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高一数学(人教新课标A版)函数与方程


函数与方程
知识要点梳理 知识点一、函数的零点
1.函数的零点 一般地,如果函数 要点诠释: 函数 归纳:方程 的零点就是方程 有实数根 函数 的实数根,亦即函数 的图象与 轴有交点 的图象与 轴交点的横坐标. 函数 有零点. 在实数 处的值等于零,即 ,则 叫做这个函数的零点.

2.二次函数零点的判定 二次函数 的零点个数,方程 判别式 方程的根 两个不相等的实根 两个相等的实根 无实根 的实根个数见下表. 函数的零点 两个零点 一个二重零点 无零点

3.二次函数零点的性质 ①二次函数的图象是连续的,当它通过零点时(不是二重零点),函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号. 引伸:对任意函数,只要它的图象是连续不间断的,上述性质同样成立.

4.二次函数的零点的应用 ①利用二次函数的零点研究函数的性质,作出函数的简图. ②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号,观察函数的一些性质. 引伸:二次函数的零点的应用可推广到一般函数.

5.变号零点与不变号零点 如果函数 在一个区间 上的图象不间断,并且在它的两个端点处的函数值异号,即 ,使 .如果

,则这个函数在这个区间上,至少有一个零点,即存在一点

函数图象通过零点时穿过 x 轴,则称这样的零点为变号零点,如果没有穿过 x 轴,则称这样的零点为不变号

零点.

知识点二、二分法
1.二分法 所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而 得到零点近似值的方法.

2.用二分法求函数零点的一般步骤: 已知函数 定义在区间 D 上,求它在 D 上的一个零点 x0 的近似值 x,使它满足给定的精确度. ,使 与 异号,即 ,零点位于

第一步:在 D 内取一个闭区间 区间 中. 第二步:取区间

的中点,则此中点对应的坐标为

. 计算 ①如果 ②如果 ③如果 第三步:取区间 和 ,并判断: ,则 就是 的零点,计算终止; 中,令 中,令 ;

,则零点位于区间 ,则零点位于区间

的中点,则此中点对应的坐标为

. 计算 ①如果 ②如果 ③如果 ?? 和 ,并判断: ,则 就是 的零点,计算终止; 中,令 中,令 ; ;

,则零点位于区间 ,则零点位于区间

继续实施上述步骤,直到区间

,函数的零点总位于区间

上,当



按照给定的精确度 的近

所取的近似值相同时,这个相同的近似值就是函数 似零点满足给定的精确度.

的近似零点,计算终止.这时函数

三、规律方法指导
1.如何求函数的零点? 答:求函数的零点即为求出相应方程的解或函数图象与 轴交点的横坐标. 2.如果函数 在其定义域内为单调函数,则函数 在其定义域内最多有几个零点?

答:单调函数在其定义域内最多有一个零点.

经典例题透析 类型一、求函数的零点
1.求下列函数的零点. (1) (2) . ;

思路点拨:根据函数零点与方程的根之间的关系,要求函数的零点,就是求相应方程的 实数根. 解:

(1)由 (2)由 是 1,-1.



,所以函数的零点是 ,令

; 得 x=1,-1,故函数的零点

总结升华: 求函数的零点就是求相应方程的实数根, 一般可以借助求根公式或因式分解 等方法,求出方程的根,从而得到函数的零点.

举一反三: 【变式 1】求函数:(1) 解:(1)由求根公式解得 (2)方程 可化为 ;(2) 的零点.

由 所以函数 1,2.

知 的零点为 1,-3;函数 的零点为-3,

总结升华:三次因式分解的关键是,裂项后的两组分别要有公因式可提取,函数求零点 的题目和解方程的题目可相互转化.

【变式 2】(2011 山东理 16)已知函数 时,函数 解:用数形结合法 作出 作出 由图象可知,当 显然对数函数图象与直线 即函数 的零点 ,故 及 及 内变动, 内变动时, 的公共点皆在区间 . 内, 的图象, 的零点 ,则

,当 ___________. .

类型二、确定函数零点的个数
2.二次函数 A.1 B.2 C.0 中, D.无法确定 ,则函数的零点的个数是( )

思路点拨:可以利用函数图象或方程的判别式. 解法 1: ∴方程 ∴函数 解法 2: 有两个不相等的实数根 有两个零点,选 B.

, 不论哪种情况,二次函数图象与 x 轴都有两个交点,所以函数有两个零点.选 B.

