时,由 x1 ? x2 ? x3 ? 0 ,得

???????? 3 分

x1 x2 ? x2 x3 ? x3 x1 ?

2 2 2 2 ( x1 ? x2 ? x3 )2 ? ( x12 ? x2 ? x3 ) ?( x12 ? x2 ? x3 ) ? ? 0. 2 2

所以 n ? 3 时命题成立. 当 n ? 4 时,由 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 0 ,得

??????? 6 分

x1x2 ? x2 x3 ? x3 x4 ? x4 x1 ? ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 ) ? ?( x2 ? x4 )2 ? 0 .
所以 n ? 4 时命题成立. 当 n ? 5 时,令 x1 ? x2 ? 1, x4 ? ?2 , x3 ? x5 ?
n

??????

9分
i

? xn ? 0 , 则

?x
i ?1

n

? 0.

但是,

?x x
n ?1

i i ?1

? 1 ? 0 ,故对于 n ? 5 命题不成立.

综上可知,使命题成立的自然数是 n ? 2, 3, 4 .

????? 15 分

x2 y 2 15. 设椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) , 线段 PQ 是过左焦点 F 且不与 a b

第 6 页共 44 页

x 轴垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 R ,
使 ?PQR 为正三角形, 求椭圆的离心率 e 的取值范围, 并用 e 表示直线 PQ 的斜率. 解: 如图, 设线段 PQ 的中点为 M . 过点 P 、 M 、 Q 分别作准线的垂线, 垂足 分别为 P ' 、 M ' 、 Q ' , 则
Q'

y
Q

R

M‘ P’ P F

M O

x

| MM ' |?

1 1 | PF | | QF | | PQ | (| PP ' | ? | QQ ' |) ? ( ? )? 2 2 e e 2e

. ????? 6 分 假设存在点 R ,则 | RM |?

3 | PQ | , 且 | MM ' | ? | RM | , 即 2

| PQ | 3 ? | PQ | , 2e 2
所以, e ?

3 . 3

?????????? 12 分

于是, cos?RMM ' ?

| MM ' | | PQ | 2 1 , 故 ? ? ? | RM | 2e 3 | PQ | 3e
cot ?RMM ' ? 1 3e2 ? 1


若 | PF | ? | QF | (如图),则

k PQ ? tan?QFx ? tan?FMM ' ? cot ?RMM ' ?
3 时, 过点 F 作斜率为 3 1 3e ? 1
2

1 3e 2 ? 1

.

????? 18 分

当 e?

的焦点弦 PQ , 它的中垂线交左准线于 R , 由上述运

算知, | RM |?

3 | PQ | . 故 ?PQR 为正三角形. 2

???? 21 分

第 7 页共 44 页

若 | PF | ? | QF | ,则由对称性得

kPQ ? ?

1 3e2 ? 1



?????? 24 分

又 e ? 1 , 所以,椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率 e 的取值范围是 a 2 b2

e?(

3 1 . ,1) , 直线 PQ 的斜率为 ? 3 3e 2 ? 1
16. (1) 若 n (n ? N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2005, 求 n 的

最小值, 并说明理由; (2) 若 n (n ? N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2002 最小值, 并说明理由. 解: (1) 因为 103 ? 1000, 113 ? 1331, 123 ? 1728, 133 ? 2197 , 12 ? 2005 ? 13 ,
3 3
2005

, 求 n 的

故 n ? 1.
3 3 3 3 因为 2005 ? 1728 ? 125 ? 125 ? 27 ? 12 ? 5 ? 5 ? 3 ,所以存在 n ? 4 , 使

nmin ? 4 .

?????? 6 分

3 3 若 n ? 2 ,因 10 ? 10 ? 2005 , 则最大的正方体边长只能为 11 或 12 ,计算

2005 ?113 ? 674, 2005 ?123 ? 277 ,而 674 与 277 均不是完全立方数, 所以
n ? 2 不可能是 n 的最小值.
?????? 9 分

2 3 若 n ? 3 ,设此三个正方体中最大一个的棱长为 x , 由 3x ? 2005? 3 ? 8 , 知

最大的正方体棱长只能为 9 、 10 、 11 或 12 .
3 3 3 3 由于 2005? 3 ? 9 , 2005? 2 ? 9 ? 547, 2005? 9 ? 2 ? 8 ? 0 , 所以 x ? 9 .

由于 2005? 2 ? 10 ? 5 , 2005 ? 10 ? 9 ? 276 , 2005 ? 10 ? 8 ? 493 ,
3
3 3 3 3

2005? 103 ? 2 ? 7 3 ? 0 , 所以
3 3

x ? 10 .
3 3

由于 2005 ? 11 ? 8 ? 162 , 2005 ? 11 ? 7 ? 331 , 2005? 11 ? 2 ? 6 ? 0 ,
3 3

第 8 页共 44 页

所以 x ? 11 .
3 3 3 3 3 由于 2005 ? 12 ? 6 ? 61, 2005 ? 12 ? 5 ? 152 ? 5 , 所以 x ? 12 .

因此 n ? 3 不可能是 n 的最小值. 综上所述, n ? 4 才是 n 的最小值. (2) 设 n 个正方体的棱长分别是 x1 , x2 ,
3 3 x1 ? x2 ?

?????? 12 分

, xn , 则

3 ? xn ? 20022005 .????? ⑤

由 2002 ? 4(mod9) , 43 ? 1(mod9) ,得

20022005 ? 42005 ? 4668?3?1 ? (43 )668 ? 4 ? 4(mod9) .?? ⑥
又当 x ?N* 时, x3 ? 0, ?1 (mod9) ,所以

?? 15 分

3 3 3 3 3 ≡ 4(mod 9) , x1 ≡ ∕ 4 (mod9) , x1 ∕ ≡ 4 (mod9) . ? ⑦ x13 ∕ ? x2 ? x2 ? x3

????? 21 分 ⑤ 式模 9 , 由 ⑥、⑦ 可知, n ? 4 . 而 2002 ? 10 ? 10 ? 1 ? 1 ,则
3 3 3 3

20022005 ? 20022004 ? (103 ? 103 ? 13 ? 13 ) ? (2002668 )3 ? (103 ? 103 ? 13 ? 13 ) ? (2002668 ?10)3 ? (2002668 ?10)3 ? (2002668 )3 ? (2002668 )3 .?? 24 分
因此 n ? 4 为所求的最小值.

2006 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
2006.4.2 8:00~11:00
本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分,共 150 分 第Ⅰ卷(选择题 共 36 分)

一、 选择题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分。在每小题给出的 4 个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 2 1. 已知数列﹛an﹜的通项公式 an ? 2 ,则﹛an﹜的最大项是( ) n ? 4n ? 5
(A) a1 (B) 2. 函数 y ? 3
log3 x

a2 (C ) a3 (D) a4 的图像大致是( )
第 9 页共 44 页

y

y

1 o
(A ) 1

1 x o
(B ) 1

x

y

y

1 o
1

1 x o
1

x

(C ) (D) 2 3. 已知抛物线 y =2px,o 是坐标原点,F 是焦点,P 是抛物线上的点,使得△POF 是直角三角形,则这样的点 P 共有( ) (A)0 个 (B)2 个 (C)4 个 (D)6 个 4.设 f(x)是定义在 R 上单调递减的奇函数.若 x1+x2>O,x2+x3>O,x3 十 x1>O, 则 ( ) (A)f(x1)+f(x2)+f(x3)>0 (B)f(x1)+f(x2)+f(x3)<O (C)f(x1)+f(x2)+f(x3)=0 (D)f(x1)+f(x2)>f(x3) 5.过空间一定点 P 的直线中,与长方体 ABCD 一 A1B1C1D1 的 12 条棱所在直线成等角的直线共有( ) (A)0 条 (B)1 条 (C)4 条 (D)无数多条 6.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c, tan A ? 则最短边的长为( A. ) B.

1 3 10 , cos B ? . 若△ABC 最长的边为 1, 2 10

2 5 5

3 5 5

C.

4 5 5

D.

