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贵州省贵阳市第一中学2016届高三数学预测密卷(新课标II卷)理(新)


《2016 高考理数预测密卷》新课标 II 卷
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分 考试时间 120 分钟 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题, 每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 ) 1. 已知 i 为虚数单位,复数 z ? A.1 B.2
<

br />2. 已知集合 M ? x | x ? 1
2

?

?

2 , z 与 z 共轭,则 z z 等于( 1? i 1 C. D.0 2

)

, N ? ? y | y ? log 2 x, x ? 2? ,则下列结论正确的是( B. M ? ? ?U N ? ? ? D. M ? ? ?U N ?

)

A. M ? N ? N C. M ? N ? U

3. 某学校为了更好的培养尖子生,使其全面发展,决定由 3 名教师对 5 个尖子生进行“包 教” ,要求每名教师的“包教”学生不超过 2 人,则不同的“包教”方案有( A.60 B.9 0 C.150 D.120 ).

4. 下列命题中的假命题为( ) A.设 α 、β 为两个不同平面,若直线 l 在平面 α 内,则“α ⊥β ”是“l⊥β ”的必要不 充分条件; B. 设 随 机 变 量 ? 服 从 正 态 分 布 N ? 0,1? , 若 P ?? ? 1? ? p , 则

P ? ?1 ? ? ? 0 ? ?

1 ? p; 2

开始 s=0,n=1

?? ? C. 要 得 到 函 数 f ? x ? ? cos ? 2 x ? ? 的 图 象 , 只 需 将 函 数 3? ?
? ?? ? g ? x ? ? sin ? 2 x ? ? 的图象向左平移 个单位长度. 4 3? ?
D. ?x ? (0,

? 是 s=s+ tan



?
2

n? 3

输出 s 结束

), x ? sin x .

n= n +1

5.阅读 如图所示的程序框图,若运行相应的程序输出的结果为 0,则判 断框中的条件不可能是( A. n ? 2014 ) B. n ? 2015 C. n ? 2016 D.

n ? 2018

1

6.在平面直角坐标系中, 若不等式组

( 为常数) 表示的区域面积等于 , 则

抛物线 y ? ax 2 的准线方程为( A. y ? ?



1 24

B. x ? ?

1 24

C. x ? ?

3 2

D. y ? ?

3 2


7.函数 y ? 4 cos(2016 x) ? e

|2016 x|

( e 为自然对数的底数)的图像可能是(

8.高为 4 的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体,它的直观图和三视图中的侧视图、 俯视图如图所示,则截面所在平面与底面所在平面所成的锐二面角的正切值为( )

A.2 9.若 ( x ?

B. 2 C.

D.

2 2

1 n ? 1) n 的展开式中各项的系数之和为 81,则分别在区间[0 ,π ]和 [0, ] 内任取两 x 4
) C. 1 ?

个实数 x,y,满足 y>sinx 的概率为( A. 1 ?

1

?

B. 1 ?
?x

2

3

?

?


D.

10.函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? e 的单调递增区间为( A. (?1, ??) D. ( , ??) B. (0, ??)

C. (e, ??)

1 e

11.如图,正方形 ABCD 的边长为 6,点 E , F 分别在边 AD , BC 上, 且 DE ? 2 AE , CF ? 2 BF .若有 ? ? (7,16) ,则在正方形的四条边上,
2

uuu r uuu r 使得 PE ? PF =? 成立的点 P 有(

)个. D.0
2 2

A.2

B.4
2 2

C.6

12.已知双曲线 x ﹣y =1 的左、右顶点分别为 A1、A2,动直线 l:y=kx+m 与圆 x +y =1 相切, 且与双曲线左、右两支的交点分别为 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2),则 x2﹣x1 的最小值为( ) A. 2 2 B.2 C.4 D. 3 2

第Ⅱ卷(13-21 为必做题,22-24 为选做题) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填写在答题卡相应的题号 后的横线上) 13.设 S n 是数列 {an } 的前 n 项和,an ? 0 ,且 S n ?

