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极坐标和参数方程


*第十章
? 第一节 ? 第二节

极坐标和参数方程
极坐标 参数方程

?*第三节

数学实验二 利用
Mathematic绘制一元函数图形

第一节



坐 标

我们知道可以利用直角坐标系来表示平面上

点的位置和 一些曲线的方程,但在有些具体问题中这并不方便.例如,雷达 兵在报告雷达发现的飞机的位置时,只需指出飞机的方向和 距离.像这种利用方向和距离来确定平面上点的位置的坐标 系就是极坐标系.本节介绍极坐标系的概念和曲线的极坐标 方程.

一、极坐标的概念
1.平面上点的极坐标

如图10 ? 1所示, 在平面上取一定点O,从O引一条射线Ox,再 取定一个单位长度并规定角旋转的正方向(通常以逆时针方向 为正),这样就构成了一个极坐标系.O点称为极点,射线Ox称为 极轴.
M ? ? ,? ? ?

?

O?

?
x

图10-1 极坐标系图形示意

设 M 为平面上任意一点,连接 OM , 令 OM ? ? , ? 表示从 Ox 到 OM 的角. ? 称为点 M 的极径, ? 称为点 M 的极角这一对有序实数 . ? 与 ? , 称为点 M 的极坐标, 记作 : M ? ? , ? ? .
当 ? ? 0 时, 不论 ? 取什么值,

? ? 0 时, 不论 ? 取什么正值,当

? 0, ? ? 都表示极点.当 ? ? , 0 ? 都在极轴上.

当? ? 0, 0 ? ? ? 2? 时, 对于平面上任意一点 M 一对实数 M

?除极点外? ,

都可以找到惟一的一对实数 ? ? , ? ? 与之对应;反过来,对于任意

? ? ,? ? ,

也总可以在平面上找到惟一的一点 M 与之

对应.也就是说,当 ? 和 ? 在上述范围内取值的, 平面上的点

?除极点外? 与实数对 ? ? , ? ? 之间具有一一对应的关系.

例如,如图10-2所示,当? ? 0, 0 ? ? ? 2? 时, 点M 1和M 2的极坐标 ? ?? ? ?? ? 3 ? ? 11 ? 分别为 ? 3, ? 和 ? 1, ? , 而极坐标为? 3, ? ? 和 ? 2, ? ? 所对应的点 ? 6? ? 2? ? 4 ? ? 6 ? 分别是M 3和M 4 .
3? 4

? 2
M3

?

? 6
M1

?
O

M2

?

M4

?

x

11 ? 6

图10 ? 2 M 1 , M 2 , M 3 , M 4的极坐标

由于实际应用的需要, 极径? 和极角?也可以取负值当 . ? ?0 时, 规定在角?的终边上取点M , 使 OM ? ? , 如图10 ? 3(a)所示;当

? ? 0时, 则在角?的终边的反向延长线上取点M ,使 OM ? ? , 如
图10 ? 3(b)所示;当? ? 0时, 极轴按逆时针方向旋转;当? ? 0时, 极 轴按顺时针方向旋转.
M ? ? ,? ?

?

?

?
O
x

?
M ? ? ,? ?

O

x

? ?0 ? ?0

? ?0 ? ?0

图10 ? 3

极径? 和极角?的不同取值

?? ?? 3 ? 7 ? ? ? ? ? 例如,点M 1 ? ?2, ? , M 2 ? ?1, ? ? , M 3 ? ?3, ? ? , M 4 ? ?4, ? ? 6? 2? 4 ? 6 ? ? ? ? ? 在极坐标系内的位置如图10 ? 4所示.
3? 4

y
M4

?

? 6

3? 4

M2 ?
M1

? O ?M 3

x

O

x

7? 6

?M
?

?

? 2

? 4

图10 ? 4 点M 1 , M 2 , M 3 , M 4 在极坐标系内的位置

图10-5 点M的极坐标

由此可知,在这样的规定下,对于任意一对有序实数 ? ? , ? ? , 仍然可以在平面上确定惟一的点 M , 但是反过来,平面上任意 一点却对应着无限多对实数,它们都是这个点的极坐标.例如, 3 ? ? 7 ? ? 3 ? ? 图10-5中点 M 的极坐标可以是 ? 3, ? ? ? , ? 3, ? ? , ? ?3, ? ? , 4 ? ? 4 ? ? 4 ? ? ? ? 11 ? ? ? ? 3, ? , . 一般说来 , 点 M 的极坐标可以写为 3,? 2 k ? ? ? ? ? 4 ? 4 ? ? ? ? ? ? 或 ? ?3, ? ? ? 2k ? 1? ? ? , 其中k ? Z , 这种点与坐标之间的非一 4 ? ? 一对应关系是极坐标不同于直角坐标的地方.

由于 ? - ? , ? ? ? ? 可用? ? , ? ? 来表示因此 . , 可将? ? 0的情形转 化为? ? 0的情形来处理.除非必要,?一般不取负值.