5 5

二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 9 分,共 54 分.
7.集合 A={x∣x=3n,n∈N,0<n<10},B={y∣y=5m,m∈N,O?m?6}, 则集合 AUB 的所有元素之和为
第 10 页共 44 页

8.设 COS2θ=
2 3

2 4 4 ,则 COS θ+sin θ 的值是 3
5

9.(x-3x ) 的展开式中,x 的系数为
10.已知

1 11.等比数列 { an } 的首项为 a1 ? 2020 ,公比 q ? ? .设 f (n) 表示该数列的前 n 项的积, 2
则当 n= 时, f (n) 有最大值. 12.长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知 AB1=4,AD1=3,则对角线 AC1 的取值范围为 三、解答题(第 13 题、14 题各 12 分,15 题 16 分,16 题 20 分)

y ? ?0 ? ? 3x ? y ?0 ?x ? 3y ? 3 ? ?0

,则 x +y 的最大值是

2

2

? ? ? 2a ? ? ? 13.设集合 A= ? x log 1 (3 ? x) ? ?2 ? ,B= ? x ? 1? ,若 A∩B≠ ? ,求实数 a 的取值范围。 ? x?a ? ? ? 2 ? ?

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F,P1,P2,?,P24 为 24 个依逆时针顺序排列在椭圆上的点,其中 P1 是椭圆 9 4 2 的右顶点,并且∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP4=?=∠P24FP1.若这 24 个点到右准线的距离的倒数和为 S,求 S 的值.
14.椭圆

第 11 页共 44 页

15. △ABC 中,AB<AC,AD,AE 分别是 BC 边上的高和中线,且∠BAD=∠EAC,证明∠BAC 是直角.

16. 设 p 是质数,且 p2+71 的不同正因数的个数不超过 10 个,求 p

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1.B 2 . A 3. B 7. 225 8.

答案 4. B 5. C 6. D 10. 9 11. n=12 12. AC1∈(4,5)

11 9. 27 18

13. a∈(-1,0)∪(0,3) 14. 180 15. 略 16. 质数 p 为 2 或 3 6.解:由 cos B ?

1 3 10 知 B 为锐角.? tan B ? 3 10
第 13 页共 44 页

tan A ? tan B ? ?1 1 ? tan A ? tan B 由(1)知 ?C ? 135 ? ,故 c 边最长,即 c=1,又 tan A ? tan B ,故 b 边最短
故 tan C ? tan( ? ? A ? B) ? ? tan( A ? B) ? ?

? sin B ?

10 2 , sin C ? 10 2

?由正弦定理 5 . 5

b c ? 得 sin B sin C

b?
11.解

c sin B 5 ? sin C 5

即最短边的长为

1 n ( n ?1) 1 an ? 2002 ? (? )n?1 , f (n) ? 2002n ? (? ) 2 2 2 ∵ | f (n ? 1) | ? 2002 , | f ( n) | 2n

∴当 n≤10 时, | f (n ? 1) | ? 2002 >1,∴ | f(11) |>| f(10) |>…>| f(1) |; n
| f ( n) | 2

当 n≥11 时,

| f ( n ? 1) | 2002 ? n <1,∴ | | f ( n) | 2

f(11) |>| f(12) |>…

∵ f (11) ? 0 , f (10) ? 0 , f (9) ? 0 , f (12) ? 0 ,∴ f (n) 的最大值为 f (9) 或 f (12) 中的最大者.
1 202012 ? ( )66 f (12) 1 2020 2 ∵ ? ? 20203 ? ( )30 ? ( 10 )3 ? 1 , f (9) 20209 ? (? 1 )36 2 2 2

∴ 当 n=12 时, f (n) 有最大值为 f (12) ? 200212 ? ( )66 . 16.解: 当 p=2 时,p2+71=75=52×3,此时共有正因数(2+1)(1+1)=6 个,故 p=2 满足要求.当 p=3 时,p2+71=80=24×5,此时共有正因数(4+1)(1+1)=10 个,故 p=3 满足条件. 当 p>3 时,p2+71=p2-1+72=(p-1)(p+1)+72.质数 p 必为 3k±1 型的奇数 p-1、p+1 是相邻的两个偶数,且其中必有一个是 3 的倍数.所以,(p—1)(p+1)是 24 的倍数, 从而 p2+71 是 24 的倍数. 设 p2+71=24×m,m?4. 若 m 有不同于 2、3 的质因数,则,p2+71 的正因数个数?(3+1)(1+1)(1+1)>l0; 若 m 中含有质因数 3,则,p2+71 的正因数个数?(3+1)(2+1)>10; 若 m 中仅含有质因数 2,则 p2+71 的正因数个数?(5+1) (1+1)>10; 所以,p>3 不满足条件.综上所述,所求得的质数 p 是 2 或 3.

1 2

2007 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷

第 14 页共 44 页







二 13 14 15 16

总 成 绩





评 卷 人 复 核 人

考生注意:1.本试卷共三大题(16 小题) ,全卷满分 150 分. 考试时间:120 分钟. 2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答. 3.解题书写不要超出装订线. 4.不能使用计算器. 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 得 分 评卷人 本题共有 6 小题,每题均给出 A、B、C、D 四个结论, 其中有且仅有一个是正确的. 请将正确答案的代表字母填 在题的括号内. 每小题选对得 6 分;不选、选错或选出的 字母超过一个(不论是否写在括号内) ,一律得 0 分. 答:[ (B)有最小正周期 ? (D)无最小周期
2

1. 已知函数 y ? sin x ,则
2

]

(A)有最小正周期 2? (C)有最小正周期
2

? 2

2. 关于 x 的不等式 x ? ax ? 20a ? 0 任意两个解的差不超过 9 ,则 a 的最大值与最小值 的和是 (A) 2 答:[ (B) 1 (C) 0 (D) ?1 ]

3. 已知向量 a、b,设 AB ? a ?2 b, BC ? ?5 a ?6 b, CD ? 7 a ?2 b,则一定共线的 三点是 (A) A 、 B 、 D (C) B 、 C 、 D 答:[ (B) A 、 B 、 C (D) A 、 C 、 D ]

4. 设 ? 、 ? 、 ? 为平面, m 、 n 为直线,则 m ? ? 的一个充分条件是 (A) ? ? ? , ?

答:[

]

? ? n,m ? n

(B) ?

? ? m ,? ? ? , ? ? ?

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(C) ? ? ? , ? ? ? , m ? ?

(D) n ? ? , n ? ? , m ? ?

2 1, 2 ,并且 5. 若 m 、 n ? x x ? a2 ? 10 ? a1 ? 10 ? a0 ,其中 ai ??1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7? , i ? 0,

?

?

m ? n ? 636 ,则实数对 (m, n) 表示平面上不同点的个数为
(A) 60 个 (B) 70 个 (C) 90 个

答:[ (D) 120 个

]

6. 已知 f ( x) ? x ?1 ? x ? 2 ?

? x ? 2007 ? x ?1 ? x ? 2 ?

, ? x ? 2007 ( x ?R)
答:[ ]

且 f (a2 ? 3a ? 2) ? f (a ?1), 则 a 的值有 (A) 2 个 (B) 3 个 (C) 4 个 (D)无数个

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 得 分 评卷人 本题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上.

7. 设 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S5 ? 10 , S10 ? ?5 ,则公差为 8. 设 f ( x) ? loga ( x ? b) (a ? 0 且 a ? 1) 的图象经过点 (2, 1) ,它的反函数的图象经过点

.

(2, 8) ,则 a ? b 等于
9. 已知函数 y ? f ( x) 的图象如图,则满足 f (

.

2 x2 ? x ?1 ) ? f (lg( x 2 ? 6 x ? 20)) ? 0 的 2 x ? 2x ? 1

x 的取值范围为

. y

O

1

x

10. 圆锥曲线 x ? y ? 6 x ? 2 y ? 10 ? x ? y ? 3 ? 0 的离心率是
2 2

.

第 16 页共 44 页

11. 在 ?ABC 中,已知 tan B ? 3 , sin C ? .

2 2 , AC ? 3 6 ,则 ?ABC 的面积为 3

12. 设命题 P : a ? a ,命题 Q : 对任何 x ?R,都有 x ? 4ax ? 1 ? 0 . 命题 P 与 Q 中
2 2

有且仅有一个成立,则实数 a 的取值范围是

.

三、解答题(本题满分 60 分,共 4 小题,每题各 15 分) 得 分 评卷人 13. 设不等式组 ?

