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河南省郑州市中牟二中2014-2015学年高二数学上学期第一次月考试卷 理(含解析)


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河南省郑州市中牟二中 2014-2015 学年高二上学期第一次月考数学试 卷(理科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)在△ABC 中,已知 A=75°,B=60°,c=2,则 b 等于() A. B. C. D.

2. (5 分)若 x+y>0,a<0,ay>0,则 x﹣y 的值为() A. 大于 0 B. 等于 0 C. 小于 0
n

D. 符号不能确定

3. (5 分)在数列{an}中,a1= ,an=(﹣1) ?2an﹣1(n≥2) ,则 a5 等于() A. ﹣ B. C. ﹣ D.

4. (5 分)由 a1=1,d=3 确定的等差数列{an}中,当 an=298 时,序号 n 等于() A. 99 B. 100 C. 96 D. 101 5. (5 分)等差数列{an}中,已知 a5+a7=10,Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 S11=() A. 45 B. 50 C. 55 D. 60 6. (5 分)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=﹣8,则 a1+a10=() A. 7 B. 5 C. ﹣ 5 D. ﹣7

7. (5 分)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 A. 11 B. 5 C. ﹣ 8

等于() D. ﹣11
2

8. (5 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 b =ac,且 c=2a,则 cosB 等于 () A. B. C. D.

9. (5 分)在△ABC 中,已知 a tanB=b tanA,则△ABC 该的形状为() A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 正三角形 D. 等腰或直角三角形

2

2

10. (5 分)在△ABC 中, 是()

,其面积 S∈

,则



的夹角的取值范围

-1-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com A. B. C. D.

11. (5 分)在等差数列{an}中,其前 n 项和是 Sn,若 S15>0,S16<0,则在 中最大的是() A. B. C. D.



,…,

12. (5 分)等比数列{an}中,a1+a2+…+an=2 ﹣1,则 a1 +a2 +…+an =() A. (2 ﹣1)
n 2

n

2

2

2

B.

C. 4 ﹣1

n

D.

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 2 13. (5 分)已知递增的等差数列{an}满足 a1=1,a3=a2 ﹣4,则 an=.

14. (5 分)在等比数列{an}中,若 a1= ,a4=﹣4,则公比 q=,an=.

15. (5 分)在△ABC 中,sinA:sinB:sinC=2:3:4,则 cosC 的值为.

16. (5 分)在锐角△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 + =6cosC,则 的值是.

+

三、解答题 17. (10 分)一艘船自西向东匀速航行,上午 10 时到达一座灯塔的南偏西 75°距灯塔 68 海 里的 M 处,下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则这艘船的航行速度为多少? 18. (12 分)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=2bsinA (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)若 ,c=5,求 b.

19. (12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,A=2B, (Ⅰ)求 cosA 及 sinC 的值; (Ⅱ)若 b=2,求△ABC 的面积.



20. (12 分)已知等比数列{an}中,a1= ,公比 q= .

-2-

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(Ⅰ)Sn 为{an}的前 n 项和,证明:Sn= (Ⅱ)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{bn}的通项公式. 21. (12 分)等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,前 n 项和为 Sn,{bn}为等比数列,b1=1,且 b2S2=64,b3S3=960. (1)求 an 与 bn; (2)求和: .

22. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n +2n,数列{bn}的前 n 项和 Tn=2﹣bn (Ⅰ)求数列{an}与{bn}的通项公式; 2 (Ⅱ)设 cn=an ?bn,证明:当且仅当 n≥3 时,cn+1<cn.

2

河南省郑州市中牟二中 2014-2015 学年高二上学期第一次月考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)在△ABC 中,已知 A=75°,B=60°,c=2,则 b 等于() A. B. C. D.

