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2014-2015学年点拨高中数学必修2(北师大版)过关测试卷:第一章 立体几何初步 过关测试卷]


第一章过关测试卷 (100 分,60 分钟) 一、选择题(每题 6 分,共 36 分) 1.已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 中, O 是 BD1 的中点, 直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M,则下列结论错误的是( A. A1,M,O 三点共线 C. A,O,C,M 四点共面 ) B. M,O,A1,A 四点共面 D. B,B1,O,M 四点共面

2.圆台的上、下底面的面积分别为 π,4π,侧面积为 6π,这个圆台的 体积为( A.
2 3π 3

) B. 2 3 π C.
7 3π 6

D.

7 3π 3

3.若 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,则下列命 题中的真命题是( )

A.若 m ? β,α⊥β,则 m⊥α B.若 α∩ γ=m,β∩ γ=n,m∥n,则 α∥β C.若 m⊥β,m∥α,则 α⊥β D.若 α⊥γ,α⊥β,则 β⊥γ 4.〈山东省青岛一模〉一个几何体的三视图如图 1 所示,其中俯视图与 左视图均为半径是 2 的圆,则这个几何体的表面积是( A.16π B.14π C.12π D.8π )

图1

图2

5.如图 2,在正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 中,AB=1,AA1= 3 ,E 为 AB 上的 动点,则 D1E+CE 的最小值为( A. 2 2 B. 10 ) C. 5 ? 1 D. 2 ? 2

6.〈吉林省长春市第四次调研〉已知空间 4 个球,它们的半径均为 2, 每个球都与其他三个球外切,另有一个小球与这 4 个球都外切,则这 个小球的半径为( A. 6 ? 2 ) B. 6 ? 2 C. 10 ? 3 D. 2 2 ? 2

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 7.某几何体的三视图如图 3 所示, 则这个几何体的体积为 .

图3 8.过半径为 2 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的截面,若 OA 与该截面所 成的角为 60°,则该截面的面积为 .

9.用一张正方形的纸把一个棱长为 1 的正方体形礼品盒完全包好, 不将 纸撕开,则所需纸的最小面积是 .

10. 给出下列命题: ①在正方体上任意选择 4 个不共面的顶点, 它们可 能是正四面体的 4 个顶点;②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角 形的三棱锥是正三棱锥;③若某四棱柱有两个侧面垂直于底面,则该 四棱柱为直四棱柱;④一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直;⑤一个 棱锥可以有两个侧面和底面垂直;⑥所有侧面都是正方形的四棱柱一

定是正方体.其中正确命题的序号是



三、解答题(11 题 14 分,其余每题 15 分,共 44 分) 11. 〈杭州模拟〉 如图 4, 在四边形 ABCD 中, ∠DAB=90°, ∠ADC=135°, AB=5,CD= 2 2 ,AD=2,求四边形 ABCD 绕 AD 所在直线旋转一周所 成几何体的表面积及体积.

图 4

12.〈厦门〉 如图 5,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥底面 ABC,D,E 分别是 线段 BC,PD 的中点. (1)若 AP=AB=AC=2,BC= 2 3 ,求三棱锥 P-ABC 的体积; (2)若点 F 在线段 AB 上,且 AF= AB,证明:直线 EF∥平面 PAC.
1 4

图5

13. 如图 6,在直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 中,DB=BC,DB⊥AC,M 是棱 BB1 上一点. (1)求证:B1D1∥平面 A1BD; (2)求证:MD⊥AC; (3)当 M 在 BB1 上的何处时,有平面 DMC1⊥平面 CC1D1D.

图6

参考答案及点拨 一、1.D 点拨:因为 O 是 BD1 的中点.由正方体的性质知,O 也

是 A1C 的中点,所以点 O 在直线 A1C 上,又直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M,则 A1,M,O 三点共线,又直线与直线外一点确定一个平面,所以 B,C 正确. 2.D S


点拨:由题意,圆台的上底面半径 r=1,下底面半径 R=2,∵ =6π , 设 母 线 长 为 l , 则 π·(1+2)l=6π , ∴l=2 , ∴ 高

h= l 2 ? ?R ? r ?2 = 3 .∴V= × 3 π×(12+1×2+22)= 3.C

1 3

7 3 π. 3

点拨: 对于 C, 由 m∥ ? 得, 在平面 ? 内必存在直线 l∥m.又 m⊥β,

因此 l⊥β,且 l ? ? ,故 ? ⊥β. 4.A 点拨:由三视图可知,该几何体是挖去一个球的 而得到的.其
3 3 球面的面积为 ×4π×22=12π,所以这 4 4 1 4

中两个半圆的面积为 π×22=4π.

