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广西桂林市第十八中学2014-2015学年高二下学期开学考试数学(文)试题


广西桂林市第十八中学 2014-2015 学年高二下学期开学考试 数学(文)试题
注意:1、本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分。考试时 间: 120 分钟 。答卷前,考生务必将自己的姓名和考号填写或填涂在答题卷指定 的位置。 2、选择题答案用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净 后,再选涂其他答案;不能答在试题卷上。 3、主观题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷上作答,答案必须写在答题卷各题目 指定区域内的相应位置上,超出指定区域的答案无效;如需改动,先划掉原的答案, 然后再写上新的答案。

第 I 卷 选择题
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.函数 y ? 5 tan(2 x ? 1) 的最小正周期为

π π B. C. π 4 2 2.设 f ( x) ? 2 x 2 ? x 3 ,则 f ( x) 的单调递减区间是 4 4 A. (0, ) B. ( , ??) C. (??, 0) 3 3
A.

D. 2 π

D. (??, 0) 和 ( , ??)

4 3

?1? 3.设 p:log2x<0,q: ? ? ?2?
A.充要条件

x ?1

>1 ,则 p 是 q 的
D.既不充分也不必要条件

B.必要不充分条件 C.充分不必要条件

4.抛物线 y ? 4 x 2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是 A.

7 8

B.

15 16

C.

3 4

D.0

5. 设 等 比 数 列 ?an ? 中 , 前 n 项 和 为 S n , 已 知 S3 ? 8,S 6 ? 7 , 则

a7 ? a8 ? a9 ? 1 A. 8

B. ?

1 8

C.

57 8

D.

55 8

6.执行如图所示的程序框图,若输出结果为 15,则 M 处的条件为 A . k≥16 D.k≥8 B . k<8 C . k<16

7.已知向量 a = ( x ? 1,2), b = (4, y ) ,若 a ? b ,则 9 x ? 3 y 的最小值为 A. 2 8.已知函数 f ( x) ? A. ? B. 2 3 C. 6 D. 9 第 6 题图

2

1 ? cos x ,则 f (? ) ? f ?( ) ? x 2 3
B.

?

?

C. ?

1

?

D. ?

3

?

9.网格纸的小正方形边长为 1,一个正三棱锥的左视图如图所示,则这个正三棱锥的体积为

A. 3

B. 3 3

C.

9 2

D.

9 3 2

10.与抛物线 C y 2 ? 8 x 相切且倾斜角为 135? 的直线与 x 轴和 y 轴的交点分别是 A 和 B,那 么过 A,B 两点的最小圆截抛物线 C 的准线所得的弦长为 A.4 B.2 2 C.2 D. 2
9

第 题图 11.平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面 α 的距离为 2,则此球的体积为 A. 6 π B.4 3π C.4 6π D .6 3 π

x2 y 2 12.双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,渐近线分别为 l1 , l2 ,点 P a b
在第 一象限内且在 l1 上,若 l2 ? PF1 , 且l2∥PF2 ,则双曲线的离心率是 A. 5 B. 2 C. 3 D.2

第 II 卷 非选择题
二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.命题 " ?x0 ? R, 使得x0 ? 2 x0 ? 2 ? 0" 的否定是
2



14.已知单位向量 a, b ,满足 (a ? 2b)? (2a ? b) ? 1 ,则 a 与 b 夹角的余弦值为_________.
15. 已 知 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 边 分 别 为 a, b, c , 若 1 ? 为 .

? ?

?

?

? ?

?

?

tan A 2c a2 ? ,则 的最小值 tan B b bc

4x 16.若函数 f(x)= 2 在区间(m,2m+1)上是单调递增函数,则实数 m 的取值范围为________. x +1

三、解答题(17 小题 10 分,其余各 12 分,共 70 分) 17. (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中,已知 a 、 b 、 c 分别是内角 A, B, C 对应的三边, 且 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc .

(I)求角 A 的大小; (II)若 b ?

2c ? 2 , 求 ?ABC 的面积.

18. (本小题满分 12 分) 已知函数

f ? x ? ? ln x, g ? x ? ? f ? x ? ? f ' ? x ? .

(错误!未找到引用源。)求 g

? x ? 的单调区间和最小值;
1 对任意 x ? 0 成立. a

(II)求实数 a 的取值范围,使得 g ? a ? ? g ? x ? ?

19. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形.已知

?DAB ? 60? , AB ? 2 AD, PD ? 底面 ABCD . (I)证明: PA ? BD ;

(II)设 PD ? AD ? 1 ,求棱锥 D ? PBC 的高.


20. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? 2an ? (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)若 bn ? log 1 an ,求数列 ?
2 2

1 . 2

? bn ? ? 的前 n 项和 Tn . ? an ?

21. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为 2 a b 2 半径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切,过点 P ? 4, 0 ? 且不垂直于 x 轴的直线与椭圆 C 相交 于 A,B 两点. (I)求椭圆 C 的方程; (II)若 B 点关于 x 轴的对称点是 E ,证明:直线 AE 与 x 轴相交于定点.
已知椭圆 C :

22. (本小题满分 12 分) 已知函数

f ? x ? ? x ln x ? ? a ? 1? x ? a ? R ? .
? 1 时,求曲线 y ? f ? x ? 在 x ? 1 处的切线方程;
1

(错误!未找到引用源。)当 a (II)求函数

? f ? x ? 在区间 ? , e ? 上的最小值; ? ?e ?
? f ? x ? ? 2 x 3 ? 3x 2 在区间 ? , 2 ? 内有两个不相等的实数根,求实数 a ? ?2 ? 1

(III)若关于 x 的方程 的取值范围.

