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2014年浙江省高考文科数学卷(含答案)


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)



学(文科)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1、设集合 S ? {x | x ? 2}, T ? {x | x ? 5} ,则 S ? T =( A. (??,5] B.

[2, ??) C. (2,5) ) D. [2,5]

2、 设四边形 ABCD 的两条对角线 AC, BD, 则“四边形 ABCD 为菱形”是“AC ? BD”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3、某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的的体积是( ) A.72 cm3 C.108 cm
3

B.90 cm3 D.138 cm
3

4

4

3

3

4、为了得到函数 y ? sin 3x ? cos3x 的图象,可以将函 数 y ? 2 cos3x 的图像( A.向右平移 C.向左平移 ) B.向右平移 D.向左平移

正视图 3

侧视图

? 个单位 12 ? 个单位 12

? 个单位 4 ? 个单位 4
C.-6 ) 俯视图

3

5、已知圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? a ? 0 截直线 x ? y ? 2 ? 0 所得弦的长度为 4,则实数 a 的值是 A.-2 B.-4 D.-8 ( )

6、设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面( A.若 m ? n , n // ? ,则 m ? ? C.若 m ? ? , n ? ? , n ? ? 则 m ? ?
3 2

B.若 m // ? , ? ? ? 则 m ? ? D.若 m ? n , n ? ? , ? ? ? ,则 m ? ? )

7、已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c, 且0 ? f (?1) ? f (?2) ? f (?3) ? 3, 则( A. c ? 3 B. 3 ? c ? 6 C. 6 ? c ? 9 D. c ? 9

() o g l? 8、在同一直角坐标系中,函数 f ( x) ? x a ( x ? 0 ) , gx

xa 的图象可能是(



1

? ? ? ? 9、设 ? 为两个非零向量 a , b 的夹角,已知对任意实数 t , | b ? ta | 是最小值为 1(



? A.若 ? 确定,则 | a | 唯一确定 ? C.若 | a | 确定,则 ? 唯一确定

? B.若 ? 确定,则 | b | 唯一确定 ? D.若 | b | 确定,则 ? 唯一确定

10、如图,某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处 进行射击训练, 已知点 A 到墙面的距离为 AB, 某目标点 沿墙面的射击线 移动,此人为了准确瞄准目标点 ,需 计算由点 观察点 的仰角 的大小(仰角 ? 为直线 AP 与 平面 ABC 所成角) 。若 AB ? 15m , AC ? 25m , ?BCM ? 30? 则 tan ? 的最大值( ) A.

30 5

B.

30 10

C.

4 3 9

D.

5 3 9

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11、已知 i 是虚数单位,计算

1? i =____________; (1 ? i ) 2

?x ? 2 y ? 4 ? 0 ? 12、若实数 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 x ? y 的取值范围是 ?x ? 1 ?
_____________; 13、若某程序框图如图所示,当输入 50 时,则该程序运行后输出的 结果是__________; 14、在 3 张奖券中有一、二等奖各 1 张,另 1 张无奖,甲、乙两人 各抽取 1 张,两人都中奖的概率是______________; 15、设函数 f ( x) ? ? _________; 16、已知实数 a , b, c 满足 a ? b ? c ? 0 , a ? b ? c ? 1 ,则 a 的最 大值是____________;
2 2 2

开始 输入 n S=0, i=1

S=2 S+i i=i+1 S≥n
是 否

? x 2 ? 2 x ? 2, x ? 0 ? ,若 f ( f (a)) ? 2 ,则 a = 2 x?0 ? ?? x ,

输出 i 结束

17、设直线 x ? 3 y ? m ? 0(m ? 0) 与双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线分别交于 a 2 b2 点 A、B,若点 P ( m,0) 满足 | PA |?| PB | ,则该双曲线的离心率是______________.

三.解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18、(本题满分 14 分) 在 ?ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a , b, c ,已知

4sin 2

A? B ? 4sin Asin B ? 2 ? 2 2

2

(1)求角 C 的大小; (2)已知 b ? 4 , ?ABC 的面积为 6,求边长 c 的值。 19、(本题满分 14 分) 已知等差数列 {an } 的公差 d ? 0 ,设 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , S2 ? S3 ? 36 (1)求 d 及 Sn ; (2)求 m, k ( m, k ? N * )的值,使得 am ? am?1 ? am? 2 ? ? ? am? k ? 65

20、(本题满分 15 分) 如图,在四棱锥 A—BCDE 中,平面 ABC ? 平面 BCDE ; ?CDE ? ?BED ? 90? , AB ? CD ? 2 , DE ? BE ?1 , AC ? 2 。 (1)证明: AC ? 平面 BCDE ; (2)求直线 AE 与平面 ABC 所成的角的正切值。