考点: 专题: 分析: 解答:

正弦定理. 解三角形. 由条件利用三角形内角公式求得 C 的值,再利用正弦定理求得 b 的值. 解:△ABC 中,∵已知 A=75°,B=60°,c=2,∴C=45°, = ,即 = ,∴b= ,

由正弦定理可得

故选:C. 点评: 本题主要考查三角形内角公式、正弦定理的应用,属于基础题. 2. (5 分)若 x+y>0,a<0,ay>0,则 x﹣y 的值为() A. 大于 0 B. 等于 0 C. 小于 0

D. 符号不能确定

考点: 不等式. 分析: 用不等式的性质判断两个变量 x,y 的符号,由符号判断 x﹣y 的值的符号.方法一: 综合法证明一般性原理;方法二用特值法证明.可以看到方法二比方法一简单. 解答: 解:法一:因为 a<0,ay>0,所以 y<0,又 x+y>0, 所以 x>﹣y>0,所以 x﹣y>0. 法二:a<0,ay>0,取 a=﹣2 得:

-3-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ﹣2y>0,又 x+y>0,两式相加得 x﹣y>0. 故应选 A. 点评: 本题考点是不等式的性质,本题考查方法新颖,尤其是第二种方法特值法充分体现 了数学解题的灵活性.
n

3. (5 分)在数列{an}中,a1= ,an=(﹣1) ?2an﹣1(n≥2) ,则 a5 等于() A. ﹣ B. C. ﹣ D.

考点: 数列的函数特性. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 利用递推式即可得出. 解答: 解:∵a1= ,an=(﹣1) ?2an﹣1(n≥2) , ∴a2=(﹣1) ?2a1=
3 2 n

= .

a3=(﹣1) ?2a2=﹣2× =﹣ . a4=(﹣1) ?2a3= ∴a5=(﹣1) ?2a4=
5 4

=﹣ . = .

故选:B. 点评: 本题考查了利用递推式求数列的值,属于基础题. 4. (5 分)由 a1=1,d=3 确定的等差数列{an}中,当 an=298 时,序号 n 等于() A. 99 B. 100 C. 96 D. 101 考点: 等差数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 先根据 a1=1,d=3 确定的等差数列的通项,再求项数. 解答: 解:由题意,an=3n﹣2,故有 3n﹣2=298,∴n=100, 故选 B. 点评: 本题主要考查等差数列的通项公式及其运用,属于基础题. 5. (5 分)等差数列{an}中,已知 a5+a7=10,Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 S11=() A. 45 B. 50 C. 55 D. 60 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 本题考查的知识点是等差数列的性质,由等差数列中:若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq; 及 a5+a7=10,我们及得到 a1+a11 的值,进而根据等差数列前 n 项和公式得到 S11 的值.

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解答: 解:S11= = = ×11 ×11=55,

×11

故答案选 C. 点评: 在等差数列中:若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq; 在等比数列中:若 m+n=p+q,则 am?an=ap?aq; 这是等差数列和等比数列最重要的性质之一,大家一定要熟练掌握. 6. (5 分)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=﹣8,则 a1+a10=() A. 7 B. 5 C. ﹣ 5 D. ﹣7 考点: 等比数列的性质;等比数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 由 a4+a7=2,及 a5a6=a4a7=﹣8 可求 a4,a7,进而可求公比 q,代入等比数列的通项可求 a1,a10,即可 解答: 解:∵a4+a7=2,由等比数列的性质可得,a5a6=a4a7=﹣8 ∴a4=4,a7=﹣2 或 a4=﹣2,a7=4 当 a4=4,a7=﹣2 时, ,

∴a1=﹣8,a10=1, ∴a1+a10=﹣7 3 当 a4=﹣2,a7=4 时,q =﹣2,则 a10=﹣8,a1=1 ∴a1+a10=﹣7 综上可得,a1+a10=﹣7 故选 D 点评: 本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用,考查了基本运算的能力.

7. (5 分)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 A. 11 B. 5 C. ﹣ 8

等于() D. ﹣11

考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意可得数列的公比 q,代入求和公式化简可得. 解答: 解:设等比数列{an}的公比为 q, (q≠0) 4 由题意可得 8a2+a5=8a1q+a1q =0,解得 q=﹣2,

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=

=

=

=﹣11

故选 D 点评: 本题考查等比数列的性质,涉及等比数列的求和公式,属中档题. 8. (5 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 b =ac,且 c=2a,则 cosB 等于 () A. B. C. D.
2

考点: 余弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 将第二个等式代入第一个等式用 a 表示出 b,再利用余弦定理表示出 cosB,将三边 长代入计算即可求出值. 2 2 解答: 解:将 c=2a 代入得:b =ac=2a ,即 b= a, ∴cosB= = = .