1 an (an ? 3) ,则数列 ?an ? 的通项公式为 6

____________. 14.从 某大学随机抽取的 5 名女大学生的身高 x(厘米)和体重 y(公斤)数据如下表 58 52 62 43 ? ? 0.92 x ? 96.8 ,则表格中空白处的值为____________. 根据上表可得回归直线方程为 y 15.已知点 A 是抛物线 y ?

x y

165

160

175

155

170

1 2 x 的对称轴与准线的交点,点 F 为该抛物线的焦点,点 P 在 4

抛物线上且满足 | PF |? m | PA | ,则 m 的最小值为__________. 16. 若函数 f(x)=x +ln(x+a)(a>0)与 g(x)=x +e ﹣ (x<0)的图象上存在关于 y 轴对称的点,则关于 x 的方程 x 2 ? 2a ln x ? 2ax ? 0 解的个数是 .
2 2 x

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知△ABC 的面积为 S,且

???? ??? ? ? ???? 3 ??? AB ? AC ? S , AC ? AB ? 3 . 2

(Ⅰ)若 f ( x) ? 2 cos(? x ? B )(? ? 0) 的图象与直线 y ? 2 相邻两个交点间的最短距离为 2, 且 f ( ) ? 1 ,求△ABC 的面积 S; (Ⅱ)求 S+3 cosBcosC 的最大值.

1 6

3

18. (本小题满分 12 分) 如图: 已知平面 ABCD ? 平面 BCE ,平面 ABE ? 平面 BCE , AB∥CD, AB=BC=4, CD=2, △BEC 为等边三角形,P 是线段 CD 上的动点. (1)求证:平面 ABE⊥平面 ADE; (2)求直线 AB 与平面 APE 所成角的最大值; (3)是否存在点 P ,使得 AP ? BD ?请说明理由. P

4

19. (本小题满分 12 分) 2016 年国家已全面放开“二胎”政策,但考虑到经济问题,很多家庭不打算生育二孩, 为了解家庭收入与生育二孩的意愿是否有关,现随机抽查了某四线城市 50 个一孩家庭,它 们中有二孩计划的家庭频数分布如下表: 家庭月收入 (单位:元) 调查的总人数 有二孩计划的 家庭数 2 千以下 5 1 2 千~5 千 10 2 5 千~8 千 15 9 8 千~一万 10 7 1 万~2 万 5 3 2 万以上 5 4

(I)由以上统计数据完成如下 2?2 列联表,并判断是否有 95%的把握认为是否有二孩计划与 家庭收入有关?说明你的理由. 收入不高于 8 千的家庭数 有二孩计划的家庭数 无二孩计划的家庭数 合计 (II)若二孩的性别与一孩性别相反,则称该家庭为“好字”家庭,设每个有二孩计划的家庭 收入高于 8 千的家庭数 合计

5

为“好字”家庭的概率为

1 ,且每个家庭是否为“好字”家庭互不影响,设收入在 8 千~1 2

万的 3 个有二孩计划家庭中“好字”家庭有 X 个,求 X 的分布列及数学期望. 下面的临界值表供参考:

20. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xoy 中, 椭圆 C :

x2 y 2 2 , 直线 y ? x 被 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 2

椭圆 C 截得的线段长为

8 3 . 3

(?) 求椭圆 C 的方程.
(Ⅱ)直线 l 是圆 O : x ? y ? r 的任意一条切线, l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,若以 AB 为
2 2 2

直径的圆恒过原点,求圆 O 的方程,并求出 AB 的取值范围。

6

21. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? x ln x ? mx ,且曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线斜率为 1 . (1)求实数 m 的值; (2)设 g ( x) ? f ( x) ?

?

?

a 2 x ? x ? a (a ? R ) 在其定义域内有两个不同的极值点 x1 , x 2 ,且 2

x1 ? x 2 ,已知 ? ? 0 ,若不等式 e1? ? ? x1 ? x2 ? 恒成立,求 ? 的范围.

