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江苏省南通市2016届高考数学一模试卷 Word版含解析


2016 年江苏省南通市高考数学一模试卷

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1.已知集合 A={x|﹣1<x<2},B={﹣1,0,1},A∩B= 2.若复数 z=a+2i(i 为虚数单位,a∈R)满足|z|=3,则 a 的值为 . .

3.从 1,2,3,4 这四个数中依次随机地取 2 个数,则所取

2 个数的乘积为偶数的概率 是 .

4.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 S 为

5.为了了解居民家庭网上购物消费情况,某地区调查了 10000 户家庭的月消费金额(单位: 元) ,所有数据均在区间上,其频率分布直方图如图所示,则被调查的 10000 户家庭中,有 户月消费额在 1000 元以下

6.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=3,S4=15,则 S6= 7.在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 条渐近线方程为 ,则该双曲线的方程为 .

. 过点 P(1,1) ,其一

8.已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,点 E 是棱 B1B 的中点,则三棱锥 B1﹣ADE 的体积 为 .

-1-

9.若函数 f(x)=

(a,b∈R)为奇函数,则 f(a+b)的值为



10.已知

,则

的值是



11.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(1,0) ,B(4,0) .若直线 x﹣y+m=0 上存在点 P 使得 PA= PB,则实数 m 的取值范围是 12.已知边长为 6 的正三角形 ABC, 为 . . ,AD 与 BE 交点 P,则 的值

13.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 1 与曲线 y=x2(x>0)和 y=x3(x>0)均相切,切点分 别为 A(x1,y1)和 B(x2,y2) ,则
2

的值为



14.已知函数 f(x)=2ax +3b(a,b∈R) ,若对于任意 x∈,都有|f(x)|≤1 成立,则 ab 的最大值是 .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 15.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, (a+b﹣c) (a+b+c)=ab. (1)求角 C 的大小; (2)若 c=2acosB,b=2,求△ABC 的面积. 16.如图,在直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是菱形,点 E 是 A1C1 的中点.求证: (1)BE⊥AC; (2)BE∥平面 ACD1.

-2-

17.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆

过点 A(2,1) ,离心

率为



(1)求椭圆的方程; (2)若直线 l:y=kx+m(k≠0)与椭圆相交于 B,C 两点(异于点 A) ,线段 BC 被 y 轴平分, 且 AB⊥AC,求直线 l 的方程.

18. 如图, 阴影部分为古建筑物保护群所在地, 其形状是以 O1 为圆心, 半径为 1km 的半圆面. 公 路 l 经过点 O,且与直径 OA 垂直,现计划修建一条与半圆相切的公路 PQ(点 P 在直径 OA 的 延长线上,点 Q 在公路 l 上) ,T 为切点. (1)按下列要求建立函数关系: ①设∠OPQ=α (rad) ,将△OPQ 的面积 S 表示为 α 的函数; ②设 OQ=t(km) ,将△OPQ 的面积 S 表示为 t 的函数. (2)请你选用(1)中的一个函数关系,求△OPQ 的面积 S 的最小值.

19.已知函数 f(x)=a+ (1)求 f(x)的单调区间;

lnx(a∈R) .

(2)试求 f(x)的零点个数,并证明你的结论. 20.若数列{an}中存在三项,按一定次序排列构成等比数列,则称{an}为“等比源数列” (1)已知数列{an}中,a1=2,an+1=2an﹣1. ①求{an}的通项公式;

-3-

②试判断{an}是否为“等比源数列”,并证明你的结论. (2)已知数列{an}为等差数列,且 a1≠0,an∈Z(n∈N*) ,求证:{an}为“等比源数列”

【选做题】在 21、22、23、24 四小题中只能选做两题,每小题 10 分,共计 20 分.解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21.如图,圆 O 的直径 AB=10,C 为圆上一点,BC=6.过 C 作圆 O 的切线 l,AD⊥l 于点 D,且 交圆 O 于点 E,求 DE 长.

22.已知矩阵

,求逆矩阵 M﹣1 的特征值.

23.在极坐标系中,已知点

,圆 C 的方程为 (圆心为点 C) ,求直线 AC 的极坐标方程.

24.已知 a≥0,b≥0,求证:a6+b6≥ab(a4+b4) .

