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物理竞赛3动力学


动力学
一、复习基础知识点
一、 考点内容 1.牛顿第一定律,惯性。2.牛顿第二定律,质量。 3.牛顿第三定律,牛顿运动定律的应用。4.超重和失重。 二、 知识结构

牛顿运动定律

? 的原因,而不是维持 ? 力是改变物体运动状态 ? ? 惯性是物体的固有属 ? 物体运动状态的原因, ? 牛顿第一定律 ? ? 量度 ?

性,质量是惯性大小的 ? ? ? ? F x ? ma x ? ? 表达式 F 合 ? ma 或 ? ? ? ? F y ? ma y ? ? 本问题: ? 牛顿第二定律 ? 应用:动力学的两类基 ? ? 受力情况 ? a ? 运动情况;超重和失重 ? ? ? ? ? ? ? 牛顿第三定律:相互性 ;同时性;同性质 ? ? ? ?

三、复习思路 牛顿运动定律是力学的核心,也是研究电磁学的重要武器。在新高考中,涉及本单元 的题目每年必出,考查重点为牛顿第二定律,而牛顿第一定律、第三定律在第二定律的应 用中得到完美体现。在复习中,应注重对概念的全方位理解、对规律建立过程的分析,通 过适当定量计算,掌握利用牛顿运动定律解题的技巧规律,强化联系实际和跨学科综合题 目的训练,培养提取物理模型,迁移物理规律的解题能力。 基础习题回顾 1.一个人站在医用体重计的测盘上,在人下蹲的全过程中,指针示数变化应是: A、先减小,后还原 B、先增加,后还原 C、始终不变 D、先减小,后增加,再还原 a 2.如图所示,ad、bd、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆,
b

a、b、c、d 位于同一圆周上,a 点为圆周的最高点,d 点为最低点。
每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出),三个滑环分别从 a、b、c 处释放(初速度为零), t1、 2、 3 依次表示滑环到达 d 所用的时间, 用 t t 则: A、t1 < t2 < t3 B、t1 > t2 > t3 C、t3 > t1 > t2
41 d c

D、t1 = t2 = t3

3.有一箱装得很满的土豆(如图) ,以一定的初速度在动摩擦因数为 ? 的水平面上向左做 匀减速运动(不计其它外力和空气阻力) ,其中有一质量为 m 的土豆,则其它土豆对它的 总作用力大小是: A、 mg B、 ? mg C、 mg 1 ? ?
2

D、 mg 1 ? ?

2

4.在一次火灾事故中,因情况特殊别无选择,某人只能利用一根绳子从高处 逃生,他估计这根绳子所能承受的最大拉力小于他的重量,于是,他将绳子的一端固定, 然后沿着这根绳子从高处竖直下滑。为了使他更加安全落地,避免绳断人伤,此人应该: A.尽量以最大的速度匀速下滑 B.尽量以最大的加速度加速下滑 C.小心翼翼地、慢慢地下滑 D.最好是能够减速下滑 5.在滑冰场上,甲、乙两小孩分别坐在滑冰板上,原来静止不动,在相互猛推一下后分 别向相反方向运动。 假定两板与冰面间的摩擦因数相同。 已知甲在冰上滑行的距离比乙远, 这是由于: A、在推的过程中,甲推乙的力小于乙推甲的力 B、在推的过程中,甲推乙的时间小于乙推甲的时间 C、在刚分开时,甲的初速度大于乙的初速度 D、在分开后,甲的加速度的大小小于乙的加速度的大小 6.如图所示,一物块位于光滑水平桌面上,用一大小为 F、方向如图所示的力去推它,使 它以加速度 a 右运动。若保持力的方向不变而增大力的大小,则: A、a 变大 B、不变 C、a 变小 D、因为物块质量未知,故不能确定 a 变化的趋势 7.吊在降落伞下的“神舟”五号载人飞船返回舱下落速度仍达 14m/s,为实现软着陆,在 返回舱离地面约为 1.5m 时开动 5 个反推力小火箭,若返回舱重 3 吨,则每支火箭的平均 推力为 牛。 (保留两位有效数字) 8.煤矿安全问题至关重要。某煤矿通过铁轨车送工人到地下工作。假设铁轨是一条倾斜 向下的直线铁轨,长 1 公里。铁轨车在该铁轨上从地下到安全出口的最快速度为 2m/s,加 速和减速时铁轨车的最大合外力都为车重(包括人)的 0.05 倍,则工人安全脱离的最少 时间需要___ ___s。
2

(设铁轨车从静止开始加速,到达安全出口时速度刚好为 0,g 取 10m/s ) 。 9.一辆小汽车在平直的高速公路上以 v0=108km/h 的速度匀速行驶,突然驾驶员发现正 前方 s=110m 处有一辆因故障停在路上维修的货车,于是急刹车.已知驾驶员的反应时间 (从发现危险到踩下刹车踏板的时间)为 0.6 s.设刹车过程中车轮停止转动,汽车作匀减 速运动.求车轮与地面间的动摩擦因数 μ 至少要有多大才不会发生碰撞事故.

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二、初赛知识要点分析
一、牛顿运动定律 (1)牛顿第一定律:在牛顿运动定律中,第一定律有它独立的地位。它揭示了这样一条规 律:运动是物体的固有属性,力是改变物体运动状态的原因,认为“牛顿第一定律是牛顿第二 定律在加速度为零时的特殊情况”的说法是错误的,它掩饰了牛顿第一定律的独立地位。 物体保持原有运动状态(即保持静止或匀速直线运动状态)的性质叫做惯性。因此, 牛顿第一定律又称为惯性定律。但二者不是一回事。牛顿第一定律谈的是物体在某种特定 条件下(不受任何外力时)将做什么运动,是一种理想情况,而惯性谈的是物体的一种固 有属性。一切物体都有惯性,处于一切运动状态下的物体都有惯性,物体不受外力时,惯 性的表现是它保持静止状态或匀速直线运动状态。物体所受合外力不为零时,它的运动状 态就会发生改变,即速度的大小、方向发生改变。此时,惯性的表现是物体运动状态难以 改变,无论在什么条件下,都可以说,物体惯性的表现是物体的速度改变需要时间。 质量是物体惯性大小的量度。 (2)牛顿第二定律 物体的加速度跟所受的合外力成正比,跟物体的质量成反比。加 速度的方向跟合外力方向相同,这就是牛顿第二定律。它的数学表达式为
? ? ? F ? ma