? x ? y ? 0, 表示的平面区域 ?x ? y ? 0

为 D . 区域 D 内的动点 P 到直线 x ? y ? 0 和直线 x ? y ? 0 的距离之积为 2 . 记点 P 的轨迹为曲线 C . 过点 F (2 2, 0) 的直线 l 与 曲线 C 交于 A 、 B 两点. 若以线段 AB 为直径的圆与 y 轴相切,求直线 l 的斜率.

14. 如图,斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,面 AAC 1 1C 是菱形, ?ACC1 ? 60? ,侧面
第 17 页共 44 页

ABB1 A1 ? AAC 1 1C , A 1B ? AB ? AC ? 1 .
求证: (1) AA1 ? BC1 ; A

B A1

B1

ABC 的距离. (2)求点 A 1 到平面
C C1

15. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?3 ? an ? 3 , an? 2 ? an ? 2 . 求 a2007 .

第 18 页共 44 页

16. 已知平面上 10 个圆,任意两个都相交. 是否存在直线 l ,与每个圆都有公共点?证明 你的结论.
第 19 页共 44 页

2007 年江苏省高中数学联赛初赛
第 20 页共 44 页

试题参考答案及评分标准
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.已知函数 y ? sin 2 x ,则( B ). (A) 有最小正周期为 2? (C) 有最小正周期为 解: y ? sin x ?
2

(B) 有最小正周期为 ? (D) 无最小正周期

? 2

1 (1 ? cos 2 x) ,则最小正周期 T ? ? . 故选(B) . 2
2 2

2.关于 x 的不等式 x ? ax ? 20a ? 0 任意两个解的差不超过 9,则 a 的最大值与最小值 的和是( C ). (A) 2
2

(B) 1
2

(C) 0

(D) ? 1

解:方程 x ? ax ? 20a ? 0 的两根是 x1 ? ?4a , x2 ? 5a ,则由关于 x 的不等式

x2 ? ax ? 20a 2 ? 0 任意两个解的差不超过 9 ,得 | x1 ? x2 | ? | 9a | ? 9 ,即
? 1 ? a ? 1 . 故选(C) .
3. 已知向量 a、b,设 AB ? a ?2 b, BC ? ?5 a ?6 b, CD ? 7 a ?2 b,则一定共线 的三点是( A ). (A)A、B、D (B)A、B、C (C)B、C、D (D)A、C、D

解: BD ? BC ? CD ? 2 a ?4 b ? 2 AB ,所以 A、B、D 三点共线. 故选(A) . 4.设 ? 、 ? 、 ? 为平面, m 、 n 为直线,则 m ? ? 的一个充分条件是( D ). (A) ? ? ? , ?

? ? n,m ? n

(B) ?

? ? m ,? ? ? , ? ? ?

(C) ? ? ? , ? ? ? , m ? ?

(D) n ? ? , n ? ? , m ? ?

解: (A)选项缺少条件 m ? ? ; (B)选项当 ? // ? , ? ? ? 时, m // ? ; (C)选项当 , m ? ? ? 时, m ? ? ; ? 、 ? 、 ? 两两垂直(看着你现在所在房间的天花板上的墙角) (D)选项同时垂直于同一条直线的两个平面平行.本选项为真命题. 故选(D) .
2 1, 2 ,并且 5. 若 m 、 n ? x x ? a2 ? 10 ? a1 ? 10 ? a0 ,其中 ai ??1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7? , i ? 0,

?

?

m ? n ? 636 ,则实数对 (m, n) 表示平面上不同点的个数为( C )
第 21 页共 44 页

(A) 60 个

(B) 70 个

(C) 90 个

(D) 120 个

解:由 6 ? 5 ? 1 ? 4 ? 2 ? 3 ? 3 及题设知,个位数字的选择有 5 种. 因为 3 ? 2 ? 1 ?

? 7 ? 6 ? 10 ,故
(1) 由 3 ? 2 ? 1 知,首位数字的可能选择有 2 ? 5 ? 10 种; (2) 由 3 ? 7 ? 6 ? 10 及 5 ? 4 ? 1 ? 2 ? 3 知,首位数字的可能选择有 2 ? 4 ? 8 种. 于是,符合题设的不同点的个数为 5 ? (10 ? 8) ? 90 种. 故选(C) . 6.已知 f ( x) ? x ?1 ? x ? 2 ?

? x ? 2007 ? x ?1 ? x ? 2 ?

, ? x ? 2007 ( x ?R)

且 f (a2 ? 3a ? 2) ? f (a ?1), 则 a 的值有( D ). (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)无数个

解:由题设知 f ( x ) 为偶函数,则考虑在 ? 1 ? x ? 1 时,恒有

f ( x) ? 2 ? (1 ? 2 ? 3 ?
2

? 2007) ? 2008 ? 2007 .

所以当 ?1 ? a ? 3a ? 2 ? 1 ,且 ?1 ? a ? 1 ? 1时,恒有 f (a2 ? 3a ? 2) ? f (a ?1) . 由于不等式 ?1 ? a ? 3a ? 2 ? 1 的解集为
2

3? 5 3? 5 ,不等式 ?a? 2 2

? 1 ? a ? 1 ? 1 的解集为 0 ? a ? 2 .因此当
. f (a2 ? 3a ? 2) ? f (a ?1) . 故选(D)

3? 5 ? a ? 2 时,恒有 2

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S5 ? 10 , S10 ? ?5 ,则公差为 解:设等差数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d . 由题设得 ?

d ? ?1 .

?a1 ? 2d ? 2, ?5a1 ? 10d ? 10, 即 ? 解之得 d ? ?1 . ?10a1 ? 45d ? ?5, ?2a1 ? 9d ? ?1,

1) ,它的反函数的图象经过点 8. 设 f ( x) ? loga ( x ? b) (a ? 0 且 a ? 1) 的图象经过点 (2,

(2, 8) ,则 a ? b 等于

4

.

第 22 页共 44 页

解:由题设知 ?

? log a (2 ? b) ? 1, ?(2 ? b) ? a, 化简得 ? 2 ?log a (8 ? b) ? 2, ? (8 ? b) ? a .

解之得 ?

? a1 ? 3, ? a2 ? ?2, (舍去). ? ? b1 ? 1; ? b2 ? ?4.

故 a ? b 等于 4.

2 x2 ? x ?1 ) ? f (lg( x 2 ? 6 x ? 20)) ? 0 的 9.已知函数 y ? f ( x) 的图象如图,则满足 f ( 2 x ? 2x ? 1

x 的取值范围为

x ? [? 2 , 1 ).
y

O

1

x

2 2 解: 因为 lg x ? 6 x ? 20 ? lg ( x ? 3) ? 11 ? lg11 ? 1,所以

?

?

(第 9 题)

?

?

lg ? x 2 ? 6 x ? 20 ? ? 0 . 于是,由图象可知,

2x ?1 x?2 ? 1 ,即 ? 0 ,解得 x ?1 x ?1

?2 ? x ? 1 . 故 x 的取值范围为 x ?[?2, 1) .
2 2 10.圆锥曲线 x ? y ? 6 x ? 2 y ? 10 ? | x ? y ? 3 |? 0 的离心率是 2 2 解:原式变形为 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ?| x ? y ? 3 | ,即

2 .

( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ?

2

| x ? y ?3| 2

, 的距离与它到直线 x ? y ? 3 ? 0 的距离 .所以动点 ( x, y ) 到定点 (?31)

之比为 2 .故此动点轨迹为双曲线,离心率为 2 . 11.在 ?ABC 中,已知 tan B ? 3 , sin C ?

2 2 , AC ? 3 6 ,则 ?ABC 的面积为 3

S?ABC ? 8 3 ? 6 2 .
解:在 ?ABC 中,由 tan B ? 3 得 B ? 60? .由正弦定理得 AB ?

AC ? sin C ?8. sin B

第 23 页共 44 页

因为 arcsin

1 2 2 ? 60? ,所以角 C 可取锐角或钝角,从而 cos C ? ? . 3 3

sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?
S?ABC ? AC ? AB sin A ? 8 3 ? 6 2 . 2
2

2 3 .故 ? 3 6

12. 设命题 P : a ? a ,命题 Q : 对任何 x ?R,都有 x ? 4ax ? 1 ? 0 . 命题 P 与 Q 中有
2

且仅有一个成立,则实数 a 的取值范围是 ?