A

D E
21、(本题满分 15 分) 已知函数 f ? x ? ? x3 ? 3| x ? a | (a ? 0) ,若 f ( x) 在 [ ?1,1] 上的最小值记为 g (a) 。 (1)求 g (a) ; (2)证明:当 x ? [?1,1] 时,恒有 f ( x) ? g (a) ? 4

C B

22、(本题满分 14 分) 已知 ?ABP 的三个顶点在抛物线 C: x 2 ? 4 y 上,F 为抛物线 C 的焦点,点 M 为 AB 的中 ??? ? ???? ? 点, PF ? 3FM ; (1)若 | PF |? 3 ,求点 M 的坐标; (2)求 ?ABP 面积的最大值。

y P B M F 0 A x

3

2014 年高考浙江卷文科数学参考答案
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.【答案】D 【解析】 依题意 S ? T ? [2,5] ,故选 D. 点评:本题考查结合的交运算,容易题. 2.【答案】A 【解析】若四边形 ABCD 为菱形,则对角线 AC ? BD ;反之若 AC ? BD ,则四边形 比一定是平行四边形,故“四边形 ABCD 为菱形”是“ AC ? BD ”的充分不必要条件,选 A. 点评:本题考查平行四边形、 菱形的性质,充分条件与必要条件判断,容易题. 3.【答案】B 【解析】由三视图知,原几何体是由一个长方体与一个三棱柱组成,其体积为

V ? 3? 4 ? 6 ?

1 ? 3 ? 4 ? 3 ? 90(cm 2 ) , 故选 B. 点评: 本题考查根据三视图还原几何体, 2

求原几何体的体积,容易题. 4.【答案】C 【解析】因为 y ? sin 3 x ? cos 3 x ? 向左平移

2 sin( 3x ?

?
4

) ,所以将函数 y ? 2 sin 3x 的图象

? ? 个单位长得函数 y ? 2 sin 3( x ? ) ,即得函数 y ? sin 3x ? cos3x 的图象, 12 12
2 sin( x ?

选 C. 点评:本题考查三角函数的图象的平移变换, 公式 sin x ? cos x ? 运用,容易题. 5.【答案】B

?
4

)的

【解析】由 x ? y ? 2 x ? 2 y ? a ? 0 配方得 ( x ? 1) ? ( y ?1) ? 2 ? a ,所以圆心坐标为
2 2 2 2

( ?1,1) ,半径 r 2 ? 2 ? a ,由圆心到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离为

| ?1 ? 1 ? 2 | ? 2 ,所以 2

22 ? ( 2 )2 ? 2 ? a ,解得 a ? ?4 ,故选 B.
点评:本题考查直线与圆相交,点到直线的距离公式的运用,容易题. 6.【答案】C

4

【解析】对 A,若 m ? n , n // ? ,则 m ? ? 或 m // ? 或 m ? ? ,错误; 对 B,若 m // ? , ? ? ? ,则 m ? ? 或 m // ? 或 m ? ? ,错误; 对 C,若 m ? ? , n ? ? , n ? ? ,则 m ? ? ,正确; 对 D,若 m ? n , n ? ? , ? ? ? ,则 m ? ? 或 m ? ? 或 m // ? ,错误. 故选 C. 点评:本题考查空间中的线线、线面、面面的闻之关系,容易题. 7.【答案】C 【解析】 设 f (?1) ? f (?2) ? f (?3) ? k ,则一元二次方程 f ( x) ? k ? 0 有三个根 ? 1 、

? 2 、 ? 3 ,所以 f ( x) ? k ? a( x ? 1( x ? 2)(x ? 3) , 由于 f ( x) 的最高次项的系数为 1,
所以 a ? 1 ,所以 6 ? c ? 6 ? k ? 9 . 点评:本题考查函数与方程的关系,中等题. 8.【答案】D 【解析】对 A,没有幂函数的图象, ;对 B, f ( x) ? x ( x ? 0) 中 a ? 1 , g ( x) ? loga x 中
a

0 ? a ? 1 ,不符合题题;对 C, f ( x) ? x a ( x ? 0) 中 0 ? a ? 1 , g ( x) ? loga x 中 a ? 1 ,
不符合题题; 对 D, f ( x) ? x ( x ? 0) 中 0 ? a ? 1 ,g ( x) ? loga x 中 0 ? a ? 1 , 符合题题;
a

故选 D. 点评:本题考查幂函数与对数函数的图象判断,容易题. 9.【答案】D 【解析】依题意,对任意实数 t , | b ? at |? 1 恒成立,所以

(ta)2 ? b2 ? 2t? | a | ? | b | ? cos? ? 1恒成立,若 ? 为定值,则当 | b | 为定值时二次函数才有
最小值. 故选 B. 点评:本题考查平面向量的夹角、模,二次函数的最值,难度中等. 10.【答案】C 【解析】由勾股定理知, BC ? 20 ,过点 P 作 PP? ? BC 交 BC 于 P? ,连结 AP? , 则 tan ? ?