牛顿第二定律反映了加速度跟合外力、质量的定量关系,从这个意义上来说,牛顿第二定 律的表达式写成 a ? ? F m 更为准确。不能将公式 ? F ? m a 理解为:物体所受合外力跟 加速度成正比,与物体质量成正比,而公式 m ? ? F a 的物理意义是:对于同一物体,加 速度与合外力成正比,其比值保持为某一特定值,这比值反映了该物体保持原有运动状态 的能力。 力与加速度相连系而不是同速度相连系。从公式 v ? v 0 ? at 可以看出,物体在某一时 刻的即时速度,同初速度、外力和外力的作用时间都有关。物体的速度方向不一定同所受 合外力方向一致,只有速度的变化量(矢量差)的方向才同合外力方向一致。 牛顿第二定律反映了外力的瞬时作用效果。物体所受合外力一旦发生变化,加速度立即发 生相应的变化。例如,物体因受摩擦力而做匀变速运动时,摩擦力一旦消失,加速度立即 消失。刹车过程中的汽车当速度减小到零以后,不再具有加速度,它绝不会从速度为零的 位置自行后退。 (3)牛顿第三定律:作用力与反作用力具有六个特点:等值、反向、共线、同时、同 性质、作用点不共物。要善于将一对平衡力与一对作用力和反作用力相区别。平衡力性质 不一定相同,且作用点一定在同一物体上。 二、力和运动的关系 物体所受合外力为零时,物体处于静止或匀速直线运动状态。物体所受合外力不为零 时,产生加速度,物体做变速运动。若合外力恒定,则加速度大小、方向都保持不变,物 体做匀变速运动。 匀变速运动的轨迹可以是直线,也可以是曲线。物体所受恒力与速度方向处于同一直 线时,物体做匀变速直线运动。根据力与速度同向或反向又可进一步分为匀加速运动和匀 减速运动,自由落体运动和竖直上抛运动就是例子。若物体所受恒力与速度方向成角度, 物体做匀变速曲线运动。例如,平抛运动和斜抛运动。 物体受到一个大小不变,方向始终与速度方向垂直的外力作用时,物体做匀速圆周运 动。此时,外力仅改变速度的方向,不改变速度的大小。 物体受到一个与位移方向相反的周期性外力作用时,做机械振动。 综上所述:判断一个物体做什么运动,一看受什么样的力,二看初速度与合外力方向 的关系。
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?

?

?

?

三、力的独立作用原理 物体同时受到几个外力时,每个力各自独立地产生一个加速度,就像别的力不存在一 样,这个性质叫做力的独立作用原理。物体的实际加速度就是这几个分加速度的矢量和。 根据力的独立作用原理解题时,有时采用牛顿第二定律的分量形式
? F x ? ma
x

? F y ? ma
2

y

分力、合力及加速度的关系是
?F ? (? Fx ) ? (? F y )
2

a ?

ax ? ay
2

2

在实际应用中, 适用选择坐标系, 让加速度的某一个分量为零, 可以使计算较为简捷。 通常沿实际加速度方向来选取坐标,这种解题方法称为正交分解法。 如图所示,质量为 m 的物体,置于倾角为 ? 的固定斜面上,在水平推力 F 的作用下, 沿斜面向上运动。物体与斜面间的滑动摩擦为 ? ,若要求物体的加速度,可先做出物体的 受力图(如图所示) 。沿加速度方向建立坐标并写出牛顿第二定律的分量形式 ? F x ? F cos ? ? f ? mg sin ? ? ma
? F y ? N ? F sin ? ? mg cos ? ? 0
f ? ?N

物体的加速度 a ?

F cos ? ? mg sin ? ? ? ( mgcoa ? ? F sin ? ) m

对于物体受三个力或三个以上力的问题,采用正交分解法可以减少错误。做受力分析 时要避免“丢三拉四” 。 四、即时加速度 中学物理课本中,匀变速运动的加速度公式 a ? ( v t ? v 0 ) / t ,实际上是平均加速度公 式。只是在匀变速运动中,加速度保持恒定,才可以用此式计算它的即时加速度。但对于 做变加速运动的物体,即时加速度并不一定等于平均加速度。根据牛顿第二定律计算出的 加速度是即使加速度。它的大小和方向都随着合外力的即时值发生相应的变化。 例如,在恒定功率状态下行驶的汽车,若阻力也保持恒定,则它的加速度
a ? F ? f m ? ( p0 v) ? f m

随速度的增大而逐渐减小。当 F ? f 时,加速度为零,速度达到最大值
vm ? p0 F ? p0 f

因此,提高车速的办法是:加大额定功率,减小阻力。 再如图所示,电梯中有质量相同的 A、B 两球,用轻质弹簧相连,并用细绳系于电梯 天花板上。该电梯正以大小为 a 的加速度向上做匀减速运动( a ? g ) 。若突然细绳断裂。 让我们来求此时两小球的瞬时加速度。

做出两球受力图,并标出加速度方向(如图所示) 。根据牛顿第二定律可以写出
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对 A: mg ? T 2? ? T1 ? ma

对 B: mg ? T 2 ? ma

注意到 T 2? ? T 2 ,并注意到悬绳与弹簧的区别:物理学中的细绳常可以看作刚性绳, 它受力后形变可以忽略不计,因而取消外力后,恢复过程所用时间可以不计。而弹簧受力 后会发生明显的形变,外力取消后,恢复过程需要一定的时间。因此,绳的张力可以突变, 而弹簧的弹力不能突变。细绳断裂后,系在 A 上方的一段绳立即松开,拉力 T 1 立即消失。 而由于弹簧弹力不能突变,张力 T 2 和 T 2? 皆保持不变。因而,B 受合外力不变, a B ? a 方 向仍向下。而 A 的即时加速度 a A ? ( mg ? T 2? ) m ? ?mg ? ( mg ? ma ) ? m ? 2 g ? a , 方向也向下。 五、惯性参照系 在第一单元中,我们提到过,运用运动学规律来讨论物体间的相对运动并计算物体的 相遇时间时,参照系可以任意选择,视研究问题方便而定。运动独立性原理的应用所涉及 的,就是这一类问题。但是,在研究运动与力的关系时,即涉及到运动学的问题时,参照 系就不能任意选择了。下面两个例子中,我们可以看到,牛顿运动定律只能对某些特定的 参照系才成立,而对于正在做加速运动的参照系不再成立。 如图所示,甲球从高 h 处开始自由下落。在甲出发的同时,在地面上正对 甲球有乙球正以初速 v 0 做竖直上抛运动。 如果我们讨论的问题是:两球何时相遇,则参照系的选择是任意的。 如果选地面为参照系,甲做自由落体运动,乙做竖直上抛运动。设 甲向下的位移为 s 1 ,乙向上的位移为 s 2 ,则
h ? s1 ? s 2 ? 1 2 gt
2

? (v 0 t ?

1 2

gt ) ? v 0 t
2

得 t ? h v0

若改选甲为参照系,则乙相对于甲做匀速直线运动,相对位移为 h ,相遇时间为 t ? h v 0 ,可见,两个参照系所得出的结论是一致的。 如果我们分析运动和力的关系。若选地球做参照系,甲做自由落体运动,乙做竖直上 抛运动,二者都仅受重力,加速度都是 g ,而 a ? F m ? G m ? g ,符合牛顿第二定律。 但如果选甲为参照系,则两物皆受重力而加速度为零 (在这个参照系中观察不到重力加速度) ,显然牛顿第 二定律不再成立。 再如图所示,平直轨道上有列车,正以速度 v 做 匀速运动,突然它以大小为 a 的加速度刹车。车厢内 高 h 的货架上有一光滑小球 B 飞出并落在车厢地板上。 如果我们仅研究小球的运动,计算由于刹车,小球相对于车厢水平飞行多大距离。若 选地面为参照系,车厢做匀减速运动,向前位移为 s 1 。小球在水平方向不受外力,做匀速 运动,位移为 s 2 ,在竖直方向上做自由落体运动,合运动为平抛运动。 s 2 与 s 1 之差就是 刹车过程中小球相对于车厢水平飞行的距离。
x ? s 2 ? s1 ? v 0 t ? ( v 0 t ? 1 2 at ) ?
2

1 2

at

2

t ?