1 1 ?a?0 或 ? a ?1 . 2 2

2 2 解:由 a ? a 得 0 ? a ? 1 .由 x ? 4ax ? 1 ? 0 对于任何 x ?R 成立,得

? ? 16a 2 ? 4 ? 0 ,即 ?

1 1 ? a ? .因为命题 P 、 Q 有且仅有一个成立,故实数 2 2 1 1 a 的取值范围是 ? ? a ? 0 或 ? a ? 1 . 2 2

三、解答题(本题满分 60 分,每小题 15 分) 13. 设不等式组 ?

? x ? y ? 0, 表示的平面区域为 D . 区域 D 内的动点 P 到直线 x ? y ? 0 ?x ? y ? 0

和直线 x ? y ? 0 的距离之积为 2 . 记点 P 的轨迹为曲线 C . 过点 F (2 2, 0) 的直线

l 与曲线 C 交于 A 、 B 两点. 若以线段 AB 为直径的圆与 y 轴相切,求直线 l 的斜率.
解:由题意可知,平面区域 D 如图阴影所示. 设动点为 P( x, y) ,则

x? y 2

?

x? y 2

? 2 ,即

y

x 2 ? y 2 ? 4 .由 P ? D 知

x ? y ? 0 ,x-y<0,即 x2-y2<0.
所以 y2-x2=4(y>0),即曲线 C 的方程为 y x - =1(y>0).????5 分 4 4
2 2

O

x

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x1 ? x2 y1 ? y2 , ). 2 2 x ? x2 1 因为以线段 AB 为直径的圆 L 与 y 轴相切,所以半径 r ? AB ? 1 ,即 2 2
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则以线段 AB 为直径的圆的圆心为 Q (

AB ? x1 ? x2 . ①
因为直线 AB 过点 F(2 2,0), 当 AB ? x 轴时,不合题意. 所以设直线 AB 的方程为 y=k(x-2 2). y2 x2 代入双曲线方程 - =1(y>0)得, 4 4 k2(x-2 2)2-x2=4,即(k2-1)x2-4 2k2x+(8k2-4)=0. 因为直线与双曲线交于 A,B 两点, 所以 k≠±1. 8k2-4 4 2k2 所以 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . k -1 k -1 所以|AB|= (x1-x2)2+(y1-y2)2= (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
2 2 2 ?4 2k ?2-4?8k -4]=|x +x |=|4 2k |, (1+k2)[? 2 ? 2 2 1 2 k -1 k -1 ? k -1 ? 4 2 化简得:k +2k -1=0,

????10 分



解得 k2= 2-1(k2=- 2-1 不合题意,舍去) . 2 2 2 2 2 由△=(4 2k ) -4(k -1) (8k -4) =3k -1>0, 又由于 y>0, 所以-1<k<- 所以 k=- 3 . 3 2-1 ???????15 分

解:由题意可知,平面区域 D 如图阴影所示. |x+y| |x-y| 设动点 P(x,y),则 ? =2, 2 2 即|x2-y2|=4. 由 P∈D 知: x+y>0,x-y<0,即 x2-y2<0. 所以 y2-x2=4(y>0). y2 x2 即曲线 C 的方程为 - =1(y>0).????5 分 4 4 设 A(x1,y1),B(x2,y2), x1+x2 y1+y2 则以线段 AB 为直径的圆的圆心为 Q( , ). 2 2 因为以线段 AB 为直径的圆与 y 轴相切,
第 25 页共 44 页

y

O

x

x1+x2 1 ∴半径 r= |AB|=| |. 2 2 即|AB|=|x1+x2|. ① 因为直线 AB 过点 F(2 2,0), 当 AB ? x 轴时,不合题意. 所以设直线 AB 的方程为 y=k(x-2 2). y2 x2 代入双曲线方程 - =1(y>0)得, 4 4 k2(x-2 2)2-x2=4,即(k2-1)x2-4 2k2x+(8k2-4)=0. 因为直线与双曲线交于 A,B 两点, 所以 k≠±1. 8k2-4 4 2k2 所以 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . k -1 k -1 所以|AB|= (x1-x2)2+(y1-y2)2= (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
2 2 2 ?4 2k ?2-4?8k -4]=|x +x |=|4 2k |, (1+k2)[? 2 ? 2 2 1 2 k -1 k -1 ? k -1 ? 4 2 化简得:k +2k -1=0,

???????10 分



解得 k2= 2-1(k2=- 2-1 不合题意,舍去) . 2 2 2 2 2 由△=(4 2k ) -4(k -1) (8k -4) =3k -1>0, 又由于 y>0, 所以-1<k<- 所以 k=- 3 . 3 2-1????????????????????????????15 分

14. 如图,斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,面 AAC 1 1C 是菱形, ?ACC1 ? 60? ,侧面

ABB1 A1 ? AAC 1 1C , A 1B ? AB ? AC ? 1 .
求证: (1) AA1 ? BC1 ; A

B A1

B1

ABC 的距离. (2)求点 A 1 到平面
证: (1)设 AA 1 中点为 D ,连 C 、 D . 因为 A1 B ? AB ,所以 BD ? AA1 .因为面 C C1 (第 14 题)

ABB1 A1 ? AA1C1C ,所以 BD ? 面 AA1C1C .
又 ?ACC1 为正三角形, AC1 ? C1 A1 ,所以 C1 D ? AA 1 . 从而

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BC1 ? AA1 .

??????6 分

(2) 由(1) ,有 BD ? C1D , BC1 ? CC1 , CC1 ? 面 C1DB .设 A1 到面 ABC 的 距离为 h ,则

1 hS ?ABC ? VB ?CAC1 ? VB ?CDC1 . 3
因为

A

1 VC ?C1DB ? CC1 ? S ?C1DB , 3
所以 h ?

S?C1DB S?ABC



B

E

C

又 C1D ? BD ,且

2 S ?C1DB ? C1 D ? BD ? BD 2 ?
设 ?ABC 的高为 AE ,则

3 . 4
3 5 ?1 ? , 2 2

BC 2 ? BC12 ? CC12 ? 2 BD 2 ? 1 ?

1 5 3 , AE ? 1 ? ? ? 4 2 8 2S ?ABC ?
于是有 h ?

5 3 15 . ? ? 2 8 4

3 15

?

15 15 ,即 A1 到平面 ABC 的距离为 . ??????15 分 5 5

15.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?3 ? an ? 3 , an? 2 ? an ? 2 . 求 a2007 . 解:由题设, an? 2 ? an ? 2 ,则

a2007 ? a2005 ? 2 ? a2003 ? 2 ? 2 ?


? a1 ? 2 ?1003 ? 2007 .

???5 分

an?2 ? an ? 2 ,得 an ? an?2 ? 2 ,则 an?3 ? an ? 3 ? an?2 ? 2 ? 3 ? an?2 ? 1 (n ? 1) .
??????10 分

第 27 页共 44 页

于是

a2007 ? a2006 ? 1 ? a2005 ? 1? 2 ? a2002 ? 3 ? 1? 2 ? a1999 ? 3? 2 ? 1? 2 ? ? a1 ? 3? 668 ? 1? 2 ? 2007 ,

所以 a2007=2007. 易知数列 a1 ? 1 , a2 ? 2 , , an ? n 符合本题要求. ??????15 分

注意:猜得答案 an ? n 或 a2007 ? 2007 ,给 2 分. 16.已知平面上 10 个圆,任意两个都相交.是否存在直线 l ,与每个圆都有公共点?证 明你的结论. 解:存在直线 l ,与每个圆都有公共点. 证明如下: 如图, 先作直线 l0 , 设第 i 个圆在直线 l0 上的正投 其中 Ai 、 Bi 分别是线段的左右 端点. A1 A2 Ak B m
10

影是线段 Ai Bi ,

B2 B1

10 个圆有 10 个投影线段,有 10 个左端点,有 10 个右端点.

