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3.1.1直线的倾斜角和斜率PPT1


1

大家对于水上滑梯陌生吗

2

坐哪个滑梯更刺激,速度更快?为什么?

3

问题引入
容易看出,它们的倾斜程度不同.怎样描述 直线的倾斜程度呢?
y

l O

P

x

4

问题引入
对于平面直角坐标系内的一条直线 l ,它的 位置由哪些条件确定?
y

l O

x

5

问题引入
我们知道,两点确定一条直线.一点能确定 一条直线的位置吗?已知直线 l 经过点P,直线 l 的位置能够确定吗?
y

l
O P

x

6

l1

问题引入
过一点P可以作无数条直线l 1, l 2 , l 3 ,… 它们都经过点P ,这些直线区别在哪里呢?
y
l3

l2 l1

O

P

x

7

一、直线的倾斜角:
1、定义:
当直线l与x轴相交时, 我们取x轴作为基准,x轴 正向与直线l向上方向之间 所成的角 ? 叫做直线的 倾斜角。
y

l

?
o
x

规定:1.当直线与x轴平行或重合时, ? 0 ?
? 2.当直线与x轴垂直时, ? 90
0

0

8

按倾斜角分类,直线可分几类?
y
p y
l

l

y p o
?

l

y o p?

p o
?

o

x

x

x

x

l

2、范围: 0 ? a ? 180

?

?

9

练习:下列图中标出的直线的倾斜角对不对?

y

y

y

y

o

?

o x

?

? o

?

x (3)

x

o (4)

x

(1)

(2)

10

日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量?

坡度(比)

?

升高量 前进量

11

?
?

结论:坡度越大,楼梯越陡.

12

二、直线的斜率:
设直线的倾斜程度为k
k AC ? CB AB

C 升
?
前进量 高 量

? tan ?
A

B

1、定义:
我们把一条直线的倾斜角 ? 的正切值 叫做这条直线的斜率. 用小写字母 k 表示,即: k ? tan ?
13

例题:已知直线的倾斜角,求直线的斜率:

?1 ?a
? 2 ?a

? 30
? 45
?

?

? k ? tan 30 ?

?

3 3

? k ? tan 45 ? 1
? k ? tan 60 ?
?
?
?

?

? 3 ?a
? 4 ?a

? 60

?

3

? 120

? k ? tan 120 ? ? 3
? k ? ta n 1 5 0 ? ?
?

?5 ?a

? 150

?

3 3
14

是否每条直线都有斜率?
1.如果倾斜角是0?

0 ? a ? 180

?

?

k=0

2.如果倾斜角是直角? k 不存在 3.如果倾斜角是锐角? k ? tan ? ? 0

且角越大k越大
4.如果倾斜角是钝角? k ? tan ? ? 0 且角越大k越大
15

y ? tan x

y
3?

-

2

-

?

?

?
2

1

?
2

?

3? 2

-1 0

x

DEF 练习:关于直线的倾斜角和斜率,其中____ 说法是正确的. A.任一条直线都有倾斜角,也都有斜率; B.直线的倾斜角越大,它的斜率就越大; C.平行于x轴的直线的倾斜角是0或π; D.两直线的斜率相等,它们的倾斜角相等 E.直线斜率的范围是(-∞,+∞).. F. 一定点和一倾斜角可以唯一确定一条直线

16

由两点确定的直线的斜率:
倾斜角是锐角时 k ? tan ? 能不能构造 当α为锐角时, y
y2
y1
P2 ( x 2 , y 2 )

一个直角三 角形去求?

?
P1 ( x1 , y1 )

? ? ? P2 P1Q
在 Rt ? P2 P1Q 中

Q ( x 2 , y1 )

?

o

x1

x2

x
QP 2 P1Q

k ? tan ? ? tan ? P2 P1Q ?

?

y 2 ? y1 x 2 ? x1

?0
17

倾斜角是钝角时
y
y2 y1
P2 ( x 2 , y 2 )

当α为钝角时,
? ? 180 ? ? ,
?

tan ? ? tan( 180 ? ? tan ?
?

?

?? )

?
Q ( x 2 , y1 )

P1 ( x1 , y1 )

在 Rt ? P2 QP1中
tan ? ? P2 Q P1 Q

o

x2

x1

x

?

y 2 ? y1 x1 ? x 2

? k ? tan ? ? ?

y 2 ? y1 x1 ? x 2

?

y 2 ? y1 x 2 ? x1

?0
18

三、直线的斜率公式:
经过两点
P ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ) ( x ? x ) 1 1 2

的直线的斜率公式:

k ?

y 2 ? y1 x 2 ? x1
P2 P1

(或 k ?

y1 ? y 2 x1 ? x 2
P1 P2

)

公式的特点:

(1) 当x1=x2时,公式不适用,此时α=900 (2) 直线的斜率可以通过直线上任意两点的坐标来表示
(3) 与两点的顺序无关;
19

例2:如图,已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2), 求直线AB、BC、CA的斜率,并判断这些 直线的倾斜角是什么角?
k 解:AB ? 2?2 ?8?4 ?2?2
0 ? (?8) 2 ? (?2)
4?0

? 0
?
?

B
? ? 1 2
?1

y.

k BC ?
k CA ?

?4 8 4
4

. . . .

.
o

A

. . .
C

.

x

? k AB ? 0 ∴直线AB的倾斜角为零
? k BC ? 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角

? k CA ? 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角

20

练习:已知 P1 (1, 2 ), P2 ( x , 3 ), P3 ( ? 3 , ? 1 ) 在一条
直线上 , 求 x 的值 .

解: ? P1 , P2 , P3 在一条直线上

? kPP ? kP
1 2

2 P3



3?2 x ?1

?

?1? 3 ?3? x

x ?

7 3

.

21

小结 ① 经历倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成 过程,能自然过渡到倾斜角的概念。 ② 通过对坡角、坡度概念回顾,经过知识迁移到 直线 的斜率中,并得到了斜率的定义。 ③ 经历用代数方法刻画直线斜率的过程,推导出 过已知两点的 直线的斜率坐标公式。

22

作业
? P89 习题3.1 2. 3.

23


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