2.极坐标和直角坐标的互化 极坐标系和直角坐标系是 两种不同的坐标系,同一个点可以用极坐标表示,也可以用 直角坐标表示.为了研究问题方便,有时需要把它们进行互化.
如图10 ? 6所示, 把直角坐标系的原点作为极点, x轴的非负 半轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同单位长度.
y
M ? x, y ? ? ? ,? ?

?

y
x x

?
O

图10-6 直角坐标系与极坐标系的关系

设M 是平面上任意一点,它的直角坐标是 ? x,y ? , 极坐标是

? ? , ? ? .显然可知 :
x ? ? cos ? y ? ? sin ?

?10 ? 1?

利用公式 ?10 ? 1? , 可以把点M的极坐标化为直角坐标.(!公 式借助图形记忆. )

?? ? 例1 设点 M 的极坐标为 ? 5,- ? , 求它的直角坐标. 3? ? 解 由公式 ?10-1? , 可得 :
? ?? 5 x ? 5cos ? ? ? ? , ? 3? 2

5 3 ? ?? y ? 5sin ? ? ? ? ? . 2 ? 3?

?5 5 3? 于是得点M 的直角坐标为? , ? ? .我们也可以把点M 的 2 ? ?2 直角坐标化为极坐标,由公式 ?10 ? 1? 变化可得 :

? 2 ? x2 ? y 2
y tan ? ? ? x ? 0 ? x

?10 ? 2 ?

为了使点M ? 极点除外?的极坐标惟一确定,一般可取? ? 0, 0 ? ? ? 2? .在由 tan ?的值确定?时, 应该根据点M 所在的象限决 定恰当的? .

例2 设点M的直角坐标为?1,-1? , 求它的极坐标.

解 由公式 ?10-2? 可得 :
?1 tan ? ? ? ?1. ? ? 1 ? ? ?1? ? 2, 1 7 因为点M ?1, ?1? 在第IV象限,所以? ? ? , 于是可得点M 的 4 7 ? ? 极坐标为? 2, ? ? . 4 ? ?
2 2

二、曲线的极坐标方程
1.曲线的极坐标方程的概念 在平面上的一条曲线, 在

直角坐标系中可以用含有 x 和 y 的方程来表示同样 . ,在极坐 标系中,曲线也可以用含有 ? 和 ? 的方程来表示.而且有些 曲线在直角坐标系中不容易用 x 和 y 的方程表示,但在极坐 标系中却可简单地用 ? 和 ? 的方程来表示.这就要求我们在 解决具体的曲线方程问题时, 选择建立恰当的坐标系来得出方 程.为了区别这两类曲线方程,我们将曲线在直角坐标系中得出 的方程称为直角坐标方程,而在极坐标系中得出的方程称为极坐 标方程. 利用点的直角坐标与极坐标间的互化公式,可将曲线的直
角坐标方程与极坐标方程进行互化.

例3 将等轴双曲线x 2 ? y 2 ? a 2 ? a ? 0 ? 化为极坐标方程.

解 由公式 ?10-1? , 将x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 代入方程, 得:

? 2 cos2 ? ? ? 2 sin 2 ? ? a2 , 所以 ? 2 ? cos2 ? ? sin 2 ? ? ? a2 .
所以? cos 2? ? a ,
2 2
2 a 即? 2 ? . cos 2?

这就是所给的等轴双曲线的极坐标方程.

例4 将圆x 2 ? y 2 ? 2ax ? 0 ? a ? 0 ? 化为极坐标方程.

解 由公式 ?10-1? , 可得 :

? 2 cos2 ? ? ? 2 sin 2 ? ? 2a? cos ? ? 0
所以 ? 2 ? 2a? cos ? ? 0, 所以 ? ? 0或? ? 2a cos ? ? 0.
因为? ? 0表示点圆, 与已知a > 0矛盾, 应舍去, 所以所求圆 的极坐标方程为? ? 2a cos ? ? a ? 0 ? .

例5 将? ? 2a sin ? ? a ? 0 ? 化为直角坐标方程, 并作出它的图像.
2 解 将方程 ? ? 2a sin ? 的两端乘以 ? , 得 : ? ? 2a? sin ?.

又因为 ? 2 ? x 2 ? y 2 , ? sin ? ? y, 所以 x 2 ? y 2 ? 2ay.


x ? ? y ? a ? ? a2 ? a ? 0?
2 2

y

显然, 这是一个圆心是c ? 0, a ? , 半径是 a 的圆, 如图10 ? 7所示.
c

x

O

图10-7 例5题图形

2.极坐标方程的作图 极坐标方程的作图与直角坐标方程、 函数的作图一样,都可用描点法.

例6 作出下列极坐标方程的图像. (1) ? ? a ? a ? 0 ? ; (2) ? ?

?
2

.
? ?a
x

解 (1)对于方程? ? a ? a ? 0 ? ,
可以看出, 当? 取任何值时, ?的 取值都是a,因此方程的图像是 以极点O为圆心,a为半径的圆
O
a

? a,0?