选做题:请考生在 22~24 三题中任选一题作答,如果多做,按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知: C 是以 AB 为直径的半圆 O 上一点, CH ⊥ D AB 于点 H ,直线 AC 与过 B 点的切线相交于点 D , F 为 BD 中点,连接 AF 交 CH 于点 E ,

C E
7

F B

H

O

A

(Ⅰ)求证:FC 是⊙ O 的切线 ; (Ⅱ)若 FB=FE,⊙ O 的半径为 2 ,求 FC.

23. (本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程.

1 ? x ? 3 ? t ? 2 ? 在直角坐标系 x?y 中, 直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) . 以原点为极点,x ?y ? 3 t ? ? 2
轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 3 sin ? . (I)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)在圆 C 上求一点 D ,使它到直线 l 的距离最短,并求出点 D 的直角坐标.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a, b, c ? R ,且 ab ? bc ? ac ? 1 .

8

(1)求证: a ? b ? c ? 3 ; (2)若 ?x ? R, 使得对一切实数 a, b, c 不等式 m ? x ? 1 ? x ? 1 ? (a ? b ? c) 恒成立,求 m
2

的取值范围.

《2016 高考理数预测密卷》新课标 II 卷 一、选择题 1【答案】B. 【解析】 z ? 1 ? i , z ? 1 ? i , z ? z ? (1 ? i )(1 ? i ) ? 2 ,? z ? z ? 2 . 考点:复数的除法,共轭复数,复数的模长. 2【答案】D. 【解析】M = ? x | ?1 ? x ? 1? ,N = ? y | y ? 1? ,又 U =R∴ CU N ? ? y | y ? 1? , ∴ M ? ? ?U N ? . 3【答案】B. 【解析】 3C5 ? C4 ? 90
1 2

考点:排列组合综合应用. 4【答案】D.

9

【解析】

l ??? ? ? ? ? ? ,反之不成立,故 A 为真命题. l ? ??
1 ? p. 2

B. ? ? ~ N (0,1) ,? p (? ? 0) ? p, p (?1 ? ? ? 1) ? 1 ? 2 p ,从而 P ? ?1 ? ? ? 0 ? ? 故 B 命题为真命题. C. 函数 g ? x ? ? sin ? 2 x ?

? ?

??
?
'

? 的图象向左平移 个单位长度得 4 3?

?

g ( x ? ) ? sin[2( x ? ) ? ] ? sin(2 x ? ? ) ? cos(2 x ? ) ,故命题 C 为真命题; 4 4 3 3 2 3
D.设 f ( x) ? x ? sin x ,则 f ( x) ? 1 ? cos x ? 0, ∴ f ( x) 单调递增, f ( x) ? f (0) ? 0 ,即:

?

?

?

?

?

x ? sin x .故命题 D 为假命题.
考点:两平面的位置关系判断,正态分布,三角函数的图象变换,导数的应用. 5【答案】A. 【解析】前 6 步的执行结果如下: s=0,n=1; s= 3 ,n=2; s=0,n=3; s=0,n=4; s= 3 ,n=5; s=0,n=6 观察可知,s 的值以 3 为周期循环出现,∴判断条件为 n ? 2014 ?时,s= 3 符号题意. 考点:算法和程序框图,循环结构. 6【答案】D. 【 解 析 】 作 可 行 域 : 由 题 所 知 : 以

抛物线 y ? 7【答案】A

3 x2 ,即: x 2 ? 6 y ,准线方程为: y ? ? . 2 6

10

【解析】由解析式知函数为偶函数,故排除 B、D,又 考点:函数的奇偶性,函数的图象. 8【答案】B. 【解析】如图建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0),E(0,0,2),D(0,2,4),C(2,0,0)

故选 A.

???? ??? ? DE ? (0, ?2, ?2) , CE ? (?2, 0, 2)
设平面 DEC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则

?

? ???? ?n ? DE ? 0 ??2 y ? 2 z ? 0 ? 即: ? ? ? ? ??? ??2 x ? 2 z ? 0 ? ?n ? CE ? 0 ? n ? (1, ?1,1)
又 AE ? (0, 0, 2) 为平面 ABC 的法向量,

??? ?