故选 B 点评: 此题考查了余弦定理,熟练掌握余弦定理是解本题的关键. 9. (5 分)在△ABC 中,已知 a tanB=b tanA,则△ABC 该的形状为() A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 正三角形 D. 等腰或直角三角形 考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 解三角形. 2 2 分析: 利用正弦定理将 a tanB=b tanA 中的边转化为所对角的正弦,再利用二倍角的正弦及 诱导公式判断即可. 2 2 解答: 解:∵△ABC 中,b tanA=a tanB, ∴由正弦定理得: 在三角形中,sinA≠0,sinB≠0, ∴ , ,
2 2

∴sinAcosA=sinBcosB, 即 sin2A= sin2B, 则 sin2B=sin2A, ∴A=B 或 2A=π ﹣2B,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴A=B 或 A+B= ,

∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 故选:D. 点评: 本题考查三角形形状的判断,着重考查正弦定理的应用,考查二倍角的正弦,属于 中档题.

10. (5 分)在△ABC 中, 是() A. B.

,其面积 S∈

,则



的夹角的取值范围

C.

D.

考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 计算题. 分析: 利用向量的数量积公式列出方程求出边 ac,利用三角形的面积公式表示出面积,列 出不等式求出两个向量夹角的范围. 解答: 解:设 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故选 A 点评: 本题考查向量的数量积公式、考查三角形的面积公式、考查解三角不等式的能力. , 的夹角为 θ

11. (5 分)在等差数列{an}中,其前 n 项和是 Sn,若 S15>0,S16<0,则在 中最大的是() A. B. C. D.



,…,

考点: 等差数列的性质;等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题.

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分析: 由题意知 a8>0,a9<0.由此可知

>0,

>0,…,

>0,

<0,

<0, ,

<0,所以在



,…,

中最大的是



解答: 解:由于 S15=

=15a8>0,

S16=

=8(a8+a9)<0,

所以可得 a8>0,a9<0. 这样 >0, >0,…, >0, <0, <0,…, <0,

而 S1<S2<<S8,a1>a2>>a8, 所以在 , ,…, 中最大的是 .

故选 B 点评: 本题考查等数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答. 12. (5 分)等比数列{an}中,a1+a2+…+an=2 ﹣1,则 a1 +a2 +…+an =() A. (2 ﹣1)
n 2 n 2 2 2

B.

C. 4 ﹣1

n

D.

考点: 数列的求和;等比数列的通项公式. 专题: 计算题. n n﹣1 分析: 首先根据 a1+a2+…+an=2 ﹣1, 求出 a1+a2+…+an﹣1=2 ﹣1, 两式相减即可求出数列{an} 2 的关系式,然后求出数列{an }的递推式,最后根据等比数列求和公式进行解答. n 解答: 解:∵a1+a2+…+an=2 ﹣1…① n﹣1 ∴a1+a2+…+an﹣1=2 ﹣1,…②, n﹣1 ①﹣②得 an=2 , 2 2n﹣2 ∴an =2 , 2 ∴数列{an }是以 1 为首项,4 为公比的等比数列, ∴ = ,

故选:D. 点评: 本题主要考查数列求和和求数列递推式的知识点,解答本题的关键是求出数列{an} 的通项公式,本题难度一般. 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

-8-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 13. (5 分)已知递增的等差数列{an}满足 a1=1,a3=a2 ﹣4,则 an=2n﹣1. 考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意,设公差为 d,代入 求出通项即可得到答案 解答: 解:由于等差数列{an}满足 a1=1,
2 2

,直接解出公式 d,再由等差数列的通项公式

,令公差为 d

所以 1+2d=(1+d) ﹣4,解得 d=±2 又递增的等差数列{an},可得 d=2 所以 an=1+2(n﹣1)=2n﹣1 故答案为:2n﹣1. 点评: 本题考查等差数列的通项公式,解题的关键是利用公式建立方程求出参数,需要熟 练记忆公式.