?图10-8 ? ;
图10 ? 8 例6题(1) ? ? a a ? 0 的图像

?

?

(2)对于方程? ? 是

?
2

, 可以看出, 当? 取任何值时, ?的取值都

?

2 ?图10-9 ? .

,因此方程的图像是通过极点O, 且垂直于极轴的直线BA

B

??
? 2

?
2

O

x

A

图10 ? 9 例6题(2) ? ?

?
2

图形

在极坐标系中, 有时方程的形式简单, 但所表示的曲线却比 较复杂.如果只用描点法,则需要求出曲线上相当多的点,才能 画出整个曲线.为了作图的方便,我们先来了解曲线对称性.

设M 1 ? ? , ? ? 是极坐标系中任意一点 ?图10 ? 10 ? , M 3 ? ? ? , ? ? 是M 1 ? ? , ? ? 关于极点的对称点; M 4 ? ? , ?? ? 是M 1 ? ? , ? ? 关于极 轴的对称点;M 2 ? ? ? , ?? ? 是 M 1 ? ? , ? ? 关于直线? ? 对称点.
O

??
M 2 ? ? ? , ?? ?

?
2
M1 ? ? , ? ?
x

?
2



M 3 ? ?? ,? ?

M 4 ? ? , ?? ?

图10-10 极坐标系中的对称关系

由以上点的对称关系, 可得到曲线? ? f ?? ?的对称关系见 表10-1.
表10 - 1 曲线? = f
条件 曲线的对称性

?? ? 的对称关系
条件 曲线的对称性
曲线关于? =

以 ? ? 代替? ,方程不变 以 ? ?代替?,方程不变

曲线关于极点对称 曲线关于极轴对称

以-? 代替? ,同时以-? 代替? ,方程不变

?
2

对称

例7 作出方程? ? a ?1 ? cos ? ?? a ? 0 ?的图像.

解 因为cos ? -? ? ? cos ? , 所以用-? 代替? , 方程不变,因此
这方程表示的曲线是关于极轴对称的.

将? ? 0 ? ? ? ? ? 与?的对应值列表如下? 表10-2? .
表10 - 2 ? 0 ? ? ? ? 与?的对应值
?
?
? 6
0.13a

?

?

0 0

? 4
0.29a

? 3
0.5a

? 2
a

2 ? 3

3 ? 4

5 ? 6

?
2a

1.5a

1.71a

1.87a

依照上表作出各点并连成光滑的曲线,再根据对称性就可 作出所给方程的全部图像(图10-11),这曲线称为心形线.
3? 4 5? 6 2? 3

? 2

? 3

? 4 ? 6

?

2a

O

x

图10-11 心形线

3.极坐标方程的建立 我们知道曲线可以看成是适合某种条

件的点的轨迹.如果在极坐标系内用流动坐标 ? ? , ? ? , 将满足的条 件表示成一个关系式? ? f ?? ? , 则这个关系式就是曲线的极坐标 方程. 例8 求经过点A ? a,0 ? 且a ? 0, 而和极轴垂直的直线的极坐
标方程. 解 如图10 -12所示,设M ? ? , ? ? 是直线上任意一点.连接OM ,

则OM =? , ?AOM ? ? .又因为 ?OAM ?

? M ? ? ,? ?

?
2

, 所以有cos? ?

a



?

,
O

?

?

?

a ?? cos ? 这就是所求直线的极坐标方程.

A ? a, 0 ?

x

图10-12 例8图形

例9 设有一圆经过极点O,圆心C在极轴上,半径为a,求它 的极坐标方程.

解 设 M ? ? , ? ? 是圆上任意一点 ?图10 ? 13? , 连接 OM 及
MA , 则 OM ? ? , ?AOM ? ? , 因为 ?OMA ? 所以 cos ? ?

?
2

, OA ? 2a,

?



2a ? ? 2a cos ?
O

,

? M ? ? ,? ?

?

这就是所求圆的极坐标 方程, 它与例4所化成的极坐 标方程一致.

?
C
A
x

图10-13 例9图形

*4.等速螺线及其方程 当一个动点沿着一条射线做等速 运动,而射线又绕着它的端点做等角速旋转时,这个动点的 轨迹叫做等速螺线(阿基米德螺线). 下面我们来建立等速螺线的极坐标方程.
如图10 ? 14所示,以射线l的端点为极点 O, 射线的初始位 置为极轴 Ox. 设曲线上动点M的坐标为 位置 M 0 的坐标为? ?0 , 0 ? , M 在 l 上运动的速度为
l

? ? ,? ? ,

动点在初始

? , l 绕 O 转动的角速度 为?.
可以得出, 经过时刻 t,M 点 的极径为: ? ? ?0 ? ?t
O

M ? ? ,? ?

?
x

M 0 ? ?0 , 0 ?