??????5 分

因为任意两个圆都相交,所以任意两条投影线段都有重叠的部分,设 Ak 是最右边的左端点,则所有右端 点都在 Ak 的右边,否则必有两条投影线段无重叠部分,与对应的两个 圆相交矛盾. ??????10 分

再设 Bm 是最左边的右端点,同理所有左端点都在 Bm 的左边. Ak 与 Bm 不重合,线段

Ak Bm 是任意一条投影线段的一部分,过线段 Ak Bm 上某一点作直线 l0 的垂线 l ,则 l 与10
个圆都相交. ??????15 分

2008 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题 参考答案及评分标准
第 28 页共 44 页

一、选择题(本题满分 30 分,每小题 6 分) 1. 如果实数 m,n,x,y 满足 m ? n ? a , x 2 ? y 2 ? b ,其中 a,b 为常数,那么 mx+ny
2 2

的最大值为

答:[B] B.

a?b A. 2

ab

C.

a 2 ? b2 2

D.

a2 ? b2 2

解 由柯西不等式 (mx? ny) 2 ? (m2 ? n 2 )(x 2 ? y 2 ) ? ab ;或三角换元即可得到

mx ? ny ? ab ,当 m ? n ? a , x ? y ? b 时, mx? ny ? ab . 选 B.
2
2

2. 设 y ? f ( x) 为指数函数 y ? a x . 在 P(1,1),Q(1,2),M(2,3), N ? , ? 四点中,函数

?1 1? ?2 4?

y ? f ( x) 与其反函数 y ? f ?1 ( x) 的图像的公共点只可能是点
A. P B. Q C. M
1

答:[D]

D. N
1

1 ? 1 ?4 1 ? 1 ?2 1 解 取a ? ,把坐标代入检验,? ? ? ? ,而 ? ? ? ,∴ 公共点只可能是 16 2 4 ? 16 ? ? 16 ?
点 N. 选 D. 3. 在如图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列,每一纵列成等比 数列,那么 x ? y ? z 的值为 A. 1 C. 3 B. 2 D. 4 1 0.5 2 1 答:[A]

x
y

z
解 第一、二行后两个数分别为 2.5,3 与 1.25,1.5;第三、四、五列中的 x ? 0.5 , y ?

5 3 ,z ? , 16 16

则 x ? y ? z ? 1 . 选 A. 4. 如果 ?A1 B1C1 的三个内角的余弦值分别是 ?A2 B2 C2 的三个内角的正弦值,那么 答:[B] A. ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 都是锐角三角形 B. ?A1 B1C1 是锐角三角形, ?A2 B2 C2 是钝角三角形 C. ?A1 B1C1 是钝角三角形, ?A2 B2 C2 是锐角三角形
第 29 页共 44 页

D. ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 都是钝角三角形 解 两个三角形的内角不能有直角; ?A1 B1C1 的内角余弦都大于零,所以是锐角三角形;若 ?A2 B2 C2 是

锐角三角形,则不妨设 cos A1 =sin A2 =cos ?

?? ? ?? ? ? A1 ? , cos B1 =sin B2 =cos ? ? A2 ? , ?2 ? ?2 ?
?? ? ? C1 ? . ?2 ?

cos C1 =sin C 2 =cos ?



A1 ?

?
2

? A2 , B1 ?

?
2

? B2 , C1 ?

?
2

? C2 ,



A1 ? B1 ? C1 ?

3? ? ( A2 ? B2 ? C 2 ) ,矛盾. 选 B. 2

5. 设 a,b 是夹角为 30° 的异面直线,则满足条件“ a ? ? , b ? ? ,且 ? ? ? ”的 平面 ? , ? A. 不存在 C. 有且只有两对 解 B. 有且只有一对 D. 有无数对 答: [D]

任作 a 的平面 ? ,可以作无数个. 在 b 上任取一点 M,过 M 作 ? 的垂线. b 与

垂线确定的平面 ? 垂直于 ? . 选 D. 二、填空题(本题满分 50 分,每小题 10 分) 6. 设集合 A ? x x ? ?x? ? 2 和B ? x x ? 2 ,其中符号 ?x ? 表示不大于 x 的最大整数,则
2

?

?

?

?

A ? B ? ? 1, 3 .
解 ∵ x ? 2 , ?x ? 的值可取 ? 2,?1,0,1 . 当[x]= ? 2 ,则 x ? 0 无解;
2

?

?

当[x]= ? 1 ,则 x ? 1 ,∴ x= ? 1 ;
2

当[x]=0,则 x ? 2 无解;
2

当[x]=1,则 x ? 3 ,∴x ?
2

3.

所以 x ? ?1或 3 . 7. 同时投掷三颗骰子,于少有一颗骰子掷出 6 点的概率是 P ?

91 (结果要求写成既约分数). 216

91 ?5? 解 考虑对立事件, P ? 1 ? ? ? ? . 216 ?6?
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3

8. 已知点 O 在 ?ABC 内部, OA ? 2OB ? 2OC ? 0 . ?ABC与?OCB 的面积之比为 5:1. 解 由图, ?ABC 与 ?OCB 的底边相同, 高是 5:1. 故面积比是 5:1.

A O B C

9. 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 外切,且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为 y 2 ? 8x( x ? 0) 或

y ? 0( x ? 0) .
解 由圆锥曲线的定义,圆心可以是以(2,0)为焦点、 x ? ?2 为准线的抛物线上的点;若切点是原点,则

圆心在 x 轴负半轴上.所以轨迹方程为 y 2 ? 8x( x ? 0) ,或 y ? 0( x ? 0) . 10. 在 ?ABC 中,若 tanAtanB=tanAtanC+tanctanB,则

a2 ? b2 =3. c2



切割化弦,已知等式即

sin A sin B sin A sin C sin B sin C ? ? , cos A cos B cos A cos C cos B cos C

亦即

sin A sin B cos C ab cos C sin A sin B sin( A ? B) ? ? 1. ,即 =1,即 2 sin C cos C sin C c2

所以,

a2 ? b2 ? c2 a2 ? b2 ? 1 ? 3. ,故 2c 2 c2

三、解答题(本题满分 70 分,各小题分别为 15 分、15 分、20 分、20 分)
2 11. 已知函数 f ( x) ? ?2 x ? bx ? c 在 x ? 1 时有最大值 1, 0 ? m ? n ,并且 x ? ?m, n?时, f ( x) 的取值范围

为? ,

?1 1 ? . 试求 m,n 的值. ?n m? ?
解 由题 f ( x) ? ?2( x ?1) ? 1 ,
2

??5 分

? f ( x) ? 1 ,?

1 ? 1 ,即 m ? 1 ,? f ( x)在?m, n? 上单调减, m
1 1 2 且 f (n) ? ?2( n ? 1) ? 1 ? . m n 1 的两个解,方程即 x
??10 分

? f (m) ? ?2(m ? 1) 2 ? 1 ?

?m ,n 是方程 f ( x) ? ?2( x ? 1) 2 ? 1 ?

( x ?1)(2 x 2 ? 2 x ?1) =0,
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解方程,得解为 1,

1? 3 1? 3 , . 2 2 1? 3 . 2
??15 分

?1 ? m ? n ,? m ? 1 , n ?

x2 y2 ? ? 1 上的两个动点,满足 OA? OB ? 0 。 12. A、B 为双曲线 4 9
(Ⅰ)求证:

1 OA
2

?

1 为定值; 2 OB

(Ⅱ)动点 P 在线段 AB 上,满足 OP ? AB ? 0 ,求证:点 P 在定圆上. 证 (Ⅰ)设点 A 的坐标为 (r cos? , r sin ? ) ,B 的坐标为 (r ? cos? ?, r ? sin ? ?) ,则 r ? OA ,

? cos2 ? sin 2 ? ? r ? ? OB ,A 在双曲线上,则 r 2 ? ? 4 ? 9 ? ? ? 1. ? ?
所以

1 cos2 ? sin 2 ? ? ? . 4 9 r2
2 2 2 2

??5 分

由 OA ? OB ? 0 得 OA ? OB ,所以 cos ? ? ? sin ? , cos ? ? sin ? ? . 同理,

1 cos2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? cos2 ? ? ? ? ? , 4 9 4 9 r ?2

所以

1 | OA |
2

?

1 | OB |
2

?

1 1 1 1 5 . ? 2 ? ? ? 2 4 9 36 r r'

??10 分

(Ⅱ)由三角形面积公式,得 OP ? AB ? OA? OB ,所以
2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? OP ? AB ? OA ? OB ,即 OP ? ? ? OA ? OB ? ? OA ? OB . ? ?