? ??? ? n ? AE 2 3 设所求二面角为 ? ,则 cos ? ? ? ??? ,从而 tan ? ? 2 . ? ? ? 3 n ? AE 2 3
考点:三视图,二面角计算. 9.【答案】B. 【解析】由题意知, 3n ? 81 ,解得 n=4,∴0≤x≤π ,0≤y≤1. 作出对应的图象如图所示: 则此时对应的面积 S=π ?1=π , 满足 y ? sin x 的点构成区域的面积为: S= sinxdx=﹣cosx =﹣cosπ +cos0=2,

则满足 y>sinx 的概率为 P ? 1 ?

2

?

.

考点:赋值法求二项展开式的各项系数和,几何概型,定积分. 10【答案】A. 【解析】函数定义域为 ,

,令



则 则 所以 在

,由 时, ;

,得

, 时, ,

上是减函数,在

上是增函数,
11

所以 即 即 , 所以 的增区间为

, 在 . 上是增函数,

考点:二次求导判断复杂函数的单调性. 11【答案】B. 【解析】 若 P 在 AB 上, PE ? PF ? ( PA ? AE )( PB ? BF ) ? PA ? PB ? AE ? BF ? [?5, 4] ; 若 P 在 CD 上, PE ? PF ? ( PD ? DE )( PC ? CF ) ? PD ? PC ? DE ? CF ? [7,16] ; 若 P 在 AE 上, PE ? PF ? PE ? ( PA ? AB ? BF ) ? PE ? PA ? PE ? BF ? [0, 4] ; 同理,P 在 BF 上时也有 PE ? PF ? [0, 4] ; 若 P 在 DE 上, PE ? PF ? PE ? ( PD ? DC ? CF ) ? PE ? PD ? PE ? CF ? [0,16] ; 同理,P 在 CF 上时也有 PE ? PF ? [0,16] 所以,综上可知当 ? ? (7,16) 时,有且只有 4 个不同的点 P 使得 考点:平面向量基本定理及向量的数量积运算. 12.【答案】A. 【解析】 成立。

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ???? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ???? ??? ?

??? ? ??? ?

????? ???? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

????? ???? ? ???? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

∵ l 与圆相切,∴

∴m =1+k .

2

2



,得(1﹣k )x ﹣2mkx﹣(m +1)=0,

2

2

2

12



, 2 ∴k <1,∴﹣1<k<1,故 k 的取值范围为(﹣1,1) . 由于 ∵0≤k <1∴当 k =0 时,x2﹣x1 取最小值 . 考点:直线与圆及双曲线的位置关系综合应用. 二、填空题 13.【答案】
2 2



an ? 3n .
1 a1 (a1 ? 3) ,解得 a1 ? 3 ; 6

【解析】当 n ? 1 时, S1 ? a1 ? 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ?

1 [an (an ? 3) ? an ?1 (an ?1 ? 3)] , 6

整理,得 ? an ? an ?1 ? (an ? an ?1 ? 3) ? 0 . 因为 an ? 0 ,所以 an ? an ?1 ? 3 ? 0 ,即 an ? an ?1 ? 3 , 所以 ?an ? 是以 3 为首项,3 为公差的等差数列,所以 an ? 3 ? 3(n ? 1) ? 3n ,即 an ? 3n . 考点:根据 S n 与 an 的关系求数列的通项公式. 14.【答案】60. 【解析】根据回归直线经过样本中心 ( x, y ) 可得,表格中空白处的值为 60. 考点:线性回归.

2 15. 【答案】 2 .
【解析】如图所示, A(0, ?1) , F (0,1) ,过 P 作准线的垂线,垂足是 H ,由对称性,不妨 令 P 在第一象限,∴ m ?

| PF | | PH | ? ? sin ?PAH ,∴问题等价于求 ?PAH 的最小值, | PA | | PA |

而 tan ?PAH ? 等号成立,

y?