图10-14 等速螺线的极坐标系

极角为: ? ? ?t

? ? ? ? ? ?0 ? ? 所以 ? ? 令a ? , 得 : ? ? ?0 ? a? ? a, ?0为常数, 且a ? 0 ? . ? 这就是等速螺线的极坐标方程.
由于 t ?
如果?0 ? 0,即动点M由极点O开始运动,那么? ? a? .这时, 极 径?与极角?成正比.
下面我们来作等速螺线? ? a? ? a ? 0 ?的图像.

在方程中,以-? 代替? ,同时以 ? ? 代替? , 方程不变, 所以曲 线关于直线? ?

?
2

对称.

将? ?? ? 0? 与?的对应值列表如下? 表10 ? 3? .
表10 - 3 ? ? ? 0 与?的对应值
?
?
0 0

?

?

? 4

? 2

3 ? 4 3 ?a 4

?

5 ? 4 5 ?a 4

3 ? 2 3 ?a 2

? a 4

? a 2

?a

7 ? 4 7 ?a 4

2? 2? a

由上表取值可以看出, 当 ? ? 0 时, ? ? 0, 所以曲线由极点 开点, 又当 ? 增大时, ? 也随之 增大, ? 每转一圈增加 2? , ? 也相应增加 2a? . 依照表10 ? 3可 作出曲线如图10 ? 15所示,图中 虚线表示 ? 为负值时的曲线.
图10-15 等速螺线
D?

C ? O

?

B

?A
x

例10 如图10-16所示,一凸轮的轮廓线由CDE和ABC两段 曲线组成.C为启动时从动杆与凸轮的接触点,凸轮轴心O与C点 的距离为100mm.当凸轮按箭头方向做等角速转动时,要求: CDE段推动从动杆向右做等速直线运动,其最大推程为10mm; 当从动杆接触到轮廓线上点E时,由于弹簧的作用从动杆就向 左移动到A,开始与凸轮的ABC段相接触,从动杆接触ABC段时 不动,试求凸轮的轮廓线ABC段和CDE段的极坐标方程.
D

E

A

100 10 O C

B

图10-16 例10图形

解 取凸轮轴心 O 为极点,以 OC 为极轴,建立极坐标系.
因为CDE段的作用是将凸轮的等角速转动化为从动杆的等 速直线运动,故曲线为等速螺线,设CDE段的极坐标方程为 ? ? ?0 ? a?

由于点C ?100, 0 ? 和E ?110, ? ? 在曲线上,因此这两点的坐标 ?100=?0 , ? ?110=?0 ? a?

都满足上述方程.把它们分别代入方程, 得下列方程组:

解此方程组得 :

?0 ? 100, a ?

10

?

.

所以CDE段的极坐标方程为:

? ? 100 ?

10

?

? , ? ? ?0, ? ?

又因为从动杆接触ABC段时不动, 故ABC段应为半径等于 100,圆心在极点的圆弧, 它的极坐标方程为 :

? ? 100, ? ? ?? , 2? ?


思考题:



1.极坐标系是如何建立的?什么叫极坐标方程? 答 案 2.平面上的点极坐标如何表示?极角取值范围? 答 案

课堂练习题:

2? ? ?? ? 1.在极坐标系中作出点: A ? 2, ? , B ? 4, ? ? , C ? 6, ? 3 ? 6? ?

?? ? 2.把点 M ? ?3, ? 化成直角坐标;把 N 3, ?1 化成极坐标; 6? ? 答 案 把极坐标方程 ? ? 2a sin ? ? a ? 0 ? 化成直角坐标方程.

?

?

? ?. ? 答



3.把圆心是 c ? a, 0 ? , 半径是 a 的圆化成极坐标方程. 答 案

第二节 参 数 方 程
前面我们介绍了如何在直角坐标系或极坐标系内用流动坐 标 ? x, y ? 或 ? ? , ? ? 来表示平面内一些曲线的方程.但在实际问题中, 有些曲线用以上的方法来表示比较困难,也就是说很难找到曲线 所满足的f ? x, y ? ? 0或g ? ? , ? ? ? 0的式子为此 . , 我们将引入一个新 变量来表示曲线方程,即:参数方程.

一、参数方程的概念
先来看下面的一个例子.
以初速度?0并与水平面成? 角发射炮弹, 若不计空气的阻力, 求炮弹运动的轨迹方程.

如图10 ? 17所示, 建立直角坐标系, 设点M ? x, y ? 为炮弹在运 动中的任意一位置,可以看出,要用x和y之间的直接关系f ? x, y ? ? 0来表示炮弹运动的轨迹方程是比较困难的.但是我们知道, 炮弹 运动的轨迹是由炮弹在各个时刻的位置所决定的.下面就来分析 炮弹在任意位置的坐标x和y分别与时刻t之间的关系.如果不考 虑地心引力,则经过时刻t ,炮弹运动到T ,于是OT =?0t.但事实上, 炮弹受地心引力的影响, 不在点T 而在点M .由于点M 的横坐标为 1 2 ?0t cos ? , 纵坐标为?0t sin ? ? gt ,因此我们就以方程组 : 2 ? x ? ?0t cos ? ? ? 0 ? t ? t1 ? ? 1 2 , y ? ?0t sin ? ? gt ? 2 ?

y
v0 t sin ?