类型三、用二分法求函数的零点的近似值
3.求函数 解:由于 用二分法逐步计算,列表如下: 区间 [1,2] [1.5,2] [1.5,1.75] [1.625,1.75] [1.6875,1.75] 中点 1.5 1.75 1.625 1.6875 1.71875 中点函数值 -2.625 0.2344 -1.3027 -0.5618 -0.1709 的一个正数零点(精确到 0.1). ,可取区间 作为计算的初始区间,

由上表计算可知,区间[1.6875,1.75]的长度 1.75-1.6875=0.0625<0.1, 所以可以将 1.6875 的近似值 1.7 作为函数零点的近似值. 总结升华: 应首先判断 x 的取正整数时, 函数值的正负, 使正整数所对应的区间尽量小, 便于利用二分法求其近似值. 举一反三: 【变式 1】用二分法求函数 解: ⑴由 区间中; ⑵取 ⑶计算 ⑷由于 ⑸取 ⑹计算 的区间中点 的区间中点 ; ; ,则有零点的新区间为 ; ; , 的一个正零点(精确到 )

可知函数的一个正零点在

⑺由于 ⑻取 ⑼计算 ⑽由于 ⑾取 ⑿计算 ⒀由于 ⒁取 ⒂计算 ⒃由于 ⒄取 ⒅计算 ⒆由于 ⒇由于 ; 又因为零点要求精确到 所以函数 的区间中点

,则有零点的新区间为 ; ; ,则有零点的新区间为 的区间中点 ; ; ,则有零点的新区间为 的区间中点 ; ,则有零点的新区间为 的区间中点 ; ; ,









,则有零点的新区间为

,而区间两端点近似值相同都是 2.24, 的一个正零点为:2.24.

类型四、用二分法解决实际问题
4.中央电视台有一档娱乐节目“幸运 52”,主持人李咏给选手在限定时间内猜 某一物品的售价的机会,如果猜中,就把物品奖给选手,同时获得一枚商标.某次猜一种品 牌的手机,手机价格在 500~1000 元之间,选手开始报价:1000 元,主持人说:高了,紧 接着报价 900 元,高了;700 元,低了;880 元,高了;850 元,低了;851 元,恭喜你,猜 中了.表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分,实际上,游戏报价过程体现了“逼近”的 数学思想,你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗? 解:取价格区间[500,1000]的中点 750,如果主持人说低了,就再取[750,1000]的中

点 875; 否则取另一个区间[500,750]的中点;若遇到小数,则取整数,照这种方案, 游戏过程猜价如下:750,875,812,843,859,851,经过 6 次可以猜中价格. 总结升华:此方案应该说方便、迅速、准确,而且很科学,在实际生活中处处有数学, 碰到问题多用数学方法去思考,会使我们变得更聪明,更具有数学素养.

学习成果测评 基础达标
一、选择题 1.(2011 东北四市 6)已知函数 零点的是( ) 有唯一零点,则下列区间必存在

A.

B.

C.

D.

2.有两个互为相反数的零点的函数( A.只能是偶函数 B.可以是奇函数

) C.可以是增函数 D.可以是减函数

3.(2011 广东广州 3 月 6)若函数 是( ) A. B. C. D.

没有零点,则实数 的取值范围

4.设函数

是[-1,1]上的增函数,且

,则方程

在[-1,1]内(

) B.可能有 2 个实数根 C.有唯一的实数根 D.没有实数根

A.可能有 3 个实数根

5.若已知 A. B. C. 在 在 在

,则下列说法中正确的是( 上必有且只有一个零点 上必有正奇数个零点 上必有正偶数个零点

)

D.



上可能有正偶数个零点,也可能有正奇数个零点,还可能没有零点

6.函数 A.大于等于 0

在区间 B.小于等于 0

内的函数值( C.大于 0

)

D.小于 0

7.如图,下列函数图象与 x 轴均有交点,但不宜用二分法求交点横坐标的是(

)

二、填空题 1.三次方程 ①-2 与-1 ②-1 与 0 在下列连续整数____________之间有根. ③0 与 1 ④1 与 2 ⑤2 与 3

2.函数

的零点是__________.

三、解答题 1.用二分法求 在区间 的一个实根(精确到 0.01).

答案与解析 基础达标
一、选择题

1.C 由题意,可知 故选 C.

,故



上必存在零点.

2.B 增函数与减函数不可能有两个零点,而奇函数和偶函数都可能有两个互为相反数 的零点,故选 B. 3.B 由方程 的判别式小于 0,可得 ,故选 B.

4.C

在[-1,1]上是增函数且



上有唯一实根

在[-1,1] 上有唯一实根.故选 C. 5.D 若 零点.故选 D. 6.D 的两个零点是 1 和 2, 在 1 和 2 之间函数值同号.又 不连续则可能没有零点, 若 在该区间有二重零点则可能有正偶数个

, 故选 D. 7.B 用二分法只能求变号零点,选项 B 中的零点为不变号零点,不宜用二分法求解. 故选 B.

二、填空题 1.①②④ 解析:令 x f(x) -2 -1 -1 1 0 -1 1 -1 2 7 3 29



内均有根.

2.

提示:由



,所以函数的零点是

.

三、解答题 1.解:设

∴在 取



有实数解.

为初始运算区间,用二分法逐次计算列表如下: 区间 [1,1.5] [1.25,1.5] [1.25,1.375] [1.3125,1.375] [1.3125,1.34375] [1.3125,1.328125] [1.3203125,1.328125] 中点 1.25 1.375 1.3125 1.34375 1.328125 1.3203125 1.32421875 中点函数值 -0.296875 0.224609 -0.051514 0.082611 0.014576 -0.018711 -0.002128

∵1.328125-1.3203125=0.0078155<0.01

∴所求根的近似值为


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