【必做题】第 25 题、第 26 题,每题 10 分,共计 20 分.解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 25.如图,在四棱锥 S﹣ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,SA⊥平面 ABCD,AB=1,AD=AS=2,P 是 棱 SD 上一点,且 .

(1)求直线 AB 与 CP 所成角的余弦值; (2)求二面角 A﹣PC﹣D 的余弦值.

-4-

26.已知函数 f0(x)=x(sinx+cosx) ,设 fn(x)是 fn﹣1(x)的导数,n∈N*. (1)求 f1(x) ,f2(x)的表达式; (2)写出 fn(x)的表达式,并用数学归纳法证明.

-5-

2016 年江苏省南通市高考数学一模试卷 参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1.已知集合 A={x|﹣1<x<2},B={﹣1,0,1},A∩B= {0,1} . 【考点】交集及其运算. 【分析】直接根据交集的定义即可求出. 【解答】解:集合 A={x|﹣1<x<2},B={﹣1,0,1}, 则 A∩B={0,1}, 故答案为:{0,1}.

2.若复数 z=a+2i(i 为虚数单位,a∈R)满足|z|=3,则 a 的值为 ± 【考点】复数求模. 【分析】根据复数的运算性质得到 a +4=9,解出即可. 【解答】解:若复数 z=a+2i(i 为虚数单位,a∈R)满足|z|=3, 即 a +4=9,解得:a=± 故答案为:± .
2 2





3. 从 1, 2, 3, 4 这四个数中依次随机地取 2 个数, 则所取 2 个数的乘积为偶数的概率是 【考点】古典概型及其概率计算公式.



【分析】列举可得共 6 种情形,其中满足所取 2 个数的乘积为偶数的有 5 种情形,由概率公 式可得. 【解答】解:从 1,2,3,4 这 4 个数中依次随机地取 2 个数有 (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,3) , (2,4) , (3,4)共 6 种情形, 其中满足所取 2 个数的乘积为偶数的有(1,2) , (1,4) , (2,3) , (2,4) , (3,4) ,共 5 种 情形, ∴所求概率 ,

-6-

故答案为:

4.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 S 为 14

【考点】伪代码. 【分析】根据伪代码所示的顺序,逐框分析程序中各变量、各语句的作用,一直求出不满足 循环条件时 S 的值. 【解答】解:模拟执行程序,可得 S=0,I=1, 满足条件 S≤10,执行循环,S=1,I=2, 满足条件 S≤10,执行循环,S=1+2 =5,I=3, 满足条件 S≤10,执行循环,S=1+22+32=14,I=4, 不满足条件 S≤10,退出循环,输出 S 的值为 14. 故答案为:14.
2

5.为了了解居民家庭网上购物消费情况,某地区调查了 10000 户家庭的月消费金额(单位: 元) , 所有数据均在区间上, 其频率分布直方图如图所示, 则被调查的 10000 户家庭中, 有 750 户月消费额在 1000 元以下

-7-

【考点】频率分布直方图. 【分析】直方图中小矩形的面积表示频率,即可求出答案. 【解答】解:由直方图可得 1000 元以下共有 10000×(0.00005+0.0001)×500=750 户, 故答案为:750.

6.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=3,S4=15,则 S6= 【考点】等比数列的性质;等比数列的前 n 项和. 【分析】直接利用等比数列的性质,求解即可. 【解答】解:等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=3,S4=15,

63 .

所以 S2,S4﹣S2,S6﹣S4,也是等比数列, (S4﹣S2) =S2?(S6﹣S4) , 即 122=3?(S6﹣15) , 解得 S6=63 故答案为:63.

2

-8-

7.在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 过点 P(1,1) ,其一条渐近线方程 为 ,则该双曲线的方程为 2x2﹣y2=1 .

【考点】双曲线的标准方程. 【分析】根据题意和双曲线的渐近线方程列出方程组,求出 a 和 b 的值,即可求出双曲线的 方程.
2 2

【解答】解:由题意可得,



解得

,b =1,
2 2

2

所以双曲线的方程为 2x ﹣y =1, 故答案为:2x ﹣y =1.
2 2

8.已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,点 E 是棱 B1B 的中点,则三棱锥 B1﹣ADE 的体积为 . 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【分析】由题意,三棱锥 B1﹣ADE 的体积=三棱锥 D﹣B1AE 的体积,即可得出结论. 【解答】解:由题意,三棱锥 B1﹣ADE 的体积=三棱锥 D﹣B1AE 的体积 = 故答案为: . = .