T
v0 t

?
M ? x, y ?

?
?

O

Q v0t cos ?

x

图10-17 炮弹运动规律的轨迹

来表示炮弹运动的轨迹方程, 其中 g是重力加速度 ? g=9.8m/s2 ? , t1 是炮弹落地的时刻.对应于 t ? ? 0, t1 ? 的每一个值, 就确定了炮弹 相应的每一个位置M ? x, y ? .因此 t 在 ? 0, t1 ? 上连续变化时, M ? x, y ? 就描出了炮弹运动的轨迹.

从这个例子可以看出,曲线上动点M ? x, y ?的轨迹可以用流 动坐标x和y分别与另一个变量t的一组方程 :
? ? x ? x ?t ? , ?a ? t ? b? ? ? ? y ? y ?t ?

?10 ? 3?

来表示. ?!参数方程一般形式.?

同样, 在极坐标系中,曲线上的动点M ? ? , ? ?的轨迹可以用流 动坐标? 和?分别与另一个变量t的一组方程
? ?? ? ? ?t ? ? ? ?? ? ? ? t ? , ?? ? t ? ? ?

?10 - 4 ?

来表示.
方程组(10-3)和方程组(10-4)叫做曲线的参数方程. 变量t叫做参数. 在用参数方程表示曲线时,方程中的参数不一定是时间, 也可以是其他的量,应当根据问题的具体条件适当地选定. 为了与曲线的参数方程有所区别,我们把表示曲线上点 的坐标之间的直接关系的方程叫做曲线的普通方程.

二、参数方程的作图
在所给曲线的参数方程
? ? x = x ?t ? , ?a ? t ? b? ? ? ? y = y ?t ? 中, 先给参数t以某些可能取的值,求出x和y的对应值,这样就
确定了曲线上的点,将这些点连成光滑的曲线,就是参数方程 的图像.

?x = t2 , 例1 作出参数方程 ? ? -? < t < +? ? 的图像. ? y = 2t

解 这里 t 可以取一切实数.将 t,x 和 y 的对应值列表
如下 ? 表10-4 ? .

y
y2 ? 4x
t
x

表10 - 4 t, x, y的对应值
?3 ? 2 ? 1
9
4 1

0 0 0

1 1 2

2 4 4

3
9 6

O

x

y

?6 ?4 ?2

图10 ? 18

? x =t 参数方程 ? 的图像 ? y ? 2t
2

描点作图时,可以不管表里第一行t的数值,只需根据x和y 的值,就可以确定点的位置,图10-18就是所给参数方程的图像.

三、化曲线的参数方程为普通方程
曲线的参数方程:

? ? x = x ?t ? , ?a ? t ? b? ? ? ? y = y ?t ?
是通过参数t来间接表示x与y之间的关系如果从这两个方程能 . 消去参数t ,那么就得到表示x与y间的直接关系的普通方程.例 如,上面所述的炮弹运动的参数方程可以化为普通方程.

已知炮弹运动的参数方程为:
? x = ?0t cos ? ? ? 0 ? t ? t1 ? ? 1 2, y ? ?0t sin ? ? gt ? 2 ?

?10 ? 5? ?10 ? 6 ?

从式 ?10 ? 5? 解出t , 得 : 代入式 ?10 ? 6 ? , 得 :

x t? ?0 cos ?
? x 1 ? x y ? ?0 sin ? ? g ? ? ?0 cos ? 2 ? ?0 cos ? ?
2

化简得

g 2 y ? x tan ? ? x 2?0 2 cos 2 ?

这就是炮弹运动轨迹的普通方程.这个方程的右边是x的二次式, 轨迹是抛物线,抛物线的名称就是由此而来的.

例2 把参数方程

? x= sin t , ? t为参数 ? ? 2 ? y = cos t

?10 ? 7 ? ?10 ? 8? ?10 - 9 ?

化为普通方程, 并说明它表示什么曲线.
解 将式 ?10-7? 两边平方,得: x 2 ? sin 2 t
再将式 ?10 ? 9 ? 与式 ?10-8 ? 两边相加得 : x 2 ? y ? sin 2 t ? cos 2 t ? 1.

得普通方程 :


x2 ? y ? 1 y = 1-x 2

显然, 它的图像是抛物线, 顶点在 ? 0,1? , 对称轴为y轴, 开口向下. 由于y ? cos 2 t 恒为正值或零, 故参数方程的图像仅为x轴上方的 部分,如图10-19所示.

与曲线的参数方和化为普 通方程的情况相反, 若已知曲线 的普通方程F ? x, y ? ? 0, 并给出 某指定参变量分别与x, y的函数 关系, 则曲线的普通方程也可化 为参数方程.例如,已知双曲线
?1 1

y

? 0,1?
x

O

1

? x = sin t x2 y 2 图10 ? 19 参数方程 ? 的图像 ? ? 1, 设 x ? a sec t t 是参数 , ? ? ? y = cos t a 2 b2 将x ? a sec t 代入双曲线的普通方程,可得y = b tan t ,因此:
2

? x = a sec t ? ? y = b tan t
就是所给双曲线的参数方程.(!参数方程是否一定可化为 普通方程?反之呢?)