2h g

若改选小球做参照系,水平速度 v 观察不到,车厢相对于小球做大小为 a ,方向向车 前进反方向的,初速为零的匀加速运动。直接可以写出 x ? ? ? 的结论。
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1 2

at ,两种方法得出相同

2

如果我们对小球研究运动和力的关系。选地球为参照系时,小球具有向前的初速 v , 仅受重力,做平抛运动,加速度为 g ,符合牛顿第二定律。若选车厢做参照系,小球在水 平方向相对于车厢将附加一个加速度为 ? a ,由于速度 v 观察不到。小球相对于车厢仅具 有一个大小为 g ? ( ? a ) ,方向斜向前下方的加速度,做初速为零的匀加速运动。显然
2 2

a ?

g

2

? (? a )

2

? g ? G m ,牛顿第二定律不再成立。

人们把牛顿运动定律能在其中成立的参照系叫做惯性系。在研究问题精度要求不太高的情 况下,地球可以看作惯性系。而相对于地球做匀速直线运动的参照系都可以作为惯性系。 在中学范围内讨论动力学问题时所选取的坐标系,都必须是惯性系,计算力时,代入 公式的速度和加速度,都必须是相对于地球的。 有时, 为了研究问题方便, 讨论动力学问题时, 需选取做加速运动的物体做参照系 (非 惯性系) 为了使牛顿定律在这一坐标系中成立, 。 必须引入一个虚拟的力 (它没有施力者) , 叫做“惯性力” 。它的大小等于 ma ,方向与所选定的非惯性系的加速度的方向相反。在上 例中,引入“惯性力”后,小球所受合外力为重力与“惯性力” ? ma )的合力,其大小 (
F ? ( mg ) ? ( ? ma )
2 2

? m

a

2

? g
2

2

它所产生的加速度大小为 a ? g 又重新成立了。 六、质点组的牛顿第二定律

2

,正好与在车厢中观察的加速度一致。牛顿定律

若研究对象是质点组,牛顿第二定律的形式可以表述为:在任意的 x 方向上,设质点 组受的合外力为 F x ,质点组中的 n 个物体的质量分别为 m 1 , m 2 , ? , m n , x 方向上的加速 度分别为 a 1 x , a 2 x , ? , a nx ,则有 F x ? m 1 a 1 x ? m 2 a 2 x ? ? ? m n a nx 上式为在任意方向上的质点组的牛顿第二定律公式。 如图所示, 质量为 M ,长为 l 的木板放在光滑的斜面上。为使木板能静止在斜 面上,质量为 m 的人应在木板上以多大的加速度跑动?(设人的脚 底与木板间不打滑) 运用质点组的牛顿第二定律可以这样求解:选取人和木板组成 的系统为研究对象,取沿斜面向下的方向为正,则该方向上的合外 力为 ( M ? m ) g sin ? ,故 ( M ? m ) g sin ? ? Ma M ? ma m 因为 a M ? 0 ,所以 a m ?
( M ? m ) g sin ? m

。 a m 的方向与合外力方向相同,故人跑的

加速度方向应沿斜面向下。 七、突变类问题(力的瞬时性) (1)物体运动的加速度 a 与其所受的合外力 F 有瞬时对应关系,每一瞬时的加速度只取 决于这一瞬时的合外力,而与这一瞬时之前或之后的力无关,不等于零的合外力作用的物 体上, 物体立即产生加速度; 若合外力的大小或方向改变, 加速度的大小或方向也立即 (同 时)改变;若合外力变为零,加速度也立即变为零(物体运动的加速度可以突变) 。 (2)中学物理中的“绳”和“线” ,是理想化模型,具有如下几个特性: A.轻:即绳(或线)的质量和重力均可视为等于零,同一根绳(或线)的两端及其中间 各点的张为大小相等。 B.软:即绳(或线)只能受拉力,不能承受压力(因绳能变曲) ,绳与其物体相互间作用 力的方向总是沿着绳子且朝绳收缩的方向。
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C.不可伸长:即无论绳所受拉力多大,绳子的长度不变,即绳子中的张力可以突变。 (3)中学物理中的“弹簧”和“橡皮绳” ,也是理想化模型,具有如下几个特性: A.轻:即弹簧(或橡皮绳)的质量和重力均可视为等于零,同一弹簧的两端及其中间各 点的弹力大小相等。 B.弹簧既能承受拉力,也能承受压力(沿着弹簧的轴线) ,橡皮绳只能承受拉力。不能承 受压力。 C、由于弹簧和橡皮绳受力时,要发生形变需要一段时间,所以弹簧和橡皮绳中的弹力不 能发生突变。 (4)做变加速度运动的物体,加速度时刻在变化(大小变化或方向变化或大小、方向都 变化度叫瞬时加速度,由牛顿第二定律知,加速度是由合外力决定的,即有什么样的合外 力就有什么样的加速度相对应,当合外力恒定时,加速度也恒定,合外力随时间变化时, 加速度也随时间改变,且瞬时力决定瞬时加速度,可见,确定瞬时加速度的关键是正确确 定瞬时作用力。 【例 1】如图(a)所示,一质量为 m 的物体系于长度分别为 l1、12 的两根细绳上,l1 的一 端悬挂在天花板上, 与竖直方向夹角为θ ,l2 水平拉直, 物体处于平衡状态, 现将 l2 线剪断, 求剪断瞬间物体的加速度。 (1)下面是某同学对该题的一种解法: 设 l1 线上拉力为 FT1,l2 线上拉力为 FT2,重力 为 mg,物体在三力作用下保持平衡: FT 1 cosθ =mg,FT 1sinθ =FT2,FT2=mgtanθ 剪断线的瞬间,FT2 突然消失,物体即在 FT2,反方向获得加速度.因为 mgtanθ =ma,所以加 速度 a=gtanθ ,方向在 FT2 反方向。 你认为这个结果正确吗?请对该解法作出评价并说明 (2)若将图 a 中的细线 11 改为长度相同、质量不计的轻弹簧,如图 b 所示,其他条件不 变,求解的步骤与(1)完全相同,即 a=gtanθ ,你认为这个结果正确吗?请说明理由. 解析: (1)结果不正确. 因为 12 被剪断的瞬间,11 上张力的大小发生了突变, 此瞬间 FT1=mgcos θ,它与重力沿绳方向的分力抵消,重力垂直于绳方向的分力产生加速度:a=gsinθ。 (2)结果正确,因为 l2 被剪断的瞬间,弹簧 11 的长度不能发生突变,FT 1 的大小方向都不变, 它与重力的合力大小与 FT2 方向相反,所以物 体的加速度大小为:a=gtanθ。 【例 2】如图(a)所示,木块 A、B 用轻弹簧 相连,放在悬挂的木箱 C 内,处于静止状态, 它们的质量之比是 1:2:3。当剪断细绳的瞬 间,各物体的加速度大小及其方向? 【解析】设 A 的质量为 m,则 B、C 的质量分别为 2m、3m, 在未剪断细绳时,A、B、C 均受平衡力作用,受力如图(b)所示。剪断绳子的瞬间,弹簧弹力不发生突变,故 Fl 大 小不变。而 B 与 C 的弹力怎样变化呢?首先 B、C 间的作用力肯定要变化,因为系统的平 衡被打破,相互作用必然变化。我们没想一下 B、C 间的弹力瞬间消失。此时 C 做自由落 体运动,ac=g;而 B 受力 F1 和 2mg,则 aB=(F1+2mg)/2m>g,即 B 的加速度大于 C 的加 速度,这是不可能的。因此 B、C 之间仍然有作用力存在,具有相同的加速度。设弹力为 N,共同加速度为 a,则有: F1+2mg-N=2ma ……① 3mg+N =3ma …………② F1=mg 解答 a=1.2, N=0〃6 mg 所以剪断细绳的瞬间,A 的加速度为零;B。C 加速度相同,大小均为 1.2g,方向竖直向下。
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八、动力学的两类基本问题 1、已知物体的受力情况求物体运动中的某一物理量:应先对物体受力分析,然后找出物体所受 到的合外力,根据牛顿第二定律求加速度 a,再根据运动学公式求运动中的某一物理量. 2、已知物体的运动情况求物体所受到的某一个力:应先根据运动学公式求得加速度 a,再 根据牛顿第二定律求物体所受到的合外力,从而就可以求出某一分力. 综上所述,解决问题的关键是先根据题目中的已知条件求加速度 a,然后再去求所要 求的物理量,加速度象纽带一样将运动学与动力学连为一体. 【例 1】如图所示,水平传送带 A、B 两端相距 S= 3.5m,工件与传送带间的动摩擦因数μ =0.1。工件滑 上 A 端瞬时速度 VA=4 m/s,达到 B 端的瞬时速度设 为 vB。 (1)若传送带不动,vB 多大? (2)若传送带以速度 v(匀速)逆时针转动,vB 多大? (3)若传送带以速度 v(匀速)顺时针转动,vB 多大? 【解析】(1)传送带不动,工件滑上传送带后,受到向左的滑动摩擦力(Ff=μ mg)作用,工 2 件向右做减速运动,初速度为 VA ,加速度大小为 a=μ g=lm/s ,到达 B 端的速度
vB ? v A ? 2 aS ? 3 m / s .
2