-9-

9.若函数 f(x)= 的值为 ﹣1 . 【考点】函数的值;分段函数的应用.

(a,b∈R)为奇函数,则 f(a+b)

【分析】由已知中函数 f(x)为奇函数,f(﹣x)=﹣f(x)恒成立,可得 a,b 的值,进而 可得 f(a+b)的值. 【解答】解:∵函数 f(x) = 故 f(﹣x)=﹣f(x)恒成立, 故 .即 , = 为奇函数,

∴f(x)= ∴f(a+b)=f(1)=1﹣2=﹣1, 故答案为:﹣1.



10.已知

,则 的值是 .

【考点】两角和与差的正弦函数;三角函数中的恒等变换应用. 【分析】由条件利用诱导公式,同角三角的基本关系,化简要求的式子可得结果. 【解答】解:∵已知 ,则 =﹣sin(x+ + =﹣sin(x+ 故答案为: . )+1﹣ =﹣ +1﹣ = , )

- 10 -

11.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(1,0) ,B(4,0) .若直线 x﹣y+m=0 上存在点 P 使得 PA= PB,则实数 m 的取值范围是 .

【考点】两点间距离公式的应用. 【分析】设 P(x,x+m) ,由 PA= (x+m)2=4﹣x2,可得:m=﹣x± 【解答】解:设 P(x,x+m) ,∵PA=
2 2 2

PB,可得 4|PA|2=|PB|2,利用两点之间的距离公式化为: ,x∈.通过三角函数代换即可得出. PB,∴4|PA|2=|PB|2,
2

∴4(x﹣1) +4(x+m) =(x﹣4) +(x+m) , 化为(x+m) =4﹣x , ∴4﹣x ≥0,解得 x∈, ∴m=﹣x± 令 x=2cosθ ,θ ∈, ∴m=﹣2cosθ ±2sinθ = 实数 m 的取值范围是 故答案为: . ∈ , , ,
2 2 2

12.已知边长为 6 的正三角形 ABC, 交点 P,则 的值为 3 .

,AD 与 BE

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】由题意作图辅助,从而可得点 P 是正三角形 ABC 的中心,从而可求平面向量的数量 积. 【解答】解:由题意作图如右图, ∵ ∴D,E 分别为线段 BC,AC 的中点, ∴点 P 是正三角形 ABC 的中心, ∴| |= ?|BE|= ? ?|AB|=2 , ,

- 11 -

|

|=

|BP|= , =|



且∠BPD= 故 故答案为:3.

||

|cos

=6×

=3,

13.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 1 与曲线 y=x (x>0)和 y=x (x>0)均相切,切点分 别为 A(x1,y1)和 B(x2,y2) ,则 【考点】抛物线的简单性质.
- 12 -

2

3

的值为



【分析】求出导数得出切线方程,即可得出结论. 【解答】解:由 y=x2,得 y′=2x,切线方程为 y﹣x12=2x1(x﹣x1) ,即 y=2x1x﹣x12, 由 y=x3,得 y′=3x2,切线方程为 y﹣x23=3x22(x﹣x2) ,即 y=3x22x﹣2x23, ∴2x1=3x22,x12=2x23, 两式相除,可得 = .

故答案为:



14.已知函数 f(x)=2ax +3b(a,b∈R) ,若对于任意 x∈,都有|f(x)|≤1 成立,则 ab 的最大值是 .

2

【考点】函数的值;二次函数的性质. 【分析】由对于任意 x∈,都有|f(x)|≤1 成立,可得(a,b)对应的可行域,进而根据基 本不等式得到 ab 的最大值. 【解答】解:函数 f(x)=2ax +3b 图象的顶点为(0,3b) , 若若对于任意 x∈,都有|f(x)|≤1 成立, 则 其对应的平面区域如下图所示: ,
2