四、曲线参数方程的建立
建立曲线的参数方程, 除去由曲线的普通方程化为参数方 程以外,通常是把曲线看作动点的轨迹,选取适当的参数 t ,使曲 线上点的流动坐标 x 与 y

?或?与? ? 分别用与参数

t 的关系

式来表示,下面我们来介绍一些常见曲线的参数方程. y
1.椭圆的参数方程 x2 y 2 设M ? x, y ? 是椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? a b 上的任意一点.以原点为圆心,分别以
A B M
t B?

a, b 为半径作两个辅助圆 ?图10-20 ? . 过 M 作直线 MA? 垂直于 x 轴, 垂足 为 A?, 交大辅助圆于 A, 连接 OA. 设 ?AOx ? t , 则 :

O

A?

x

图10-20 辅助圆作法示意

x ? OA? ? a cos t.代入上述椭圆方程, 得 : y ? A?M ? b sin t.

因此

? x = a cos t , ? -? ? t ? ? ? ? ? y = b sin t

这是所给椭圆的参数方程.

参数t叫做椭圆上点M的偏心角?或离心角? .

当a = b时, 即得到圆的参数方程为:
? x = a cos t , ? -? ? t ? ? ? ? ? y = a sin t
它的圆心在原点, 半径为 a, 其中参数 t 通过圆上动点 M ? x, y ? 半径 OM 与 x 轴的正半轴所成的角?图10 ? 21? .

y
P ? x, y ?
a

y

B

O

t x

y
x

r C t O N

t

M A D x

图10-21

? x = acost 参数方程 ? 的图像 ? y = asint

图10-22 圆的渐开线

2.圆的渐开线的参数方程

如图10 ? 22所示, 把一根没有

伸缩性的绳子绕在一个固定的圆圈上,然后在绳子的端点M 处将 绳子拉紧并逐渐拉开(这时绳的拉直部分和圆保持相切),这时绳 子的端点M 的轨迹叫做圆的渐开线,这个圆叫做渐开线的基圆.

下面我们分别在直角坐标系与极坐标系内建立圆的渐开线 的参数方程.

(1)直角坐标参数方程 如图10-22所示,设基圆的圆心为O, 半径为 r, 绳子全部绕在圆圈上时,端点为 A. 取 O 为原点, 过 OA 的直线为 x 轴,建立直角坐标系.

设M ? x, y ? 是渐开线上任意一点, BM 是切线,连接 OB,取 ?BOx = t 为参数.由渐开线的定义,得 BM = BA= rt
作MD ? x轴,BN ? x轴,MC ? BN , 则?MBC ? t.于是M 点的 坐标为

x = OD = ON + ND = ON +CM , y = DM = NC = NB - CB,

因为ON = r cos t,NB = r sin t.

CM ? BM sin t ? rt sin t , CB ? BM cos t ? rt cos t

所以

? x = r cos t + rt sin t ,为参数 t ? ? ? ? y = r sin t -rt cos t

这就是圆的渐开线的直角坐标参数方程.

(2) 极坐标参数方程 如图10-23所示,取基圆的圆心 O 为极点,使极轴通过 A 点,建立极坐标系.设 M ? ? , ? ? 为渐开 线上任意一点, BM 是基圆的切线,连接 O、B,取?BOM = t为 参数.由渐开线的定义,得 BM = BA= r ?? ? t ? .

在直角三角形OBM中,
r ?? , BM ? r tan t cos t

所以r ? ? ? t ? ? r tan t ,即? ? tan t ? t.

于是得到圆的渐开线的极坐标参数方程为:
r ? ?? ? cos t ? ? ?? ? tan t ? t

由图10 ? 23可知, 极角? 和极径? 都是随着t的变化而变化的, 参数t 的取值范围是0 ? t ?

M ? ? ,? ?

?

2 渐开线作齿形曲线时,t叫做压力

.用圆的

?
B
t

角.它的大小和M 点的位置有关,

r

?
O
A
x

?愈大 ? M 点离轮心愈远 ? , 压力角
也愈大.

图10-23 极坐标系中圆的渐开线

3.摆线的参数方程

设有一半径为r的圆,在一直线上滚

动而无滑动.当圆滚动时,圆周上定点M 的轨迹叫做摆线

?或旋轮线? .下面我们来建立它的方程.
如图10 ? 24所示, 取定直线为 x 轴,圆开始滚动时 M 点的 位置为原点设圆在运动中任一位置时圆心为 . C , 并与 x 轴相切 于 A点,圆上的定点 M 的坐标为? x, y ? .作 MB ? AC , ?MCB ? t 为参数.于是得点 M 的坐标为 : x ? OD ? OA ? DA ? OA ? MB, y ? DM ? AC ? BC.因为OA = AM ? rt , AC ? r , MB ? r sin t , BC ? r cos t , 所以

? ? x ? r ? t ? sin t ? , ? -? < t < +? ? ? ? ? y ? r ?1 ? cos t ?