(2)传送带逆时针转动时,工件滑上传送带后,受到向左的滑动摩擦力仍为 Ff=μ mg ,工件 2 向右做初速 VA,加速度大小为 a=μ g=1 m/s 减速运动,到达 B 端的速度 vB=3 m/s. (3)传送带顺时针转动时,根据传送带速度 v 的大小,由下列五种情况: ①若 v=VA,工件滑上传送带时,工件与传送带速度相同,均做匀速运动,工件到达 B 端 的速度 vB=vA ②若 v≥ v A ? 2 aS ,工件由 A 到 B,全程做匀加速运动,到达 B 端的速度
2

vB= v A ? 2 aS =5 m/s.
2

③若 v A ? 2 aS >v>VA,工件由 A 到 B,先做匀加速运动,当速度增加到传送带速度 v
2

时,工件与传送带一起作匀速运动速度相同,工件到达 B 端的速度 vB=v. ④若 v≤ v A ? 2 aS 时,工件由 A 到 B,全程做匀减速运动,到达 B 端的速度
2

vB ?

v A ? 2 aS ? 3 m / s
2
2

⑤若 vA>v> v A ? 2 aS ,工件由 A 到 B,先做匀减速运动,当速度减小到传送带速度 v 时,工件与传送带一起作匀速运动速度相同,工件到达 B 端的速度 vB=v。 说明: (1)解答“运动和力”问题的关键是要分析清楚物体的受力情况和运动情况,弄 清所给问题的物理情景. (2)审题时应注意由题给条件作必要的定性分析或半定量分 析. (3)通过此题可进一步体会到,滑动摩擦力的方向并不总是阻碍物体的运动.而是阻 碍物体间的相对运动,它可能是阻力,也可能是动力.

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【例 2】一个同学身高 hl=1.8m,质量 65 kg,站立举手摸高 h2=2.2 m(指手能摸到的最大 高度) 。 (1)该同学用力蹬地,经时间竖直离地跳起, 摸高为 h3=2.6m,假定他蹬地的力 F1 为恒力, 求力 F1 的大小。 (2)另一次该同学从所站 h4=1.0 m 的高处自由下落,脚接触地面后经过时间 t=0.25s 身 体速度降为零,紧接着他用力凡蹬地跳起,摸高为 h5=2.7m。假定前后两个阶段中同学与 2 地面的作用力分别都是恒力,求同学蹬地的作用力 F2。 (取 g=10m/s ) 【分析】 (1)涉及两个过程:用力蹬地可视为匀加速过程;离地跳起摸高则 h5一h2 为竖直上抛过程。(2)涉及四个过程:第一过程是下落高度为 1.0 m 的自由 下落过程;第二过程是减速时间为 0.25s 的匀减速至停下 的缓冲过程(此阶段人腿弯曲,重心下降) ;第三过程是用 力 F2 蹬地使身体由弯曲站直的匀加速上升阶段 (此阶身高h2 段重心升高的高度与第二过程重心下降的高度相等)第四 ; 过程是离地后竖直向上的匀减速运动过程,上升高度为 0.5 m。 解: (1)设蹬地匀加速过程的加速度为 al,历时 t1,末速为 v1 由运动学条件有 v1=a1t1;v12=2g(h3 一 h2) )求得 a1= (20/9) 8 m/s 由蹬地过程受力情况可得 Fl 一 mg=ma1 故 Fl=mg+mal=650+408.6=1058.6 N (2)分四个过程: (简单图示如右) 2 ①自由下落 vt =2gh4=20 ②触地减速到零,设位移 x 时间 t, x=(vt+0)〃t/2 2 ③再加速离地,位移,时间也为 x,t,x=v2 /2a2 2 ④竖直上抛 v2 =2g(h5 一 h2)=10 由①解得 vt,由②解得 x,由④解得上抛初速 v2,由③解得 a2 由蹬地过程受力情况可得 F2 一 mg=ma2 故 F2=mg+ma2=650+581.4=1231.4 N
2

九、超重与失重状态的分析 在平衡状态时, 物体对水平支持物的压力 (或对悬绳的拉力) 大小等于物体的重力. 当 物体的加速度竖直向上时,物体对支持物的压力大于物体的重力,由 F-mg=ma 得 F=m(g +a)>mg,这种现象叫做超重现象;当物体的加速度竖直向下时,物体对支持物的压力小 于物体的重力,mg-F=ma 得 F=m(g-a)<mg,这种现象叫失重现象.特别是当物体竖直 向下的加速度为 g 时,物体对支持物的压力变为零,这种状态叫完全失重状态. 对超重和失重的理解应当注意以下几点: (1)物体处于超重或失重状态时,只是物体的视重发生改变,物体的重力始终存在,大 小也没有变化,因为万有引力并没有改变. (2)发生超重或失重现象与物体的速度大小及方向无关,只决定于加速度的方向及大小. (3)在完全失重的状态下,平常一切由重力产生的物理现象都会完全消失,如天平失效、 浸在水中的物体不再受浮力、液体柱不再产生向下的压强等。