令 Z=ab,则在第一,三象限 a,b 同号时 ab 取最大值, 由 2a+3b=1,a>0,b>0 得:ab≤ 故答案为: = ,

- 13 -

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 15.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, (a+b﹣c) (a+b+c)=ab. (1)求角 C 的大小; (2)若 c=2acosB,b=2,求△ABC 的面积. 【考点】余弦定理. 【分析】 (1)利用余弦定理表示出 cosC,把已知等式整理后代入计算求出 cosC 的值,即可确 定出 C 的度数. (2)由正弦定理可得 sin(A+B)=2sinAcosB,由两角和的正弦公式可求得 sin(A﹣B)=0, 根据﹣π <A﹣B<π ,可求 A﹣B=0,可得 a=b=2,利用三角形面积公式即可计算得解. 【解答】解: (1)在△ABC 中,∵(a+b﹣c) (a+b+c)=ab, ∴(a+b) ﹣c =ab,即 a +b ﹣c =﹣ab, ∴cosC= ∵C 为三角形内角, ∴C= . =﹣ ,
2 2 2 2 2

(2)∵c=2acosB, ∴由正弦定理可得 sin(A+B)=2sinAcosB,由两角和的正弦公式可得 sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB, ∴sin(A﹣B)=0,又﹣π <A﹣B<π , ∴A﹣B=0,可得:a=b=2, ∴S△ABC= absinC= = .

16.如图,在直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是菱形,点 E 是 A1C1 的中点.求证: (1)BE⊥AC; (2)BE∥平面 ACD1.

- 14 -

【考点】直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性质. 【分析】 (1)推导出 BA1=BC1,点 E 是 A1C1 的中点,从而 BE⊥A1C1,由此能证明 BE⊥AC. (2)连结 B1D1,交 A1C1 于点 E,连结 AC,BD,交于点 O,连结 OD1,推导出四边形 BED1O 是平 行四边形,由此能证明 BE∥平面 ACD1. 【解答】证明: (1)∵在直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是菱形, ∴BA1=BC1, ∵点 E 是 A1C1 的中点, ∴BE⊥A1C1, ∵AC∥A1C1,∴BE⊥AC. (2)连结 B1D1,交 A1C1 于点 E,连结 AC,BD,交于点 O,连结 OD1, ∵在直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是菱形, ∴D1E BO,∴四边形 BED1O 是平行四边形,

∴BE∥OD1, ∵OD1? 平面 ACD1,BE?平面 ACD1, ∴BE∥平面 ACD1.

- 15 -

17. 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆

过点 A(2,1) ,离心率为 (1)求椭圆的方程;



(2)若直线 l:y=kx+m(k≠0)与椭圆相交于 B,C 两点(异于点 A) ,线段 BC 被 y 轴平分, 且 AB⊥AC,求直线 l 的方程.

【考点】直线与圆锥曲线的关系. 【分析】 (1)由椭圆的离心率公式及 b2=a2﹣c2,及点 A(2,1) ,联立即可求得 a,b 及 c 的值, 即可求得椭圆方程; (2)将直线方程代入椭圆方程,求得关于 x 的一元二次方程,利用韦达定理求得 xB+xC=﹣ ,根据线段 BC 被 y 轴平分,即 xB+xC=0,即可求得 m 的值,根据向量的坐标表 示求得 k 的值. 【解答】解: (1)由条件知椭圆 离线率 ? =0,即可求得 k 的值,将点 A 代入直线方程,当 k= ,不满足,故求得

e=

=



∴b2=a2﹣c2=

a2, 将点 A (2, 1) , 代入椭圆方程得

解得



故椭圆方程为:


2 2

(2)将直线 l:y=kx+m(k≠0)代入椭圆方程,x +4(kx+m) ﹣8=0, 整理得: (1+4k2)x2+8mkx+4m2﹣8=0, 线段 BC 被 y 平分得:xB+xC=﹣ k≠0,m=0, =0,

- 16 -

∴B,C 关于原点对称,设 B(x,kx) ,C(﹣x,﹣kx) , ∴x2= ,

又∵AB⊥AC,A(2,1) , ∴ ? =(x﹣2) (﹣x﹣2)+(kx﹣1) (﹣kx﹣1)=5﹣(1+k )x =5﹣ =0,
2 2

解得 k=± 由 k=

, x 过点 A(2,1)故 k= x. 不符合题意,

,直线 y=

所以,此时直线 l 的直线方程 y=﹣

18. 如图, 阴影部分为古建筑物保护群所在地, 其形状是以 O1 为圆心, 半径为 1km 的半圆面. 公 路 l 经过点 O,且与直径 OA 垂直,现计划修建一条与半圆相切的公路 PQ(点 P 在直径 OA 的 延长线上,点 Q 在公路 l 上) ,T 为切点. (1)按下列要求建立函数关系: ①设∠OPQ=α (rad) ,将△OPQ 的面积 S 表示为 α 的函数; ②设 OQ=t(km) ,将△OPQ 的面积 S 表示为 t 的函数. (2)请你选用(1)中的一个函数关系,求△OPQ 的面积 S 的最小值.