这就是摆线的参数方程,参数t是圆的半径所转过的角度,叫做
滚动角.当M 在原点时,t = 0;当圆向x轴正向滚动时,t > 0;当圆 向x轴负向滚动时,t < 0.当t由0变到2? 时, M 点就画出了摆线的 一支, 称为一拱, 拱高为2r ,宽为2? r ,当t由2? 变到4? 时, M 点又画 了相同的一支.因此摆线是由无限多支彼此相同的分支所组成.
y

M

t

C
B

r r
?r
2? r
x

O

D

A

图10-24 摆线


思考题:



? ? x ? f ?t ? ? ? ?? ? ? ?t ? ? 在参数方程 ? ?或 ? ? ,中的参数应如何理解. ? ?? ? ? ? t ? ? y ? g t ? ? ? ? ? ? ? 答 案

课堂练习题:
? x ? 2t 2 1.把参数方程 ? (t为参数)化为普通方程. 答 案 3 ? y ? 2t ? x ? cost 答 案 2.把 ? 化为普通方程, 并说出图象情况. 2 ? y ? sin t x2 y 2 3.已知 2 ? 2 ? 1, x ? a csc t ? t为参数? 写出参数方程. 答 案 a b

*第三节 数学实验二 利用Mathematica 绘制一元函数图形
一元函数图形的绘制
1.学会Mathematica命令 (1)Mathematica的绘图命令调用格式为Plot[表达式, {自变量,下限,上限},可选项],其中表达式是需要绘制其 图形的函数的表达式,下限和上限表示自变量的取值范围. Plot[{表达式1,表达式2,…},{自变量,下限,上限},可 选项],在一个坐标系中绘制由表达式1、表达式2等表示的若 干个函数的图形. 可选项可以有也可以没有,没有可选项时系统按默认值 处理.它的表示方法是:

可选项名——>可选项的值 比如可选项PlotRange,它表示坐标轴的显示范围,系统默 认值是Automatic.可以指定坐标轴的显示范围:

PlotRange? ? { y轴最小值, y轴最大值} 或 PlotRange? ? {{x轴最小值, x轴最大值},{ y轴最小值,y轴最大值}}
可选顶AspectRatio表示坐标轴的纵横比例,即纵坐标轴 长度单位,横坐标轴长度单位.

(2) ParametricPlot可以绘制二维参数图形 ParametricPlot[{x ? t ? , y ? t ? },{t,下限,上限},可选项],绘制由参数方程 ? ? x = x ?t? 所确定函数的图形.ParametricPlot和Plot具有一样 ? ? ? y = y ?t ? 的可选项.

(3) 使用Show函数可以重绘或修改原来的函数图形,如Show[%].

2.绘制一元函数图形 例1 画出y = tan x的图像. 解 输入命令:
Plot ? ? x,-2Pi,2Pi?? ?Tan ? x ? , ?

执行后可得函数y= tan x的图像 ?图10-26 ? .
30 20 10

y

?6

?4

?2

?10 ?20 ?30

O

2

4

6

x

图10-26 例1示意

例2 在同一坐标系中画出函数y =ln x ? ln 2和y ? ln x ? x 2 ? 1 的图形.

?

?

解 输入命令:
^ ? ? ? ? Plot ? Log ? Abs x ? Log 2 , Log x ? Sqrt x 2 ? 1 , x , ? 3,3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?

?

?

执行后可得y =ln x ? ln 2, y ? ln x ? x 2 ? 1 的图形(图10 ? 27).
y
1

?

?

?3

?2

?1 ?1 ?2

O

1

2

3

x

?3

图10-27 例2示意

例3 研究函数y =x5 ? 3ex ? log 2 ? 3 ? x ? 在区间? -2,2? 上图形 的特性.
? ? 解 输入命令: Plot ? x 5 ? 3 ? E x ? Log ? 2,3 ? x ? , ? x, ?2, 2?? ? ? 执行后可得y =x5 ? 3ex ? log 2 ? 3 ? x ? 在区间? -2,2? 上图形(图

10-28),从图形上看,曲线沿x轴正向上升,因而函数y =x5 ? 3ex ? log 2 ? 3 ? x ? 在区间? ?2, 2? 上单调增加.
y
40 20
x

?1

O

1

?20

图10-28

例3示意

例4 画出函数y = x7 ? 3x在区间?-5,5? 上的图形.
? 解 Plot ? x ? 7 ? 3 ? x, ? x, ?5,5?? ? 从图10 ? 29上看, 该曲线似乎沿x轴正向上升, 事实上重新设

定坐标轴的显示范围可以看出这是不对的 : Show ? ?%, PlotRange? ? ??10,10?? ?
y
600 400 200
?4 ?2
x

?200 ?400 ?600

O

2

4

图10-29

例4示意

10 y 7.5 5 2.5
x

?4

?2

O ?2.5

2

4

?5 ?7.5

图10-30 例4示意

如图10 ? 30所示, 可见只根据函数图形来给出结论是不一定 正确的, 这是因为任何软件都有局限性.作图范围选得太大,图形 失真的可能性就会越大.我们在绘制函数图形的过程中要注意多 取几个不同的范围,以便考察函数图形的真正特征.