个几何体的表面积是 12π+4π=16π. 5.B 点拨:将正方形 ABCD 沿 AB 向下翻折到对角面 ABC1D1 内,成为

正方形 ABC2D2(如答图 1),在矩形 C1D1D2C2 中连接 D1C2,与 AB 的交 点即为取得最小值时的点 E,此时 D1E+CE=D1C2.因为对角线 AD1=2, ∴D1D2=3,故 D1C2= ?D1 D2 ?2 ? ?C 2 D2 ?2 = 32 ? 12 = 10 .

答图 1 6.A

答图 2

答图 3

点拨:由题意可知,连接 4 个球的球心组成了正四面体,小球

球心 O 为正四面体的中心,到顶点的距离为 6 ,从而所求小球的半径 r= 6 -2. 二、7.
20 3

点拨:由三视图可知,该几何体可分为一个三棱锥和一
1 3 1 3 1 2 20 . 3

个四棱锥(如答图 2),则 V=V1+V2= ×2×2×4+ × ×2×2×2= 8.π 9.8

点拨:如答图 3,依题意,截面圆的半径 r=O′ A=OA· cos60°=1. 点拨:如答图 4①为棱长为 1 的正方体形礼品盒,先把正方体的

表面按答图 4②方式展成平面图形, 再把平面图形补成面积尽可能小的

正方形,则正方形的边长为 2 2 ,其面积为 8.

答图 4 10.①⑤

答图 5 点拨:①正确,正四面体是每个面都是等边三角形的四

面体,如正方形 ABCD - A1B1C1D1 中的四面体 A-CB1D1;②错误,如答图 5 所示, 底面△ABC 为等边三角形, 可令 AB=VB=VC=BC=AC, 则△VBC 为等边三角形, △VAB 和△VCA 均为等腰三角形, 但不能判定其为正三 棱锥;③错误,必须是相邻的两个侧面;④错误,如果有两条侧棱和 底面垂直,则它们平行,不可能;⑤正确,当两个侧面的公共边垂直 于底面时成立;⑥错误,当底面是菱形(非正方形)时,此说法不成 立,所以应填①⑤. 三、 11.解: 作 CE⊥AD, 交 AD 延长线于 E.由已知得: CE=2, DE=2, CB=5, S 表=S 圆台侧+S 圆台下底+S 圆锥侧 =π(2+5)×5+π×52+π×2× 2 2 =(60+ 4 2 )π, V=V 圆台-V 圆锥
1 1 (π·22+π·52+ 22 ? 52π 2 )×4- π×22×2 3 3 148 = π. 3

=

12.解:(1)在△ABC 中,AB=AC=2,BC= 2 3 ,D 是线段 BC 的中点,连接 AD,则 AD⊥BC,易求得 AD=1.

∴S△ABC= × 2 3 ×1= 3 .∵PA⊥底面 ABC, ∴VP-ABC= × 3 ×2=
1 3

1 2

2 3 . 3

(2)如答图 6,取 CD 的中点 H,连接 FH,EH.∵E 为线段 PD 的中点, ∴在△PDC 中,EH∥PC.∵EH 平面 PAC,PC?平面 PAC,∴EH∥平面 平面 PAC.AC?平面 PAC,

PAC.∵AF=14AB, ∴在△ABC 中, FH∥AC, ∵FH

∴FH∥平面 PAC,∵ FH∩ EH=H,∴平面 EHF∥平面 PAC.∵EF?平面 EHF, ∴EF∥平面 PAC.

答图 6

答图 7

13.(1)证明:由直四棱柱得 BB1∥DD1,BB1=DD1,∴四边形 BB1D1D 是平 行四边形,∴B1D1∥BD.而 BD?平面 A1BD,B1D1 平面 A1BD. (2)证明:∵BB1⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD,∴BB1⊥AC.又∵BD⊥AC, 且 BD∩ BB1=B,∴AC⊥平面 BB1D.而 MD?平面 BB1D,∴MD⊥AC. (3) 解:当 M 为棱 BB1 的中点时,平面 DMC1⊥平面 CC1D1D.取 DC 的中 点 N, D1C1 的中点 N1, 连接 NN1 交 DC1 于 O, 连接 OM, 如答图 7 所示. ∵N 是 DC 的中点,BD=BC,∴BN⊥DC.又∵DC 是平面 ABCD 与平面 DCC1D1 的交线,而平面 ABCD⊥平面 DCC1D1,∴BN⊥平面 DCC1D1.又可证得 O 是 NN1 的中点,∴BM∥ON 且 BM=ON,即四边形 BMON 是平行四边 形. ∴BN∥OM.∴OM⊥平面 CC1D1D.∵OM?平面 DMC1, ∴平面 DMC1⊥ 平面 A1BD,∴B1D1∥

平面 CC1D1D.



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