1 1 2 x ?1 1 1 1 1 1 1 4?4 ? x? ? 2 x ? ? 1 ,当且仅当 x ? ? x ? 2 时 x x 4 x 4 x 4 x

13

所以, m ? sin ?PAH ?

2 2 ,即: mmin ? . 2 2

考点: 1.抛物线的标准方程及其性质; 2.基本不等式求最值; 3.双曲线的标准方程及其性质. 16.【答案】1. 【解析】若函数 f(x)=x2+ln(x+a)(a>0)与 g(x)=x2+ex﹣ (x<0)图象上存在关于 y 轴对称的点,则等价为 g(x)=f(﹣x),在 x<0 时,方程有解, 即 x2+ex﹣ =x2+ln(﹣x+a),即 ex﹣ ﹣ln(﹣x+a)=0 在(﹣∞,0)上有解, 令 m(x)=ex﹣ ﹣ln(﹣x+a), 则 m(x)=ex﹣ ﹣ln(﹣x+a)在其定义域上是增函数,且 x→﹣∞时,m(x)<0, ∵a>0 ∴ex﹣ ﹣ln(﹣x+a)=0 在(﹣∞,0)上有解可化为:e0﹣ ﹣ln(a)>0, 即 lna< ,故 0<a< .
'

令 h( x) ? x 2 ? 2a ln x ? 2ax , h ( x) ? 2 x ?

2a 2 ? 2a ? ( x 2 ? ax ? a ) , x x

? a 2 ? 4a ? 0,? h ' ( x) ? 0 , h( x) 单调递增, x ? 0 时, h( x) ? ?? , x ? ?? 时,
h( x) ? ?? . ? h( x) ? 0 有一个解
考点:函数与方程的应用,求双曲线的离心率的取值范围. 三、解答题 17.【答案】(Ⅰ) S ?ABC ?

3 3 ;(Ⅱ) 3 3 . 2

【解析】 (Ⅰ)∵ f ( x) ? 2 cos(? x ? B )(? ? 0) 的图象与直线 y ? 2 相邻两个交点间的最短 距离为 T,?T ? 2 ,即:

2?

1 ? ? 1 ? f ( ) ? 2 cos( ? B) ? 1 ,即: cos( ? B) ? ,? B 是△ABC 的内角,? B ? , 6 6 6 2 6


?

? 2 ,解得 ? ? ? , f ( x) ? 2 cos(? x ? B) ,

? ???? 3 ??? AB ? AC ? S ,设△ABC 的三个内角的对边分别为 a, b, c , 2

?

? 3 1 bc cos A ? bc sin A , tan A ? 3, A ? ,从而△ABC 是直角三角形, 3 2 2
14

由已知 AC ? AB ? 3 得, BC ? a ? 3 ,从而 b ? 3 , S ?ABC ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 A ?

???? ??? ?

??? ?

1 3 3 . ab ? 2 2

?
3

,a ? 3,
= =2 ,解得 R= ,

设△ABC 的外接圆半径为 R,则 2R=

∴S+3 =3

cosBcosC= bcsinA+3 cosBcosC=3

cosBcosC=

bc+3

cosBcosC

sinBsinC+3

co s(B﹣C),

故 S ? 3 3 cos B cos C 的最大值为 3 3 . 考点:三角函数的图象与性质,正弦定理,三 角恒等变换及解三角方程.

?
18. 【答案】(1) 见解析;(2) 4 ;(3)不存在. 【解析】 (1) ∵平面 ABCD ? 平面 BCE =BC , 在平面 ABCD 内作 AM ? BC ,则 AM ? 平面 BCE, 同理,在平面 ABE 内作 AN ? BE ,则 AN ? 平面 BCE, ∴ AM ? AN ,即 AM,AN 重合, AB ? 平面 BCE, 取 BE、AE 中点 O、F,连结 OC、OF,以 O 为原点, OE、OC、OF 为 x,y,z 轴建立坐标系, 则 A(﹣2,0,4) ,B(﹣2,0,0) , C (0, 2 3,0) , P

D(0, 2 3, 2) ,E(2,0,0),
可得平面 ABE 的法向量为 设面 ADE 的一个法向量为 m ? ( x, y, z )

??