3.绘制参数方程所确定函数的图形 例5 画出圆x= 2 cos t ,y = 2sin t的图形.
? 解 ParametricPlot ? ??2 Cos ?t ? , 2Sin ?t ?? , ?t , 0, 2Pi?? 从图10 ? 31上看是一椭圆, 这是因为横坐标轴和纵坐标轴的

长度单位不同.重新设定坐标轴的纵横比例,可以看出这是一个 半径为2的圆 ?图10-32 ? . Show ?%, AspectRatio? ? 1?
2 1 ?2 ?1 ?1 ?2 ?2

y

2 1
x

y

O

1

2

?2

?1 ?1

O

1

2 x

图10-31 例5示意

图10-32 例5示意


思考题:



利用Mathematica软件绘图命令调用格式是什么:下限、 上限是什么意思.Plot表达是数学意义的函数吗? 答 案

课堂练习题:
在计算机操作学会Mathematica命令.

答 案 部 分

思考题解答:
1.在平面内任取一定点 O, 引一条射线 OX , 再取定一个单位 长度和角的正方向(通常取逆时针方向)这样就构成一个极坐标 系; 平面内的一条曲线可以用含有 ? ,? 这两个变量的方程 F ? ? , ? ? ? 0 来表示, 这种方程叫曲线的极坐标方程.必要时 ? ,? 也可取负值.
返 回

思考题解答:
2.平面上任一点极坐标 M ? ? ,? ? , 其 ? 叫极径, 一般都是 ? ? 0,

? 叫极角在 ? 0, 2? ? 取值.
返 回

课堂练习题解答:
? 6

1.如图, 也可用极坐标纸画.

A

?

B
x

4? 3

C

返 回

课堂练习题解答: ? x ? ? cos ? ? ? 2. ? , ? x ? ?3cos , y ? ?3sin . 6 6 ? y ? ? sin ?
?? ? x2 ? y 2 ? 3 3 3? ? ? M 直角坐标 ? ? , ? ? .又由 ? y 2 2 ? ? ? tan ? ? , ? x ? 0 ? x ? 2 3 2 ?? ? 3 ? ? ?1? ? 2.tan ? ? ? . 3 又N 是第四象限的点,

? ?
?

? ?. ? 将方程 ? =2asin?两边同乘以?,? 2 ? 2a? sin ?.

11? ? 11? ?? =2? ? ? , ? N 极坐标 ? 2, 6 6 6 ?

得出x 2 ? y 2 ? 2ay ? a ? 0 ? 直角坐标方程.

返 回

课堂练习题解答:
3.由已知圆心在极轴上,圆过极点O,设圆与极轴另一交 点为A, 则 OA ? 2a, M ? ? , ? ? 为圆上任一点.如图 OM ? AM , 得 OM ? OA cos ? , 即极坐标方程:
M

? = 2a cos ? .

O

?
C

2a
A
x

返 回

思考题解答:
应从以下几个方面理解 :1.参数一般用t , 它可是物理, 几 何等意义的变量, 也可是没有明显意义变量.2.参数方程在物 理中称运动方程.3.参变量要注意取值范围.4.消去参数可得到 普通方程.反之, 选择适当参数也可把普通方程化为参数方程.

返 回

课堂练习题解答:
1.将 x ? 2 t 2 立方得 x3 ? 8 t 6 , 将 y ? 2 t 3 平方得 y 2 ? 4 t 6 , 两式相除 y 2 ? 1 3 x. 2
返 回

课堂练习题解答:
2.把 x ? cos t 平方后与 y ? sin 2 t 相加得: x 2 ? y ? 1, 又 y ? sin 2 t ? 0.

?它是仅在 x 轴上方的抛物线部分.
返 回

课堂练习题解答:
2 y 3.代入 csc2 t ? 2 ? 1, 即 y ? b cot t. b

? x ? a csc t ? 参数方程为 : ? . ? y ? b cot t
返 回

思考题解答:
Mathematica软件绘制图命令调用格式为:
Plot ? ?自变量,下限,上限? , 可选项? ?表达式, ?;

Mathematica系统里的函数Plot用于画一元函数的图形. 它不是一个具有数学意义的函数,而是一个能够完成一些工 作的操作.

如:In ?1? :? Plot ? ?sin ? x ? , ? x, 2pi?? ? 就得到一元函数f ? x ? ? sin x 在?0, 2? ? 上的图形.其中下限和上限表示自变量的取值范围.
返 回


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