? ? 2 2 ? 1 ? 1 ?1 1? ? 5? 即 OP ? ? ? ? OP ? ? ? ? ? OP ? ? ? ? 1 . 2 2 ? ?4 9? ? 36 ? ? OA OB ? ? ?
2

于是, OP 2 ? 36 . 5 即 P 在以 O 为圆心、

6 5 为半径的定圆上. 5
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??15 分

13. 如图,平面 M、N 相交于直线 l. A、D 为 l 上两点,射线 DB 在平面 M 内,射线 DC 在平面 N 内. 已知 ?BDC ? ? , ?BDA ? ? , ?CDA ? ? ,且 ? , ? , ? 都是 锐角. 求二面角 M ? l ? N 的平面角的余弦值(用 ? , ? , ? 的三角函数值表示). 解 在平面 M 中,过 A 作 DA 的垂线, 交射线 DB 于 B 点; 在平面 N 中,过 A 作 DA 的垂线, 交射线 DC 于 C 点. 设 DA=1,则
N C A D

1 AB ? tan? , DB ? , cos ?
AC ? tan? , DC ?

B M

1 , cos?

??5 分 ??10 分

并且 ?BAC ? ? 就是二面角 M ? l ? N 平面角. 在 ?DBC与?ABC 中,利用余弦定理,可得等式

BC 2 ?

1 1 2 ? ? cos? ? tan2 ? ? tan2 ? ? 2 tan? tan? cos? , 2 2 cos ? cos ? cos? cos?
2 2

所以, 2 tan ? tan? cos? ? tan ? ? tan ? ?

1 1 2 ? ? cos? 2 2 cos ? cos ? cos? cos?
??15 分

= 故得到 cos? ?

2(cos? ? cos? cos? ) , cos? cos?

cos? ? cos ? cos? . sin ? sin ?

??20 分

14. 能否将下列数组中的数填入 3× 3 的方格表,每个小方格中填一个数,使得每行、每列、两条对角线上的 3 个数的乘积都相等?若能,请给出一种填法;若不能,请给予证明. (Ⅰ)2,4,6,8,12,18,24,36,48; (Ⅱ)2,4,6,8,12,18,24,36,72. 解(Ⅰ)不能. 因为若每行的积都相等,则 9 个数的积是立方数. 但是 2× 4× 6× 8× 12× 18× 24× 36× 48=21+2+1+3+2+1+3+2+4× 3 (Ⅱ)可以. 如右表
1?1? 2?1? 2?1

??5 分

=219· 38 不是立方数,故不能. ??15 分

36 8 6

2 12 72

24 18 4
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表中每行、每列及对角线的积都是 26·23.

??20 分

2009 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛 (2009 年 5 月 3 日 8∶00-10∶00) 一、填空题(每小题 7 分,共 70 分) 1.已知 sinαcosβ=1,则 cos(α+β)= . 2.已知等差数列{an}的前 11 项的和为 55,去掉一项 ak 后,余下 10 项的算术平均值为 4.若 a1=-5, 则 k= . 3.设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列,则此椭圆的离心率 e= . 3 +1 1 4.已知 x = 1-x,则实数 x= 9 -1 3-3
x



A

5.如图,在四面体 ABCD 中,P、Q 分别为棱 BC 与 CD 上的点,且 BP=2PC,CQ =2QD.R 为棱 AD 的中点,则点 A、B 到平面 PQR 的距离的比值为 . 6. 设 f(x)=log3x- 4-x, 则满足 f(x)?0 的 x 的取值范围是 . 7.右图是某种净水水箱结构的设计草图,其中净水器是一个宽 10cm、体积为 3 3000cm 的长方体,长和高未定.净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分 别长 20cm、20cm、60cm.若不计净水器中的存水,则净水水箱中最少可以存水 3 cm . → → 8.设点 O 是△ABC 的外心,AB=13,AC=12,则BC·AO= .

R D B Q P C

9.设数列{an}满足:an+1an=2an+1-2(n=1,2,…),a2009= 2,则此数列 的前 2009 项的和为 . 2 10.设 a 是整数,0?b<1.若 a =2b(a+b),则 b= . 二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) x y 11.在直角坐标系 xOy 中,直线 x-2y+4=0 与椭圆 + =1 交于 A,B 两点,F 是椭圆的左焦点.求以 9 4 O,F,A,B 为顶点的四边形的面积.
2 2

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12.如图,设 D、E 是△ABC 的边 AB 上的两点,已知∠ACD=∠BCE,AC=14,AD=7,AB=28,CE=12.求 BC.
C

A

D

E

B

13.若不等式 x+ y?k 2x+y对于任意正实数 x,y 成立,求 k 的取值范围.

14.⑴ 写出三个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数,请予以验证; ⑵ 是否存在四个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数?请证明你的结 论.

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2009 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛 (2009 年 5 月 3 日 8∶00-10∶00) 一、填空题(每小题 7 分,共 70 分) 1.已知 sinαcosβ=1,则 cos(α+β)= . 填 0. 解:由于|sinα|?1,|cosβ|?1,现 sinαcosβ=1,故 sinα=1,cosβ=1 或 sinα=-1,cosβ =-1, π π π ∴ α=2kπ+ ,β=2lπ 或 α=2kπ- ,β=2lπ+π?α+β=2(k+l)π+ (k,l∈Z). 2 2 2 ∴ cos(α+β)=0. 2.已知等差数列{an}的前 11 项的和为 55,去掉一项 ak 后,余下 10 项的算术平均值为 4.若 a1=-5, 则 k= . 填 11. 解:设公差为 d,则得 1 55=-5×11+ ×11×10d?55d=110?d=2. 2 ak=55-4×10=15=-5+2(k-1)?k=11. 3.设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列,则此椭圆的离心率 e= 填 -1+ 5 . 2
2 2 2 2



解:由(2b) =2c×2a?a -c =ac?e +e-1=0?e= 3 +1 1 4.已知 x = 1-x,则实数 x= 9 -1 3-3 填 1.
x x

-1+ 5 . 2



1 3 2x x x x 解:即 x = x ?3 -4×3 +3=0?3 =1(舍去),3 =3?x=1. 3 -1 3(3 -1) 5.如图,在四面体 ABCD 中,P、Q 分别为棱 BC 与 CD 上的点,且 BP=2PC,CQ=2QD.R 为棱 AD 的中点, 则点 A、B 到平面 PQR 的距离的比值为 . 1 填 . 4 解:A、B 到平面 PQR 的距离分别为三棱锥 APQR 与 BPQR 的以三角形 PQR 为底的高.故其比值等于这两个 三棱锥的体积比. 1 1 1 1 1 1 1 VAPQR= VAPQD= × VAPCD= × × VABCD= VABCD; 2 2 3 2 3 3 18 1 2 1 4 又,SBPQ=SBCD-SBDQ-SCPQ=(1- - × )SBCD= SBCD, 3 3 3 9 4 1 4 4 VRBPQ= VRBCD= × VABCD= VABCD. 9 2 9 18 ∴ A、B 到平面 PQR 的距离的比=1∶4. 又,可以求出平面 PQR 与 AB 的交点来求此比值:
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B A A R D Q D P C B N R M Q P C

在面 BCD 内,延长 PQ、BD 交于点 M,则 M 为面 PQR 与棱 BD 的交点. BM DQ CP DQ 1 CP 1 BM 由 Menelaus 定理知, · · =1,而 = , = ,故 =4. MD QC PB QC 2 PB 2 MD 在面 ABD 内,作射线 MR 交 AB 于点 N,则 N 为面 PQR 与 AB 的交点. BM DR AN BM DR AN 1 由 Menelaus 定理知, · · =1,而 =4, =1,故 = . MD RA NB MD RA NB 4 ∴ A、B 到平面 PQR 的距离的比=1∶4. 6.设 f(x)=log3x- 4-x,则满足 f(x)?0 的 x 的取值范围是 . 填[3,4]. 解:定义域(0,4].在定义域内 f(x)单调增,且 f(3)=0.故 f(x)?0 的 x 的取值范围为[3,4]. 3 7.右图是某种净水水箱结构的设计草图,其中净水器是一个宽 10cm、体积为 3000cm 的长方体,长和高 未定.净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长 20cm、20cm、60cm.若不计净水器中的存水,则 3 净水水箱中最少可以存水 cm . 填 78000. 解:设净水器的长、高分别为 x,ycm,则 xy=300, V=30(20+x)(60+y)=30(1200+60x+20y+xy) ?30(1200+2 60x×20y+300)=30(1500+1200) =30×2700. 3 ∴ 至少可以存水 78000cm . → → 8.设点 O 是△ABC 的外心,AB=13,AC=12,则BC·AO= 25 填- . 2 → → → 解:设|AO|=|BO|=|OC|=R.则
R O