【考点】弧度制的应用;函数解析式的求解及常用方法;三角函数的最值. 【分析】 (1)结合图形,①用 sinα 求出 PO1、OP 以及 OQ 的值,计算△OPQ 的面积 S 即可; ②设 OQ=t(km) ,∠OQP=2θ ,用 tanθ 表示出 OP,再计算△OPQ 的面积 S;

- 17 -

(2)用(1)中②函数关系 S= ﹣x3, 求出 f(x)的最大值即可求出 S 的最小值.

=

,设 x=

,函数 f(x)=x

【解答】 解: (1) 如图所示,

①设∠OPQ=α (rad) , 则 sinα = ∴PO1= OP=1+ OQ=OP?tanα =(1+ ∴△OPQ 的面积 S= ?tanα = ? OP?OQ= , , , )?tanα ; ?(1+ ?tanα ; ) (1+ )

②设 OQ=t(km) ,∠OQP=2θ , 则 tanθ = ,

tan2θ =

=

=



∴OP=OQ?tan2θ =



∴△OPQ 的面积 S=

OP?OQ=

?

?t=



(2)用(1)中②函数关系,S=

=



- 18 -

设 x=

>0,函数 f(x)=x﹣x , (x>0) ;

3

则 f′(x)=1﹣3x2, 令 f′(x)=0,解得 x= ∴x∈(0, x∈( ∴当 x= ;

)时,f′(x)>0,f(x)是增函数, ,+∞)时,f′(x)<0,f(x)是减函数; 时,f(x)取得最大值是 f( )= ;

∴△OPQ 的面积 S 的最小值是

=



19.已知函数 f(x)=a+ (1)求 f(x)的单调区间;

lnx(a∈R) .

(2)试求 f(x)的零点个数,并证明你的结论. 【考点】利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理. 【分析】 (1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,从而求出函数的单调区间; (2)求出函数的最小值,通过讨论 a 的范围,从而求出函数的零点的个数即可. 【解答】解: (1)函数 f(x)的定义域是(0,+∞) , f′(x)=( )′lnx+
﹣2

?

=


﹣2

令 f′(x)>0,解得:x>e ,令 f′(x)<0,解得:0<x<e , ∴f(x)在(0,e﹣2)递减,在(e﹣2,+∞)递增; (2)由(1)得:f(x)min=f(e﹣2)=a﹣ 显然 a> a= a< 时,f(x)>0,无零点, ,

时,f(x)=0,有 1 个零点, 时,f(x)<0,有 2 个零点.

20.若数列{an}中存在三项,按一定次序排列构成等比数列,则称{an}为“等比源数列” (1)已知数列{an}中,a1=2,an+1=2an﹣1.

- 19 -

①求{an}的通项公式; ②试判断{an}是否为“等比源数列”,并证明你的结论. (2)已知数列{an}为等差数列,且 a1≠0,an∈Z(n∈N*) ,求证:{an}为“等比源数列” 【考点】数列的应用. 【分析】 (1)①由 an+1=2an﹣1,可得 an+1﹣1=2(an﹣1) ,利用等比数列的通项公式即可得出. ②假设{an}为“等比源数列”,则此数列中存在三项:ak<am<an,k<m<n.满足 代入化为:2m﹣k+1(2m﹣2+1)=2n﹣1+2n﹣k+1,利用数的奇偶性即可得出. (2) 设等差数列{an}的公差为 d, 假设存在三项使得 , (k<n<m) . 展开: =akan,

2a1(n﹣1)+(n﹣1)2d=a1+(k﹣1) (m﹣1)d,当 n﹣1 既是(k﹣1)与 m﹣1 的等比中项, 又是(k﹣1)与 m﹣1 的等差中项时,原命题成立. 【解答】解: (1)①∵an+1=2an﹣1,∴an+1﹣1=2(an﹣1) , ∴数列{an﹣1}是等比数列,首项为 1,公比为 2. ∴an﹣1=2 ∴an=2
n﹣1 n﹣1



+1.