桂林十八中 14-15 学年度 13 级高二下学期开学考试卷参考

答案 数
一、选择题 题号 1 答案 B 二、填空题
13. ?x ? R, 都有 2 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 14.

学(文科)
6 A 7 C 8 D 9 B 10 C 11 B 12 D

2 D

3 C

4 B

5 A

1 3

15.

1

16. (-1,0]

三、解答题

17.解: ?1? ? b2 ? c 2 ? a 2 ? bc ? cos A ? b 2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? bc ? a 2 1 ? ? 2bc 2bc 2

? A ? ? 0, ? ? ?A?

.?????????????????????????????????? 5分 3 ? 2 ? b ? 2, c ? 2 1 1 ? 6 S ?ABC ? bc sin A ? ? 2 ? 2 ? sin ? .????????????????????10分 2 2 3 2

?

1 18.(1)由题设知 f(x)=lnx,g(x)=lnx+ . x x-1 ∴g′(x) = 2 .………………………………………………………………………………………………………………………………………………3 x 分 令 g′(x)=0 得 x=1, 当 x∈(0,1)时,g′(x)<0,故(0,1)是 g(x)的单调减区间. 当 x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,故(1,+∞)是 g(x)的单调增区间, 因此,x=1 是 g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点. 所以 g(x)的最小值为 g(1)=1. …………………………………………………………………………………………………………… 6 分 (2)由(1)知 g(x)的最小值为 1, 1 所以,g(a)-g(x)< ,对任意 x>0 成立, a 1 只 需 g (a ) - 1< 成 立 即 a 可,…………………………………………………………………………………………………………………10 分 即 lna<1,从而得 0<a<e. …………………………………………………………………………………………………………………12 分

19.解: ?1? ? ?DAB ? 60?, AB ? 2 AD,由余弦定理得BD ? 3 AD, ? BD 2 ? AD 2 ? AB 2 ,? BD ? AD. 又 ? PD ? 面ABCD,? BD ? PD. ? AD ? PD ? D,? BD ? 面PAD, ? PA ? BD.???????????????? 6分

? 2 ? 如图,作DE ? PB于点E ,
已知PD ? 面ABCD, 则PD ? BC. 由?1? 知BD ? AD, 又BC / / AD, 所以BC ? BD. 故BC ? 面PBD, BC ? DE. 则DE ? 面PBC. 由题设知PD ? 1, 则BD ? 3, PB ? 2. 根据DE ? PB ? PD ? BD, 得DE ? 3 3 , 即棱锥D ? PBC的高为 .????????????12分 2 2

? 3? ? ? 4 ? 得,

1 1 n?2? ? ?1 ?1 0 1 Tn ? ?8 ? ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n ?1 ? 2 2 2 ? ? 2 2 2 2 1 n?2? ? 3 1 ? ?8 ? ? ? ? 4 ? ? ? n ? n ?1 ? 2 2 ? ? 4 2 ? 1? 1 ? ? ? 3 2 4 ? 1 ? 2 n ?3 ? n ? 2 ? 4n ?? ?? n ? ?8 ? ? ? ? ? n ?1 1 2 ? 4 ? 2 1? ? ? 2 ? ?

?Tn ?

8n .??????????????????????????????12分 2n
c 1 c2 a 2 ? b2 1 4 ? ,? e 2 ? 2 ? ? , 即a 2 ? b 2 2 a 2 a a 4 3

21.解: ?1?由题意知e ? 又b ? 0?0? 6 1 ? ? ?1?
2

? 3,? a 2 ? 4, b 2 ? 3 x2 y 2 ? ? 1???????????????????? 4分 4 3

? 椭圆的标准方程是

(2)证明:由题意知直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 4)
? y ? k ( x ? 4) ? 由 ? x2 得: (4k 2 ? 3) x 2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 12 ? 0 y2 ? ?1 ? 3 ? 4 1 由 ? ? (?32k 2 ) 2 ? 4(4k 2 ? 3)(64k 2 ? 12) ? 0 得: k 2 ? 4 32k 2 64k 2 ? 12 ,x1 x2 ? 设 A(x1,y1),B (x2,y2),则 x1 ? x2 ? 2 4k ? 3 4k 2 ? 3

①…………… 6 分

? B、E两点关于x轴对称, ? E ? x2 , ? y2 ?

…………………… …12 分

22. 解 (1)∵f′(x)=ln x+1, ∴k=f′(1)=1,f(1)=0,
∴所求的切线方程为 y=x-1. …………………………………………………………… 2分 (2)f′(x)=ln x+a(x>0). - 由 f′(x)=0 得 x=e a. - 由 x∈(0,e a),f′(x)<0,f(x)为减函数; -a 当 x∈(e ,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数,

1 ? 1 - ?1? a-2 ①当 e a< ,即 a>1 时,f(x)在? ?e ,e?上为增函数,f(x)min=f?e ?= e ; e 1 -a? 1 - -a ②当 ≤e a≤e,即-1≤a≤1 时,f(x)在? ?e,e ?上为减函数,在[e ,e]上为增函数, e - - f(x)min=f(e a)=-e a; 1 ? - ③当 e a>e,即 a<-1 时,f(x)在? ?e ,e?上为减函数,f(x)min=f(e)=ea. 综 上 所 述 , f(x)min





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