?? ??? ? ?? ? ?m ? AE ? 4 x ? 4 z ? 0 则 ? ?? ???? 可得 m ? (1, 0,1) ? ?m ? DE ? 2 x ? 2 3 y ? 2 z ? 0 ?? ???? 从而 m ? OC ? 0 ,平面 ABE⊥平面 ADE.
(2) 设|CP|=d,则 P (0, 2 3, d ) ,设面 APE 的一个法向量为 n ? (m, n, k )

?

? ??? ? ?n ? AE ? 4m ? 4k ? 0 ? 则 ? ? ???? 可得 n ? DE ? 2 m ? 2 3 n ? dk ? 0 ? ?
设直线 AB 与面 ADE 所成角为 θ ,

.

15



,所以 (sin ? ) max ?

2 , 2

从而直线 AB 与平面 APE 所成角的最大值为

?
4

.

(3) 由 ( 2 ) 知 , P (0, 2 3, d ) , 则 AP ? (2, 2 3, d ? 4), BD ? (2, 2 3, 2) ,

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? AP ? BD ? d ? 4 ? 0 ,d=-4<0,故不存在点 P,使得 AP ? BD .
考点:用空间向量求直线与平面的夹角;平面与平面垂直的判定,直线与直线 位置关系. 19.【答案】(I) 收入不高于 8 千的家庭数 有二孩计划的家庭数 无二孩计划的家庭数 合计 (II) 12 18 30 收入高于 8 千的家庭数 14 6 20 合计 26 24 50

有 95 %的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关.

E( X ) ? 3?

1 3 ? 2 2

【解析】(I) 依题意得 a ? 12, b ? 18, c ? 14, d ? 6 收入不高于 8 千的家庭数 有二孩计划的家庭数 无二孩计划的家庭数 合计 12 18 30 收入高于 8 千的家庭数 14 6 20 合计 26 24 50

50( 12 ? 6 ? 18 ?14) 2 225 ? ? 4.327>3.841 30 ? 20 ? 26 ? 24 52 因此有 95 %的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关. 1 (II)由题意知,X~B(3, ) 2 X 的可能取值为 0, 1, 2, 3 1 1 3 1 1 P( X ? 0) ? ( )3 , P( X ? 1) ? C3 ( ) ? ( )2 ? , 2 2 2 8 1 1 3 1 1 P( X ? 2) ? C32 ( ) 2 ? ? , P( X ? 3) ? ( )3 ? 2 2 8 2 8 K2=
X 的分布列为;
X 0 1 2

P

1 8

3 8

3 8

3 1 8
16

E( X ) ? 3?

1 3 ? . 2 2
8 4 6 x2 y 2 ,2 3]. ? ? 1 ;(Ⅱ)圆 O 的方程为 x2+y2= ,|AB|的取值范围是[ 3 3 8 4

考点:独立性检验,二项分布及其期望. 20.【答案】 (?)

【解析】 (Ⅰ)? e ?