14. (5 分)在等比数列{an}中,若 a1= ,a4=﹣4,则公比 q=﹣2,an=



考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 3 分析: 结合题意由等比数列的通项公式可得 8=﹣1×q ,由此求得 q 的值. 解答: 解:等比数列{an}中,a1= ,a4=﹣4,设公比等于 q,则有﹣4= ×q ,∴q=﹣2, ∴an= 故答案为:﹣2, . .
3

点评: 本题主要考查等比数列的定义和性质,等比数列的通项公式,属于基础题.

15. (5 分)在△ABC 中,sinA:sinB:sinC=2:3:4,则 cosC 的值为



考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 计算题. 分析: 由正弦定理可得,可设其三边分别为 2k,3k,4k,再由余弦定理求得 cosC 的值. 解答: 解:在△ABC 中,sinA:sinB:sinC=2:3:4,由正弦定理可得, 2 2 2 2 可设其三边分别为 2k,3k,4k,由余弦定理可得 16k =4k +9k ﹣12k cosC, 解方程可得 cosC= 故答案为: . ,

点评: 本题考查正弦定理、余弦定理的应用,设出其三边分别为 2k,3k,4k,是解题的关 键.

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16. (5 分)在锐角△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 + =6cosC,则 的值是 4. 考点: 正弦定理的应用;三角函数的恒等变换及化简求值. 专题: 三角函数的求值;解三角形. 分析: 由 + =6cosC,结合余弦定理可得, + = = ,代入可求 ,而化简

+

解答: 解:∵ + =6cosC,

由余弦定理可得,

∴ 则 = + = = = =

=

=

故答案为:4 点评: 本题主要考查了三角形的 正弦定理与余弦定理的综合应用求解三角函数值,属于基 本公式的综合应用. 三、解答题 17. (10 分)一艘船自西向东匀速航行,上午 10 时到达一座灯塔的南偏西 75°距灯塔 68 海 里的 M 处,下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则这艘船的航行速度为多少? 考点: 解三角形的实际应用. 专题: 计算题;作图题;解三角形. 分析: 由题意作出简图,由图象借助正弦定理求 MN 的长度,进而求出速度. 解答: 解:如图, 在△MNO 中,由正弦定理可得, MN= = =34 = , (海里/小时) .

则这艘船的航行速度 v=

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点评: 本题考查了学生的作图能力及解三角形的能力,属于中档题. 18. (12 分)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=2bsinA (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)若 ,c=5,求 b. 考点: 正弦定理的应用;余弦定理的应用. 专题: 计算题. 分析: (1) 根据正弦定理将边的关系化为角的关系, 然后即可求出角 B 的正弦值, 再由△ABC 为锐角三角形可得答案. (2)根据(1)中所求角 B 的值,和余弦定理直接可求 b 的值. 解答: 解: (Ⅰ)由 a=2bsinA, 根据正弦定理得 sinA=2sinBsinA,所以 由△ABC 为锐角三角形得
2 2




2

(Ⅱ)根据余弦定理,得 b =a +c ﹣2accosB=27+25﹣45=7. 所以, . 点评: 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用.在解三角形中正余弦定理应用的很广泛, 一定要熟练掌握公式.

19. (12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,A=2B, (Ⅰ)求 cosA 及 sinC 的值; (Ⅱ)若 b=2,求△ABC 的面积.