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【例1】将金属块m用压缩的轻弹簧卡在一个矩形的箱中,如图所示,在箱的 2 上顶板和下顶板装有压力传感器,箱可以沿竖直轨道运动,当箱以a=2.0m/s 的加速度竖直向上作匀减速运动时, 上顶板的压力传感器显示的压力为6.0 N, 2 下底板的压力传感器显示的压力为10.0 N。 (g取10m/s ) (1)若上顶板的压力传感器的示数是下底板的压力传感器的示数的一半,试 判断箱的运动情况; (2)要使上顶板的压力传感器的示数为零,箱沿竖直方向运动的情况可能是怎样的? 解析:由题意,对金属块受力分析如图所示。 当向上匀减速运动时,加速度方向向下,设上顶板的压力传感器的示数为N1,弹簧弹力 为F,由牛顿第二定律有N1+mg一F=ma??① 弹簧弹力F等于下底板的压力传感器的示数N2:F=N2=10N代入①可解得m=0.5kg。 (1)依题意,N1=5 N,弹簧长度没有改变,F=10N代入① 解得a=0,说明整个箱体做向上或向下的匀速运动。 (2)当整个箱体的加速度方向向上时有F一N1一mg=ma, 求出N1减至零的加速度: a ?
F m ? g =10 m/s 。
2 2

上顶板的压力传感器的示数为零时, 整个箱体在做加速度不小于10 m/s 的向上加速或 向下减速运动。 【例2】如图所示滑轮的质量不计,已知三个物体的质量关系是:m1=m2十m3,这时弹簧秤 的读数为T,若把物体m2从右边移到左边的物体m1上,弹簧秤的读数T将( ) A.增大; B.减小; C.不变; D.无法判断

【解析】 解法 1:移 m2 后,系统左、右的加速度大小相同方向相反,由于 ml 十 m2 >m3,故系统的重心加速下降,系统处于失重状态,弹簧秤的读数减小, B 项正确。 / 解法 2::移后设连接绳的拉力为 T ,系统加速度大小为 a。 / 对(ml+m2)(m1+m2)g 一 T =(ml+m2)a; : / 对 m3:T 一 m3g=m3a 消去 a,可解得 T
/

?

2 m 3 g ?m 1 ? m 2 ? m1 ? m 2 ? m 3

m 。
/

m m
2 3

1

对滑轮稳定后平衡:弹簧秤的读数 T=2T , 移动前弹簧秤的读数为 2(m1+m2+m3)g,比较可得移动后弹簧秤的读数小于 2(m1+m2+m3) g。 故 B 项正确。

50

【例 3】如图所示,有一个装有水的容器放在弹簧台秤上,容器内有一只木 球被容器底部的细线拉住浸没在水中处于静止, 当细线突然断开, 小球上升 的过程中,弹簧秤的示数与小球静止时相比较有’ (C) A.增大; B.不变; C.减小; D.无法确定 解析:当细线断后小球加速上升时处于超重状态,而此时将有等体积的“水球”加速下降 处于失重状态;而等体积的木球质量小于“水球”质量,故总体体现为失重状态,弹簧秤 的示数变小.

【例 4】如图,一杯中装满水,水面浮一木块,水面正好与杯口相平。现在使杯和水一起 向上做加速运动,问水是否会溢出?

【解析】本题的关键在于要搞清这样的问题:当水和木块加速向上运动时,木块排开水的 体积是否仍为 V,它所受的浮力是否与静止时一样为ρ水 gv?我们采用转换的方法来讨论 该问题。 设想在水中取一块体积为 V 的水,如图所示,它除了受到重力,还要受到周围水的浮 力 F,当杯和水向上运动时,它将和周围水一起向上运动,相对于杯子不会有相对运动。 则 F-mg=ma,F= m(g+a)=ρ水 V(g+a) 。 现在,如果把这块水换成恰好排开水的体积为 V 的木块,显然,当水和木块一起向上 做加速运动时,木块所受到周围水对它的浮力也应是ρ水 V(g+a) ,木块的加速度为 ? V ?g ? a ? ? m 水 g m ?g ? a ? ? m 水 g a 木=F 合/m 水= 水 = 水 =a, 水=ρ水 V) (m
m水 m水

可见,木块排开水的体积不会增加,所以水不会溢出

51

应用牛顿运动定律解题的科学方法
整体法
例 1: 如图 1—1 所示, 人和车的质量分别为 m 和 M , 人用水平力 F 拉绳子,图中两端绳子均处于水平方向, 不计滑轮质量及摩擦,若人和车保持相对静止,且水平 地面是光滑的,则车的加速度为 。 解析:要求车的加速度,似乎需将车隔离出来才能 求解,事实上,人和车保持相对静止,即人和车有相同 的加速度,所以可将人和车看做一个整体,对整体用牛 顿第二定律求解即可。 将人和车整体作为研究对象,整体受到重力、水平 面的支持力和两条绳的拉力。在竖直方向重力与支持力平衡,水平方向绳的拉力为 2F , 所以有: 2F = (M + m)a ,解得:a =
2F M ?m

例 2:如图 1—6 所示,质量为 M 的平板小车放在倾 角为 θ 的光滑斜面上(斜面固定) ,一质量为 m 的人在车 上沿平板向下运动时,车恰好静止,求人的加速度。 解析:以人、车整体为研究对象,根据系统牛顿运动 定律求解。如图 1—6—甲,由系统牛顿第二定律得: (M + m)gsinθ = ma 解得人的加速度为 a =
M ?m m

gsinθ

隔离法
隔离法就是从整个系统中将某一部分物体隔离出来,然后单独分析被隔离部分的受力 情况和运动情况,从而把复杂的问题转化为简单的一个个小问题求解。隔离法在求解物理 问题时,是一种非常重要的方法,学好隔离法,对分析物理现象、物理规律大有益处。 例 1:两个质量相同的物体 1 和 2 紧靠在一起放在光滑 水平桌面上,如图 2—1 所示,如果它们分别受到水平推力 F1 和 F2 作用,且 F1>F2 , 则物体 1 施于物体 2 的作用力的 大小为( ) A.F1 B.F2 C.
F1 ? F2 2

D.

F1 ? F2 2

解析:要求物体 1 和 2 之间的作用力,必须把其中一个隔离出来分析。先以整体为研 究对象,根据牛顿第二定律:F1-F2 = 2ma ① 再以物体 2 为研究对象,有 N-F2 = ma ② 解①、②两式可得 N =
F1 ? F2 2

,所以应选 C

例 2: 如图 2—2 在光滑的水平桌面上放一物体 A , 上再放 A 一物体 B ,A 、B 间有摩擦。施加一水平力 F 于 B ,使它相对 于桌面向右运动,这时物体 A 相对于桌面( ) A.向左动 B.向右动 C.不动 D.运动,但运动方向不能判断
52