c 2 ? ,? a 2 ? 2b 2 , a 2

设直线与椭圆交于 P,Q 两点.不妨设 P 点为直线和椭圆在第一象限的交点, 又∵弦长为

8 3 2 6 2 6 8 8 ,∴ P ( , ) ,∴ 2 ? 2 ? 1 ,又 a 2 ? 2b 2 3 3 3 3a 3b
2

解得 a ? 8, b ? 4 ,∴椭圆方程为
2

x2 y 2 ? ? 1. 8 4
8-r 2
2

(Ⅱ)(i)当切线 l 的斜率不存在时,设 x=r(或 x=-r),代入椭圆方程得:y=± ∴A(r, 8-r ),B(r,2
2

8-r ) 2 ∴→ OA⊥→ OB
2 8-r ∴r =0 2 2 2 8 ∴r = 3

2

∵以 AB 为直径的圆恒过原点
2 2 8 ∴圆 O 的方程为 x +y = 3

此时|AB|=2

8-r 4 6 = (同理当 x=-r 时,上述结论仍然成立) 2 3

2

(ii)当切线 l 的斜率存在时,设 l 方程为:y=kx+m ∵ l 与圆 O 相切 ∴ |m| 1+k
2

=r

即 m =(1+k )r
2 2

2

2

2

将直线方程代入椭圆方程并整理得: (1+2k )x +4kmx+2m -8=0 △=8k +4-m >0 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2 是方程①的两个解,由韦达定理得: 4km 2m -8 x1+x2=2,x1x2= 2 1+2k 1+2k ∵以 AB 为直径的圆恒过原点 ∴3m -8-8k =0
2 8 ∴r = 3 2 2 2 2 2

2

① ②

2 2 m -8k y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k x1x2+km(x1+x2)+m = 2 1+2k

2

2

∴→ OA⊥→ OB
2 2

∴x1x2+y1y2=0
2 2 2

2m -8 m -8k ∴ 2+ 2 =0 1+2k 1+2k
2

2

2

2

3m =8(1+k )
2 8 2 此时 m = (1+k ) 3

2

2

又∵m =(1+k )r

∴3(1+k )r =8(1+k )

代入②式后成立

2 2 8 ∴圆 O 的方程为 x +y = 3

17




2

|AB|=

1+k

2

?

(x1+x2) -4x1x2
2

2

=

1+k

2

?
4 2

4km 2 2m -8 (2) -4? 2 1+2k 1+2k 4k +5k +1 4 2 4k +4k +1
4 2

2

= 1+k ? = 4 6 ? 3

2 2 6 4k +1 4 6 4k +5k +1 4 6 2 2 4 2 ? 8k +4-m = ? 1+k ? ? = ? 2 2 = 2 2k +1 3 1+2k 3 1+2k 3 k 1+ 4 2 4k +4k +1
2

4 6 (i)若 k=0,则|AB|= 3 4 6 (ii)若 k≠0,则|AB|= ? 3 1+ 1 1 2 4k +4+ 2 k ?( 4 6 ,2 3] 3

4 6 2 2 8 综上,圆 O 的方程为 x +y = ,|AB|的取值范围是[ ,2 3]. 3 3 考点:椭圆的几何性质,直线与圆,直线与椭圆的位置关系综合应用. 21.【答案】(1)m=0;(2) . 【解析】 (1) f ( x) ? 1 ? ln x ? m
'

由题意知, f (1) ? 1 ,即:m+1=1,解得 m=0.
'

(2) 因为 由题意可知 即 ,

等价于 分别是方程 g ' ( x) ? 0 ,即:

. 的两个根,

所以原式等价于



因为



,所以原式等价于



又由



作差得,

,即



所以原式等价于



因为

,原式恒成立,即

恒成立.令





则不等式



上恒成立.

18



,又





时,可见 在

时, 恒成立,符合 题意. 时, 时单调增,在

,所以



上单调增,又



当 所以 所以

时,可见 在 在



时 时单调减,又

, ,

上不能恒小于 0,不符合题意,舍去. 恒成立,只须 ,又 ,所以 .

综上所述,若不等式

考点:导数的几何意义,应用导数求最值. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 【答案】(Ⅰ)见解析; (Ⅱ)FC=1. 【解析】 (Ⅰ)证明:连接 OC. ∵AB 是直径,∴∠ACB=90°, 又∵F 是 BD 中点,∴∠BCF=∠CBF, 又 OC=OB ∴ ?OBC ? ?OCB , 从而 ?FCB ? ?BCO ? ?FBC ? ?CBO ? 900 , 即: OC ? FC , FC 是⊙O 的切线 . (Ⅱ)延长直线 CF 交直线 AB 于点 G, 由 FC=FB=FE 得:∠FCE=∠FEC, 又 ?FCE ? ?GFB, ?FEC ? ?AFB , ∴ ?GFB ? ?AFB 从而△AGF 是等腰三角形, GB ? AB ? 2 2 . 由切割线定理得: ( FC ? FG ) 2 ? GB ? GA ? 2 2 ? 4 2 ? 16 . 在 Rt△B GF 中,由勾股定理得: FG 2 ? FC 2 ? 8 由①、②得:FC=1 考点:圆的切线的判定,切割线定理,平行线的性质定理. ??① ??②

x + y? 3 23【答案】 (Ⅰ) 3 x ? y ? 3 3 ? 0 ,
2

?