A R R C

→ → → → → → → → → 2 2 BC·AO=(BO+OC)·AO=BO·AO+OC·AO=R cos(π-2C)+R cos2B 1 1 1 25 2 2 2 2 2 2 2 =R (2sin C-2sin B)= (2RsinB) - (2RsinC) = (12 -13 )=- . 2 2 2 2

B

9.设数列{an}满足:an+1an=2an+1-2(n=1,2,…),a2009= 2,则此数列的前 2009 项的和为 . 填 2008+ 2. 2 2 解:若 an+1≠0,则 an=2- ,故 a2008=2- 2,a2007=2- =- 2,a2006=2+ 2,a2005= 2. an+1 2- 2 2 an+1-2 2 一般的,若 an≠0,1,2,则 an=2- ,则 an-1= ,an-2= ,an-3=an+1,故 an-4=an. an+1 an+1-1 2-an+1 2009 于是, Σ an=502(a1+a2+a3+a4)+a2009=502(a2005+a2006+a2007+a2008)+a2009=2008+ 2. k=1 10.设 a 是整数,0?b<1.若 a =2b(a+b),则 b=
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2



填 0,

3-1 , 3-1. 2
2 2 2

解:若 a 为负整数,则 a >0,2b(a+b)<0,不可能,故 a?0. 于是 a =2b(a+b)<2(a+1)?a -2a-2<0?0?a<1+ 3?a=0,1,2. a=0 时,b=0; a=1 时,2b +2b-1=0?b=
2 2

3-1 ; 2

a=2 时,b +2b-2=0?b= 3-1. 2 说明:本题也可以这样说:求实数 x,使[x] =2{x}x.

二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) x y 11.在直角坐标系 xOy 中,直线 x-2y+4=0 与椭圆 + =1 交于 A,B 两点,F 是椭圆的左焦点.求以 9 4 O,F,A,B 为顶点的四边形的面积.
?4x +9y =36, 2 解:取方程组? 代入得,25y -64y+28=0. x = 2y - 4 . ?
2 2 2 2

y B A C F O x

14 此方程的解为 y=2,y= . 25 72 14 即得 B(0,2),A(- , ),又左焦点 F1(- 5,0). 25 25 连 OA 把四边形 AFOB 分成两个三角形. 1 72 1 14 1 得,S= ×2× + × 5× = (72+7 5). 2 25 2 25 25 也可以这样计算面积:

1 1 14 1 直线与 x 轴交于点 C(-4,0).所求面积= ×4×2- ×(4- 5)× = (72+7 5). 2 2 25 25 也可以这样计算面积: 1 14 72 72 14 1 144 所求面积= (0×2-0×0+0× -(- )×2+(- )×0-(- 5)× +(- 5)×0-0×0)= ( 2 25 25 25 25 2 25 + 14 1 5)= (72+7 5). 25 25

12.如图,设 D、E 是△ABC 的边 AB 上的两点,已知∠ACD=∠BCE,AC=14,AD=7,AB=28,CE=12.求 BC. AD AC 解: = ?△ACD∽△ABC?∠ABC=∠ACD=∠BCE. AC AB ∴ CE=BE=12.AE=AB-BE=16. AC +AE -CE 14 +16 -12 14 +28·4 11 ∴ cosA= = = = . 2AC·AE 2·14·16 2·14·16 16
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2 2 2 2 2 2 2

C

A

D

E

B

11 2 2 2 2 2 2 ∴ BC =AC +AB -2AC·ABcosA=14 +28 -2·14·28· =7 ·9?BC=21. 16 13.若不等式 x+ y?k 2x+y对于任意正实数 x,y 成立,求 k 的取值范围. 2 2 2 2 解法一:显然 k>0.( x+ y) ?k (2x+y)?(2k -1)x-2 xy+(k -1)y?0 对于 x,y>0 恒成立. 令 t=
2

x 2 2 2 >0,则得 f(t)=(2k -1)t -2t+(k -1)?0 对一切 t>0 恒成立. y
2 4 2 2 2

当 2k -1?0 时,不等式不能恒成立,故 2k -1>0. 1 1 2 2k -3k k (2k -3) 2 此时当 t= 2 时,f(t)取得最小值 2 - 2 +k -1= 2 = . 2 2k -1 2k -1 2k -1 2k -1 2k -1 当 2k -1>0 且 2k -3?0,即 k? ∴ k∈[ 6 ,+∞). 2
2 2 2

6 时,不等式恒成立,且当 x=4y>0 时等号成立. 2

解法二: 显然 k>0, 故k?

( x+ y) x+2 xy+y = . 令 t= 2x+y 2x+y

2

x t +2t+1 1 4t+1 2 > 0, 则k? = (1+ 2 ). 2 y 2t +1 2 2t +1

2

u-1 8u 令 u=4t+1>1,则 t= .只要求 s(u)= 2 的最大值. 4 u -2u+9 8 s(u)= ? 9 u+ -2 2 u 1 4t+1 1 3 =2,于是, (1+ 2 )? (1+2)= . 2 2t +1 2 2 9 u· -2 u 8

3 6 2 ∴k ? ,即 k? 时,不等式恒成立(当 x=4y>0 时等号成立). 2 2 4t+1 8t +4-4t(4t+1) -8t -4t+4 1 1 又:令 s(t)= 2 ,则 s?(t)= = ,t>0 时有驻点 t= .且在 0<t< 2 2 2 2 2t +1 (2t +1) (2t +1) 2 2 1 1 1 1 3 2 时,s?(t)>0,在 t> 时,s?(t)<0,即 s(t)在 t= 时取得最大值 2,此时有 k ? (1+s( ))= . 2 2 2 2 2 1 2 解法三:由 Cauchy 不等式,( x+ y) ?( +1)(2x+y). 2 即( x+ y)? 当 k< 6 2x+y对一切正实数 x,y 成立. 2
2 2

6 1 3 6 6 6 3 时,取 x= ,y=1,有 x+ y= ,而 k 2x+y=k < × = .即不等式不能恒成立. 2 4 2 2 2 2 2 6 6 时,由于对一切正实数 x,y,都有 x+ y? 2x+y?k 2x+y,故不等式恒成立. 2 2 6 ,+∞). 2

而当 k? ∴ k∈[

14.⑴ 写出三个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数,请予以验证; ⑵ 是否存在四个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数?请证明你的结 论. 解:对于任意 n∈N*,n ≡0,1(mod 4).
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2

设 a,b 是两个不同的自然数,①若 a≡0(mod 4)或 b≡0(mod 4),或 a≡b≡2(mod 4),均有 ab≡0(mod 4), 此时,ab+10≡2(mod 4),故 ab+10 不是完全平方数;② 若 a≡b≡1(mod 4),或 a≡b≡3(mod 4),则 ab ≡1(mod 4),此时 ab+10≡3(mod 4),故 ab+10 不是完全平方数. 由此知,ab+10 是完全平方数的必要不充分条件是 a≡ / b(mod 4)且 a 与 b 均不能被 4 整除. 2 ⑴ 由上可知,满足要求的三个自然数是可以存在的,例如取 a=2,b=3,c=13,则 2×3+10=4 ,2 2 2 ×13+10=6 ,3×13+10=7 . 即 2,3,13 是满足题意的一组自然数. ⑵ 由上证可知不存在满足要求的四个不同自然数. 这是因为, 任取 4 个不同自然数, 若其中有 4 的倍数, 则它与其余任一个数的积加 10 后不是完全平方数, 如果这 4 个数都不是 4 的倍数,则它们必有两个数 mod 4 同余,这两个数的积加 10 后不是完全平方数. 故证.

2010 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则
一、填空题(本题满分 70 分,每小题 7 分)
x x 1.方程 9 ? 1 ? 3 ? 5 的实数解为



提示与答案:x<0 无解; 当 x ? 0 时,原方程变形为 32x+3x-6=0,解得 3x=2,x=log32. 2.函数 y ? sin x ? cos x ( x ? R ) 的单调减区间是 提示与答案:与 f(x)=y2=1+|sin2x|的单调减区间相同, [ .

k? ? k? ? ? , ? ], k ? Z. 2 4 2 2
.