②假设{an}为“等比源数列”, 则此数列中存在三项:ak<am<an,k<m<n. 满足 =akan,

∴(2m﹣1+1)2=(2k﹣1+1) (2n﹣1+1) , 化为:2
2m﹣2

+2 =2

m

k+n﹣2

+2

n﹣1

+2

k﹣1



∴2m﹣k+1(2m﹣2+1)=2n﹣1+2n﹣k+1, 可知:左边为偶数,而右边为奇数,因此不可能成立. 故{an}不是“等比源数列”. (2)设等差数列{an}的公差为 d, 则 an=a1+(n﹣1)d,a1≠0,an∈Z(n∈N*) , 假设存在三项使得 ∴ , (k<n<m) . =,

展开:2a1(n﹣1)+(n﹣1)2d=a1(k﹣1)+(m﹣1)+(k﹣1) (m﹣1)d, 当 n﹣1 既是(k﹣1)与 m﹣1 的等比中项,又是(k﹣1)与 m﹣1 的等差中项时,原命题成立.

- 20 -

【选做题】在 21、22、23、24 四小题中只能选做两题,每小题 10 分,共计 20 分.解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21.如图,圆 O 的直径 AB=10,C 为圆上一点,BC=6.过 C 作圆 O 的切线 l,AD⊥l 于点 D,且 交圆 O 于点 E,求 DE 长.

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】由题意 AC⊥BC,AC= =8,由已知得 Rt△ACD∽Rt△ABC,从而

AD=6.4,利用切割线定理、勾股定理,由此能求出 DE 的长. 【解答】解:由题意 AC⊥BC.AC= =8,

∵过 C 作圆的切线 l,过 A 作 l 的垂线 AD,垂足为 D,AD 交圆与 E, ∴∠ACD=∠ABC,∴Rt△ACD∽Rt△ABC, ∴ ∴AD=
2

=

, =6.4
2 2

又 DC =DE?6.4,DC +6.4 =64, 解得 DE=3.6.

22.已知矩阵 【考点】逆变换与逆矩阵.

,求逆矩阵 M﹣1 的特征值.

【分析】先求矩阵 M 的行列式,进而可求其逆矩阵,令矩阵 M﹣1 的特征多项式等于 0,即可求 得矩阵 M﹣1 的特征值. 【解答】解:矩阵 M 的行列式为=1×2﹣2×0=2,

- 21 -

∴矩阵 M 的逆矩阵 M﹣1=



矩阵 M﹣1 的特征多项式为 f(λ )=(λ ﹣ 令 f(λ )=0 可得 λ = 即矩阵 M﹣1 的特征值为 或 λ =1 或 1.

) (λ ﹣1)=0

23.在极坐标系中,已知点

,圆 C 的方程为 (圆心为点 C) ,求直线 AC 的极坐标方程.

【考点】简单曲线的极坐标方程. 【分析】先求出直线 AC 的直角坐标方程,再转化为极坐标方程. 【解答】解:点 A 的直角坐标为 A( 圆 C 的普通方程为 x +y ﹣4 ∴圆 C 的圆心为 C(0,2 ∴直线 AC 的方程为 ∴直线 AC 的极坐标方程为 ρ cosθ +ρ sinθ ﹣2
2 2


2

) . ) =8.
2

y=0,即 x +(y﹣2 ) .

,即 x+y﹣2 .

=0.

24.已知 a≥0,b≥0,求证:a6+b6≥ab(a4+b4) . 【考点】不等式的证明. 【分析】利用作差法,通过分类讨论判断即可. 【解答】证明:a6+b6﹣ab(a4+b4)=(a﹣b) (a5﹣b5) , 当 a≥b≥0 时, a ≥b , a﹣b≥0, a ﹣b ≥0, 可得 (a﹣b) (a ﹣b ) ≥0. 所以 a +b ≥ab (a +b ) . 当 0≤a<b 时, a <b , a﹣b<0, a ﹣b <0, 可得 (a﹣b) (a ﹣b ) >0. 所以 a +b >ab (a +b ) . 综上 a≥0,b≥0,a6+b6≥ab(a4+b4) .
5 5 5 5 5 5 6 6 4 4 5 5 5 5 5 5 6 6 4 4

- 22 -

【必做题】第 25 题、第 26 题,每题 10 分,共计 20 分.解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 25.如图,在四棱锥 S﹣ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,SA⊥平面 ABCD,AB=1,AD=AS=2,P 是 棱 SD 上一点,且 .