解析:A 的运动有两种可能,可根据隔离法分析 设 AB 一起运动,则:a =
F mA ? mB

;AB 之间的最大静摩擦力:fm = μmBg
mA m B ( m B ? m A )g

以 A 为研究对象:若 fm≥mAa ,即:μ≥ 若 μ<
mA m B ( m B ? m A )g

F 时,AB 一起向右运动。

F ,则 A 向右运动,但比 B 要慢,所以应选 B

例 3:如图 2—4 所示,用轻质细绳连接的 A 和 B 两个物体,沿着倾角为α 的斜面匀 速下滑,问 A 与 B 之间的细绳上有弹力吗? 解析:弹力产生在直接接触并发生了形变的物体之间,现在细 绳有无形变无法确定。所以从产生原因上分析弹力是否存在就不行 了,应结合物体的运动情况来分析。 隔离 A 和 B ,受力分析如图 2—4 甲所示,设弹力 T 存在,将 各力正交分解,由于两物体匀速下滑,处于平衡状态,所以有: mgAsinα = T + fA ① mgBsinα + T = fB ② 设两物体与斜面间动摩擦因数分别为 μA 、μB , ,则: fA = μANA = μAmAgcosα ③ fB = μBNB = μBmBgcosα ④ 由以上①②③④可解得: T = mAg (sinα—μAcosα)和 T = mBg (μBcosα—sinα) 若 T = 0 ,应有:μA = tanα ,μB = tanα 由此可见,当 μA = μB 时,绳子上的弹力 T 为零。 若 μA≠μB ,绳子上一定有弹力吗? 我们知道绳子只能产生拉力。当弹力存在时,应有:T>0 ,即:μA<tanα ,μB>tanα 所以只有当 μA<μB 时绳子上才有弹力。 3.用极端分析法分析临界条件 若题目中出现“最大”“最小”“刚好”等词语时,一般都有临界现象出现,分析时, 、 、 可用极端分析法,即把问题(物理过程)推到极端(界) ,分析在极端情况下可能出现的 状态和满足的条件,应用规律列出在极端情况下的方程,从而暴露出临界条件. 【例 1】如图,一个质量为 0.2 kg 的小球用细绳吊在倾角θ =530 的斜面顶端,斜面静止时球紧靠在斜面上,绳与斜面平行,不计 摩擦,当斜面以 10 m/s2 的加速度向右运动时,求绳子的拉力及 斜面对小球的弹力. 解析:把加速度 a 推到两个极端来分析:当 a 较小(a=0)时, 小球受到重力、绳的拉力、斜面的支持力的作用,此时,绳平行于斜面;当 a 足够大时, 2 小球将“飞离”斜面,此时绳与水平方向的夹角未知,那么 a=10m/s 向右时,究竟是上 述两种情况中的哪能一种呢?必须先求出小球离开斜面的临界值 a0,然后才能确定. 设小球处在刚离开斜面或刚不离开斜面的临界状态(N 刚好为零)时斜面向右的加速 度为 a0, 此时对小球由牛顿第二定律得 Tcosθ=ma0………① Tsinθ-mg=0………② 2 由①②式解得 a0=gCtgθ=7.5m/s . 2 由于斜面的加速度 a=10m/s >a0,可知小球已离开斜面.则 T= ? mg ? 2
? ? ma

? 2 =2.83 N,

N=0.

说明:若斜面体向左加速运动,小球及绳将可能处于何种状态?斜面体对地面的压力在向 右加速和向左加速时比(M+m)g 大还是小?
53

4.用假设法分析物体受力 在分析某些物理过程时,常常出现似乎是这又似乎是那的多种可能性,难以直观地判 断出来.此时可用假设法去分析. 方法 I;假定此力不存在,根据物体的受力情况分析物体将发生怎样的运动,然后再确 定此力应在什么方向,物体才会产生题目给定的运动状态. 方法Ⅱ:假定此力存在,并假定沿某一方向,用运动规律进行分析运算,若算得结果是 正值, 说明此力确实存在并与假定方向相同; 若算得的结果是负值, 说明此力也确实存在, 但与假定的方向相反;若算得的结果是零,说明此力不存在. 例 1:如图 10—2 所示,甲、乙两物体质量分别为 m1 = 2kg ,m2 = 3kg ,叠放在水平 桌面上。已知甲、乙间的动摩擦因数为 μ1 = 0.6 ,物体乙与平面间的动摩因数为 μ2 = 0.5 , 现用水平拉力 F 作用于物体乙上,使两物体一起沿水平方向向右 做匀速直线运动,如果运动中 F 突然变为零,则物体甲在水平方 向上的受力情况(g 取 10m/s2) A、大小为 12N ,方向向右 B、大小为 12N ,方向向左 C、大小为 10N ,方向向右 D、大小为 10N ,方向向左 解析:当 F 突变为零时,可假设甲、乙两物体一起沿水平方运动,则它们运动的加速 度可由牛顿第二定律求出。由此可以求出甲所受的摩擦力,若此摩擦力小于它所受的滑动 摩擦力,则假设成立。反之不成立。 如图 10—2 甲所示。假设甲、乙两物体一起沿水平方向运动,则由 牛顿第二定律得: f2 = (m1 + m2)a ① f2 = μN2 = μ2 (m1 + m2)g ② 2 由①、②得:a = 5m/s 可得甲受的摩擦力为 f1 = m1a = 10N 因为 f = μ1m1g = 12N f1<f 所以假设成立,甲受的摩擦力为 10N ,方向向左。应选 D 。 例 2:一升降机在箱底装有若干个弹簧,如图 10—3 所示,设在 某次事故中,升降机吊索在空中断裂,忽略摩擦力,则升降机在从弹 簧下端触地后直到最低点的一段运动过程中( ) A、升降机的速度不断减小 B、升降机的速度不断变大 C、先是弹力小于重力,然后是弹力大于重力 D、到最低点时,升降机加速度的值一定大于重力加速度的值 解析:升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程, 它受重力、弹簧弹力两个力作用。开始时,弹簧形变较小,弹力较小, 弹力小于重力;弹簧形变逐渐增大,当弹力等于重力时速度增大到最 大;此后弹簧继续被压缩,弹力继续增大,弹力大于重力,速度开始减小,最后减为零, 因而速度是先增大后减小,所以选项 C 正确,A、B 错误。 假设升降机前一运动阶段只受重力作用,做初速度为零的匀加速直线运动,它下降了 h 高度,末速度为 v ,则:v2 = 2gh 后一运动阶段升降机只受弹力作用,做初速度为 v 、末速度为零的匀减速直线运动, 把弹簧压缩了 x ,则:v2 = 2ax; 所以 2gh = 2ax
0 ? kx

而a=

?F m

=

2 m

,所以:2gh = 2 (
kx mg

kx 2m

)x ,即:
kx ? m g m

kx mg

=

2h x

因为 h>x ,所以

>2 ,即:a 低 =



2mg ? mg m

= g ,所以选项 D 也正确。

54

提高题 1。如图所示,将 m A ? 5 kg 的物体放在 m B ? 2 kg 的木板上。A 和 B 间的动摩擦因数
? 1 ? 0 . 2 ,B 与地面间的动摩擦因数 ? 2 ? 0 . 1 。取 g ? 10 m / s 。求:
2

(1) 要使木板 B 和物体 A 一起做匀速直线运动,作用在物体 A 上的力 F1 为多少? (2) 要使木板 B 和物体 A 保持相对静止,并一起做匀加速运动, 作用在物体 A 上的力 F 2 范围应为多少?