?

2

? 3 1? ? , 3? ? ? ? ?3 2 2? ?. ; (Ⅱ) ?

19

【解析】 (Ⅰ)消去参数 t 得,直线 l 的普通方程为 3 x ? y ? 3 3 ? 0 ; 由 ? ? 2 3 sin ? ,得 ? 2 ? 2 3? sin ? ,从而有 x 2 +y 2 ? 2 3 y ,所以 x 2 + y ? 3 (Ⅱ)因为点 D 在圆 C 上,所以可设点 D cos ? , 3 ? sin ? 所以点 D 到直线 l 的距离为

?

?

2

?3

?

? ?? ? ?0, 2?? ? ,

d?

3 cos ? ? sin ? ? 4 3 2

?? ? ? 2 3 ? sin ? ? ? ? . ?3 ?

因为 ? ? ? 0, 2? ? ,所以当 ? ?

??? 时, d min ? 2 3 ? 1 . 6

此时 D ? ? ?

? ?

? 3 1? 3 1? ,所以点 D 的坐标为 ? ? . , 3? ? , 3? ? ? ? 2 2? 2? ? 2 ?

考点:参数方程与普通方程的互化,极坐标方程与直角坐标方程的互化,圆的参数方程的应 用. 24【答案】 (1)见解析; (2) m ? 1 . 【解析】 (Ⅰ) 所以

? 3ab ? 3bc ? 3ac ? 3
时等号成立;

a ? b ? c ? 3 ,当且仅当

(Ⅱ)由题意得

(m ? x ? 1 ? x ? 1) min ? (a ? b ? c) 2 min
2 min

由(Ⅰ)知 (a ? b ? c)

? 3,

又 x ? 1 ? x ? 1 ? ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 2 ,∴ m ? 2 ? 3 ,m 的取值范围为: m ? 1 . 考点:基本不等式,绝对值不等式的性质,恒成立,能成立综合问题.

典 题 透 析 : 《2016 高考理数预测密卷》新课标 II 卷第 21 题 原 题 : 21. 已知 f ( x) ? x ln x ? mx ,且曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线斜率为 1 . (1)求实数 m 的值; (2)设 g ( x) ? f ( x) ?

?

?

a 2 x ? x ? a (a ? R ) 在其定义域内有两个不同的极值点 x1 , x 2 ,且 2

x1 ? x 2 ,已知 ? ? 0 ,若不等式 e1? ? ? x1 ? x2 ? 恒成立,求 ? 的范围.
【透析】 本题考察了导数的几何意义,函数极值的概念,不等式恒成立问题,这些都是高 考常见问题。此题(1)中直接由导数的几何意义得到 m 的值,属于基础题; (2)中首先由 极值概念得到方程的解,然后对所给不等式变形构造函数,利用导数判断函数单调性,通
20

过单调性讨论得到所求范围,这样考察了学生的变形整理构造函数的能力,分类讨论的能 力, 具体过程如下: (1) f ( x) ? 1 ? ln x ? m
'

由题意知, f (1) ? 1 ,即:m+1=1,解得 m=0.
'

(2) 因为 由题意可知 即 ,

等价于 分别是方程 g ' ( x) ? 0 ,即:

. 的两个根,

所以原式等价于



因为



,所以原式等价于



又由



作差得,

,即



所以原式等价于



因为

,原式恒成立,即

恒成立.令





则不等式



上恒成立.



,又





时,可见 在

时, 恒成立,符合题意. 时, 时单调增,在

,所以



上单调增,又



当 所以

时,可见 在



时 时单调减,又

, ,

21

所以



上不能恒小于 0,不符合题意,舍去. 恒成立,只须 ,又 ,所以 .

综上所述,若不等式

22


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