- 11 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 考点: 解三角形;三角形中的几何计算. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ)根据 cosA=cos2B=1﹣2sin B,及
2

,可求 cosA 及 sinC 的值;

(Ⅱ)先计算 sinA 的值,再利用正弦定理,确定 a 的值,过点 C 作 CD⊥AB 于 D,利用 c=acosB+bcosA,即可求得三角形的面积. 2 解答: 解: (Ⅰ)因为 A=2B,所以 cosA=cos2B=1﹣2sin B.…(2 分) 因为 ,所以 cosA=1﹣ = .…(3 分) ,所以 cosB= .…(5 分) .…(8 分)

由题意可知,B

所以 sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= (Ⅱ)sinA=sin2B=2sinBcosB= 因为 ,b=2,所以

,所以 a=

.…(10 分)

由 cosA= 可知,A

. .…(12 分)

过点 C 作 CD⊥AB 于 D,所以 c=acosB+bcosA= 所以 .…(13 分)

点评: 本题考查二倍角公式,考查正弦定理的运用,解题的关键是搞清三角形中边角之间 的关系.

20. (12 分)已知等比数列{an}中,a1= ,公比 q= .

(Ⅰ)Sn 为{an}的前 n 项和,证明:Sn= (Ⅱ)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{bn}的通项公式. 考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 综合题. 分析: (I)根据数列{an}是等比数列,a1= ,公比 q= ,求出通项公式 an 和前 n 项和 Sn, 然后经过运算即可证明. (II)根据数列{an}的通项公式和对数函数运算性质求出数列{bn}的通项公式. 解答: 证明: (I)∵数列{an}为等比数列,a1= ,q=

∴an= ×

=



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Sn=

又∵

=

=Sn

∴Sn= (II)∵an= ∴bn=log3a1+log3a2+…+log3an=﹣log33+(﹣2log33)+…+(﹣nlog33) =﹣(1+2+…+n) =﹣ ∴数列{bn}的通项公式为:bn=﹣ 点评: 本题主要考查等比数列的通项公式、前 n 项和以及对数函数的运算性质. 21. (12 分)等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,前 n 项和为 Sn,{bn}为等比数列,b1=1,且 b2S2=64,b3S3=960. (1)求 an 与 bn; (2)求和: .

考点: 数列的求和;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: (1)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,由题设条件建立方程组 ,解这个方程组得到 d 和 q 的值,从而求出 an 与 bn. (2)由 Sn=n(n+2) ,知 ,由此可求出 的值.
n

解答: 解: (1)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则 d 为正整数,an=3+(n﹣1)d,bn=q
﹣1

依题意有



解得

,或

(舍去)

故 an=3+2(n﹣1)=2n+1,bn=8

n﹣1

- 13 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (2)Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2) ∴ = = = 点评: 本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答. 22. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n +2n,数列{bn}的前 n 项和 Tn=2﹣bn (Ⅰ)求数列{an}与{bn}的通项公式; 2 (Ⅱ)设 cn=an ?bn,证明:当且仅当 n≥3 时,cn+1<cn. 考点: 数列的应用. * 分析: (1)由题意知 a1=S1=4,an=Sn﹣Sn﹣1 化简可得,an=4n,n∈N ,再由 bn=Tn﹣Tn﹣1=(2 ﹣bn)﹣(2﹣bn﹣1) ,可得 2bn=bn﹣1 知数列 bn 是等比数列,其首项为 1,公比为 的等比数列, 由此可知数列{an}与{bn}的通项公式. (2)由题意知 ,
2

=

.由



,解得

n≥3.由此能够导出当且仅当 n≥3 时 cn+1<cn. 解答: 解: (1)由于 a1=S1=4 2 * 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=(2n +2n)﹣=4n,∴an=4n,n∈N , 又当 x≥n 时,Tn=2﹣bn,∴bn=2﹣Tn, bn=Tn﹣Tn﹣1=(2﹣bn)﹣(2﹣bn﹣1) ,∴2bn=bn﹣1 ∴数列 bn 是等比数列,其首项为 1,公比为 ,∴ (2)由(1)知 , .

=







<1,解得 n≥3.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 又 n≥3 时,cn>0 恒成立. 因此,当且仅当 n≥3 时 cn+1<cn. 点评: 由 可求出 bn 和 an,这是数列中求通项的常用方法之一,在求出

bn 和 an 后,进而得到 cn,接下来用作商法来比较大小,这也是一常用方法.

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