2。如图所示,质量 M ? 10 kg 的斜块静止于粗糙的水平面上,斜块与地面间的动摩擦 因数 ? ? 0 . 02 。斜块的倾角为 ? ? 30 ,在斜面上有一质量 m ? 1kg 、的物块由静止开始
0

沿斜面下滑。当滑行路程 s ? 1 . 4 m 时,其速度 v ? 1 . 4 m / s 。在这个 过程中斜块没有移动。求地面对斜块的摩擦力的大小和方向( g ? 10 m / s )
2

3。如图所示,传送带与地面倾角 ? ? 37 ,从 A 到 B 长度为 16 m ,传送带以 10 m / s 的 速率逆时针转动,在传送带上端 A,无初速地放一个质量为 0 . 5 kg 的物体(可视为质点) ,
0

它 与 传 送 带 之 间 的 动 摩 擦 因 数 为 0 .5 , 求 物 体 由 A 运 动 到 B 所 需 的 时 间 ? ( g ? 10 m / s , sin 37
2 0

? 0 . 6 , cos 37

0

? 0 .8 )

4。如右上图所示的三个物体质量分别为 m 1、 m 2 和 m 3 ,其中,带有滑轮的物体 m 1 放在 光滑的水平面上,滑轮和所有接触面的摩擦及绳子的质量均忽略不计,为使三个物体无相 对滑动,水平推力 F 应满足条件 __________ __________ _ 。 5。如图所示,A、B 并排紧贴着放在光滑的水平面上,用力 F1 和 F 2 同时推 A 和 B,如果
F1 ? 10 N , F 2 ? 6 N , m A ? m B ,则 A、B 间压力的范围是



55

6。在光滑是水平轨道上有两个半径都是 r 的小球 A 和 B,质量分别为 m 和 2 m ,当两球 心间的距离大于 L 时( L 比 2 r 大得多) ,两球之间无相互作用力;当两球心间的距离等于 L 或小于 L 时,两球存在相互作用斥力 F 。设 A 球从远离 B 球处以速度 v 0 沿两球连心线 向原来静止的 B 球运动,如右上图所示,欲使两球不接触, v 0 必须满足什么条件?

7。如图所示,两个物体的质量分别为 m 1 ? 15 kg , m 2 ? 20 kg ,作用在 m 1 上的水平力
F ? 280 N 。设所有的接触面都光滑。求: (1)两物体间的相互作用力的大小。 (2) m 1、 m 2 的加速度的大小和方向

8。如图所示,台秤上放一个装满水的杯子,杯底处粘连一细线,细线上端系一个木球 浮在水中。若细线突然断开,木球将加速上浮。已知水的密度为 ? 1 ,木球质 量为 m ,密度为 ? 2 ,不计水的阻力,则木球在上升过程中台秤的读数与木球 静止时台秤的读数相比变化了多少?

9。如图所示,物体 A 放在物体 B 上,物体 B 放在光滑的水平面上。 已知 m A ? 6 kg , m B ? 2 kg ,A、B 间的动摩擦因数 ? ? 0 . 2 。 A 物体上系一细线,细线能承受的最大拉力是 20 N ,水平向右拉 细线, g ? 10 m / s 。下列叙述中正确的是(
2



A 当拉力 F ? 12 N 时,A 静止不动 B 当拉力 F ? 12 N 时,A 相对于 B 滑动 C 当拉力 F ? 16 N 时,B 所受摩擦力为 4 N D 无论拉力 F 多大,A 相对于 B 一定静止 10。如右上图所示,固定在卡车上的粗绳拖着一根圆木, 欲使圆 木与绳成一直线,已知圆木长为 L ,绳长为 b ,绳子在卡车上的固定点离地高 h ,绳子质量 不计,则卡车的加速度是多大?

11、 (奥赛题目)质量分别为 m1 和 m2 的两个小物块用轻绳连结,绳跨过位于倾角? =30? 的光滑斜面顶端的轻滑轮,滑轮与转轴之间的磨擦不计,斜面固定在水平桌面上,如图所 示。第一次,m1 悬空,m2 放在斜面上,用 t 表示 m2 自斜面底端由静止开始运动至斜面顶 端所需的时间。第二次,将 m1 和 m2 位置互换,使 m2 悬空,m1 放在斜面上,发现 m1 自斜 面底端由静止开始运动至斜面顶端所需的时间为 t/3。求 ml 与 m2 之比。
56

57

动力学答案
基础题:1、D,2、D,3、C,4、B,5、C,6、A。 7.4.5 ? 10 8.504 9. .解题思路:两质点碰撞问题要特别注意两质点位移、时间的关系! 本题中汽车的驾驶员发现货车到停止走的总位移要小于等于 s,这就需要汽车轮与地面 间的动摩擦因数 μ 要尽可能大(以增加阻力) ;要注意汽车的总位移要包括在反应时间内 的匀速运动的位移以及匀减速运动的位移。 特别注意解答的规范性。如单位的统一;必要的文字说明;必要的表达式。看参考答案, 细心体会一下怎样才能很好的写出得分点从而取悦于评卷员! 解、小汽车的初速度 v0=108km/h=30m/s (1 分) 在反应时间内小汽车作匀速运动,位移设为 s1,s1=v0t=30m/s×0.6s=18m (1 分) 刹车后汽车滑行的距离设为 s2 ,s2=s-s1=110m-18m=92m (1 分) 即刹车后汽车匀减速运动位移为 92m
4

刹车过程小汽车的加速度

a ?
F m

vt ? v0
2

2

?

0 ? 30

2

2s

2 ? 92

? ? 4 .9 m (1 分,无负号同样给分)

根据牛顿第二定律 a=
a ?

(1 分)
? ?g
? 0 .5

? mg
m
a g

(1 分) (1 分)

? ?

?

4 .9 9 .8

车轮与地面间的动摩擦因数 μ 至少要达到 0.50 才不会发生碰撞事故 提高题 1。 (1)以 A 为研究对象,其受力如左图
F1 ? f

以 B 为研究对象,其受力如右图 f ? f 地 ? ? 2 (m A ? m B ) g 即 F1 ? ? 2 ( m A ? m B ) g ? 0 . 1 ? ( 2 ? 5 ) ? 10 N ? 7 N (2)以 A、B 组成的整体为研究对象,其受力如图 F2 ? ? 2 (m A ? m B ) g F2 ? 7 a ? ? (1)
(m A ? m B ) 7
F2 ? f 静 mA ? F2 ? f 静 5

以 A 为研究对象,其受力如右上图: a ?

(2)

f 静 ? ? 1 N ? ? 1 m A g ? 0 . 2 ? 5 ? 10 N ? 10 N (3) (1) 由 、 、 式可得 F 2 ? 17 . 5 N (2) (3)

故要使 A、B 一起做匀加速运动,必须满足 7 N ? F 2 ? 17 . 5 N 。 2。以物块 m 为研究对象,设其加速度大小为 a ,方向沿斜面向下 由 2 ax ? v ? v 0 可得
2 2

a ?

v ? v0
2

2

?

1 .4

2

2x

2 ? 1 .4

m/s

2

? 0 .7 m / s

2

将加速度 a 分解为水平向左的加速度 a x ,和竖直向下的加速度 a y ,如右上图

58

a x ? a cos ? , a y ? a sin ?

以斜面和物块组成的整体为研究对象,设其所受摩擦力水平向左, 其受力如图所示,由质点组牛顿第二定律可得
f ? Ma
Mx

? ma

x

? ma

x

? 1 ? 0 .7 ?