3.在△ ABC 中,已知 AB ? AC ? 4 , AB ? BC ? ?12 ,则 AB = 提示与答案: AB ? AC ? AB ? BC ? AB ? 16 ,得 AB ? 4 . 4.函数 f ? x ? ? ? x ? 2 ?? x ? 1? 在区间 ? 0, 2? 上的最大值是
2

2

,最小值是



提示与答案:极小值-4,端点函数值 f(2)=0,f(0)=-2,最小值-4,最大值 0. 5.在直角坐标系 xOy 中,已知圆心在原点 O 、半径为 R 的圆与△ ABC 的边有公共点, 其中 A ? ? 4,0? 、 B ? ? 6,8? 、 C ? ? 2, 4? ,则 R 的取值范围为 .

8 5 提示与答案:画图观察,R 最小时圆与直线段 AC 相切,R 最大时圆过点 B.[ ,10]. 5 6.设函数 f ? x ? 的定义域为 R,若 f ? x ? 1? 与 f ? x ?1? 都是关于 x 的奇函数,则函数
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y ? f ? x ? 在区间 ?0,100? 上至少有

个零点.

提示与答案:f(2k-1)=0,k∈Z. 又可作一个函数 f ? x ? 满足问题中的条件,且 f ? x ? 的 一个零点恰为 x ? 2k ? 1 ,k∈Z. 所以至少有 50 个零点. 7.从正方体的 12 条棱和 12 条面对角线中选出 n 条,使得其中任意 两条线段所在的直线都是异面直线,则 n 的最大值为 提示与答案:不能有公共端点,最多 4 条,图上知 4 条可以.
(第 7 题)



8.圆环形手镯上等距地镶嵌着 4 颗小珍珠,每颗珍珠镀金、银两色中的一种.其中 镀 2 金 2 银的概率是 . 1 . 3

提示与答案:穷举法,注意可翻转,有 6 种情况,2 金 2 银有两种,概率为

9.在三棱锥 A ? BCD 中,已知 ?ACB ? ?CBD , ?ACD ? ?ADC ? ?BCD ? ?BDC

? ? ,且 cos ? ?

10 .已知棱 AB 的长为 6 2 ,则此棱锥的体积为 10



提示与答案:4 面为全等的等腰三角形,由体积公式可求得三棱锥的体积为 144 . 10.设复数列 ?xn ? 满足 xn ? a ?1 , 0 ,且 xn ?1 ? 则 a 的值是

a xn .若对任意 n ?N* 都有 xn?3 ? xn , xn ? 1



a 3 xn a xn a xn ? 2 a 2 xn?1 ? xn 提示与答案:由 xn ?1 ? , xn ?3 ? ? ? xn ? 1 xn ? 2 ? 1 ? a ? 1? xn?1 ? 1 ? a 2 ? a ? 1? xn ? 1
2 2 恒成立,即 a ? a ? 1 xn ? xn ? 1 ? a ? ? 0 . 因为 xn ? a ?1 或 0 ,故 a ? a ? 1 ? 0 ,所以

?

?

1 3 a?? ? i. 2 2
二、解答题(本题满分 80 分,每小题 20 分)
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11.直角坐标系 xOy 中,设 A 、 B 、 M 是椭圆 C :

3 4 x2 ? y 2 ? 1 上的三点.若 OM ? OA ? OB ,证明: 5 5 4

线段 AB 的中点在椭圆

x2 ? 2 y 2 ? 1 上. 2
x12 x22 +y12=1, +y22 4 4 E =1.

解:设 A(x1,y1),B (x2,y2),则 由 OM ?

3 4 3 4 3 4 OA ? OB ,得 M(5x1+5x2,5y1+5y2). 5 5

因为 M 是椭圆 C 上一点,所以 3 4 ( x1+ x2)2 5 5 4 1, 3 5 4 5

A

H F B G C

D



(

y1



y2)2



???????6 分

x12 3 x22 4 3 4 x1x2 即 ( +y12)( )2+( +y22)( )2+2( )( )( +y1y2)=1, 4 5 4 5 5 5 4 3 4 3 4 x1x2 得 ( )2+( )2+2( )( )( +y1y2)=1,故 5 5 5 5 4 x1x2 +y1y2=0. 4 x1+x2 y1+y2 又线段 AB 的中点的坐标为 ( , ), 2 2 x1+x2 2 ( ) 2 y1+y2 2 1 x12 1 x22 x1x2 +2( ) = ( +y12)+ ( +y22)+ +y1y2=1, 2 2 2 4 2 4 4 ??????20 分 ???????14 分

所以

x1+x2 y1+y2 x2 从而线段 AB 的中点( , )在椭圆 +2y2=1 上. 2 2 2

12.已知整数列 ?an ? 满足 a3 ? ?1 , a7 ? 4 ,前 6 项依次成等差数列,从第 5 项起依次成等比数列. (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 求出所有的正整数 m ,使得 am ? am?1 ? am?2 ? am am?1am?2 . 解:(1) 设数列前 6 项的公差为 d,则 a5=-1+2d,a6=-1+3d,d 为整数. 又 a5,a6,a7 成等比数列,所以(3d-1)2=4(2d-1), 即 9d2-14d+5=0,得 d =1. 当 n?6 时,an =n-4,
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???????6 分

由此 a5=1,a6=2,数列从第 5 项起构成的等比数列的公比为 2, 所以,当 n?5 时,an =2n-5.
? ?n-4,n?4, 故 an =? n-5 ?2 , n?5. ?

???????10 分

(2) 由(1)知,数列 ?an ? 为:-3,-2,-1,0,1,2,4,8,16,? 当 m=1 时等式成立,即 -3-2-1=―6=(-3)(-2)(-1); 当 m=3 时等式成立,即 -1+0+1=0; 当 m=2、4 时等式不成立;
3

???????15 分

当 m?5 时,amam+1am+2 =23m-12, am +am+1+am+2=2m-5(2 -1)=7×2m-5, 7×2m-5≠23m-12, 所以 am +am+1+am+2≠amam+1am+2 . 故所求 m= 1,或 m=3. ???????20 分 过点 H 作平行于 CE 的

13.如图,圆内接五边形 ABCDE 中, AD 是外接圆的直径, BE ? AD ,垂足 H . 直线,与直线 AC 、 DC 分别交于点 F 、 G . 证明: (1) 点 A 、 B 、 F 、 H 共圆; (2) 四边形 BFCG 是矩形. 证明:(1) 由 HG∥CE,得∠BHF=∠BEC, 又同弧的圆周角 ∠BAF=∠BEC, ∴ ∠BAF=∠BHF, ∴ 点 A、B、F、H 共圆; ???????8 分 (2) 由(1)的结论,得 ∠BHA=∠BFA,

∵ BE⊥AD, ∴ BF⊥AC, 又 AD 是圆的直径,∴ CG⊥AC, 由 A、B、C、D 共圆及 A、B、F、H 共圆, ∴∠BFG =∠DAB =∠BCG, ∴ ∠BGC=∠AFB=900, ∴ 所以四边形 BFCG 是矩形. ∴ B、G、C、F 共圆. ∴ BG⊥GC, ???????20 分
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???????14 分

14.求所有正整数 x , y ,使得 x2 ? 3 y 与 y 2 ? 3x 都是完全平方数. 解:若 x=y,则 x2+3x 是完全平方数. ∵ x2<x2+3x<x2+4x+4= (x+2)2, ∴ x2+3x= (x+1)2,∴ x=y =1. 若 x>y,则 x2<x2+3y<x2+3x<x2+4x+4= (x+2)2. ∵ x2+3y 是完全平方数, ∴ x2+3y= (x+1)2,得 3y = 2x+1,由此可知 y 是奇数,设 y = 2k+1,则 x=3k+1,k 是正整数. 又 y2+3x= 4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4 是完全平方数,且 (2k+2)2=4k2+8k+4<4k2+13k+4<4k2+16k+16= (2k+4)2, ∴ y2+3x=4k2+13k+4=(2k+3)2, 得 k=5,从而求得 x=16,y=11. 若 x<y,同 x>y 情形可求得 x=11,y=16. 综上所述,(x,y)= (1,1), (11,16), (16,11). ???????20 分 ???????15 分 ??????5 分

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