PP ? ? ,设 BP? ? m ,则 CP? ? 20 ? m ,因为 ?BCM ? 30 , AP ?

3 (20 ? m) 3 20 ? m 20 4 ? , ? ? 所以 tan? ? 3 ,所以当 x ? 0 时去的最大值 15 3 3 225? m 2 225? m 2
故 tan ? 的最大值为

4 3 4 3 . ? ? 3 3 9

考点:本题考查函数的奇函数的性质、分段函数、最值及恒成立,难度中等. 二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.请将答案天灾答题卡对应题号的位

5

置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 11.【答案】 ?

1 1 ? i 2 2

【解析】 因为 12.【答案】2

1? i 1? i 1? i 1 1 ? ? ? ? ? i . 点评:本题考查复数的运算,容易题. 2 (1 ? i) 2i ?2 2 2

【 解 析 】 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 如 图 中 ?ABC , 令 z ? x ? y , 解 方 程 组

?x ? 2 y ? 4 ? 0 ? x ? y ?1 ? 0 得 C (2,1) ,解方程组 ? 得 B(1,0) ,平移直线 z ? x ? y 经过点 ? ? x ? y ?1 ? 0 ?x ? 1
C 使得 z 取得最大值, 即 zMax ? 2 ? 1 ? 3 , 当直线 z ? x ? y 经过点 B(1,0) 使得 z 取得最小
值,即 zmin ? 1 ? 0 ? 1 ,故 x ? y 的取值范围是 [1,3] . 点评:本题考查不等式组表示的平面区域,求目标函数的最值,容易题. 13.【答案】6 【解析】当 S ? 0 , i ? 1 ,则第一次运行 S ? 2 ? 0 ? 1 ? 1 , i ? 1 ? 1 ? 2 ; 第二次运行 S ? 2 ?1 ? 1 ? 4 , i ? 2 ? 1 ? 3 ; 第三次运行 S ? 2 ? 4 ? 3 ? 11 , i ? 3 ? 1 ? 4 ; 第四次运行 S ? 2 ? 11 ? 4 ? 26 , i ? 4 ? 1 ? 5 ; 第五次运行 S ? 2 ? 26 ? 5 ? 57 ? 50 , i ? 5 ? 1 ? 6 终止循环,故输出 i ? 6 . 点评:本题考查程序框图,直到型循环结构,容易题. 14.【答案】

1 3

【解析】基本事件的总数是 3 ? 2 ? 1 ? 6 ,甲乙两人各抽取一张,两人都中奖只有 2 种 情况,由古典概型公式知,所求的概率 p ? 15.【答案】4 【解析】若 a ? 0 ,无解;若 a ? 0 ,解得 a ? ? 2 .故 a ? ? 2 点评:本题考查分段函数,复合函数,容易题. 16.【答案】

2 1 ? . 点评:本题考查古典概型,容易题. 6 3

2 3 3

6

【解析】因为 a ? b ? c ? 0 ,所以 c ? ?(a ? b) ,所以 a 2 ? b2 ? [?(a ? b)]2 ? 1 , 所以 2b 2 ? 2ab ? 2a 2 ? 1 ? 0 ,故实数 a 的最大值为 点评:本题考一元二次方程的根的判别式,容易题. 17.【答案】

2 3 . 3

5 2
b b x 与 y ? ? x ,分别与直线 a a

【解析】由双曲线的方程数知,其渐近线方程为 y ? 解得 A( x ? 3 y ? m ? 0 联立方程组,

? am ? bm ? am bm , ) ,B ( , ), 由 | PA |?| PB | , a ? 3b a ? 3b a ? 3b a ? 3b

设 AB 的中点为 E ,因为 PE 与直线 x ? 3 y ? m ? 0 垂直,所以 2a 2 ? 8b2 ? 8(c 2 ? a 2 ) , 所以 e ?

5 . 点评:本题考查双曲线的性质、渐近线与离心率,中等题. 2

三. 解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

7

8

9

10

11

12


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