3 2

N ? 0 . 61 N

正号表示 f 的方向跟假设方向相同,即水平向左。 3。物体放上传送带后,开始的阶段,由于传送带速度大于物体的速度,传送带给物体一 沿传送带向下的滑动摩擦力,物体受力情况是受重力、垂直传送带向上的支持力、沿传送 带向下的摩擦力,物体由静止加速,由牛顿第二定律得:
mg sin ? ? ? mg cos ? ? ma 1 , a 1 ? 10 m / s
2

物体加速至与传送带速度相等需要的时间 t 1 ?

v a1

? 1 s ,由于 ? ? tan ? ,物体在重力作用

下将继续加速运动,当物体速度大于传送带速度时,传送带给物体一沿传送带向上的滑动 摩擦力, 此时物体受力情况是受重力、 垂直传送带向上的支持力、 沿传送带向上的摩擦力, 由牛顿第二定律有:
mg sin ? ? ? mg cos ? ? ma 2 ,
a2 ? 2m / s
2

2

设后一阶段物体运动时间为 t 2 , L ? S ? vt 2 ? 由 所以物体由 A ? B 的时间 t ? t 1 ? t 2 ? 2 s 4。 F ?
(m1 ? m 2 ? m 3 )m 2 g m3

1 2

a 2t2 , 解得 t 2 ? 1 s , t 2 ? ? 11 s ( 舍去 ) ,

解:要使三个物体无相对滑动,必须满足三个物体具有相同的加速度,即加速度方向水平 向右。 以 m 2 为研究对象,其受力如左图
T ? m2g

以 m 3 为研究对象,其受力如右中图
a ? T m3 ? m2g m3

(1) (2)

以三个物体组成的整体为研究对象,其受力如右图 由(1)(2)可得 、
F ? (m1 ? m 2 ? m 3 )m 2 g m3

a ?

F m1 ? m 2 ? m 3

5。 8 N ? N ? 10 N 提示:设 A、B 间的压力为 N 。 F1 ? F 2 ? ( m A ? m B ) a F1 ? N ? m A a 对整体: 对 A: 代入数值
N ? 10 ? 4m A mA ? mB ? 10 ? 1? 4 mB mA

因为 m A ? m B ,所以当 m A ? m B 时, N min ? 8 N 当 m A ?? m B 时, N max ? 10 N

59

6。A、B 在水平方向受力情况及运动情况的示意图如图所示,要使 A、B 不发生接触,必 S A ? S B ? L ? 2r 须满足:当 v A ? v B 时 由牛顿第二定律有 由运动学公式
F ? ma
A

F ? 2 ma
vB ? aBt
2

B

v A ? v0 ? a At
S A ? v0t ? 1 2 a At

SB ?

1 2

aBt

2

联立解得:

v0 ?

3F (L ? 2r) m
0

7。以 m 1 为研究对象,其受力分析如图,由牛顿第二定律有 F ? N sin 45

? m 1 a 1 (1)

以 m 2 为研究对象,其受力分析如右上图,由牛顿第二定律有
1
0

N cos 45

? m 2 g ? m 2 a 2 (2) 由位移关系

S2 S1

2 ? 1 2

a 2t a1t

2

? tan 45
2

0

可知 a 1 ? a 2 (3)

由(1)(2)(3)可得: N 、 、
F ? m2g m1 ? m 2

?

Fm

2

? m1m 2 g
0

m 1 cos 45

? m 2 sin 45

0

?

280 ? 20 ? 15 ? 20 ? 9 . 8 15 ? 2 2 ? 20 ? 2 2

N ? 345 N

a1 ? a 2 ?

?

280 ? 20 ? 9 . 8 15 ? 20

m/s

2

? 2 .4 m / s

2

a 1 方向水平向右, 2 方向竖直向上。 a

8。分析:细线未断时,台秤示数为杯、水和木球重力之和;细线断开后,木球加速上浮, 处于超重状态,但在木球上浮的同时,在由杯、水和木球组成的系统中有一与木球等体积 的“水球”在加速下沉,所以系统质心的加速度方向向下,系统处于失重状态,可见,对 系统(整体)使用牛顿定律可以方便地求解此题。 解:设静止时台秤读数为 F 0 ,水和杯的总质量为 M ,有 F 0 ? ( M ? m ) g 细线断开后,根据质点组的牛顿第二定律,对杯、水和木球系统(向上为正)有
F ? ( M ? m ) g ? ma ? m 水 a

式中 F 为台秤读数, m



? ?1

m

为与木球等体积的水球质量。所以台秤读数的变化

?2

? F ? F ? F 0 ? ( m ? m 水) a

又根据牛顿第二定律,对木球有: m 水 g ? mg ? ma 。 F 浮 ? m 水 g ) ( 解得 ? F ?
? (m ? m 水 ) m
2 2

mg ? ? (1 ?

?1 ?2

2 (负号表示减小) ) mg 。

故台秤读数减小了 (1 ?

?1 ?2

) mg 。

2

60

9。分析:物体 A、B 间是否发生相对运动,应看 A、B 间的静摩擦力是否达到最大值 f m ? ? N ? ? m A g ? 12 N ,而不应看拉力是否等于最大静摩擦力 F ? f m 。无论 A、B 间 是否有相对滑动,根据质点组的牛顿定律作整体分析可知,A、B 两物体组成的系统所受 的合外力 F ? 0 ,故 A、B 总具有加速度。解此题还应注意的最大值受限制的。 解 : 因为 无论 是否 小 于 f m , A 相 对于 地面 都不 会静 止 ,所 以选 项 A 错。 因 为当
F ? f m ? 12 N 或略大于 f m 时,A、B 间的摩擦力还不能达到 f m ,A、B 不能发生相对滑
F mA ? mB

动。即使 F 达到最大值 F ? 20 N ,此时 A、B 间的摩擦力 f ?

mB ? 5N ? fm ,

A、B 仍不会相对滑动,所以选项 B 不对。又因为可求出当 F ? 16 N 时, f ? 4 N ,故选 项 C 对。所以 C、D 选项正确。 10。设卡车的加速度为 a 时,圆木与绳成一直线,假设地面对 圆木有弹力的作用,以卡车为参考系,圆木的受力如图所示。 以质心为转动轴,圆木相对于卡车处于转动平衡,因为 mg ,
F 绳 和惯性力 F 惯 都对圆木没有转动效果。

而 N 、 f 的转动效果都是顺时针方向的,故圆木不可能 处于转动平衡状态。 因此地面对圆木没有弹力作用, 也没有摩擦力作用。 即圆木受力应为: F 绳 cos ? ? ma F 绳 sin ? ? mg 由上面两式可得: a ? g cot ? ? g 也就是当 a ? g
(L ? b) ? h
2 2

(L ? b) ? h
2

2

h

时,圆木与绳成一直线。

h

11、第一次,小物块受力情况如图所示,设T1为绳中张力,a1为两物块加速度的大小,l为 斜面长,则有 m 1 g ? T1 ? m 1 a1 (1)
T1 ? m 2 g sin ? ? m 2 a1
l ? 1 2 a1 t
2

(2) (3)

第二次,m1与m2交换位置.设绳中张力为T2,两物块加速度的大小为a2,则有
m 2 g ? T2 ? m 2 a 2

(4)

T 2 ? m1 g i n ? s ?
a1 ?

m a 1 2

(5)
g

l ?

1

?t ? a2 ? ? 2 ?3?

2

(6)

由(1)、(2)式注意到? =30?得 由(4)、(5)式注意到? =30?得 由(3)、(6)式得: a1 ?
a2 9

2 m1 ? m 2 2 ( m1 ? m 2 ) 2 m 2 ? m1

(7)
g

a2 ?

2 ( m1 ? m 2 )

(8)

(9)
m1 m2 ? 11 19

由(7)、(8)、(9)式可解得

(10)

61


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