(1)求直线 AB 与 CP 所成角的余弦值; (2)求二面角 A﹣PC﹣D 的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法;异面直线及其所成的角. 【分析】 (1)以 A 为原点,AB 为 x 轴,AD 为 y 轴,AS 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用向 量法能求出直线 AB 与 CP 所成角的余弦值. (2)求出平面 APC 的法向量和平面 PCD 的法向量,利用向量法能求出二面角 A﹣PC﹣D 的余 弦值. 【解答】解: (1)以 A 为原点,AB 为 x 轴,AD 为 y 轴,AS 为 z 轴,建立空间直角坐标系, A(0,0,0) ,B(1,0,0) ,C(1,2,0) ,S(0,0,2) ,D(0,2,0) ,设 P(a,b,c) , ∵ , ∴(a,b,c﹣2)= (﹣a,2﹣b, ﹣c)=(﹣ ,1﹣ ,﹣ ) ,



,解得 a=0,b=

,c=

,∴P(0,



) ,

=(1,0,0) ,

=(﹣1,﹣



) ,

设直线 AB 与 CP 所成角为 θ , cosθ =|cos< >

|=

=

=



- 23 -

∴直线 AB 与 CP 所成角的余弦值为 (2) =(1, ,﹣ ) ,

. =(0,﹣ ,﹣ ) , =(0, ,﹣ ) ,

设平面 APC 的法向量

=(x,y,z) ,



,取 y=2,得

=(﹣4,2,﹣1) ,

设平面 PCD 的法向量

=(a,b,c) ,



,取 b=1,得

=(0,1,1) ,

设二面角 A﹣PC﹣D 的平面角为 θ , 则 cosθ = = = .

∴二面角 A﹣PC﹣D 的余弦值为



- 24 -

26.已知函数 f0(x)=x(sinx+cosx) ,设 fn(x)是 fn﹣1(x)的导数,n∈N . (1)求 f1(x) ,f2(x)的表达式; (2)写出 fn(x)的表达式,并用数学归纳法证明. 【考点】数学归纳法;导数的运算. 【分析】 (1)根据导数的运算法则求导即可, (2) 先利用诱导公式, 猜想猜想 fn (x) = (x+n) sin (x+ (*) ,再根据数学归纳法证明即可. 【解答】解: (1)f1(x)=f0′(x)=(sinx+cosx)+x(cosx﹣sinx)=(x﹣1)sin(﹣x) +(x+1)cosx, f2(x)=f1′(x)=﹣sinx+(1﹣x)cosx+cosx﹣(1+x)sinx=﹣(2+x)sinx﹣(x﹣2)cosx, (2)由(1)得 f3(x)=f2′(x)=﹣(3+x)cosx+(x﹣3)sinx, ) + (x﹣n) cos (x+ )

*

- 25 -

把 f1(x) ,f2(x) ,f3(x) , f1(x)=(x+1)sin(x+ f2(x)=(x+2)sin(x+ f3(x)=(x+3)sin(x+ 猜想 fn(x)=(x+n)sin(x+ 下面用数学归纳法证明上述等式, ①当 n=1 时,由(1)可知,等式(*)成立, ②假设当 n=k 时, 等式 (*) 成立, 即 f( = (x+k) sin (x+ k x) 则当 n=k+1 时, fk+1 (x) =fk′ (x) =sin (x+ +(x﹣k) , =(x+k+1)cos(x+ =(x+k+1)sin(x+ )+, π )+cos(x+ π) , ) + (x+k) cosx+ ) + (x﹣k) cos (x+ ) +cos (x+ ) , ) )+(x﹣1)cos(x+ )+(x﹣2)cos(x+ )+(x﹣2)cos(x+ )+(x﹣n)cos(x+ ) , ) , ) , ) (*) ,

即当 n=k+1 时,等式(*)成立 综上所述,当 n∈N ,fn(x)=(x+n)sin(x+
*

)+(x﹣n)cos(x+

)成立.

- 26 -

2016 年 8 月 22 日

- 27 -


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